第八章 位移法

A
4iϕ A
ϕA
M
2iϕ A
B
A
ϕA
Q
B
6i − ϕA l
（二）、两端固定、两端有相对侧移
ϕ A = 0,ϕ B = 0, Δ AB ≠ 0
⎡ M AB ⎤ ⎧ 4i ⎢ M ⎥ = ⎪ 2i ⎢ BA ⎥ ⎨ ⎢ FsAB ⎥ ⎪− 6i ⎣ ⎦ ⎩ L 2i 4i − 6i L − 6i ⎫⎡ 0 ⎤ ⎡− 6i Δ AB ⎤ L L ⎥ = ⎢− 6i Δ ⎥ 6i ⎪⎢ − L ⎬⎢ 0 ⎥ ⎢ L AB ⎥ 12 i ⎪ ⎢ Δ AB ⎥ ⎢ 122i Δ AB ⎥ ⎦ ⎣ L L2 ⎭ ⎣ ⎦
固端弯矩（fixed-end moment)—
F F 荷载在直杆端部引起的弯矩--- M AB 、M BA
固端剪力（fixed-end shear force）-荷载在直杆端部引起的剪力--- FsAB 、 FsBA
转角位移方程写成矩阵
6l ⎡ FSAB ⎤ ⎡ 12 ⎢M ⎥ ⎢ 6l 2 4l EI ⎢ AB ⎥ ⎢ = 3 ⎢ FSBA ⎥ l ⎢− 12 − 6l ⎥ ⎢ ⎢ 2 2l ⎣ 6l ⎣ M BA ⎦ − 12 − 6l 12 − 6l 6l ⎤ ⎡Δ AB ⎤ ⎥ 2 ⎥⎢ 2l ⎥ ⎢ ϕ A ⎥ − 6l ⎥ ⎢ Δ BA ⎥ ⎥ 2 ⎥⎢ 4l ⎦ ⎣ ϕ B ⎦
⎧ 4i 2i − 6i ⎫⎡ ϕ A ⎤ L ⎪ ⎥ 6i ⎪⎢ = ⎨ 2i 4i − L ⎬⎢ ϕB ⎥ ⎪− 6i − 6i 12i ⎪⎢Δ ⎥ L L2 ⎭⎣ AB ⎦ ⎩ L
导出五类杆端位移状态形常数表达式
（一）、两端固定、一端有转动
ϕ A ≠ 0, ϕ B = 0, Δ AB = 0
结点平衡条件：ΣMD=0
M DA + M DB + M DC = 0
M DA = 4iZ 1
M DB = 4iZ 1
M AD = 2iZ 1
M BD = 2iZ 1
M DC = 3iZ 1 − 3 Pl / 16
2.用平衡方程法建立位移法方程 结构因D结点处已被锁住，结构现已人为的被 离散为： DA段：两端固定； DB段：两端固定； DC段：一端固定一端铰支； 同时附加刚臂上产生附加力矩。只有结点位移 与荷载在刚臂上共同产生的附加力矩为零，基本结 构在位移与受力两方面才与原结构完全一致。 结点位移---Z1； 结点位移在刚臂上产生的反力矩---R11；
在M1图中ΣMD=0可求得r11： r11=4i+4i+3i 在Mp图中ΣMD=0可求得R1p：
Z1=1
4i 4i 2i 3i 2i
R1 P = −3 Pl / 16
∴ΣMD=0有： R1=R11+R1p=0
M1
4i
D
r11 Z 1 + R1 P = 0
11 iZ 1 − 3 Pl / 16 = 0
上述单跨超静定梁杆端弯矩和杆端剪力的 表达式由两部分组成： 1、一部分与杆端的位移状态有关； 2、一部分与杆件上作用的荷载有关。 当杆端的位移为单位位移时，由杆端位 移引起的杆端弯矩和杆端剪力就称之为形常数。 荷载作用引起的杆端弯矩和杆端剪力称 之为载常数，也称为固端弯矩和固端剪力。 由形常数和载常数组成的单跨超静定梁杆 端内力表达式称之为等截面直杆的转角位移方 程（slope-deflection equation）。
2
ql 2 / 2
3 / 16 12 / 16 M 9 / 16 6 / 16
M = M 1 Z1 + M P
例4:作图刚架弯矩图。 解：1)确认结构在B、C 有两个节点角位移 2)建立位移法典型方程
r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
ϕA
Aiϕ AFra bibliotekMB
作业： 1、复习课堂内容； 2、预习§8-2～§8-5；
§ 8-2 位移法的基本未知量 一、位移法基本概念： 将整体结构离散为单一杆件。以单杆 的杆端位移状态作为求解的基本未知量， 再由结点的平衡条件建立位移法方程。 二、位移法的基本假设： 忽略各杆件轴向变形与剪切变形引起 的效应，弯曲变形是小变形，各杆件两端 之间的距离在变形后仍保持不变。
例1.只有角位移或只有侧位移的结构(刚架与梁不计轴 向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角；或结构侧位移。
Z1 Z2
EA = ∞ Z1
l/2 P l/2
Z1 =
Z1 =1
EI
EI
Z1
× Z1
Z1 =
P
P
+
