chap4 对称要素组合定理及对称型解析
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第二章2ppt - 第二章晶体结构中的对称元素和对称操作
( 4 ) x x x 10 0 0 1 0 x y ( 4 ) 5 y 3 ( S ) y 1 ( i ) 3 ( C ) y 0 1 0 1 1 0 y x y 6 3 ( 4 ) z z z z 0 0 1 001 z
' 1 0 x x 1 x '6 [ 001 ] y y 1 0 0 y z ' z 0 0 1 z
六角坐标系中两个等效点位置
易知
1 1 0 6[001 ] 1 0 0 0 0 1
等效点坐标为(x,y,z), (-y, x, z), (-x, -y, z), (y, -x, z). 4（C4）是4阶。
4（C4）投影图的图示表示
4.3 6（C6）旋转轴
结晶学总是在六角坐标系中讨论3，6重 轴. 六角坐标系中X，Y轴交角为1200，且与 Z轴垂直.
6（C6）旋转轴永远与z轴平行。 任意点（x, y, z）在6（C6）的作用下， 运动到（x-y, x, z）的位置，如下图 所 示。即
等效点坐标为(x,y,z), (-x, -y, z).
2 (C2) 投影图的图示表示如图
4.2 4（C4）旋转轴
除非特别说明，我们所讨论的4（C4）旋 转轴总是与 z 轴平行。
4（C4）的矩阵表示为
( 1 ) x 0 10 y x x ( 1 ) y 4 [ 001 ] 1 0 0 y y x ( 1 ) z z z z 0 0 1
第3章-晶体的宏观对称
• 对称要素种类 对称面、对称轴、对称中心、旋转反伸轴、 旋转反映轴
5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面，亦称镜面 (mirror)，相应的对称操作为
P
对此平面的反映，它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在，可以有一个 或若干个，最多可达9个
7
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
6
6
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
8
对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
10
结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry)：晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
30
晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
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5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面，亦称镜面 (mirror)，相应的对称操作为
P
对此平面的反映，它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在，可以有一个 或若干个，最多可达9个
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结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
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1-fold
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3-fold
4-fold
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对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
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结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry)：晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
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晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
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对称元素组合点群优秀课件
对称元素的组合
• 二次轴(L2)+对称面(P) • Step 1: reflect • Step 2: rotate
对称元素的组合
•二次轴(L2)+对称面(P) •Step 1: reflect •Step 2: rotate
•存在第二个对称面 L2 + P = L2 2P
对称元素的组合
• 四次轴(L4)+对称面(P)
可以推到出4个新组合。
晶体对称元素可能组合
(4) 对称轴Ln 与包含它的对称面以及垂直它的对称
面的组合。
Ln ·P(||) ·P() Ln ·P(||) ·P() ·L2
Ln n L2 (n+1) P
Ln n L2 (n+1) P （n为奇数）
Ln n L2 (n+1) PC （n为偶数） 可以推到出3个新组合。
晶体对称元素可能组合
•A类组合（高次轴（n > 2）不多于1个），共27个； 含10个“单独存在”的对称元素。
(1) 对称轴+对称轴：
• 高次轴不多于1个，所以只考虑 Ln 和L2组合 •Ln 和L2平行，按对称轴选取原则，只选 取的是高次轴，没有组合。 •Ln 和L2斜交时，出现多个Ln ，非A类组合。 只考虑垂直组合
• B类组合（高次轴多于1个），共5个。
• 3L2 4 L3 视为B类组合的原始形式，与L2 、与对称 心、与包含的对称面、与包含的对称面且有垂直L2
的组合时，可得到4个新的组合：
3L44L36L2 、 3L44L33PC 、 3L4i 4L36L2 、 3L44L36L29PC
晶体32种点群组合汇总
例如：具有Li42L2 2P对 称组合的黄铜矿晶体
chap4-对称要素组合定理及对称型解析
第五节 晶体的对称分类
高次轴的有 无及多少
晶体
•
低、中、高级晶族
属于同一对 称型的晶体
7大晶系 32晶类
低级晶族
三斜晶系 单斜晶系 正交晶系
无L2或P L2＋P<3 L2+P3
晶 体
三方晶系
1L3
中级晶族
四方晶系
1L4
六方晶系
1L6
高级晶族
等轴晶系
4L3
晶体的对称分类
逆定理 若两L2相交，在交点并垂直两L2必产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍，并在垂直于Ln平面内导出n个L2。
思考: 两个L2相交30°, 交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?
