2018年百校联考二数学
【数学】百校联盟2018届高三TOP20四月联考(全国II卷)试题(文)(word版附答案)
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合{}(){}25,30A x x B x x x =<<=-<，则A B ⋃=（ ） A ．()0,5 B ．()2,3 C.()3,5 D ．()0,32.已知复数1-i2-iz =，则z 的虚部为（ ） A ．35- B ．3i 5 C.15- D ．1i 5-3.已知()(),1,2,4a x b ==-，若()a b b +⊥，则x =（ ） A ．8 B ．10 C.11 D ．124.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻面系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点,A B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知()()2,0,2,0A B -，点M 满足MA MB=则直线:4l x =被点M 的轨迹截得的弦长为（ ）A ．B ． C. D ． 5.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．5B ．11 C. 14 D ．196.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y在抛物线C 上，054y MF =，则tan FAM ∠=（ ） A ．25 B ．52 C.45 D ．547.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．72 B ．236 C. 4 D ．2568.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则不等式()21f x -<3的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．(),2-∞ C. ()2,2- D ．()1,2-9.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n 名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[)75,80中的学生有1名，若从成绩在[)75,80和[)90,95两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[)90,95中的概率为（ ）A ．23 B ．12 C. 35D ．3410.在三棱锥P ABC -中，ABC ∆和PBC ∆均为边长为3的等边三角形，且PA =棱锥P ABC -外接球的体枳为（ ）A B D 11.下列关函数()sin cos f x x x =⋅的命题正确的个数为（ ） ①()f x 的图象关于π2x =对称；②()f x 的周期为π；③若()()12f x f x =，则()12π2k x x k =+∈Z ；④()f x 在区间π3π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减. A ．1 B ．2 C. 3 D ．412.已知数列{}n a 中，()111,1n n n a na a ++==，定义111n nn n n na a a a a a +++⊗=-，则213220182017111a a a a a a ---=⊗⊗⊗（ ）A ．20172018-B ．20172018 C.12018 D ．12018- 第Ⅱ卷二、填空题13.已知,x y 满足不等式20,40,4,x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则5y z x =-的最大值为 ．14.已知()22,1,log ,1,x m x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩若124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则m = ． 15.已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点(),0F c -，直线y x c =+与双曲线Γ的渐近线分别交于,A B 两点，其中点A 在第二象限，若32AF AB =，则双曲线Γ的离心率为 ．16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，222sin a b bc A =+，角C 最大，则tan 4tan A B -a 的取值范围为 ．三、解答题17. 已知数列{}n a 的前n 项和1122n n S k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且34a =，等差数列{}n b 满足，3374,b a b a ==.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB ∆为等腰直角三角形，PA PB =，ABCD 为 直角梯形，//,90,24CD AB BAD CD AB ∠=︒==.（1）若O 为AB 的中点，PC 上一点E 满足4PC PE =，求证://OE 平面PAD ；（2）若2AD =，求四棱锥P ABCD -的表面积.19.某地区农产品近几年的产量统计如下表：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2011,6t x z y =-=-得到下表:（1）根据表中数据，求y 关于x 的线性回归方程；（2）若近几年该农产品每万吨的价格v (万元)与年产量y (万吨）满足 4.20.3v y =-，且每年该农产品都能售完，当年产量y 为何值时，销售额S 最大？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n t z t z t z ，其回归直线z bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分別为:()()()121,nii i nii tt z zb a z bt tt==--==--∑∑.20.已知N 为圆()221:224C x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C，点,M P 分别是线段12,C N C N 上的点，且2220,2MP C N C N C P ⋅==. （1）求点M 的轨迹方程；（2）直线l 与曲线Γ交于,A B 两点，AB 的中点在直线12y =上，求OAB ∆（O 为坐标原点）面积的取值范围.21.已知()()()121ln 112f x x x f x '=-+-. （1）求()f x 在11,fee ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）证明 ：()1f x >-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ (α为参数），直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知()22f x x a x =+--.（1）当2a =-时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()2332f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5: ACDAB 6-10: CBACC 11、12：AC 二、填空题13.34- 14. 1-或92 16.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：（1）当3n =时，()2332224a S S k =-=-=， 解得2k =，所以21n n S =-， 当1n =时，11S =，当2n ≥时，()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=，所以21n n a =-， 设等差数列{}n b 的公差为d ，由3374,b a b a ==，得1124,68b d b d +=+=， 解得12,1b d ==，所以()2111n b n n =+-⨯=+.（2）由（1）得()112n n n n c a b n -==+⋅， 所以()2121324212n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯， ()2312223242212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得()2312222212n n n T n --=+++++-+⨯，即()()121221212n n n T n ---=+-+⨯-，整理得2n n T n =⨯.18.