结构力学[第八章矩阵位移法]课程复习
结构力学第8章
第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
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对于每个结点位移分量数相同的结构，原始刚度矩 阵的阶数为结构的总结点数乘以结点位移分量的数目， 例如，每个结点位移分量数为3的平面刚架，结构原始 刚度矩阵的阶数为3n×3n 。
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第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
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第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
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对于支座位移等于给定值时，采用“乘大数法”。 设结点位移向量中第 r个位移等于d0，在矩阵K与向量P中， ， 主对角元素krr 改为Gkrr，将Pr改为d0Gkrr，其中G为一 大数通常取108～1010 。
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第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
2. 先处理法
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(1) 集成。将单元刚度矩阵先按边界条件进行处理 , 然后按照单元连接结点的总位移编号将单元刚度矩阵的 元素在结构的刚度矩阵中对号入座，形成总刚后即可进 行求解。上述过程可通过引入定位向量来实现。在单元 定位向量中考虑边界条件，凡给定的结点位移分量，其 位移总码均编为零，与总码编为零相应的行、列元素在 集成总刚时被屏弃在外。 单元定位向量：按单元连接结点编号顺序由结点未 知位移编号组成的向量。
（2）边界条件处理
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对于刚性支座，用划行划列法处理刚性支座，即直 接划去原始刚度方程中与零位移对应的行和列。这样做 有时要改变原方程的排列顺序,会给编程带来麻烦。为了 不改变原方程的排列顺序，同时又要引入边界条件 ,采用 “主一副零”法。
结构力学——矩阵位移法
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4
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。
采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便 于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计 算机进行自动化计算的要求。
结构力学
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学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
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16
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
与单元刚度方程相应的正、反两类问题
力学 模型
解的 性质
正问题 e
F e
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。
控e 制附加约束加以指
定。
e 为任何值时，F e都
有对应的唯一解，且总 是平衡力系。
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1、整体刚度矩阵的集成 将单元刚度矩阵按单元定位向量扩展为单元贡献矩阵
（换码扩阵）
1
1
3
K
1
k11
0
1
k21
1
0 0
0
k12
1
0
k22
1
2
2
3
0
K 2
结构力学十三讲(矩阵位移法)
1 i1 2i23
2 i2 2i22
2 i2
4i23 3
F1
4i1 2i1 0 1
F2 = 2i1 4i1+4i2 2i2 2
传统位移法 根据每个结点位移 对附加约束上的约束
F3
0 2i2 4i2 3
{F}=[K]{}
力{F}的贡献大小进 行叠加而计算所得。
7
一、 单元集成法的力学模型和基本概念
一、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，
单元 分析
整体 分析
任务
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
意义 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。
单元
(1) (2)
1 (1)
[k] = (2)
4i1 2i1
2i1 4i1
1
=
1 2
12 3
1 40i1 20i1 0
1
[K] = 2
20i1
40 i1
0
30 0 0
单元
(1) (2)
2 (1)
[k] = (2)
2i1
0
2
[k] =
4i2 2i2 2i2 4i2
