离散域设计

第十章 离散域设计本节将要介绍的数字控制器直接设计方法，是假定被控对象本身是离散化模型或者是用离散化模型表示的连续对象，直接以采样系统理论为基础，以Z 变换为工具，在Z 域中直接设计出数字控制器)(z D 。

数字控制器)(z D 设计步骤：1）根据控制系统的性能指标要求及其它约束（物理可实现性（因果性）、稳定性、准确性和快速性）确定)(z φ；(R由上图得：)()(1)()()()()(z G z D z G z D z R z C z +==φ 则控制器：)(1)()(1)()()(z z z G z E z U z D φφ+==2)根据)(1)()(1)()()(z z z G z E z U z D φφ+==确定控制器脉冲传递函数)(z D 3）根据)(z D 编制控制算法程序10.1最少拍控制系统设计最少拍系统：设计指标是指快速性，在典型输入信号的作用下，经过最少个采样周期，使系统瞬时的稳态误差为0。

设计步骤：参考总设计步骤一、典型输入下最少拍系统的设计方法 1、设计要求 1）指定输入信号阶跃)(1*t ： 1*11)](1[--=z t Z速度t t r =)(*： 21)1(][--=z zT t Z加速度2*)(t t r =： 31222)1()1(][--+=z z z T t Z上述信号的Z 变换有统一格式：qz z A )1()(1--2）准确：稳态误差为0定义P219图10-2系统误差传递函数：)(1)()()()()()(z z R z C z R z R z E z e φφ-=-==)()()())(1()(z R z z R z z E e φφ=-=根据终值定理，系统稳态误差为0：0)]()()1[(lim )]()1[(lim )(1111=-=-=∞-→-→z R z z z E z e e z z φ得：)()1()(1)(1z F z z z q e --=-=φφ 3）快速：最少拍内结束 按最少拍要求：1)(=z F 因此得最少拍无静差条件：q e z z )1()(1--=φ q z z )1(1)(1---=φ4) 稳定：闭环系统是稳定的 5）因果：)(z D 可实现性 2、典型输入的最少拍设计2.1 单位阶跃输入 输入信号：阶跃)(1*t ： 1*11)](1[--=z t Z ，1=q根据最少拍无静差条件：)1()(1--=z z e φ 11)1(1)(--=--=z z z φ控制器：)1()(1)()()(1)(1)()(1)(11---==+=z z z G z z z G z z z G z D e φφφφ 系统输出：)1()1()()()(321111++++=-==------z z z z z z z z R z C φ 输出波形：P210 图10－3 误差输出：+⨯+⨯+⨯==210001)()()(z z z z z R z E e φ误差输出波形：P211 图10－4注：设计的)(z D 只能保证采样点跟踪，不能保证采样间跟踪 2.2 单位速度输入 输入信号：速度t t r =)(*： 21)1(][--=z zT t Z ，2=q 根据最少拍无静差条件：21)1()(--=z z e φ21212)1(1)(----=--=z z z z φ控制器：2121)1(2)(1)()()(1)(-----==z z z z G z z z G z D e φφ 系统输出：4323212121211432)32)(2()2()1()()()(------------++=+++-=--==Tz Tz Tz z z z z z T z z z Tz z z R z C φ 输出波形：P211 图10－5误差输出：121211)1()1()()()(----=--==Tz z z Tz z z R z E e φ 误差输出波形：P211 图10－6 2.3 单位加速度输入 输入信号：加速度2)(2*t t r =： 31222)1(2)1(][--+=z z z T t Z ，3=q 根据最少拍无静差条件：31)1()(--=z z e φ3213133)1(1)(----+-=--=z z z z z φ控制器：31321)1(33)(1)()()(1)(-----+-==z z z z z G z z z G z D e φφ 系统输出：42322232131221693)33()1(2)1()()()(-------++=+--+==z T z T z T z z z z z z T z z R z C φ 输出波形：P212 图10－7误差输出：22313122)1()1()1(2)1()()()(z z T z z z z T z z R z E e +=--+==--φ 误差输出波形：P212 图10－8二、最少拍控制器对信号的依赖性 速度输入闭环传函：212)(---=z z z φ三、最少拍控制的可实现性和稳定性 3.1 可实现性（因果） 非因果性：若z z E z U z D ==)()()( )1()(+=z E z U 说明)(z D 具有超前性，即在环节施加输入信号之前就应有输出，这样的超前环节不可能实现。