（1）证明：过点E 作//EF CD ，连接AF ， 因为4PC PE =，所以4PD PF =， 14EF PE CD PC ==，即4CD EF =， 因为24CD AB ==，所以4CD AO =， 所以EF AO =， 又因为////EF CD AO ，所以AFEO 为平行四边形，故//OE AF , 因为OE ⊄平面PAD ,AF ⊂平面PAD .所以//OE 平面PAD .（2）解：因为平面PAB ⊥平面ABCD . 平面PAB ⋂平面ABCD AB =,AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥,所以AD ⊥平面PAB .又因为PA ⊂平面PAB ,所以PA AD ⊥,所以22PAD S ∆==连接PO ,同理，由平面PAB ⊥平面ABCD ,AB PO ⊥,可得PO ⊥平面ABCD .过点O 作//OG AD 交CD 于点G ,连接PG . 则由,,CD GO CD PO GO PO O ⊥⊥⋂=, 得CD PG ⊥.因为1,2PO GO ==,所以PG =.则142PCD S ∆==.过点P 作PH CB ⊥,连接OH ,易得CH HO ⊥.由平面几何知识得45HOB ∠=︒,所以HO =PH =,所以12PCB S ∆=⨯=, 又因为12112PAB S ∆=⨯⨯=,()124262ABCD S =⨯+⨯=,所以四棱锥P ABCD -7. 19.解：（1）由题意知，1234563.56t +++++==，0.60.71 1.1 1.2 1.416z +++++==，()()()()()()612.50.4 1.50.300.50.1 1.50.2 2.50.4 2.8iii ttz z =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯+⨯=∑，()()()()2622222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5ii tt=-=-+-+-+++=∑，所以 2.80.1617.5b ==， 又10.16 3.50.44a z bt =-=-⨯=，所以z 关于t 的线性回归方程为 1.60.44z t =+. 由 1.60.44z t =+，得60.160.44y t -=+， 即0.16 6.44y t =+.（2）当年产量为y 时，销售额s=()24.20.30.3 4.2S y y y y =-=-+， 当7y =时，函数S 取得最大值， 即年产量为7万吨时，销售额S 最大.20.解：（1）因为222C N C P =，所以P 为2C N 的中点， 因为20MP C N ⋅=，所以2MP C N ⊥，所以点M 在2C N 的垂直平分线上，所以2MN MC =，因为1214MN MC MC MC +=+=，所以点M 在以12,C C 为焦点的椭圆上，因为2a c =，所以22b =，所以点M 的轨迹方程为22162x y +=.（2）由题意知直线l 的斜率存在， 设()()1122,,,A x y B x y ,:l y kx m =+，由22162x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得，()222316360k x kmx m +++-=，2121222636,3131km m x x x x k k --+==++， ()()()()2222264313612620km k m k m ∆=-+-=+->，设AB 的中点为()00,x y ， 则00022233,313131km km mx y kx m m k k k --==+=+=+++， 由题意知21312m k =+，所以2231m k =+， 由0∆>，得04m <<，因为AB ， 原点O 到直线AB的距离d =所以12OABS ∆=)04m ==<<，即0OAB S ∆<OAB ∆面积的取值范围为(. 21.解：（1）由题意得，()()2112ln 12x f x x f x -''=++， 令1x =，得()()11112f f ''=+， 解得()12f '=，所以()()21ln 1f x x x x =-+-， 因为()()12ln 3,0,f x x x x'=-+∈+∞， 所以1=-2-e +3=1-e e f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，又因为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以切线方程为()111e e e y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即()e -21e ey x =-+. （2）证法一：由（1）得()()12ln 3,0,f x x x x '=-+∈+∞， 令()()12ln 3,0,h x x x x =-+∈+∞， 所以()2221210x h x x x x+'=+=>， 故()h x 在()0,+∞上单调递增，又()1120,1ln 4ln 024e h h ⎛⎫=>=-=< ⎪⎝⎭， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =， 即()00f x '=， 所以()0012ln 30*x x -+=， 所以()(),f x f x '随x 的变化情况如下：所以()()()0000min 21ln 1f x f x x x x ==-+-，由()*式得0013ln 22x x =-， 代入上式得()()()0000min 00131321122222f x f x x x x x x ⎛⎫==--+-=--+ ⎪⎝⎭， 令()1312,,1222t x x x x ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭， 所以()()()22121212022x x t x x x+-'=-=<， 所以()t x 在112⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递减， ()()1t x t >，又()11t =-，所以()1t x >-，即()01f x >-，所以()1f x >-.证法2：()()()21ln 12ln ln 1,0,f x x x x x x x x x =-+-=-+-∈+∞ 令()()2ln ,0,h x x x x =∈+∞，则()()2ln 1h x x '=+，令()0h x '=得1ex =，()(),h x h x '随x 的变化情况如下：所以()min 12e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即22ln e x x ≥-， 当且仅当1ex =时取到等号， 令()()ln 1,0,t x x x x =-+-∈+∞，则()1x t x x-'=， 令()0t x '=得1x =，()(),t x t x '随x 的变化情况如下：所以()()min 10t x t ==，即1ln 0x x --≥，当且仅当1x =时渠道等号，所以()22ln ln 11ex x x x +-+->->-， 即()1f x >-.22.解：（1）依题意，曲线()()22:125C x y -+-=，即22240x x y y -+-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，因为直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，故直线12,l l 的极坐标方程为()()12ππ:,:24l l θρθρ=∈=∈R R .（2）设,A B 两点对应的极径分别为12,ρρ， 在2cos 4sin ρθθ=+中， 令π2θ=得，12cos 4sin 4ρθθ=+=，令π4θ=得，22cos 4sin ρθθ=+= 因为πππ244-=，所以AB ==. 23.解：（1）当2a =-时，由()4f x ≤， 得2124x x ---≤，当1x ≤时，由()()2124x x ---≤，得41x -≤≤； 当12x <<时，由()()2124x x ---≤，得12x <<； 当2x ≥时，由()()2124x x ---≤，得24x ≤≤； 综上所述，()4f x ≤的解集为{}44x x -≤≤.（2）不等式()2332f x a x ≥--， 即为22423x a x a ++-≥，即关于x 的不等式22243x a x a ++-≥恒成立，而2244x a x a ++-≥+， 所以243a a +≥，解得243a a +≥或243a a +≤-， 解得413a -≤≤或a ∈∅. 所以a 的取值范围是41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2018届百校联盟高三TOP20四月联考(全国II卷)理数试题(解析版)