12 [K] =
00 0
0 4i2 2i2 0 2i2 4i2
2i1 44i1i+1 4i2 20i2 0 20i2 40i2
4i1 2i1 0
整体刚度矩阵: [K]= 2i1 4(i1+i2) 2i2
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆
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§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
6.按”对号入座”原则，将ki叠加到 k 中。
结构力学基础 矩阵位移法基本概念、计算程
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
矩阵位移法
那么就是说，这个杆端力它首先呢，是在局部坐标系下的（我只想知道我的 杆的轴力，剪力啊，什么的，并不想知道某个大方向上的力） ，那么就要用到局 部坐标系的各种参数。 其次，力是刚度乘位移的。 所以就是说，应该有这样
e e e F e k e e F e P k T F P
不过这个位移的话， 其实之前求出来了的话反正就这样吧。注意如果原来有 节点荷载的话这里是不用加它的， 我们只要加杆内荷载计算得到的固端力就好了， 这个力之前是查表得到的，非常方便加上去哦。 然后这里就告一段落啦。
呢？ 在这之前， 必须要把局部坐标系下的单元刚度矩阵转化为整体坐标系下的单 元刚度矩阵。 那么必须要有这个杆件的方位角。假设这个杆件的正方形和水平向 右的夹角 （顺时针） 是 ， 那么， 就有一个坐标变换矩阵的问题， 这个玩意叫 T 。 还有一个玩意叫坐标变化子矩阵，这玩意叫 t 。 这两个家伙有这么个关系。
e
e
t T kii et
其实还是挺麻烦的。如果说刚好是 90°的话，倒是就把对角线上第一第二 排换一下，然后右上角左下角的和旁边的换一下位子就 OK 了。 然后就可以用整体坐标系下的单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵了。 这个其实 非常简单， 只要在整体坐标系下的单元刚度矩阵的周围写好它的定位向量，然后 在空白的地方把 0 以外的数字从小到大写好， 在相应的空位里把上面的抄下来加 起来就好啦。 因为这个整体刚度矩阵具有对称性和带状稀疏性， 所以只要把左下角三角形 的都写出来就好了，右上角是一模一样的。至于带状稀疏性的话，就是说它中间 的是有的，周围的基本都是 0，这是编码造成的，很小的码和很大的码应该是没 有交集的。 那么现在我们得到了一个整体刚度矩阵。
12 EI l3 6 EI l2 ke k e 12 EI 3 l 6 EI l2 6 EI l2 4 EI l 6 EI l2 2 EI l 12 EI l3 6 EI 2 l 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI 2 l 4 EI l 6 EI l2 2 EI l
第8章矩阵位移法例题 结构力学
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
4.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵
单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以
4 0
0 4 0
l
1 ql
1 ql
2
2
p
1 pl 8
1 pl 8
l
l
2
2
1p
1p
2
2
第8章矩阵位移法
例题 2 （1）求各单元在局部坐标系中固端力向量
例题 2
第8章矩阵位移法
(2)将
转换成
单元①
单元②
例题 2
第8章矩阵位移法
(3)利用单元定位向量，将
中元素反号后叠加集成
第8章矩阵位移法
例题 3
图示桁架，已知结点位移列阵
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
0
0
1
第8章矩阵位移法
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求： 对于桁架，一般只有结点荷
载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数，EA=常数， EI=20EA，试用矩阵位移法分析
5
6
1 2
88.889 0.0
0.0 5.268
0.0 11.852
-88.889 0.0
0.0 -5.268
0.0 11.852
1 2
k②
EA l1
3 4
0.0 88.889
5 0.0
11.852 0.0
5.268
35.556 0.0
11.852
0.0 88.889
0.0
11.852 0.0
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§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
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第八章矩阵位移法
一、基本内容及学习要求
本章内容包括：矩阵位移法的解题思路，单元刚度矩阵及其坐标变换，直接刚度法(先处理)，等效结点荷载以及矩阵位移法应用中的问题。
要求会用矩阵位移法计算结构的位移和内力。
通过本章的学习应达到：
(1)掌握矩阵位移法的解题思路和步骤，了解矩阵位移法与位移法的内在联系。
(2)建立单元坐标系下的单元刚度矩阵，明确单元刚度矩阵的特性及矩阵元素的物理概念。