因此∑∑===nj mjmi miz azb z D 00)( m n >)(1)()(1)(z z z G z D φφ+=当)()(z G z z G P '=-，)(z G '不含滞后环节 为满足因果性，)()(z F z z P -=φ 3.2 稳定性开环传函)()(z G z D ，)(z D 的设计实质是将)(z G 的全部零极点对消的设计方法，由于存在模型不精确，因此不能精确对消，因此对消原则：1）)(z D 不对消)(z G 中单位圆上或圆外的零点，)(z φ中保留 2）)(z D 不对消)(z G 中单位圆上或圆外的极点，)(z e φ中保留 四、最少拍快速有波纹系统)(z φ设计的一般方法 广义对象：)()1()1()(1)(11111z G z azb zs G seZ z G nk j jmk i i ksT∏∏+=-+=-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)(1z G 不含单位圆上与单位圆外的零极点和纯滞后环节；∏+=--mk i izb 11)1(为单位圆上或圆外零点；∏+=--nk j jz a11)1(为单位圆上或圆外极点系统稳态误差为0满足：)()1()(11z F z z q e --=φ 系统可实现性满足：)()(2z F z z k-=φ系统稳定性满足：)()1()(311z F zb z mk i i∏+=--=φ)()1()(411z F za z nk j je ∏+=--=φ综上：)()1()(511z F zb zz mk i ik∏+=---=φ（1）)()1()1()(6111z F za z z nk j jqe ∏+=----=φ（2）由（1）（2）可知∑-+==15)(n q i ii zf z F由（2）)1(11)(1φφ-===z e z （3）因为（2）有)1(1--z 的q 个因子，因此：1,,2,10)(d d 1-===q i z z z iφ（4） 可举例：0)1(2)1(d d112=-=-==x x x x z因为（2）有)1(1--z a j 的n 个因子，因此：n j z ja z ,,2,11)( ===φ（5）联立(3)(4)(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==-===nj z q i z z j a z z i ,,2,11)(1,,2,10)(d d)1(111φφφ 可解得∑-+==15)(n q i ii zf z F注：降阶当广义对象含有1=j a 的极点时，)(z e φ降阶设计 例：速度信号t t r =)(*： 21)1(][--=z zT t Z 广义对象含有单位圆上和单位圆外的极点为：)2.11)(1(11----z z按公式（2），)()2.11)(1()1()()1()1()(611216111z F z z z z F za z z nk j jqe ---+=-----=--=∏φ降阶后：)()2.11()1()(6121z F z z z e ----=φ降阶足以保证稳态误差为0。

若广义对象含有)1(1--z 因子数为v ，则选取的总因子数为},max{v q 例：被控对象传函)1(10)(+=s s s G ，s T 1=，t t r =)(*，设计最少拍有波纹系统的)(z D 。

解：1、求广义对象)368.01)(1()718.01(68.3)1(10)1()1(101)(111121--------+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=z z z z s s Z z s s se Z z G sT 纯滞后1--=z zk；单位圆上或圆外的零点：0=m ；单位圆上或圆外的极点：1=n ；2、单位输入21)1(][--=z zT t Z ，2=q 由于存在单位圆上的极点01=-=n n ，因此)(5z F 的阶次为：11=-+n q1105)(-+=z f f z F3、闭环传函：)()()1()(1101511--+=--+=-=∏z f f z z F zb zz mk i ikφ误差传函：)()1()()1()1()(6216111z F z z F za z z nk j jqe -+=---=--=∏φ)(z φ和)(z e φ阶次相同，因此设l z F =)(6根据公式)(1)(z z e φφ-=对比系数得：0)(d d1)()1(110==+==z z z f f φφ 1,210-==f f闭环传函：)2()(11---=z z z φ4、数字控制器2121718.0282.01)184.0868.01(545.0)(1)()(1)(----+-+-=+=z z z z z z z G z D φφ 对应的差分方程：)]2(184.0)1(868.0)([545.0)2(718.0)1(282.0)(-+--+-+-=k e k e k e k u k u k u数字控制器输出：P217 图10－12系统输出：P217 图10－13 五、最少拍无波纹系统的设计有波纹系统：系统在采样点跟踪上信号，但在采样间出现波动 原因：数字控制器输出)(z U 产生振荡 解决办法：使)(z U 经有限拍消除振荡 设计方法：)()()()()()()()()(z R z G z z G z z R z G z C z U φφ===得传函：)()()()(z G z z R z U φ= )()(z G z φ为有限项的z 负指数多项式形式，即可消除)(z U 波动。