2018年百校联考(二)数学试题
2018届百校联盟高三TOP20四月联考(全国II卷)理数试题(解析版)
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，∴故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为．故选：C．3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：∵，∴，又∴，∴故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，分别计算正方形与正八边形的面积，即可得到所求.详解：设，则，根据对称性可知，落在正方形中的概率为.故选：C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.详解：双曲线的渐近线方程为，令，得，所以，又因为，所以由，得，整理得，，所以双曲线E的渐近线方程为.故选：B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力. 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由三视图可还原出该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥，进而求其表面积即可.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为.故选：D点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．9. 已知数列中，，则（）A. 1028B. 1026C. 1024D. 1022【答案】D【解析】分析：由递推关系可得，即，从而得到的通项公式，进而求即可.详解：因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以1022故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．10. 已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围. 详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由图象可知所有零点之和为.故选：C点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象具有良好的对称性，从而问题得以简化.12. 在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC 的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题. 详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．【答案】0【解析】由分段函数的定义可得，则，应填答案。
2018届江苏省高三百校大联考统一试卷数学试题及答案
江苏省高三百校大联考数学试卷参考答案与评分标准数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,0A =-，则满足{}1,0,1A B =-的集合B 的个数是 ▲ ．【答案】4【解析】本题考查集合的概念与运算．由题意，1B ∈，集合B 的个数即{}1,0-的子集个数，共4个．2. 已知2(,)a i b i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ．【答案】3【解析】本题考查复数的四则运算．因为22(,)a i ai b i a b R i+=-=-∈，所以，a＝1，b ＝2，所以a b +＝3．3． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ． 【答案】23【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为23．4．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 4．【答案】3π【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为(2)j i i -⊥，所以(2)0j i i -=，即22 i j i⋅-＝0，所以，2||||cos 10i j θ-= ，即1cos 2θ=，则,i j 的夹角为3π．5. 设五个数值31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的方差是 ▲ ． 【答案】4【解析】由31373335345a ++++=，可得34a =，所以方差2222221(3134)(3734)(3334)(3434)(3534)45S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 6．已知实数x ，y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ▲ ．【答案】32【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为11(,)22．7．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．【答案】420（第6题）【解析】本题考查流程图和循环结构．20(240)246404202S +=++++==． 8．已知直线l 、m 与平面α、β，,l m αβ⊂⊂，则下列命题中正确的是 ▲（填写正确命题对应的序号）．①若//l m ，则//αβ ②若l m ⊥，则αβ⊥ ③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥ 【答案】③【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断．由面面垂直的判定定理可得答案为③．9．已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，3(,)444πππθ+∈，所以sin()410πθ+=，故24sin 2sin[2()]cos2()12cos ()42445ππππθθθθ=+-=-+=-+=，3cos2cos[2()]sin 2()2sin()cos()424445πππππθθθθθ=+-=+=++=-，因此413sin(2)()3525πθ-=⋅--=10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ． 解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2．答案： 211．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲ ． 11．【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，2222200012222220000(1)14x b y y y b a k k x a a x a x a x a -⋅=⋅====+---，可得2234a c =，从而2c e a ==．12．若0,0a b >>，且21a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲ ．12．【解析】由22a b+得12，22142a b +≥，所以22221(4)(2)2S a b a b ⎡⎤=+=+-⎣⎦，当且仅当122a b ==时取到等号．13．已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,,,n k kk k a a a a 成等比数列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ▲ ．【答案】1312n -+【解析】本题考查等差数列和等比数列．由题意，2215a a a =⋅，2(1)1(14)d d +=⋅+，得2d =，即21n a n =-，所以21nk n a k =-．又等比数列125,,a a a 的公比为3，所以13n n k a -=．根据1213n n k --=可得1312n n k -+=．14．若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点，则实数k的取值范围是▲ ．14．【答案】[0,4)【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想．解法一：由题意可知01012kx x k x x ⎧⎪>⎪+>⎨⎪⎪=++⎩，可设1()2,(1,0)g x x x x x =++>-≠，函数图象(图1)与直线y k =没有交点，则04k ≤<．解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出21(1),1y x x =+>-和2y kx =的图象．显然当4k =时直线与抛物线相切，所以当04k ≤<时，没有交点．故04k ≤<．图1y二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+，且sin 2m n A ⋅=．（1）求sin A 的值；（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值．15．【解析】（1）由题意，sin2sin cos sin cos A C B B C =+ …………………………2分得2sin cos sin()sin A A B C A =+= (4)分由于ABC ∆中sin 0A >，2cos 1A ∴=，1cos 2A =………………………………5分∴23sin 1cos 2A A =-=………………………………………………………6分（2）由cos cos 1B C +=得cos()cos 1A C C -++= ………………………………7分即sin sin cos cos cos 1A C A C C -+=，31sin cos 122C C ∴+=…………9分得sin()16C π+=，250,3666C C ππππ<<∴<+<，平方得3C π∴=……………12分所以ABC∆为正三角形，1c∴=………………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（1）求证：AB⊥ED；（2）线段EA上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？请说明你的理由．解析：（1）证明：如图，取AB中点O，连结EO，DO.因为EA＝EB，所以EO⊥AB. …………………………1分因为AB∥CD，AB＝2CD，所以BO∥CD，BO＝CD.又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，所以AB⊥DO. ……………………………………………4分因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD. ……………………………………5分又因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED. ……………………………………………6分（2）当点F为EA中点时，有DF∥平面BCE.证明如下：取EB中点G，连结CG，FG.因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG＝12AB. ………………………………8分因为AB∥CD，CD＝12 AB，………………………………9分所以FG∥CD，FG＝CD. ………………………………10分所以四边形CDFG是平行四边形，……………………11分所以DF∥CG. ……………………………………………12分因为DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE. ………………………………………14分17．（本小题满分14分）如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）．（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．17．解析：（1）设,EC x CF y ==，则x y a +=（※）由基本不等式，(2x y +≥=……… 3分所以，△ECF的面积221122S xy =≤=……………… 5分当且仅当22x y ==时等号成立 故景观带面积的最大值为FEDC BA （第17题）234-……………………………………… 6分（2）记,EAD FAB αβ∠=∠=，,(0,),(0,)22ππαβαβ∈+∈,则tan 1,tan 1x y αβ=-=- 故22()tan()1(1)(1)x y x y x y x y xyαβ---++==---+-由（※）可得，2()2a xy a x y =+-，即2()2xy x y =+- (10)分代入上式可得，2()tan()2()x y x y αβ-++=-+=1所以()24EAF ππαβ∠=-+=故当2a =时，视角EAF∠为定值4π……………………………………………… 14分 18．（本小题满分16分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(1,0)F ，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△APB面积的最大值为．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AP 与直线2x =交于点D ，证明：以BD 为直径的圆与直线PF 相切．18．解析：（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意知2221221, .a b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b ==故椭圆C的方程为22143x y +=．