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，∴故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为．故选：C．3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：∵，∴，又∴，∴故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，分别计算正方形与正八边形的面积，即可得到所求.详解：设，则，根据对称性可知，落在正方形中的概率为.故选：C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.详解：双曲线的渐近线方程为，令，得，所以，又因为，所以由，得，整理得，，所以双曲线E的渐近线方程为.故选：B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力. 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由三视图可还原出该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥，进而求其表面积即可.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为.故选：D点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．9. 已知数列中，，则（）A. 1028B. 1026C. 1024D. 1022【答案】D【解析】分析：由递推关系可得，即，从而得到的通项公式，进而求即可.详解：因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以1022故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．10. 已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围. 详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由图象可知所有零点之和为.故选：C点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象具有良好的对称性，从而问题得以简化.12. 在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC 的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题. 详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．【答案】0【解析】由分段函数的定义可得，则，应填答案。
广东省百校联盟高三第二次联考数学(文)试题(解析版)精编版
【答案】
【解析】很明显数列的公比为正数，
由题意可得： ，
则： ，
整理可得： ，
结合 可得： .
15．若 ， ，则 __________．
【答案】
【解析】 ，又 ，故 ，且 ，从而 ，故答案为 .
16．已知抛物线 ： 的焦点为 ， ， 是抛物线 上的两个动点，若 ，则 的最大值为__________．
7．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥 ，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为 ，另两个侧面为直角三角形面积都为 ，可得这个几何体的表面积为 ，故选C.
（2）过椭圆 的右顶点 作斜率为 （ ）的直线交椭圆 于另一点 ，连结 并延长 交椭圆 于点 ，当 的面积取得最大值时，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】试题分析：（1）由双曲线 的焦点是椭圆 ： （ ）的顶点可得 再由椭圆 经过点 可得 ，从而可得求椭圆 的方程；（2）设直线 ： ，联立 ： ，得 ，根据韦达定理及三角形面积公式将当 的面积用 表示，利用基本不等式等号成立的条件，可得当 的面积取得最大值时，求 的面积.
【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
【全国校级联考】百校联盟2018届高三top20四月联考(全国ii卷)理数试题
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）理数试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.L 已知集合 A ={x|2 <x <51B =（x|x （x-3）<0},则 ApB=（）2.已知复数4a =(x,1 )b =(2»),若(a +b )±b ,4.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪A. (0,5)(3,5) D ・(0,3)A. 8 B . 10C.11 D 12纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分V2 ~2 ,在如图所示的古代 AB BC ，则向正八边形倒花矢昂:图片中任投一点，落在正方形 DEFG 中的概C.5.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（正八边形窗花矢最图片中,率为（A. 5 B . 11 0.14 D . 192 26. 过双曲线E ：4-4=l （a >0,b>0）的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线 E 交于A.B 两点，与双曲线Ea b 的渐近线交于C,D 两点，若|AB|=^|CD| ,则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. v = 土麗x B . y =±V5x C. y =i?x D . y =42^7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画岀的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A. — + ^3+4^2 B . 10+力+4 也 2 28. 已知f (x )=3 +1X1 +|x|),则不等式f (Ig X )< f (1网解集为(A -B . ^,10 I c. (0,10) D9. 已知数列 虹｝中，a, =7, a n + -27a n +2 =& +1 ,则A. 1028 B . 1026 C. 1024 D . 102210. f [x -y +1 >0| 巳知 D =«x, y *x—t <0 >,若存在点产D ,便得x o -3y o =3 ,则t 的取值范围为（A. 11. 已知函数f (x )=2cos x +sin 2x ---------------- ，则函数f (X )在 K -2x 卜的所有零点之和为（DA・ 3力B・ 4了C・2jt D -7i212.在三棱锥P _ABC中，AB =BC =CP=1,匕ABC =zBCP=120气平面PBC和平面ABC所成角为120。
2018年百校联考(二)数学试题
展模式与投资战略规划分析报告》数据显示，2016年全球装配式建筑市场规模为1576
亿美元，2017年近2000亿美元. 下面是来源于该报告的三幅统计图.
数学（二） 第 3 页 （共 6 页）
图2
图3
请根据统计图解答下列问题：
（1）2010年到2017年的全球装配式建筑市场规模的中位数是 ▲ 亿美元.
（第 19 题图）
平移. 请直接写出此时四边形D′O′OD的面积.
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20.（本题8分）阅读与探究 皮埃尔·德·费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业
余数学家之王”. 1638年勒奈·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶 点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关 结论.
线分别交x轴和直线BC于点D和点E，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线及直线BC的函数关系式.
（2）若P为线段DE中点，求m值.
（3）如图2，当0＜m＜4时，作射线OP，交直线BC于点F，求△OBF是等腰三角形时的m值.