(3)弄清坐标变换的含义，形成结构坐标系下的单元刚度矩阵。
(4)借助定位向量，熟练应用直接刚度法(先处理)形成结构刚度矩阵。
(5)计算综合结点荷载。
(6)利用结构刚度方程求解结点位移进而计算杆端内力。
二、学习指导
(一)矩阵位移法的解题思路与步骤
矩阵位移法与位移法的解题思路基本相同，两者的差异仅在于前者从机算考虑，采用矩阵使公式规格化，以适应程序设计的要求，故解题步骤和处理方法都有所不同。
为使读者抓住学习要领，现用简例扼要说明两者间的关系。
图8．1所示三跨连续梁承受结点集中力
偶作用。
用位移法求解时若将其转化为三根两
端固定梁，按以下步骤直接建立位移法方程。
(1)把三根梁作为三个单元，利用转角位
移方程将其杆端弯矩表示成杆端位移的函数
矩阵位移法和位移法两者比较，求解过程基本相同，关键不同之处在于矩
阵位移法利用了K的组合特性，解算时绕过平衡条件直接建立结构刚度矩阵。
下面对此作简要说明，使读者有大致的了解。
位移法通过单元刚度方程，利用平衡条件建立位移法方程，其系数由各单元刚度方程的系数组合而成。
矩阵位移法则借助各单元刚度矩阵的元素直接形成结构刚度矩阵，只要把单元刚度矩阵的元素按其附标放到结构刚度矩阵的相应位置(有一方附标为零或两方附标均为零的元素不进入)，再将同一位置的元素相加即可，故又称直接刚度法。
这一过程归纳为“对号入座、同位相加”，本题按此即得
读者把K的建立过程与式(g)对照，不难发现二者的共同之处，其差别仅在于位移法的处理较为直观，矩阵位移法更加直接却稍嫌繁琐，以分别适应手算和机算的要求。
读者了解这些特点，会使学习思路更加清晰。
(二)单元刚度矩阵
应用矩阵位移法必须首先进行单元分析，建立单元杆端力与杆端位移间的关系(单元刚度方程)，其目的是找到单元杆端力与杆端位移间的转换矩阵——单元刚度矩阵(以下简称“单刚”)。
单刚的形式和元素与所取坐标系关系密切，矩
阵位移法将分别用到以两种坐标系(单元坐标系和结构坐标系)表示的单刚，教材§9—2、§9—4分别对其物理意义及建立方法作了详细论述，下面重点说明几个问题。
1．单元坐标系下的单刚
(3)单刚的两个重要性质分别是：主对角线两侧对称位置上的元素相等(可由力的互等定理推出)，单刚是对称方阵；与单刚相应的行列式｜K C｜=0，说明单刚是不存在逆矩阵的奇异矩阵，即可用式(9—3)由杆端位移求杆端力，但不能用它从杆端力反求杆端位移。
(4)不同类型的单元有形式不同的单刚。
教材式(9—5)所示单刚对应两端刚结且三个方向均可发生位移的自由式单元，故称为自由式单元的单刚。
式(9—6)则为两端无线位移单元的单刚。
不考虑单元轴向变形，即不计杆端轴向位移对杆端力的影响时，轴向力不能由单元刚度方程求得，由图9—3b、c、e、f四种情况叠加，推得受弯直杆忽略轴向变形单元的单刚为
式(8．1)也可由自由式单元单刚同时删去第一、四行及第一、四列获得。
注意到位移法中等截面直杆的转角位移方程也忽略轴向变形，故式(8．1)与教材式(5—3)、(5—4)的系数矩阵相同(只是杆端位移及杆端力正负号的规定有所不同)。
当只考虑轴向杆端位移和杆端力(如桁架单元)时，由图9—3a、d可得只考虑轴向变形的轴力单元单刚为
式(8．2)也可从自由式单元的单刚同时删去第二、三、五、六行及第二、三、
五、六列得到。
上述单刚同样具有自由式单元单刚的两个重要性质。
(5)单刚形式与杆端位移(杆端力)分量的排列顺序密切相关，若调换某两个
杆端位移(杆端力)的顺序，则单刚中元素的位置也会相应改变，读者务必注意。
2．结构坐标系下的单刚
(1)结构坐标系又称整体坐标系。
一般情况下，由于结构杆轴方向各不相同，故各单元的单元坐标系也不统一。
如教材图9—9a所示刚架三个单元的单元坐标系均不相同(图9—9b)，造成汇交同一结点不同单元的杆端位移和杆端力方向不一致，不便考虑结点的变形协调条件和静力平衡条件。
为解决这一矛盾，只有通过坐标变换把所有用单元坐标系表示的杆端位移和杆端力，统一转换到按右手螺旋法则确定的Oxy结构坐标系才便于求解。
单元的杆端位移和杆端力是客观存在的，坐标变换只是用不同的分量来表示而已，如同一个力总可以分解为若干组不同的分力一样。
(三)直接刚度法(先处理)的解题要点
应用直接刚度法时，按支承条件的处理方式分为先处理和后处理两种。
先处理方式是本章重点，读者应全面掌握。
前面介绍过的矩阵位移法解题思路即属先处理，其具体做法是：
(1)以结点独立位移为基本未知量，建立结点位移列向量△。
对结构位移依
次编号时应注意刚结点有3个、铰结点有2个结点位移，已约束的结点位移不再编号。
忽略受弯杆件轴向变形(引用轴向刚度条件)时，该单元两端的轴向位移编号相同。
(不包含位移被约束方向
(2)建立与结点独立位移相应的结点荷载列向量F
P
的结点力)。
单元承受非结点荷载时，应将其化为等效结点荷载计算。
(3)写出单元在结构坐标系下的单刚K e。
根据变形协调和位移边界条件，利用单元定位向量λe将单元的局部位移码换成整体位移码(换码)。
将单刚元素按整体位移码“对号入座”输送到结构刚度矩阵K的相应位置。
(4)对所有单元依次重复步骤(3)，再将结构刚度矩阵中同一位置的单刚元素实行“同位相加”，最终形成结构刚度矩阵，其阶数与结点独立位移个数相同。
(5)求解结构刚度方程或由△=K-1F，计算结点独立位移列向量△。
(6)利用定位向量从△中取出相应的单元杆端位移，由各单元刚度方程分别计算其杆端力。
非结点荷载作用下的单元还要叠加单元固端力。
计算忽略杆件轴向变形的连续梁和刚架时，先处理方式的解题思路与位移法更为接近。
本章在学习指导中按先处理介绍矩阵位移法的思路与步骤，正是由于两者互通，便于对照。