……………………6分（2）由题意，设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k=+=+．………………………………………10分因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切．…11分当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PFy kk x k ==--.所以直线PF的方程为24(1)14ky x k =--． …………………………………………13分 点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-．…………15分又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =．故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，以BD 为直径的圆与直线PF相切． ………………………………………16分 19．（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）能否在数列{}n a 中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；（3）令131log 2n n b a =+，记函数212()2(*)n n n f x b x b x b n N ++=++∈的图象在x 轴上截得的线段长为nc ，设122311()4n n n T c c c c c c -=+++(2)n ≥，求n T ，并证明：12342n n T T T T n->．【解析】（1）当1n =时，1123a a +=，则11a =.又23n n a S +=，所以1123n n a S +++=，两式相减得113n n a a +=，即 {}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -=…………………………………………4分（2） 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为,,,()p q r a a a p q r << 则111211333q p r ---=+，即211333q p r =+，所以2331r q r p --⋅=+，即2331r q r p --⋅-=，即3(23)1r q q p ---=又p q r <<，*,r q r p N ∴--∈，所以33,230r q q p -->-< 所以3(23)0r q q p ---<∴假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列……………………9分（3）设()f x 与x 轴交点为12(,0),(,0)x x122n n n b b b ++=+，∴当()f x =0时有2(1)()0n n x b x b +++=21221,n n n n b b x x b b ++∴=-=-=- 1222|||1|||n n n n b c x x b b +∴=-=-+=又1311log 022n n b a n =+=->， 2n nc b ∴=11122114()n n n n n nc c b b b b ---∴=⨯=- 1223111111114[()()()]4n n nT b b b b b b -∴=⨯-+-++- 111112(1)111222n n b b n n -=-=-=--………………………………14分2(1)2(1)12n n n T n n --∴=>- 123422223242(1)22345n n n T T T T n n-⋅⋅⋅-∴>⋅⋅⋅=………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为427，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()(),1(),1f x x F x g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．20．解析：（1）由32()f x x x b =-++，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23．当x 变化时，()f x '及()f x 的变化如下表：所以()f x 的极大值为24()327f b =+=427， 0b ∴=．…………………………………………………………………………………4分（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，ln x x ∴<，即ln 0x x ->22ln x xa x x-∴≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x-≤- (6)分令22(),([1,])ln x xt x x e x x-=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[1,]e 上为增函数， min ()(1)1t x t ∴==-，1a ∴≤-．………………………………………………………………………………8分（3）由条件，32,()ln ,x x F x a x ⎧-+=⎨⎩11x x <≥，假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，……9分不妨设(,())(0)P t F t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=， 232()()0t F t t t ∴-++= （*），是否存在P ，Q等价于方程()*在t >且1t ≠时是否有解．………………………11分①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；…………………………………………………………………………………………12分②若1t >时，方程()*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞， ∴当0a >时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE＝∠POC .【解析】因AE ＝AC ，AB 为直径，故∠OAC ＝∠OAE . ………………………………………………2分 所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA ＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC . …………………………6分又∠EAC ＝∠PDE ，…………………………………………………………………… 8分所以∠PDE ＝∠POC . ………………………………………………………………… 10分B ．选修42-：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12．求向量α，使得A 2α＝β． （第21(A)题）【解析】∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1，∴A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 24 3．……………………………………3分 设α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则A2α＝β⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 24 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2． ……………………………………………………………………………10分C ．选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．22，…………………………………………3分 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －222＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －222＝1，…………………………6分∴圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，22到直线l 的距离d ＝64，………………………………………………8分 ∴AB ＝102．……………………………………………………………………………10分D ．选修45-：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．【解析】因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)] ≥(1＋1＋1)2，…………6分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，…………………………………………………………8分当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1. …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三人商量周末自驾游，甲提议去六朝古都南京，乙提议去江南水乡无锡，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4)分（2）分布列为:……………………………8分 ∴115593456784161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (10)分23．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23. 解析：（1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ， 所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--， PF EDCAB·21· 所以4cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为． --------------------------5分（2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =． 设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t -=-， 所以，121212||cos ,||||(n n n nn n ⋅<>===⋅- 解得23t =，或2t =（舍）． 所以||PF =． -------------------------10分 ∴115593456784161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………10分。
2018年最新 湖南省2018届高三百校大联考第二次考试数
湖南省2018届高三 百校大联考 第二次考试数 学 (文) 试 卷总分：150分 时量：120分钟 2018年4月8日下午一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63,763==S S ，则公比q =（ ）。
A 、2B 、－2C 、3D 、－3 2、 已知命题a x q x p <<+|:|,113:，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）。
A 、1<aB 、1≤aC 、2<aD 、2≤a 3、 已知n x x)1(- 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ）。
A 、 －20B 、20C 、－15D 、 15 4、 已知集合}1|),{(22=+=y x y x A ，}02|),{(≤--=y kx y x B ，其中R y x ∈,；若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是（ ）。
A 、]3,0[B 、]3,3[-C 、]0,3[-D 、),3[+∞- 5、 一个棱长均为a 的正三棱柱内接于球，则该球的表面积为（ ）。
A 、2411a π B 、22a π C 、 237a π D 、234a π 6、 已知函数)(46)(R k xkx x f ∈-+=，且0)32(=+f ，则)231(-f 的值等于（ ）。
A 、8B 、－8C 、4D 、－47、 正方形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，M 、N 为AD 、BC 的中点，将正方形沿MN 折成一个直二面角，则异面直线MF 与NE 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、6πC 、33arcsinD 、33arccos由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中 醴陵一中；澧县一中；郴州二中；益阳市一中；桃源县一中 联合命题8、 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．63<<-a B ． 63≤≤-a C ．63>-<a a 或 D ． 63≥-≤a a 或9、 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心10．．、． 已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误的是．．．．二、填空题：11、椭圆2214x y m+=的离心率为12，则m = ； 12、 函数x x y 42sin sin -=的最小正周期T= 。
广东省百校联盟高三第二次联考数学(文)试题(解析版)精编版
【答案】
【解析】很明显数列的公比为正数，
由题意可得： ，
则： ，
整理可得： ，
结合 可得： .