图1
图2
备用图
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（1）求该店1月份到3月份新能源汽车销量的月均增长率.
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为A，B两种
型号. 已知A型车的进价为12万元/辆，售价为15万元/辆，B型车的进价为20万元/辆，售
价为25万元/辆（根据销售经验，购进A型车的数量不少于B型车的2倍）. 假设所购进车
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
∠x+0.2862y=1800，
A. 0.507x+y=581.4
精品解析：【全国校级联考】百校联盟2018届TOP20三月联考(全国II卷)理数试题(解析版)
百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，，则，所以集合的子集个数为4.故选D.2. 已知是虚数单位，，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选C.3. 古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息尺绢，过期第二天利息是尺，这样，每天利息比前一天增多尺，若过期天，欠债方共纳利息为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】D【解析】每天的利息构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以共纳利息为（尺）. 故选D.4. 某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】若种植2块西红柿，则他们在13，14或24位，其中两位是黄瓜和茄子，所以共有种种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共种.故选B.5. 函数的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，则时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，,由函数图象变换可得，因为，所以，故的取值范围是.故选A.6. 已知为坐标原点，等轴双曲线的左，右顶点分别为，，若双曲线的一条渐近线上存在一点，使得，且的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设，设的中点为，由，又,所以，又，所以双曲线的方程为.故选B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出考点：程序框图8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据给定的三视图可知，该几何体为如图（1）所示的几何体，是一个斜三棱柱，过点D 作AC 的平行线分别交于点E,F ，因为平面，截取后，补到几何体左侧，使得与重合，构造一个以为底面，以为高的直三棱柱，如图（2）所示，所以.点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 当时，下列有关函数，的结论正确的个数为（）①是偶函数；②与有相同的对称中心；③函数与的图象交点的横坐标之和为；④函数与的图象交点的纵坐标之和为.A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，，故①不正确；.所以，函数关于点对称，根据图象的平移，可得的图象也关于点对称，故②正确；令，得，解得或.由，所以和.所以横坐标之和为0，纵坐标之和为，故③④正确，故选C.10. 已知为坐标原点，平行四边形内接于椭圆，点，分别为，的中点，且，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据平行四边形的几何特征，A和C，D和B关于原点对称，所以为坐标原点，所以，设，所以.所以，所以，所以离心率为.故选A.11. 如图：是圆锥底面圆的直径，，是圆锥的两种母线，为底面圆的中心，过的中点作平行于的平面，使得平面与底面圆的交线长为，沿圆锥侧面连接点和点，当曲线段长度的最小值为时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据线面平行的性质定理，平面与底面圆的交线一定经过底面圆心，所以底面圆的半径为2，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，如图，曲线段AD的最小值为线段AD，所以，所以，所以，因为底面圆的周长为，所以母线长为6，，根据图形，球心一定位于所在直线上，设球心为，半径为，所以，所以，所以.故选D.点睛：（1）曲面上两点距离的最小值，一般的思路是化曲为直，即将平面展开求两点连线即可.（2）与球有关的组合体，注意运用性质，为底面的外心.12. 已知函数，，存在，使得的最小值为，则函数图象上一点到函数图象上一点的最短距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，（1）当时，.所以在上单调递减.（舍去）.（2）当时，.①当时，,在恒成立，所以在上单调递减.（舍去）.②当时，，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增.所以满足条件.设与直线平行的直线与相切，切点为，则，所以.所以切点为，所以最短距离为.故选C.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知菱形的边长为，，，，则__________．【答案】【解析】.所以.故答案为：.14. 若，满足约束条件则的取值范围为__________．【答案】【解析】满足条件的可行域如图所示，设，则,表示直线在轴上的截距，当直线经过(3,0)时最小，当直线经过(2,2)时，最大，所以，所以.故答案为：.15. 春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过人的概率为__________．【答案】【解析】根据正态分布的对称性，每个安检人口超过1100人的概率：.所以这三个安检人口每天至少有两个超过1100人的概率为.16. 已知数列的奇数项和偶数项为公比为的等比数列，，且.则数列的前项和的最小值为__________．【答案】【解析】当为奇数时，设；当为偶数时，设，综上：设.为偶数时，.又.当时，因为是关于的增函数，又也是关于的增函数，所以，学。
2018届广东省百校联盟高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
2018届广东省百校联盟高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．复数z 满足()()11z i i +-=，则z = （ ）A.2 B. C. D. 1【答案】A 【解析】由题意可得：1112iz i i ++==-，则：11,22z i z =-∴==本题选择A 选项.2．已知(){}2|log 31A x y x ==-， {}22|4B y x y =+=，则A B ⋂=（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,23⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为(){}2|l o g31A x y x ==- 1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{}22|4B y x y =+=[]12,2,,23A B ⎛⎤=-∴⋂= ⎥⎝⎦，故选C.3．下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加， B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月， C 正确；由表格可知1 月至4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至10 月，波动性更大， D 正确，故选B.4．已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若sin x =，则2cos2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】由对数的性质可知： 222log 4log 5=<，则命题p 是真命题；由三角函数的性质可知：若sin x = 221sin 33x ⎛== ⎝⎭， 且： 211cos212sin 1233x x =-=-⨯=，命题q 是真命题.则所给的四个复合命题中，只有p q ∧是真命题. 本题选择A 选项.5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若s i n 3s i n ,5A Bc ==，且5co s 6C =，则a =（ ）A. B. 3 C. D. 4 【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有： 3a b =，不妨设(),30b m a m m ==>，结合余弦定理有： 222222955cos 266a b c m m C ab m +-+-===， 求解关于实数m 的方程可得： 1m =，则： 33a m ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 8+B. 6+C. 6+D. 8+【答案】C【解析】 由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E ABCD -，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为，可得这个几何体的表面积为6+ C. 7．