Hale Waihona Puke 定理2 若一对称面P垂直于偶次轴Ln(偶)，其交点处必然存在 对称中心C。 Ln P LnP C (n为偶数)
（1）A类对称型的推导：
5）对称轴Ln与垂直它的对称面 ， 以及包含它的对称面的组合 （ 轴 面 式）： 垂直Ln的P与包含Ln的P的交线，必为垂直Ln的L2，
即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC（偶数） Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2nP（奇数）
推导实例
☻ 例1：若晶体中有一L3，又有一L2垂直于它，据组合定理1， 形成L33L2对称型，石英晶体即为这种对称型。
•
推导实例
☻ 例2：晶体中有一L4，又有一L2和一个P垂直L4 ，则： ☻ L4×L2⊥→L44L2（定律1） ☻ L4×P⊥→L4PC（定律2）
•
☻ 又同时垂直L4的L2和P必为包含关系，故：L2×P∥→L22P（定律3） ☻ 这两个P中，一个垂直L4包含L2，另一个包含 L4垂直L2，包含L4 的P则与L4 组合：L4×P∥→L44P，最后产生对称型L44L25PC，金红石就是这种对称型。
对称及三十二种对称型
要素找出来，按一定规则和顺序写出列在一起，即为该 晶体的对称型。
由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点 （中心），在进行对称操作时，至少有一个点不移动。因
此，对称型又称点群。
（二）三十二种对称型与晶类的概念：
经数学推导，晶体可能具有的对称型（点群）总共只 有32种。因此，具有相同对称型的晶体归为一个晶类。
晶体对称规律一一晶体宏观对称要素及对称操作一对称的概念二晶体对称的特点三对称要素和对称操作四晶体对称定律二晶体对称型晶类和对称分类一对称型的概念及构成二三十二对称型与晶类的概念三晶体的对称分类一晶体宏观对称要素及对称操作一对称的概念对称的现象在自然界和我们日常生活中都很常见如蝴蝶花冠动物的形体等都常呈对称的图形
（PL3）。
（四）晶体对称定律 由上述对称轴我们可以看出：有没有L5及高于L6的对称
轴呢？答案是： 晶体中不可能出现五次及高于六次的对称轴。 这就是晶体对称定律。图示证明如下：
二、晶体对称型、晶类和对称分类
（一）对称型的概念及构成： 一个结晶多面体中全部对称要素的组合称为 该结晶
多面体的对称型。 举例：3L44L36L29PC，将一个晶体模型上所有对称
以四方四面体模型为例，说明Li4。
关于倒转轴Lin与普通对称要素的关系： 能够在晶体中出现的Li1、Li2、Li3、Li4、Li6，除
Li4是一种完全独立的对称要素外，其余四种倒转轴都 可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其 关系如下：
Li1=C Li2=P Li3=L3C Li6=L3P（PL3） （注： Li6 在对称分类上具有独立意义。）
a=b ≠ c ==90°; =120°
a=b = c === 90°
对称特点 对称型种类
由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点 （中心），在进行对称操作时，至少有一个点不移动。因
此，对称型又称点群。
（二）三十二种对称型与晶类的概念：
经数学推导，晶体可能具有的对称型（点群）总共只 有32种。因此，具有相同对称型的晶体归为一个晶类。
晶体对称规律一一晶体宏观对称要素及对称操作一对称的概念二晶体对称的特点三对称要素和对称操作四晶体对称定律二晶体对称型晶类和对称分类一对称型的概念及构成二三十二对称型与晶类的概念三晶体的对称分类一晶体宏观对称要素及对称操作一对称的概念对称的现象在自然界和我们日常生活中都很常见如蝴蝶花冠动物的形体等都常呈对称的图形
（PL3）。
（四）晶体对称定律 由上述对称轴我们可以看出：有没有L5及高于L6的对称
轴呢？答案是： 晶体中不可能出现五次及高于六次的对称轴。 这就是晶体对称定律。图示证明如下：
二、晶体对称型、晶类和对称分类
（一）对称型的概念及构成： 一个结晶多面体中全部对称要素的组合称为 该结晶
多面体的对称型。 举例：3L44L36L29PC，将一个晶体模型上所有对称
以四方四面体模型为例，说明Li4。
关于倒转轴Lin与普通对称要素的关系： 能够在晶体中出现的Li1、Li2、Li3、Li4、Li6，除
Li4是一种完全独立的对称要素外，其余四种倒转轴都 可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其 关系如下：
Li1=C Li2=P Li3=L3C Li6=L3P（PL3） （注： Li6 在对称分类上具有独立意义。）
a=b ≠ c ==90°; =120°
a=b = c === 90°
对称特点 对称型种类
第四章分子的对称性
Cn , 再凭 先凭借某一轴线施行旋转操作
借此轴线上的一点进行反演操作 i 的复合操作 称为旋转反演操作, 称为旋转反演操作 , 施行旋转反演操作所凭 借的轴线称为反轴 In.