15．若 ， ，则 __________．
【答案】
【解析】 ，又 ，故 ，且 ，从而 ，故答案为 .
16．已知抛物线 ： 的焦点为 ， ， 是抛物线 上的两个动点，若 ，则 的最大值为__________．
7．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥 ，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为 ，另两个侧面为直角三角形面积都为 ，可得这个几何体的表面积为 ，故选C.
（2）过椭圆 的右顶点 作斜率为 （ ）的直线交椭圆 于另一点 ，连结 并延长 交椭圆 于点 ，当 的面积取得最大值时，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】试题分析：（1）由双曲线 的焦点是椭圆 ： （ ）的顶点可得 再由椭圆 经过点 可得 ，从而可得求椭圆 的方程；（2）设直线 ： ，联立 ： ，得 ，根据韦达定理及三角形面积公式将当 的面积用 表示，利用基本不等式等号成立的条件，可得当 的面积取得最大值时，求 的面积.
【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
【全国校级联考】百校联盟2018届高三top20四月联考(全国ii卷)理数试题
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）理数试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.L 已知集合 A ={x|2 <x <51B =（x|x （x-3）<0},则 ApB=（）2.已知复数4a =(x,1 )b =(2»),若(a +b )±b ,4.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪A. (0,5)(3,5) D ・(0,3)A. 8 B . 10C.11 D 12纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分V2 ~2 ,在如图所示的古代 AB BC ，则向正八边形倒花矢昂:图片中任投一点，落在正方形 DEFG 中的概C.5.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（正八边形窗花矢最图片中,率为（A. 5 B . 11 0.14 D . 192 26. 过双曲线E ：4-4=l （a >0,b>0）的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线 E 交于A.B 两点，与双曲线Ea b 的渐近线交于C,D 两点，若|AB|=^|CD| ,则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. v = 土麗x B . y =±V5x C. y =i?x D . y =42^7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画岀的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A. — + ^3+4^2 B . 10+力+4 也 2 28. 已知f (x )=3 +1X1 +|x|),则不等式f (Ig X )< f (1网解集为(A -B . ^,10 I c. (0,10) D9. 已知数列 虹｝中，a, =7, a n + -27a n +2 =& +1 ,则A. 1028 B . 1026 C. 1024 D . 102210. f [x -y +1 >0| 巳知 D =«x, y *x—t <0 >,若存在点产D ,便得x o -3y o =3 ,则t 的取值范围为（A. 11. 已知函数f (x )=2cos x +sin 2x ---------------- ，则函数f (X )在 K -2x 卜的所有零点之和为（DA・ 3力B・ 4了C・2jt D -7i212.在三棱锥P _ABC中，AB =BC =CP=1,匕ABC =zBCP=120气平面PBC和平面ABC所成角为120。
百校2018届高三第二次联考(理数)
广东省百校2018届高三第二次联考数学（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•复数z满足（z ，则z=（）A. —2B. —C. 2D. 12 22•已知A=｛x|y =log2（3x-1）｝,B 二｛y|x2y2=4｝，则A B二（）1 111A. （0＜）B. [-2-）C. H,2]D. （;,2）3 3 3 33.下表是我国某城市在20XX年1月份至10月份各月最低温与最高温（C）的数据一览表椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A •最低温与最高温为正相关B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D . 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4.已知命题p : x 2是x log 25的必要不充分条件；命题q :若sin x '，贝U32cos2x二sin x，则下列命题为真命题的上（）A. p q B . （—p） q C . p 广q）D . （一p）（一q）5.在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，若SnA3n ,Bc5、、，且csC=5，6 则a =（）A . 2-2B . 3C . 3^2D . 46•某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为A . 8 4,2 2,5B . 6 4,2 4.5C . 6 2 2 2 5D . 8 2,2 2、5―17.将曲线C 1 : y =sin(x)上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的62C 2：y = g x ，则g x 在［-二，0］上的单调递增区间是(x -2y-2 _09.设x, y 满足约束条件 x • 2y -6 一 0y -2 <07 A .[-]]7B .[-甸Jt6]A . 7B . 10 B .［丁丐A . [「6 则输出的C . 13D . 1610.函数 f (X )二 2 x - xe 「e x 2+ x _2的部分图象大致是( 曲线向左平移 一个单位长度，得到曲线22y x z=的取值范围是(yA, B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且 ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为 （ ）A . （1,、.2）B . （、、2, .2 .2）C . （、.2,2）D . （1,、.2） （.2 .2,：：）1 x12. 已知函数f （x ）=e 2x 二g （x ）=：+1 ，若f （m ）=g （n ）成立，则n-m 的最小值为（ ）11 A . In2 B . In 2 C .2ln 2D . 2ln 222 第U 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量 m 与向量n 互相垂直，且m —2n = （11 -2）,若m = 5，则n = ________14. 在二项式"』）6的展开式中，其3项为120，则x =——.15.如图，E 是正方体ABCD -A ]BC 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且 BD 1 / /平面BQF ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为216.已知点A 是抛物线C:x =2py （p 0）上一点，O 为坐标原点，若A, B 是以点M （0,8） 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且 ABO 为等边三角形，则p 的 值是 __________ .、解答题 （本大题共6小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演2 211.过双曲线 笃-当 "（a 0,b 0）的右焦点且垂直于a bx 轴的直线与双曲线交于算步骤.）（一）必考题（60分）17.已知正项数列 & ?满足印=1, a2 - a^a 2^ a n ,，数列:b n ?