将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线2C ： ()y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度可得()522266g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令5222262k x k πππππ-≤+≤+，得()236k x k k Z ππππ-≤≤-∈，再令0k =，得236x ππ-≤≤-，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选B. 8．执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A. 7B. 10C. 13D. 16 【答案】D【解析】1i =，1不是质数， 0114S =-=-<； 4i =，4不是质数， 1454S =--=-<； 7i =，7是质数， 5724S =-+=<； 10i =，10不是质数， 21084S =-=-<； 13i =，13是质数， 81354S =-+=<， 16i =，故输出的16i =.选D.9．设,x y 满足约束条件220{260 20x y x y y --≤+-≥-≤，则2y xz x y=-的取值范围是（ ） A. 7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 72,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 77,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查yx的几何意义： 可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则1,14y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令y t x =，换元可得： 12z t t =-，该函数在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，据此可得： min max 174,21122z z =-=-=-=， 即目标函数的取值范围是7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 本题选择A 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10．函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】()()()2,2x xe ef x f x f x x x ---==-∴+- 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时， ()()()021x xe ef x x x --=<++-，排除B ；当()1,x ∈+∞时，()0f x >，排除C ；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点， D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A. (B.C.) D. ()⋃+∞【答案】D【解析】由通径公式有： 22b AB a =，不妨设()22,,,,0,b b A c B c D b a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分类讨论：当2b b a >，即1ba <时， DAB ∠为钝角，此时1e <<当2b b a >，即e >ADB ∠为钝角，此时： 442222220,2b b DA DB c b a b a a ⋅=-+<∴+< ，令22b t a=，据此可得： 2210,1t t t -->∴>，则： e >>本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()()231,ln 42x x f x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A.1ln22+ B. ln2 C. 12ln22+ D. 2ln2 【答案】A 【解析】设()231ln 042m nek k -=+=>，则： 143ln ,222k k m n e -=+=，令()14ln 3222k k h k n m e-=-=--，则()141'22k h k e k-=-， 导函数()'h k 单调递增，且1'04h ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则函数()14ln 3222k k h k e -=--在区间10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，结合函数的单调性有： ()min11ln242h k h ⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即n m -的最小值为1ln22+. 本题选择A 选项.二、填空题13．设平面向量m 与向量n互相垂直，且()211,2m n -=- ，若5m =，则n =__________．【答案】5【解析】由平面向量m 与向量n 互相垂直可得0,m n ⋅=所以()2222125,4125mn m n -=∴+=，又5,5m n =∴= ，故答案为5.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅= ，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b θ⋅= （此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b ⋅ ；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅= ;(4)求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅ ）.14．在二项式6⎫的展开式中，第3项为120，则x = __________. 【答案】2【解析】结合二项式定理的通项公式有：662166rrrr r r r T CC t--+⎛⎫==，其中0t >，结合题意有：226226120C t-⨯=，计算可得： 24t =，即： 24,2x x =∴=.15．如图， E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1BCF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为__________.【解析】不妨设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，设11B C BC O ⋂=，如图所示，当点E 为11C D 的中点时， 1BD OE ，则1BD 平面1BCE ， 据此可得OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角，在OEC 中，边长： EC OC OE =由余弦定理可得： cosOEC ∠==.即异面直线1BD 与CE点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点， O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,8M 为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是__________． 【答案】23【解析】,MA OA =∴ 点A 在线段OM 的中垂线上， 又()0,8M ，所以可设(),4A x ，由0tan30,4x x A ⎫=∴=∴⎪⎭的坐标代入方程22x py =有： 16243p =⨯ 解得： 2.3p =点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题17．已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和n T .【答案】(1) n a n =， 2n b n =.(2) ()21n nT n =+.【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列，则n a n =，利用前n 项和与通项公式的关系可得{}n b 的通项公式为2n b n =.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21n nT n =+.试题解析：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以， ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时， 12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()111111111222334121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 18．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.【答案】(1)1350；(2)1.2. 【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为1350；(2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量X 的数学期望为1.2. 