例2.有角位移和侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1 Z2 Z3
基本未知量,基本结构确定举例 基本未知量,基本结构确定举例
ϕA
ϕA
+ +
ϕB
4 iϕ A 2 iϕ B
2 iϕ A
+ +
ϕB 4 iϕ B
Δ AB
形 常 数
Δ AB
P
6iΔ AB / l
P
+
l
t1 t2
+
t1 t2
6iΔ AB / l
F M BA
M
F AB
载 常 数
等截面直杆转角位移方程矩阵式：
EI ⎧ 4L ⎡M AB ⎤ ⎢ M ⎥ = ⎪ 2 EI ⎢ BA ⎥ ⎨ L ⎪− 6 EI ⎢ FsAB ⎥ ⎩ L2 ⎣ ⎦ 2 EI L 4 EI L EI − 6L2 EI − 6L2 ⎫⎡ ϕ A ⎤ ⎥ 6 EI ⎪⎢ − L2 ⎬⎢ ϕB ⎥ 12 EI ⎪⎢ 3 ⎣Δ AB ⎥ ⎦ L ⎭
6i Δ AB l
M
A
12i Δ AB l2
B
Q
Δ AB
A
B
Δ AB
（三）、一端固定、一端铰支，固定端有 转动
ϕ A ≠ 0,ϕ B ≠ 0, Δ AB = 0,
Q M BA = 0 ∴ 2iϕ A + 4iϕ B = 0 ∴ϕ A = −2ϕ B , 或ϕB = − ⎡ M AB ⎤ ⎧ 4i ⎢ M ⎥ = ⎪ 2i ⎢ BA ⎥ ⎨ ⎢ FsAB ⎥ ⎪− 6i ⎣ ⎦ ⎩ L 2i 4i − 6i L
AB
杆端弯矩：
6i ⎧ F M AB = 4iϕ A + 2iϕ B − ΔAB + M AB ⎪ ⎪ l ⎨ ⎪ M = 4 iϕ + 2 iϕ − 6 i Δ + M F B A BA ⎪ BA ⎩ l AB
杆端剪力
可由整个杆件的静力平 衡条件求得 ：
FsAB M AB + M BA F =− + FAB L
EI = ∞
2 EI
EI = ∞
EI
§8-3 位移法典型方程
例1 作图示结构的弯矩图
P A D B C EI=C
M DB M DA
P A D
M DC
D B
C
l l
l/2 l/2
1. 单节点角位移结构 在D节点加附加刚臂
，得到基本结构。
由于刚臂已锁住该结点，约束了D结点的角位 移，基本结构在内力和变形两方面与原结构是不相 同的。只有让被刚臂锁住的D结点发生与原结构在D 结点处相同的角位移，方可使基本结构与原结构在 变形位移完全一致。 基本结构在荷载和基本未知量即独立结点位移 共同作用下的体系称为基本体系。
ϕ A = 0,ϕ B ≠ 0, Δ AB ≠ 0
Q M BA = 0 ∴ϕ B = ∴ 4iϕ B − 6i Δ AB = 0 L
3 Δ AB 2L
⎡ M AB ⎤ ⎧ 4i ⎢ M ⎥ = ⎪ 2i ⎢ BA ⎥ ⎨ ⎢ FsAB ⎥ ⎪− 6i ⎣ ⎦ ⎩ L
2i 4i − 6i L
− 6i ⎫⎡ 0 ⎤ ⎡− 3i Δ AB ⎤ L L ⎢ ⎥ 3 Δ AB ⎥ 6i ⎪⎢ − L ⎬⎢ϕ B = 2 L ⎥ = ⎢ 0 ⎥ 3 12 i ⎪ ⎢ Δ AB ⎥ ⎢ L2i Δ AB ⎥ ⎦ ⎣ L2 ⎭ ⎣ ⎦
⎡ M AB ⎤ ⎧ 4i ⎢ M ⎥ = ⎪ 2i ⎢ BA ⎥ ⎨ ⎢ FsAB ⎥ ⎪− 6i ⎣ ⎦ ⎩ L 2i 4i − 6Li − 6Li ⎫⎡ϕ A ⎤ ⎡ 4iϕ A ⎤ ⎥ = ⎢ 2iϕ ⎥ 6i ⎪⎢ − L ⎬⎢ 0 ⎥ ⎢ A ⎥ 12 i ⎪ ⎢ 0 ⎥ ⎢− 6i ϕ A ⎥ ⎦ ⎣ L ⎦ L2 ⎭ ⎣
荷载在刚臂上产生的反力矩---R1p； 在刚臂上产生的总反力矩R1；
则有：R1=R11+R1p=0
设结点位移为单位位移。 查形常数，求得结点位移为单位时，在杆 端引起的反力矩r11，并有R11=r11Z。并作 M1图； 查载常数，求得荷载在杆端引起的反力矩 R1p。并作Mp图。 在M1图中ΣMD=0可求得r11； 在Mp图中ΣMD=0可求得R1p； 代入R1=R11+R1p=0有： R1=R11+R1p= r11Z+ R1p=0， 解得Z1，反代回杆端弯矩式。
Z1 =
3 pl 16
r11
4i
3i
3Pl/16
P
11i
R1P
D
M i = ∑ M 1Z1 + M P
g M DC
MP
位移法基本未知量----结点位移. 位移法----单跨梁系. 位移法----平衡方程. 位移法求解过程: 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
Z1 10kN.m B EI A
20 KN / M
40kN 2EI C EI D 4m 2m 2m 2EI