的前n 项和S n 满足2Sn = n - a n.（1）求数列〔a n !, IbJ 的通项公式；1（2）求数列｛｝的前n 项和T n.an 1bn18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位， 在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第 一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立， 某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品， 根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件1 4 3丄，兰，3，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次2 5 54 1 2 5，2,3（1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率; （2）经过前后两次烧制后， 甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 X ，求随机变量X的数学期望•19•如图，四边形 ABCD 是矩形，AB =3、、3,BC =3,DE =2EC,PE _ 平面 ABCD,PE = 6. （1） 证明：平面PAC —平面PBE ； （2） 求二面角 A -PB -C 的余弦值.2 2 20.已知椭圆C :X2 -y ^=1（a b 0）的长轴长是短轴长的 2. 2倍，且椭圆C 经过点 a b工艺品合格的概率依次为42A(2,).2(1)求椭圆C的方程；(2)设不与坐标轴平行的直线丨交椭圆C于M , N两点，MN| = 2J2，记直线丨在y轴上的截距为m,求m的最大值.221.函数f x ]=x mln(1 x).(1 )当m .0时，讨论f x的单调性；(2)若函数f x有两个极值点x,,x2，且为：::x2，证明：2f (x2) • -捲• 2x, In2 . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.「X = cos日22•在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为G为参数)，曲线C2的y = 1 +si n 日X x = 2cos参数方程为(「为参数)畀=s in申(1 )将G，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线I的极坐标方程为：-(COST -2sin二)=4，若G上的点P对应的参数为，点Q上在C?，点M为2PQ的中点，求点M到直线I距离的最小值•23.已知f(x)=x—a +x+2a+3 .(1)证明：f x 一2 ；3(2)若f( ) <3，求实数a的取值范围.2数学(理科)参考答案、选择题、填空题三、解答题所以 订,是以1为首项，1为公差的等差数列,当n_2时，b n =S n -S n 」=2n ，当n =1时b =2也满足，所以b n =2n .1 1 111（2）由（1）可知（），a n卅b n2n （n+1） 2 n n +11 11111 1 1 n 所以人兮73)GV(丁百)“冇18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件A, A, A 3,(1)设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格, 则 pg J 1 2.1 42 1 125525525550(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 所以随机变量X : B(3,0.4), 所以 E X P=3 0.4 = 1.2.19. （ 1）证明；设BE 交AC 于F ,因为四边形 ABCD 是矩形，AB =3、、3,BC =3,DE =2EC ,CE BC所以CE =寿3,,BC AB1-5: ACBAB6-10: CBDAD 11、 D 12: A13. 514.215.卫5216.—17•解：(1)因为 2 a n a n 二2a n 1-a n 1，所以,a n 1 a na n 1 - a n - 1= 0，因为 a n 10,a n，所以 a n 1 a n = 0，所以 a n 4 ~' a n-1，n又ABC 二BCD ，所以ABC ：：BCE, BEC 二ACB ,2JT因为BEC 二ACE 二ACB ACE ,2所以AC _ BE，又PE _平面ABCD .所以AC _ PE，而PE BE = E，所以平面PAC _平面PBE ;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可得A(3, -2. 3,0), B(3,. 3,0), C(0,3,0), P(0,0,6),——J则AB =(0,3 .3,0), BP =(-3,-'、3, \6),CB =(—,3设平面APB的法向量3>/3y1 = 0厲=(捲，比，乙)，则——1-3捲- J3y1+ 46/=0=1，即n i =(±,0,1)3设平面BPC的法向量- 3x2 = 0"EM)，则_3X2「3y2 危2=0，取X2 =0,% =2, Z i =1，即m = (0^. 2,1)设平面APB与平面BPC所成的二面角为二，则cos日n1n2、、5jr n i - 5厂由图可知二面角为钝角，所以cos= = -—55n20.解：（1）因为 ^2 2b ，所以椭圆的方程为22 2xb =1,a =8，椭圆的方程为y8m 2 二73 ，满足 口2 :：: 1 . 8k 2，8所以m 的最大值为y14 - 7 .把点 A(2,的坐标代入椭圆的方程，得丄丄18b 2 b 2所以(2) 设直线I 的方程为y 二kx m,M (X i ,yJ,N(X 2, y ?),联立方程组 —y 2 -1I 8y = kx m2 2 2得(1 8k )x 16kmx 8m -8 = 0,由 256m 2 -32(m 2 -1)(1 8k 2)0 ,得:::1 8k 2，216km 8m -8所以 x | X 22 , X [ X 22 ，所以MN = J 1+k 2 \&花+x 2)2—4为屜mi)2 4 8m 2 -8 4、2 1 k 2 : 8k 21-m 21 8k 2由4zrv.8k 2，得(8k 2 1)(3-4k 2)令k 21 2m =21当且仅当1 8k 24(k 2 1)二t(t 1)= k 2二 t _ 1，所以 m^-32t2 84t -49，4t-(8t49)4t _21 -14，2，即8^49，4tt =3时，上式取等号, 8此时k 221.解：函数f X 的定义域为（-1,七），f X =21（1 ）令g x [=2x 2x m ，开口向上，x - - 为对称轴的抛物线， 当x • _1时，1 1 1①g （-2）m_0，即m_2时，gx_O ，即f x _ 0在（-1」：：）上恒成立,J - 2m 1 J - 2m —2 —必2 _ _2 —2—、、1-2m 1，当 X 1 ：：： X ：：： X 2 时,22即 f x ：0，当-1 . x x 1 或 x x 2 时，g x ]，0，即 f x 0，11 *, 1~2m 1 T1-2m 「¥ 亠综上，当0 ::: m 时，f x 在（， ）上递减，22 2 2 2亠 1 / —2m 1 J 1 —2m 、1在（-1,）和（ ，=）上递增，当m 时，在（-1,=）上递增.2 2 2 2 2（2）若函数f X 有两个极值点X j ,X 2且X^ X 2，1 1则必有0 ::: m ：：： £，且-1 ：：：洛 x 2 :: 0，且f x 在x 1, x 2上递减，在（-1,xJ 和（X 2, •：：）上递增，则 f (x 2) ：： f (0) =0,因为x , ,x 2是方程2x 2 2x ^0的两根，所以 X ! x 2 二-2,x 1x^-m ，即为=-1 - x 2, m = 2为，x 2，2要证 2f (x 2) -为 2x 1 In 2又 2 f (x 2) =2x ； 2mln(1 X 2)=2X ； 4x^21n(1 x 2)-2x | 4(1 x 2)x 2In(1 x 2)-(-1 x 2)2(-1 -x 2)ln 2=1 冷-2(1x 2)ln 2，2x 2 2x m1 ②当0 ：：： m 时,2由 g x ] = 2x 2x m ，得 x =-因为 g -1 二 m ・0,所以-r ：： x 1 < -1g X ：0，即证2x； -4(1 x?)x21n(1 %) -(1 x2)(1 -21 n 2) 0 对--■ x ■■■ 0恒成立,221设」x =2x -4(1 x)xln(1 x) -(1 x)(1 -2ln 2),( x ：：： 0)4则」x = -4(1 2x)ln(1 x) -Ine14 当 x :：: 0时，1 2x ■ 0,ln(1 x) ::: 0,ln — • 0 ,故’x 0 ,2e1所以，x 在(-3,0)上递增， J 1 1 1 1 故」x'( — )=2 4 — ln (1 —2ln 2) =0 , 2 4 2 2 2所以 2x ； -4(1 x 2)x 2ln(1 屜)-(1 x 2)(1 -2ln 2) 0 , 所以 2f (X 2)-为2x 1 ln2.22.