试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则()1121421131325525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量()3,0.4X B ~， 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.19．如图，四边形ABCD 是矩形，3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,ABCD PE（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得AC ⊥平面PBE ，结合面面垂直的判断定理可得平面PAC ⊥平面PBE ；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角A PB C --的余弦值为. 试题解析：（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形，3,2AB BC DE EC ===,所以CE BCCE BC AB==, 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆~∆∠=∠,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E ⋂=，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得()()()(3,,,,A B C P -,则()(,3,,AB BP CB ⎫==-=⎪⎪⎝⎭, 设平面APB 的法向量()1111,,n x y z =，则11110{30x =--+=，取1110,1x y z ===，即1n ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面BPC 的法向量()2222,,n x y z =，则222230{30x x =-=，取2110,1x y z ==，即()1n =设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅由图可知二面角为钝角，所以cos θ=.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的C 经过点2,2A ⎛⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，MN =记直线l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【答案】(1) 2218x y +=.(2)【解析】试题分析：(1)结合题意可求得221,8b a ==，则椭圆的方程为2218x y +=.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线l 在y 轴上的截距试题解析：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点2,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=， 所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=. （2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立方程组22{ 1 8x y y kx m+==+ 得()2221816880k x kmx m +++-=，由()()222256321180m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k --+==++，所以MN ==由218k =+()()()2222813441k k m k +-=+， 令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，249218214m t t ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭m ≤当且仅当4984tt =，即8t =时，上式取等号，此时2k =， (2738m -=，满足2218m k <+，所以m21．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得()2221x x mf x x ++'=+，分类讨论可得：当102m <<时， ()f x 在1122⎛--- ⎝⎭上递减，在11,2⎛-- ⎝⎭和12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增.(2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立， ②当102m <<时，由()222g x x x m=++，得121122x x =-=-，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时， ()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时， ()f x 在1122⎛---+ ⎝⎭上递减，在11,2⎛--- ⎝⎭和12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <，则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增， 则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e+>+，故()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增， 故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）．（1）将1C ， 2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．【答案】（1）()2211x y +-=表示以()0,1为圆心，1为半径的圆， 2214x y +=表示焦点在x 轴上的椭圆；（2.【解析】试题分析：（1）分别将曲线1C 、2C 的参数方程利用平方法消去参数，即可得到1C ， 2C 的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2）1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用点到直线距离公式可得M 到直线l 的距离6d =，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）1C 的普通方程为()2211x y +-=，它表示以()0,1为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．（2）由已知得()0,2P ，设()2cos ,sin Q ϕϕ，则1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线l ： 240x y --=，点M 到直线l的距离d ==所以d ≥=M 到l． 23．已知()223f x x a x a =-+++ .（1）证明： ()2f x ≥； （2）若332f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) ()1,0-.【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为223a a ++，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于a 的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+而()2222323122x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,33342{ 32222,4a a a f a a a a a ++≥-⎛⎫-=+++= ⎪⎝⎭-<-， 所以23{ 4233a a a ≥-++<或23{ 423a a a <--<，解得10a -<<，所以a 的取值范围是()1,0-.。
百校联盟2018届TOP20三月联考(全国II卷)数学(文)试题及答案解析
百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}01234A =，，，，，{}3B x x =≥，则集合()RA B ð的子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82.已知i 是虚数单位，()()()432z i i i =++-，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．105i + B ．510i + C ．105i - D ．510i -3.已知x 与y 的取值如表所示，若x 与y 线性相关，且回归直线方程为 1.23y x a =+，则6x =时，y 的预测值为（保留到小数点后一位数字）（ ）A ．7.4B ．7.5C ．7.6D ．8.54.已知直线a ，b 及平面α，β，a α⊂，b β∈.命题p ：若αβ⊥，则 a ，b 一定不平行；命题://q αβ是a ，b 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝5.已知x ，y 满足不等式组10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =-+的最小值为（ ）A ．7B ．4 C.72D ．2 6.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为（ ）A ．19 B ．110 C. 111 D ．