平面向量的数量积复习ppt课件

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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习

平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos

1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos

θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2

高三一轮复习课件平面向量的数量积

a. 确定两个向量的方向和长度
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的利
性用
质向
和量
几的何Biblioteka 加意法义和简减
化法
计进
算行
b. 简化
注计
意算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几何意义简化计算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定理：两个向量的数量积等于这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两个向量的数量积等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的性质：向量数量积的绝对值等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角的
余弦值
向量数量积的定理：两个向量的数量积等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角的余
记开方等
理解错误，如混淆向量的数量积和向量积
的性质
应用错误，如无法正确应用向量的数量积解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其正负性
判断两个向量的数量积是否为零，并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其方向
判断两个向量的数量积是否为零，并解释原因

高中数学课件平面向量的数量积(2)

解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1：已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)

【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sin x＝cos x，即 x＝，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2）＋（y1－y2）则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节平面向量的数量积
1.两个向量的夹角定义范围向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直，记作a⊥b（规定零向量可与任一向量垂直）
非零已知两个_____向量a,b，作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，

人教A版数学必修四2.4_平面向量的数量积_课件_(共24张PPT)

例1. 已知|a|＝3，|b|＝4且a与b的夹角为θ＝120°，求：a·b，(a＋b) 2，|a-b|.
分析：根据向量的运算律求(a＋b)2,|a-b|，求模时转化为求向量的平方问题，即|a|2＝a2.
解析：a·b＝|a||b|cos 120°＝－6.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13， (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37， ∴|a－b|＝ 37.
| OuuAu1ur|| auu| ucuor s1r
| A1B1 || AB2 || b | cos2
uuuur uuur uuuur
Q|
Or B1r||
OA1
|

| r
A1B1
|
r
A
B2
2
ab B
r | a r b |rcos r| ar| cosr1 | b | cos2
1
c (a b) | c || a b | cos
rrLeabharlann rrOA1 c B1 C
|
c r
|| a r
|
cos rr
1

|
c
||
b
|
cos

2
r r rc ar crb r r
(a b) c a c b c
4.例题剖析加强应用
题型一求向量的数量积及向量的模
＝4×4×(－cos A)，
∵A→B·C→A＝－8，
∴cos A＝12，又∵A 为三角形的内角，
| | | | ∴A＝60°，又
→ AB
＝
→ AC
＝4
点评：∴△向A量B的C夹为角正必三须角共形起．点．所以向量A→B与C→A的夹角为(π－A).

高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件

5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零向量 :(1)0 与实数 0 的区别，不可写错： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，

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2
ka
2k
1a b
2
2b
0
k 25 2k 1 5 4 cos60 216 0
解得: k 14 15
所以当k 14时, ka b a 2b 15
两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方
法之一.
9
例3、已知OA a,OB b, a b a b 2,当AOB的面积有最大值时,
复习课
平面向量的数量积
1
复习目标：
1、掌握向量数量积定义，几何意义，坐标表示及其在物理学上的应用。 2、掌握平面两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示的充要条件。
3、利用向量的数量积来处理长度、角度、垂直等问题。
2
一、知识复习
1、数量积的定义： a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
3. AB与AD的夹角是60, AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。
AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
8
例2、已知a 5, b 4,且a与b夹角为60,问k为何值时,
使 ka b a 2b
解: ka b a 2b ka b a 2b 0
是a和b的夹角,范围是0
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
规定: 0 a 0
数量积的坐标公式： a b x1x2 y1y2 其中： a (x1, y1), b (x2, y2)
3
2、数量积的几何意义：
B
b
a b a b cos
a a b b a cos
O | b | cos
D
C
AD与BC的夹角为0.
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
60
2
或AD BC AD 9
2. AB与CD平行,且方向相反
A120
B
AB与CD的夹角是180
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
2
或AB CD AB 16
进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量
设a x, y,则a x2 y2
用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1, y1, x2, y2 , 那么
a x1 x2 2 y1 y2 2 . 这就是平面内两点间的距离公式
3.cos a b . 用于计算向量的夹角
ab
设a x1, y1 ,b x2, y2 ,则cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4 . a b a b 证明柯西不等式特例: x1x2 y1y2 2 x12 y12 x22 y22
5
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律： (a)b (a b) a (b) ⑶分配律： (a b)c a c bc
解: 记Px, y,由M 1,0, N1,0得
PM 1 x,y, PN 1 x,y, MN 2,0
MP MN 21 x, PM PN x2 y2 1, NM NP 21 x,
于是MP MN, PM PN, NM NP是公差小于零的等差数列等价于
x
2
y2
1
1
21
x
21
x
2
21 x 21 x 0
A
ab ba
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积.
3、数量积的物理意义：F
SF cos如果源自个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功 W
可用公式计算 : W F S | F || S | cos
4
4、数量积的主要性质及其坐标表示：
设a, b是两个非零向量
1a b ab 0 当a 0时, a b 0,不能推出b 0 内积为零是判定两向量垂直的充要条件
设非零向量a x1, y1,b x2, y2 ,则a b x1x2 y1y2 0
2.当a与b同向时, a b a b ;当向量a与b反向时, a b a b
2
特别地, a a a 或a a a
1
2
a
2
b
2
2
4
1
2
2
16 4
3
当且仅当a b 2时, S有最大值,此时cos a b 2 1
a b 22 2
0 180 60 注意两个向量夹角的取值范1围0
例4. 已知两点M 1,0, N1,0,且点P使MP MN, PM PN, NM NP
公差小于零的等差数列, 求点P的横坐标的取值范围?
A.a b 1
2
2
B.a b
C.a平行b a b
D.a b 0
3.设向量a x1, y1,b x2, y2 ,有下列命题: 1a x12 y12 ,
2b2 x22 y22 , 3a b x1x2 y1 y2, 4a b x1x2 y1 y2 0
其中假命题序号是: ⑵
注意：数量积不满足结合律
即: (a b)c a (bc)
6
二、基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0,20 a 0, 3a b a c b c, 4a b a b ,其中正确的个数为: D
A. 4个
B.3个
C. 2个 D.1个
2.已知a,b均为单位向量,下列结论正确的是: B
求a与b的夹角
B
解 :因为 a
b
2,
所以a2
2
2a b b
4
b
2
2
a b 4 2a b 4 2 2 8
O
A
S AOB
1 OA OB sin
2
1 2
a
b
1 cos2
1
22
a b
22
a b cos2
1
22
2
a b ab
2
2
a
cos
ab
a b
1 2
2
2
a b 4
4.若a 0,1,b 1,1且 a b a,则实数的值是（A）
A．-1 B.0 C.1 D.2
7
三、典型例题分析
例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.ABCD 3.AB DA
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
即x2 y2 3 x 0
所以点P的横坐标的取值范围为 0 x 3
11
小结
1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、运算律、几何意义及其在物理学上的应用。