解：(1) C 1的普通方程为x 2 (y -1)2 =1 , 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，2C 2的普通方程为y 2 -1，它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆.41(2 )由已知得 P(0, 2)，设 Q(2cos ysi nr)，则 M(cos\1si nJ , 2直线l : x -2y -4 =0，点M 至y 直线l 的距离为cos ： -sin v - 65 =所以d 兰异翌 =6血7° ，即M 到直线l 的距离的最小值为 6亦_后V555所以f x -2.3a 2 2a 3,a -3,a 2 _2a,a ：：： - 3 L 423. (1)证明：因为f X 二而 x +2a 十3 —x +a 2 2x -a+|x + 2a +3 > =a 2 +2a+3 2x 2a 3-x a =(a 1)22 一2 ,3 2丄3 丄3f (_—) =a 2 +— + 2a +_2 2 2(2)因为- 3 -3a v — — a八——吕F ~—4£4〉2- 2r a + 2a + 3 < 3 r a —。
百校联盟2018届TOP20三月联考(全国II卷)数学(文)试题及答案解析
百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}01234A =，，，，，{}3B x x =≥，则集合()RA B ð的子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82.已知i 是虚数单位，()()()432z i i i =++-，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．105i + B ．510i + C ．105i - D ．510i -3.已知x 与y 的取值如表所示，若x 与y 线性相关，且回归直线方程为 1.23y x a =+，则6x =时，y 的预测值为（保留到小数点后一位数字）（ ）A ．7.4B ．7.5C ．7.6D ．8.54.已知直线a ，b 及平面α，β，a α⊂，b β∈.命题p ：若αβ⊥，则 a ，b 一定不平行；命题://q αβ是a ，b 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝5.已知x ，y 满足不等式组10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =-+的最小值为（ ）A ．7B ．4 C.72D ．2 6.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为（ ）A ．19 B ．110 C. 111 D ．1127.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．6 C.4 D ．838.我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注：1斛 1.62≈立方尺，3π≈）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ） A ．5尺 B ．9尺 C. 10.6尺 D ．21.2尺 9.已知函数()sin cos f x x x λ=-的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，若将函数()f x 图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间是（ ）A ．2,2,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．,,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ） A．1,23⎛ ⎝⎭ B．,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,43⎛ ⎝⎭D ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭ 11. 已知()()22,0,23,0,x a x f x x x a x ⎧--≥⎪=⎨---+<⎪⎩若x R ∀∈，()()0f x f ≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．()3,1- C. []2,0- D ． [)2,0-12. 已知数列{}n a 的通项公式为1221,21,2n n nn a n -⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，为偶数，则数列{}37n a n +-的前2n 项和的最小值为（ ） A ．514-B ．1854- C. 252- D ．1058- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()ln g x x =图象上一点P 到直线y x =的最短距离为 ． 14.已知数列{}n a 满足241n n S a =-，当n N *∈时，(){}222log log n n a a λ+是递增数列，则实数λ的取值范围是 ．15.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:0l x ky -=与圆22:4C x y +=的内接正三角形ABC 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，且//PQ BC ，则B Q C P ⋅的值为 ． 16.已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，点D 在边BC 上，且2CD AD DB ==，cos BAD ∠=b =（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）求ABC △周长的最大值.18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出1个利润为5元，未售出的每个亏损3元.根据以往100天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了130个这种蛋糕.以x （单位：个，100150x ≤≤）表示这天的市场需求量.T （单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.（Ⅰ）将T 表示为x 的函数，根据上表，求利润T 不少于570元的概率； （Ⅱ）估计这100天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅲ）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了50名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为5.完善上表，并根据上表，判断是否有97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.已知几何体EF ABCD -，其中四边形ABCD 为直角梯形，四边形EBCF 为矩形，//AD BC ，且222BC BE AD ===，45BCD ∠=.（Ⅰ）试判断线段BE 上是否存在一点H ，使得//AH 平面ECD ，请说明理由； （Ⅱ）若CD ED ⊥，求该几何体的表面积.20. 在平面直角坐标系xOy 中，与点()2,3M -关于直线220x y -+=对称的点N 位于抛物线()2:20C x py p =>上.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点N 作两条倾斜角互补的直线交抛物线C 于A ，B 两点（非N 点），若AB 过焦点F ，求AF BF的值.21. 