1127.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．6 C.4 D ．838.我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注：1斛 1.62≈立方尺，3π≈）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ） A ．5尺 B ．9尺 C. 10.6尺 D ．21.2尺 9.已知函数()sin cos f x x x λ=-的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，若将函数()f x 图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间是（ ）A ．2,2,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．,,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ） A．1,23⎛ ⎝⎭ B．,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,43⎛ ⎝⎭D ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭ 11. 已知()()22,0,23,0,x a x f x x x a x ⎧--≥⎪=⎨---+<⎪⎩若x R ∀∈，()()0f x f ≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．()3,1- C. []2,0- D ． [)2,0-12. 已知数列{}n a 的通项公式为1221,21,2n n nn a n -⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，为偶数，则数列{}37n a n +-的前2n 项和的最小值为（ ） A ．514-B ．1854- C. 252- D ．1058- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()ln g x x =图象上一点P 到直线y x =的最短距离为 ． 14.已知数列{}n a 满足241n n S a =-，当n N *∈时，(){}222log log n n a a λ+是递增数列，则实数λ的取值范围是 ．15.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:0l x ky -=与圆22:4C x y +=的内接正三角形ABC 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，且//PQ BC ，则B Q C P ⋅的值为 ． 16.已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，点D 在边BC 上，且2CD AD DB ==，cos BAD ∠=b =（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）求ABC △周长的最大值.18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出1个利润为5元，未售出的每个亏损3元.根据以往100天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了130个这种蛋糕.以x （单位：个，100150x ≤≤）表示这天的市场需求量.T （单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.（Ⅰ）将T 表示为x 的函数，根据上表，求利润T 不少于570元的概率； （Ⅱ）估计这100天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅲ）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了50名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为5.完善上表，并根据上表，判断是否有97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.已知几何体EF ABCD -，其中四边形ABCD 为直角梯形，四边形EBCF 为矩形，//AD BC ，且222BC BE AD ===，45BCD ∠=.（Ⅰ）试判断线段BE 上是否存在一点H ，使得//AH 平面ECD ，请说明理由； （Ⅱ）若CD ED ⊥，求该几何体的表面积.20. 在平面直角坐标系xOy 中，与点()2,3M -关于直线220x y -+=对称的点N 位于抛物线()2:20C x py p =>上.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点N 作两条倾斜角互补的直线交抛物线C 于A ，B 两点（非N 点），若AB 过焦点F ，求AF BF的值.21. 已知函数()1f x =1x =为函数()()ln g x x x c =-的极值点. （Ⅰ）证明：当1x >时，()22g x x x <-；（Ⅱ）对于任意12m ≤，都存在()0,n ∈+∞，使得()()nf m g n n =+，求n m -的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线11:x t l y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程，直线1l 的普通方程；（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l ，设2l 与曲线1C 的交点为M ，N ，P 为曲线1C 上任意一点，求PMN ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =-+-的最小值为M . （Ⅰ）若[],,m n M M ∈-，求证：24m n mn +≤+； （Ⅱ）若(),0,a b ∈+∞ ，2a b M +=，求21a b+的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10: CCDCA 11、12：CD 二、填空题13.214. ()1,+∞ 15.223- 16.()64,81三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为cos 4BAD ∠=，所以sin 4BAD ∠=.根据正弦定理，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin sin AD B BAD BD =∠=， 又B 为锐角，所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，所以()()()222222483324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+-=+-≥+-=⎪⎝⎭，∴a c +≤a c =时，等号成立.故a b c ++≤ABC △周长的最大值为18.【解析】（Ⅰ）当[)100,130x ∈时，()531308390T x x x =--=-， 当[]130,150x ∈时，5130650T =⨯=，所以8390,100130,650,130150.x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩当570T ≥时，8390570x -≥，∴130120x >≥，又650570≥，所以120150x ≤≤， 因此，利润T 不少于570元的概率为3025150.7100++=.（Ⅱ）这100天的平均需求量为1051011520125301352514515126.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）根据题意，购买意愿强市民中女性的人数为528207⨯=，男性为8人，填表如下：根据公式，()2250201488 6.15 5.024********K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.19.【解析】（Ⅰ）存在线段BE 的中点H ，使得//AH 平面ECD ，理由如下： 取EC 的中点G ，连接HG ，DG ，∵H 为BE 的中点，∴//HG BC ，且12HG BC =， 又∵四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且12BC AD =，∴//AD HG ，AD HG =，∴四边形ADGH 为平行四边形，∴//AH DG ， ∵AH ⊄平面ECD ，DG ⊂平面ECD ， ∴//AH 平面ECD .（Ⅱ）因为四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且112BC AD ==，45BCD ∠=，所以112BC AB ==，∴CD =又EC ==CD ED ⊥，所以DE ==因为BC AB ⊥，BC BE ⊥，ABBE B =，所以BC ⊥平面ABE ，又因为//BC AD ，∴AD ⊥平面ABE ，∴AD AE ⊥，所以AE ==AB BE ⊥.所以111122ABE S =⨯⨯=△,因为DCF △为直角三角形，所以1122DCF S ==△， 又四边形AEFD 也为直角梯形，()()1112222AEFD S AE AD EF =+=+=Y ， 又()()113112222ABCD S AB AD BC =+=⨯⨯+=Y ，2BEFC S =Y ，所以该几何体的表面积为31242222S =++++=+20.