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第10章 图
若边e与有序结点对<u，v>对应，称e为有向边或弧，记为e ＝<u，v>，u称为弧e的始点，v称为弧e的终点，也称u邻接到v， v邻接于u。若e和e有相同的始点，称e和e相邻。始点和终点都 相同的弧称为平行弧。
在图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。 每条边都是无向边的图称为无向图。每条边都是有向边的 图称为有向图。既有有向边也有无向边的图称为混合图。将有 向图各有向边去掉方向后的无向图称为原来图的基图。
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10.1.3结点的度 定义10.7 在有向图G＝<V，E>中，对于结点v∈V，以v为
始点的弧的条数称为v的出度，记为d＋(v)；以v为终点的弧的 条数称为v的入度，记为d－(v)；v的出度和入度之和称为v的度 数，记为d(v)。
在无向图G＝<V，E>中，结点v的度数等于它关联的边数， 记为d(v)。若v有环，规定该结点度数因环而增加2。
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(4)在一个n边形内放置一个结点，使之与n边形的各结点有 边，这样得到的简单图称为轮图，记为Wn。
例2在图10-2中，图(a)是简单图且为完全图，但图(b)是多重 图，因为e4和e5是平行弧。
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定理10.1 完全图Kn的边数为Cn2。 证明 因为在完全图Kn中任意两结点之间都有边相连，所以n
个结点中任取两点的组合数为Cn2，故完全图Kn的边数为 Cn2。
定义10.3 给每条边(或弧)都赋予权的图G＝<V，E>称为带权 图或加权图，记为G＝<V，E，W>，W为各边(或弧)权的集合。
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10.1.2子图与补图
定义10.4 设G＝<V，E>、G＝<V，E>是两个图，于是
(1)若VV且EE，则称G为G的子图，G为G的母图。 (2)若G是G的子图，且VV或EE，则称G为G的真子图。 (3)若V＝V且EE，则称G为G的生成子图或支撑子图。 定义10.5 G＝<V，E>，V1V且V1≠，以V1为结点集，以两 端点均在V1中的全体边为边集的G的子图，称为V1的诱导子图； E1E且E1≠，以E1为边集，以E1中边关联的结点的全体为结点 集的G的子图，称为E1的诱导子图。
推论：图G中度数为奇数的结点必为偶数个。
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定理10.3 在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所 有结点的出度之和。
证明 因为每一条有向边必对应一个入度和一个出度，若 某个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以 有向图中各结点入度之和等于边数，各结点出度之和等于边 数，故结论成立。
E>。其中V为非空有限集，其元素称为结点或顶点，E也是有限 集，其元素称为边。对E中的每个边都有V中的两个结点与之对 应，其结点对可以有序也可无序。
若边e与无序结点对[u，v]对应，称e为无向边，简称边，记
为e＝[u，v]，u、v称为边e的端点，也称u和v为邻接点，边e关联
u与v。关联同一结点的两条边称为邻接边。连接一结点与它自 身的边称为环或自回路。两个端点都相同的边称为平行边。
例4，在图10-1(a)中，d(v1)＝3，d(v2)＝5，在图10-1(b)中， d＋(v2)＝2，d－(v2)＝1。
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定理10.2(握手定理)在图G＝<V，E>中，结点度数的总和 等于边数的两倍，即 ＝2|E|。
证明 因为图G中的每条边(包括环)都有两个端点，所以加 上一条边就使各结点度数之和增加2，因此图G中结点度数的总 和等于边数的两倍，即 ＝2|E|。
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定义10.6 若G＝<V，E>是一个n阶无向简单图，从Kn中删 去G的所有边而得到的图称为G的补图或G的相对于完全图的 补图，记为 。
例3 在图10-3中，图(b)、(c)、(d)都是图(a)的子图，也是 真子图。图(b)和(c)是图(a)的生成子图。图(d)既是结点集｛v2， v3，v4｝的诱导子图，也是边集{[v2，v3]，[v2，v4]，[v3，v4]} 的诱导子图。图(b)和(c)互为补图。
度。
定理10.4 设G为任意n阶无向简单图，则(G)≤n－1。
证明 因G无平行边也无环，所以G中任意结点v至多与其 余n－1个结点相邻，于是d(v)≤n－1。由v的任意性可得，
(G)≤n－1。
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定义10.10 n阶无向图G＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}， 称d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为G的度数列。对给定非负整数列d ＝(d1，d2，…，dn)，若存在以{v1，v2，…，vn}为结点集的n阶 无向图G使d(vi)＝di(i＝1，2，…，n)，称d是可图化的，若所 得图G为简单图，称d是可简单图化的。
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10.1 图的基本概念 10.2 路、回路与连通性 10.3 图的矩阵表示 10.4 欧拉图与哈密顿图 10.5 二部图与匹配 10.6 平面图 10.7 树及其应用 10.8 着色问题 10.9 最短路径与关键路径
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10.1 图的基本概念
10.1.1图 定义10.1 一个图G定义为一个有序对<V，E>，记为G＝<V，
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例1 图10-1所示的两个图分别为无向图和有向图。在图(a)中， e7是环，e1、e2与e3是邻接边。在图(b)中，v2v1与v2v3是邻接边， 但v2v3和v3v2不是邻接边，v5为孤立结点。
第10章 图 对于图，我们只关心图有多少个结点，哪些结点之间有 关。至于结点的记号和位置，边的长短和曲直都不改变图的 本质。但在有向图中，特别强调弧的方向性。 定义10.2(1)含有平行边(或弧)的图称为多重图。不含平行 边(或弧)和环的图称为简单图。 (2)具有n个结点和m条边的图称为(n，m)图，也称n阶图。 一个(n，0)图称为零图，(1，0)图称为平凡图。 (3)任两结点之间都有边(或弧)的简单图称为完全图。n个 结点的无向完全图记为Kn。若n阶有向简单图的基图为Kn，称 其为n阶竞赛图。
定义10.8无向图中度数为1的结点称为悬挂结点，它对应 的边称为悬挂边。各结点度数均相同的图称为正则图。各结 点度数均为k的图称为k度正则图。
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定义10.9 在无向图G＝<V，E>中，令(G)＝max{d(v)|vV}， (G)＝min{d(v)|vV}，称(G)、(G)分别为G的最大度和最小