已知函数()1f x =1x =为函数()()ln g x x x c =-的极值点. （Ⅰ）证明：当1x >时，()22g x x x <-；（Ⅱ）对于任意12m ≤，都存在()0,n ∈+∞，使得()()nf m g n n =+，求n m -的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线11:x t l y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程，直线1l 的普通方程；（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l ，设2l 与曲线1C 的交点为M ，N ，P 为曲线1C 上任意一点，求PMN ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =-+-的最小值为M . （Ⅰ）若[],,m n M M ∈-，求证：24m n mn +≤+； （Ⅱ）若(),0,a b ∈+∞ ，2a b M +=，求21a b+的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10: CCDCA 11、12：CD 二、填空题13.214. ()1,+∞ 15.223- 16.()64,81三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为cos 4BAD ∠=，所以sin 4BAD ∠=.根据正弦定理，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin sin AD B BAD BD =∠=， 又B 为锐角，所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，所以()()()222222483324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+-=+-≥+-=⎪⎝⎭，∴a c +≤a c =时，等号成立.故a b c ++≤ABC △周长的最大值为18.【解析】（Ⅰ）当[)100,130x ∈时，()531308390T x x x =--=-， 当[]130,150x ∈时，5130650T =⨯=，所以8390,100130,650,130150.x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩当570T ≥时，8390570x -≥，∴130120x >≥，又650570≥，所以120150x ≤≤， 因此，利润T 不少于570元的概率为3025150.7100++=.（Ⅱ）这100天的平均需求量为1051011520125301352514515126.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）根据题意，购买意愿强市民中女性的人数为528207⨯=，男性为8人，填表如下：根据公式，()2250201488 6.15 5.024********K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.19.【解析】（Ⅰ）存在线段BE 的中点H ，使得//AH 平面ECD ，理由如下： 取EC 的中点G ，连接HG ，DG ，∵H 为BE 的中点，∴//HG BC ，且12HG BC =， 又∵四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且12BC AD =，∴//AD HG ，AD HG =，∴四边形ADGH 为平行四边形，∴//AH DG ， ∵AH ⊄平面ECD ，DG ⊂平面ECD ， ∴//AH 平面ECD .（Ⅱ）因为四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且112BC AD ==，45BCD ∠=，所以112BC AB ==，∴CD =又EC ==CD ED ⊥，所以DE ==因为BC AB ⊥，BC BE ⊥，ABBE B =，所以BC ⊥平面ABE ，又因为//BC AD ，∴AD ⊥平面ABE ，∴AD AE ⊥，所以AE ==AB BE ⊥.所以111122ABE S =⨯⨯=△,因为DCF △为直角三角形，所以1122DCF S ==△， 又四边形AEFD 也为直角梯形，()()1112222AEFD S AE AD EF =+=+=Y ， 又()()113112222ABCD S AB AD BC =+=⨯⨯+=Y ，2BEFC S =Y ，所以该几何体的表面积为31242222S =++++=+20.【解析】（Ⅰ）设(),N m n ，则31,2223220,22n m m n -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-+=⎪⎩解之得()2,1N ，代入()220x py p =>得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.（Ⅱ）显然直线NA 的斜率是存在的，设直线NA 的方程()12y k x -=-， 设直线NB 的方程()12y k x -=--，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程()2412x y y k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩消元，得24840x kx k -+-=，所以124x k +=，∴142x k =-，∴()1411y k k =-+， 故()()42,411A k k k --+， 同理，()()42,411B k k k --++，所以()()41141114242AB k k k k k k k ++---==----+，若1AF BF <，因为cos45BF AF BF AF-=+，∴3AF BF==-若1AF BF>，同理可求3AF BF==+21.【解析】（Ⅰ）()()ln g x x x c =-，∴()'1ln g x x c =+-， 又∵1x =为极值点，1ln10c +-=，∴1c =， 经检验1c =符合题意，所以1c =，当1x >时，()22g x x x <-，可转化为当1x >时，ln 10x x -+<恒成立， 设()ln 1t x x x =-+，所以()'111x t x x x-=-=， 当1x >时，()'0t x <，所以()t x 在()1+∞，上为减函数，所以()()10t x t <=， 故当1x >时，()22g x x x <-成立. （Ⅱ）令()()1ln g n f m n k n=+==，则1k = 解得()22111222k m k k -=-=-，同理，由ln k n =，可得kn e =，因为(]1,1k =-∞，又ln k n R =∈，所以(],1k ∈-∞， 令()()2112kh k n m e k k k =-=-+≤， 则()'1kh k e k =-+，易知()'00h =，当0k <时，()'0h k <，当01k <<时，()'0h k >，即当0k <时，()h k 是减函数，当01k <<时，()h k 是增函数， 所以()h k 的最小值为()01h =，即n m -的最小值为1.22.【解析】（Ⅰ）把曲线1cos :2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数可得(()2221x y +-=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得曲线1C的极坐标方程为2cos 4sin 60ρθρθ--+=.把直线11:x tl y =+⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程)1y x =-.（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l的方程为y =，其极坐标方程为3πθ=.联立2cos 4sin 60,,3ρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩所以260ρ-+=，所以12126,ρρρρ⎧+=⎪⎨=⎪⎩- 11 - 故12ρρ-==，圆心到直线2l的距离为12d ==， 圆上一点到直线2l 的最大距离为131=22+，所以1322S =⨯=23.【解析】（Ⅰ）()()232123212f x x x x x M =-+-≥---==， 要证明24m n mn +≤+，只需证明()()2244m n mn +≤+， ()()()()()()22222222444216844m n mn m mn n mn m n m n +-+=++-++=--， ∵[],2,2m n ∈-，∴[]22,0,4m n ∈， ∴()()22440m n mn +-+≤，∴()()2244m n mn +≤+，可得24m n mn +≤+.（Ⅱ）由题意，22a b +=， 故()2112114122244222a b a b a b a b b a b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a =，12b =时，等号成立，所以21a b+的最小值为4.。