与两个操作的先后顺序无关. I n = C n i = i C n 与两个操作的先后顺序无关.
旋转反演操作 I n = Cn i
与两个操作的先后顺序无关. S n = σ h C n = C nσ h 与两个操作的先后顺序无关.
例:映转操作 S4
映转操作 S 4 = σ h C 4
B B A D C
A D C
C4
σh
D C A
σh
C B A
D
B
C4
映转轴 S4
<5> 旋转反演操作 In = C n i 和反轴 In
C2 i
i.
H2O
C6H6
<4> 映转操作 S n = σ h C n 和映转轴 Sn
先凭借某一轴线施行旋转操作 Cn , 再凭借与
此轴垂直的平面进行反映操作 σ h 的复合操作
称为映转操作, 施行映转操作所凭借的几何 称为映转操作 , 元素为一轴线,称为映转轴. 元素为一轴线,称为映转轴.
A B D C
C4
B A D C
i
A
C D B
i
C D A B
C4
反轴 In
§4-2 对称元素的组合
对称操作的乘积: 对称操作的乘积:先施行操作 A ,再施行 操作 的效果相同, 操作 B ,总的效果与施行操作 C 的效果相同, 的乘积, 就说 C 是 A 和 B 的乘积,记为 C = AB . 两个夹角为α的对称面的交线, <1> 两个夹角为 α 的对称面的交线 , 一定是 σ V1 σ V2 一个基转角为 2α的 重对称轴. n 重对称轴. α
4第四讲 晶体对称规律
类
2 空间格子类型与晶体常数特点
• 2.1空间格子的划分
2.1.1平行六面体的选择 对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
• 对于一个空间点阵，可以划分出一个平行六面体作为一个 基本单位，整个空间点阵可以由这个单位平行六面体在三 维空间的平移而产生。划分平行六面体的方式有很多，但 应遵循以下原则： 1）所选平行六面体的对称性应符合整个空间点阵的对称 性； 2）在不违反对称的前提下，应选择棱与棱之间直角关系 为最多的平行六面体； 3）在遵循前二条件的前提下，所选平行六面体的体积应 为最小； 4）当对称性规定棱间的交角不为直角时，则在遵循前三 个条件的前提下，应选择结点间距小的行列作为平行 六面体的棱，且棱间交角近于直角的平行六面体。
定理一：LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的 L2 。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
思考: 两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么 对称轴?
因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。
• 具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个 序号位中规定了写什么方向上的对称要素(序号位与方 向对应，这是国际符号的最主要的特色),对称意义完 全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就 行了（简化，这是国际符号的另一特色）. 不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同, 所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定 不要弄混淆. 每个晶系的国际符号写法见表3 (此表很重要，要熟记！).
• 例2：四方四面体：有一个Li4，有P包含Li4 • （或L2垂直于
七年级对称集合知识点归纳总结
七年级对称集合知识点归纳总结在七年级的数学学习中，对称集合是一个重要的概念。
通过对称集合的学习，我们能够更深入地理解数学中的对称性质，并能够应用到解决实际问题中。
本文将对七年级对称集合的知识点进行归纳总结。
一、对称性的基本概念1. 对称性定义：对称性是指物体或图形能够通过某个中心点、直线或平面进行翻转、旋转或镜像后重合的性质。
2. 对称元素：对称元素是指使图形保持不变的中心点、直线或平面。
3. 对称轴：对称轴是指使图形能够对称的直线。
4. 对称中心：对称中心是指使图形能够对称的中心点。
5. 垂直对称：垂直对称是指图形绕垂直对称轴对称后能够重合。
6. 水平对称：水平对称是指图形绕水平对称轴对称后能够重合。
7. 中心对称：中心对称是指图形绕中心对称中心对称后能够重合。
二、对称集合的运算1. 交集运算：对称集合的交集是指两个对称集合中共有的元素组成的集合。
交集运算可以用符号“∩”表示。
2. 并集运算：对称集合的并集是指两个对称集合中所有的元素组成的集合。
并集运算可以用符号“∪”表示。
3. 补集运算：对称集合的补集是指在某个全集中除去该对称集合的元素所形成的集合。
补集运算可以用符号“-”表示。
三、对称集合的性质1. 交换律：对称集合的交集与并集满足交换律，即A∩B = B∩A，A∪B = B∪A。
2. 结合律：对称集合的交集与并集满足结合律，即(A∩B)∩C =A∩(B∩C)，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
3. 分配律：对称集合的交集与并集满足分配律，即A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
4. 对偶律：对称集合的交集与并集满足对偶律，即(A∩B)' = A'∪B'，(A∪B)' = A'∩B'。
四、应用举例1. 图形的对称性：通过对称集合的概念，我们可以判断一个图形是否具有对称轴或对称中心，从而在绘画、几何图形设计等方面得到应用。
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• 这样推导出来的对称型共有27个，见表4－2。
• 还有5个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。
Ln
LnnL2
LnP(C)
LnnP
LnnL2 (n+1)P(C)
Lin
Lin nL2 nP Lin n/2L2 n/2P
L1 L2 L3 L4 3L2 L33L2 L44L2