广东省百校联盟2018届高三第二次联考数学(文)
广东省百校联盟 2018届高三第二次联考数学（文）试题、单选题2 -i1.复数()3 -i7 1 . 7 1 .17 .1 7 A. iB. iC. iD. -- -10 1010 1010 1010 10【答案】 A【解析】由题意得2 -i 2-i 3i71 .i。
选 A 。
3-i 3-i3 i10 102.已知 A -「x| y =log 2 3x -1 B - ;y |x 2 y 2 =4?，则 A 一 B =()【解析】 因为 A=7 |x y 12 o g ：P X3-1-2,2 ]. A ' B l -,2 ，故选 C.13 J3•下表是我国某城市在 2017年1月份至10月份各月最低温与最高温C 的数据一览表12 31 57fl】059 $11 r24 272i-12 -3]—2717JS232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A.最低温与最高温为正相关B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】BC. 1,2【答案】CD.将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前 8个月不是逐月增加，B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月，C 正确；由表格可知1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大，D 正确，故选B.4.已知等差数列 曲 的前n 项和为S n ，公差d ::: 0 , S 7 =7，且a ? Q =-15，则冇=（） A. —13 B. -14C. -15D. —16【答案】A【解析】3 =7a4 =7, a 4 =1，又 a 2 =印-2d ] [a 4 2d - -15,d ：： 0 , d - -2 ,an = a 4，7d=-13，故选 A.2 25•已知点P 在双曲线C : 笃-每=1 （ a 0 , b 0） 上, A , B 分别为双曲线 C 的左、右a b顶点，离心率为e ，若 ABP 为等腰三角形，其顶角为150，则e 2二（）2b 2 、、3 1 a,a ，代入双曲线C 的方程得4 2.3-笃=1, e 2 =1 •岂bax-2y-2 乞0,6•设x ,y 满足约束条件｛x • 2y -6 一 0,则z 二兰的取值范围是（）yy-2g'【答案】A【解析】]2\5 $8JO■ 9 g 11172*:inSi Mt 盘-12 —3 j —寸A耳 f17]Q1?128J3 ]0 7711A. 4 2 3B. 2C. 3D.2、3 3【答案】D【解析】不妨设点P 在第一象限，因为ABP 为等腰三角形，其顶角为150 ，贝U P 的坐标为故选 D.A. 1,4 丨B.易求得A 4,1 ,B 2,2 ,匕」，匕丿 -,1 ，从而X 1,41,4x ]4 一y故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题 •求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（-作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点 就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值7•某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为厂，臂"行―节*丰…： I ; ： j ! I ； "A/' ・ 、r *tSdx,y 连线的斜率,—则该几何体的表面积为（ ）O 与可行域的点A. 8 4、2 2 .5B. 6 4 迈4 5C. 6 2 2 2、5D. 8 2 2 2 5 【答案】C面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为2,2.2，另两个侧面为直角三角形面积都为 、、5，可得这个几何体的表面积为6^2 2 5，故选C.&将曲线C 1 : y =sin x-】 上各点的横坐标缩短到原来的 I 6丿由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E -ABCD ,如图，正方体的边长为2，该三棱锥底1-倍，纵坐标不变，再把得到的曲线2向左平移一个单位长度，得到曲线C 2:2y = g x ，则g x 在I-二，0 l 上的单调递增区间是5■: 兀'2 -JI ■2二心A. ,B.1 — , —C. ,0IL 6 6IL 36-3 '【答案】B【解析】将曲线G : y =sin x ' 上各点的横坐标缩短到原来的I 6丿倍，纵坐标不变，再把得到2的曲线向左平移2个单位长度可得gx -in2x?一6 ®2x *，令兀5兀兀2兀兀2兀兀2k 2x 2k ，得k x^k k Z ，再令k=0，得x 乞一一2 6 23 6 3 6则g（x ）在［-'0 ］上的单调递增区间是L—--［故选B.一3 ' 69.如图，E是正方体ABCD - A BC1D1的棱C i D i 上的一点（不与端点重合），BD i / /平面BQE ,则（）t =4，则输出的i =(A. BD 1 //CEB. AG _ BD 1C. D r E =2EGD. D r E = EC 1【答案】D』：乍 .. \【解析】1人设 B r C * BG = O ，如图， BD r / / 平面 BCE ，平面 BCQ -平面 B r CE = OE, BD r IIOE, O为BG 的中点，• E 为GD r 的中点，• D 正确，由异面直线的定义知 BD 仆CE 是异面直线，故A 错；在矩形ABC i D i 中，AC i 与BD,不垂直，故B 错；C 显然是错，故选 D.10 •执行如图所示的程序框图，若输入的第一次： 1 不是质数， S =0 _1 = _1 ：：：4,i =4; 4不是质数， S = _1 _4 = _5 ：：：4,i =7 ； 7 是质数， S = _5 • 7 = 2 ：：：4,i =10 ；故输出16。
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展模式与投资战略规划分析报告》数据显示，2016年全球装配式建筑市场规模为1576
亿美元，2017年近2000亿美元. 下面是来源于该报告的三幅统计图.
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图2
图3
请根据统计图解答下列问题：
（1）2010年到2017年的全球装配式建筑市场规模的中位数是 ▲ 亿美元.
（第 19 题图）
平移. 请直接写出此时四边形D′O′OD的面积.
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20.（本题8分）阅读与探究 皮埃尔·德·费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业
余数学家之王”. 1638年勒奈·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶 点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关 结论.
线分别交x轴和直线BC于点D和点E，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线及直线BC的函数关系式.
（2）若P为线段DE中点，求m值.
（3）如图2，当0＜m＜4时，作射线OP，交直线BC于点F，求△OBF是等腰三角形时的m值.
图1
图2
备用图
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（1）求该店1月份到3月份新能源汽车销量的月均增长率.
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为A，B两种
型号. 已知A型车的进价为12万元/辆，售价为15万元/辆，B型车的进价为20万元/辆，售
价为25万元/辆（根据销售经验，购进A型车的数量不少于B型车的2倍）. 假设所购进车
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
∠x+0.2862y=1800，
A. 0.507x+y=581.4
∠0.507x+y=1800，
B. x+0.2862y=581.4
第Ⅰ卷 选择题 （共 30 分）
∠x+y=1800，
C. 0.507x+0.2862y=581.4
注意事项： 1. 本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
谷电
22：00-08：00 0.2862元（ / kW·h）
该市某用户11月份使用“峰谷电”1800 kW·h，交电费581.4元，问该用户11月份“峰电” 和“谷电”各用了多少kW·h？ 设该用户11月份“峰电”用了x kW·h，“谷电”用了y kW·h，根据题意可列方程组
A. 4a+2a=8a
B.（a4）2=a6
C. a·4 a2=a6
4. ∠1与∠2互为余角，当∠1为35°时，∠2的度数是
A. 65°
B. 55°
C. 45°
5. 下列说法中正确的是
A. 对角线相等的平行四边形是菱形
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 一组对边平行的四边形是平行四边形
D. 四边相等的四边形是菱形
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D
D. a4÷a2=a D. 145°
图1
图2
A.
32
摇
姨
2
cm
B. 32 cm
C.
48
摇
姨
2
cm
D. 48 cm
10. 如图，在半径为2 cm的扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，将其折叠使点B落在点O处，折痕
为DE，则图中阴影部分的面积为
姨 姨 A.
4π
-
摇
（2）从2016年到2017年，全球装配式建筑市场规模的增长率是 ▲ .（精确到1%）
（3）2017 年 全 球 装 配 式 建 筑 市 场 区 域 结 构 统 计 图 中 ， 美 国 所 在 扇 形 的 圆 心 角 是
▲ 度.
（4）2017年中国装配式建筑市场规模为多少亿美元？
19.（本题7分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= 3 x+b的图 2
姨
3
cm2
3
姨 姨 B.
摇
姨
3
-
π
cm2
3
姨 姨 C.
4π
-2
摇
姨
3
cm2
3
姨 姨 D.
2
摇
姨
3
-
π
cm2
3
（第 10 题图）
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第Ⅱ卷 非选择题 （共 ９0 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 ３ 分，共 １5 分）
11. 化简3a-（2a+b）的结果是 ▲ .
沿
一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为
此
1. -2的相反数是
A. 8
B. 6
C. 12
D. 4
线
A. 2
B. -2
C. 1
D. - 1
2
2
折
2. 如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的俯视图是
8. 已知反比例函数y=- 3 ，下列结论不正确的是 x
②作△DFG的外接圆⊙O，
③连接EG交⊙O于点M.
（2）求证：（1）中的点M是△DEF的费马点.
21.（本题10分）随着“低碳生活，绿色出行”
理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们
喜爱的交通工具. 某新能源汽车4S店的
汽车销量自2017年起逐月增加. 据统计，
（第 21 题图）
该店1月份销售新能源汽车64辆，3月份销售了100辆.
≤≤x-3≤1，
≤
12.
不等式组
≤≤ ≤ ≤
x-1
≤
的解集是 ＜x+1
▲
.
2 ≤≤
≤
13. 如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A，B两点的
坐标分别是（1，0）和（2，3）. 将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个
单位，则此时点B的坐标是 ▲ .
图1
（第 13 题图）
EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D. 则当B′D取得最小值时，tan∠BEF的值为
▲.
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
姨 姨 （1）计算：姨摇 12+ -1 -
1 3
-2-4sin60°.
辆能够全部售完，为使利润最大，该店应购进A，B两种型号车各多少辆？ 最大利润为
多少？
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22.（本题13分）综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动. 如 图1，矩形ABCD中，AD=2AB，连接AC. 将△ABC绕点A旋转到某一位置，观察图形，提 出问题并加以解决. 实践操作 （1）如图2，慎思组的同学将图1中的△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转， 得到△AB′C′，此时B′C′过点D，则∠ADB′= ▲ 度. （2）博学组的同学在图2的基础上继续旋转得到图3，此时点C′落在CD的延长线上，连 接BB′. 该组提出下面两个问题： ①C′D和AB有何数量关系？ 并说明理由. ②BB′和AC′有何位置关系？ 并说明理由. 请你解决该组提出的这两个问题.
∠x+y=1800，
D. 0.2862x+0.507y=581.4
7. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球. 每
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有
次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中. 通过大量重复摸球试验后，发现摸
A. 图象经过点（-1，3）
B. 在每一象限内，y值随x值的增大而增大
叠
C. 图象在第二、四象限内
D. 若x＜-1，则y＞3
9. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 小明利用七巧板（如图1所示）
拼成了一个长方形（如图2所示），则该长方形的周长是
A
B
C
（第 2 题图）
3. 下列计算正确的是
（第 14 题图）
（第 15 题图）
14. 如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影. 连续转动转
盘两次（转动第一次，等转盘完全停止后，再转动第二次. 若转盘停止后，指针指向等
分线则重转），则两次结果中指针一次落在白色区域，一次落在阴影区域的概率是
▲.
15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF沿
姓名
准考证号
山西中考模拟百校联考试卷（二）
6.“煤改电”清洁供暖是治理雾霾、改善空气质量的重要措施. 某市对2017年到2018年冬 季采暖“煤改电”的居民用户执行居民用电峰谷分时电价政策，该政策具体收费标准如 下表所示.
数学
峰电
用电时间 08：00-22：00
收费标准 0.507元（ / kW·h）
姨 姨 （2）化简： x2-2x+1 ÷ 1- 3 .
x2-1
x+1
17.（本题5分）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分 别是BC和DC边上的点，且EC=FC. 求证：∠AEF=∠AFE.
（第 17 题图）
18.（本题8分）装配式建筑是指用工厂生产的预制构件在现场装配而成的建筑，是工业化
建筑的重要组成部分. 根据前瞻产业研究院发布的 《2018-2023年中国住宅产业化发
象与反比例函数y= k（k为常数，k≠0）的图象交于 x