L4PC L2PC L22P L33P L44P L44L2 5PC 3L2 3PC
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（面式）： 根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
（1）A类对称型的推导：
5 ）对称轴 L n 与垂直它的对称面，以及包含它的对称面的组合（轴面
式）：
垂直Ln的P与包含Ln的P的交线，必为垂直Ln的L2， 即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC（偶数）
个偶次对称轴。 P C L2P C
该定理说明：
L2、P、C三者中任意两者可 产生第三者。
定理3 若有一对称面P包含对称轴Ln，则
①必有n个P包含Ln； ②相邻两个P的夹角半） （定理3与定理1对应） 例如：L6 P// L66P//
2、对称型的推导 依据：对称型中高次轴数量多少： A类对称型（高次轴不多于一个） B类对称型（高次轴多于一个） （1）A类对称型的推导
1）对称轴Ln单独存在（原始式）：
可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 。
（1）A类对称型的推导： 2）对称轴与对称轴的组合（轴式）： 在这里我们只考虑 Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对 称要素组合规律LnL2→LnnL2，可能的对称型为： （L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2
如果有一个L2垂直于Ln，则
①必有n个L2垂直于Ln； ②任意相邻两个L2的夹角为Ln的基转角的一半。 LnL2LnnL2 L2与L2的夹角是Ln基转角的一半
逆定理
若两L2相交，在交点并垂直两L2必产生Ln，其基
转角是两L2夹角的两倍，并在垂直于Ln平面内导出n个L2。
思考: 两个L2相交30°, 交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?
第四节 对称型（点群）
1、对称型的概念 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型
或点群。
一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点 群。 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中 可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这 32个对称型怎么推导出来？
第三节 对称要素的组合定理
对称要素的组合问题提出
例如：立方体3L44L36L29PC
对称要素有时并不是孤立的，且对称要素(操作) 之组合也
可导出新的对称要素(操作) 。 对称要素组合（共存）是有规律的，其规律是： 必须遵循对称要素的组合定理； 不符合对称要素组合定理的共存形式不可能存在。
定理1
7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合（反伸
面式）： 根据组合规律：当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了
（1）A类对称型的推导： 3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合（中心式）： 根据组合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。
（1）A类对称型的推导：
Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2nP（奇数）
可能的对称型为：(L1L22P=L22P ）；L22L23PC=3L23PC； （L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。
（1）A类对称型的推导：
6）旋转反伸轴单独存在（倒转式）：
可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
Lin = C Li2 = P Lin =L3
C L3 3L2 3PC
Li4
Li4 2L22P
L6
L66L2
L6PC
L66P
L66L2 7PC
Li6 =L3 P
Li6 3L2 3P= L3 3L2 4P
第五节 晶体的对称分类
晶体 高次轴的有 无及多少
低、中、高级晶族
7大晶系
属于同一对 称型的晶体
定理2
若一对称面P垂直于偶次轴Ln(偶)，其交点处必然存在
对称中心C。
Ln P LnP C (n为偶数)
石膏
逆定理
若有一偶次对称轴Ln(偶)与对称中心C共存，则过C且
垂直该对称轴必有一对称面P； Ln C LnP C (n为偶数)
或若有一对称面P与对称中心C共存，则过C且垂直于P必有一
32晶类
低级晶族
三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 三方晶系
无L2或P L2＋P<3 L2+P3 1L3 1L4 1L6 4L3
晶 体
中级晶族
四方晶系 六方晶系 等轴晶系
高级晶族
晶体的对称分类
红锌矿
逆定理
若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对
称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n个 包含Ln的P。 思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4 若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Lin
n为奇数时——必有n个L2垂直于Lin和n个P包含Lin；
n为偶数时——必有n／2个L2垂直于Lin和n／2个P包含Lin。 Lin P// =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P// （n为偶数） Linn L2 nP//（n为奇数）