【解析】（Ⅰ）设(),N m n ，则31,2223220,22n m m n -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-+=⎪⎩解之得()2,1N ，代入()220x py p =>得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.（Ⅱ）显然直线NA 的斜率是存在的，设直线NA 的方程()12y k x -=-， 设直线NB 的方程()12y k x -=--，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程()2412x y y k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩消元，得24840x kx k -+-=，所以124x k +=，∴142x k =-，∴()1411y k k =-+， 故()()42,411A k k k --+， 同理，()()42,411B k k k --++，所以()()41141114242AB k k k k k k k ++---==----+，若1AF BF <，因为cos45BF AF BF AF-=+，∴3AF BF==-若1AF BF>，同理可求3AF BF==+21.【解析】（Ⅰ）()()ln g x x x c =-，∴()'1ln g x x c =+-， 又∵1x =为极值点，1ln10c +-=，∴1c =， 经检验1c =符合题意，所以1c =，当1x >时，()22g x x x <-，可转化为当1x >时，ln 10x x -+<恒成立， 设()ln 1t x x x =-+，所以()'111x t x x x-=-=， 当1x >时，()'0t x <，所以()t x 在()1+∞，上为减函数，所以()()10t x t <=， 故当1x >时，()22g x x x <-成立. （Ⅱ）令()()1ln g n f m n k n=+==，则1k = 解得()22111222k m k k -=-=-，同理，由ln k n =，可得kn e =，因为(]1,1k =-∞，又ln k n R =∈，所以(],1k ∈-∞， 令()()2112kh k n m e k k k =-=-+≤， 则()'1kh k e k =-+，易知()'00h =，当0k <时，()'0h k <，当01k <<时，()'0h k >，即当0k <时，()h k 是减函数，当01k <<时，()h k 是增函数， 所以()h k 的最小值为()01h =，即n m -的最小值为1.22.【解析】（Ⅰ）把曲线1cos :2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数可得(()2221x y +-=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得曲线1C的极坐标方程为2cos 4sin 60ρθρθ--+=.把直线11:x tl y =+⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程)1y x =-.（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l的方程为y =，其极坐标方程为3πθ=.联立2cos 4sin 60,,3ρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩所以260ρ-+=，所以12126,ρρρρ⎧+=⎪⎨=⎪⎩- 11 - 故12ρρ-==，圆心到直线2l的距离为12d ==， 圆上一点到直线2l 的最大距离为131=22+，所以1322S =⨯=23.【解析】（Ⅰ）()()232123212f x x x x x M =-+-≥---==， 要证明24m n mn +≤+，只需证明()()2244m n mn +≤+， ()()()()()()22222222444216844m n mn m mn n mn m n m n +-+=++-++=--， ∵[],2,2m n ∈-，∴[]22,0,4m n ∈， ∴()()22440m n mn +-+≤，∴()()2244m n mn +≤+，可得24m n mn +≤+.（Ⅱ）由题意，22a b +=， 故()2112114122244222a b a b a b a b b a b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a =，12b =时，等号成立，所以21a b+的最小值为4.。
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A. 32 姨 2 cm B. 32 cm C. 48 姨 2 cm D. 48 cm 10. 如图，在半径为2 cm的扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，将其折叠使点B落在点O处，折痕 为DE，则图中阴影部分的面积为 摇 4π 摇 π - 姨 3 cm2 A. B. 姨 3 cm2 3 3
皮埃尔 · 德 · 费马
22.（ 本题13分）综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师组织同学们以 “ 直角三角形的旋转”为主题开展数学活动. 如 图1，矩形ABCD中，AD=2AB，连接AC. 将△ABC绕点A旋转到某一 位置，观察 图形，提 出问题并加以解决. 实践操作 （ 1）如图 2， 慎 思组的同学将图 1 中的 △ABC 以点 A 为旋转中 心 ， 按逆 时 针方向 旋转， 得 到△AB′C′，此时B′C′过点D，则∠ADB′= ▲ 度. （ 2）博学组的同学在图2的基础上继续旋转得到图3，此时点C′落在CD的 延长线上，连 接BB′. 该组提出下面两个问题： ①C′D和AB有何数量关系？ 并说明理由. ②BB′和AC′有何位置关系？ 并说明理由. 请你解决该组提出的这两个问题.
数学 （ 二） 第 6 页 （ 共 6 页）
20.（ 本题8分）阅读与探究 皮埃尔 · 德 · 费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为 “ 业 余数学家之王”. 1638年勒奈 · 笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶 点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关 结论. 定义： 若一个三角形的最大内角小于120°， 则在其内部有一 点，可使该点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个 三角形的费马点. 例如，如图1，点P是△ABC的费马点.
图1 图2 备用图 （ 第 21 题图） 图1 图2 图3 图4
提出问题 （ 3）请你参照以上操作，将图1中的△ABC旋转至某一位置. 在图4中画出新图形，标明 字母，说明构图方法，并提出一个问题，不必解答. 23.（ 本题14分）综合与探究 3 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=- x2+bx+3与x轴交于A，B两点 （ 点A在点B的 8 左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为 （ -2，0）. 抛物线上有一动点P，过点P作y轴的平行 线分别交x轴和直线BC于点D和点E，设点P的横坐标为m. （ 1）求抛物线及直线BC的函数关系式. （ 2）若P为线段DE中点，求m值. （ 3）如图2，当0＜m＜4时，作射线OP，交直线BC于点F，求△OBF是等腰三角形时的m值.
图1
图2
请结合阅读材料，解决下列问题： 已知：如图2，锐角△DEF. （ 1）尺规作图，并标明字母. ①在△DEF外，以DF为一边作等边△DFG， ②作△DFG的外接圆⊙O， ③连接EG交⊙O于点M. （ 2）求证： （ 1）中的点M是△DEF的费马点. 21.（ 本题 10 分）随着 “ 低碳生活，绿色出行” 理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们 喜爱的交通工具 . 某新能源汽车 4S 店的 汽车销量自2017年起逐月增加. 据统计， 该店1月份销售新能源汽车64辆，3月份销售了100辆. （ 1）求该店1月份到3月份新能源汽车销量的月均增长率. （ 2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为A，B两种 型号. 已知A型车的进价为12万元/辆，售价为15万元/辆，B型车的进价为20万元/辆，售 价为25万元/辆 （ 根据销售经验，购进A型车的数量不少于B型车的2倍）. 假设所购进车 辆能够全部售完，为使利润最大，该店应购进A，B两种型号车各多少辆？ 最大利润为 多少？ 数学 （ 二） 第 5 页 （ 共 6 页）
请根据统计图解答下列问题： （ 1）2010年到2017年的全球装配式建筑市场规模的中位数是 ▲ 亿美元. （ 2）从2016年到2017年，全球装配式建筑市场规模的增长率是 ▲ .（ 精确到1%） （ 3）2017 年 全 球 装 配 式 建 筑 市 场 区 域 结 构 统 计 图 中 ， 美 国 所 在 扇 形 的 圆 心 角 是 ▲ 度. （ 4）2017年中国装配式建筑市场规模为多少亿美元？ 19.（ 本题7分） 3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= x+b的图 2 k 象与反比例函数 y= （ k 为常数，k ≠0）的图象 交 于 x A，B两点，与x轴和y轴分别交于C，D两点. 已知点B的 坐标为 （ 1，3），连接OB. k （ 1）求反比例函数y= 的关系式及C，D两点的坐标. x （ 2）将 △DOB 沿 射 线 BD 方 向 平 移 得 到 △D′ O′ B′ ， k （ 第 19 题图） 当点O的对应点O′落在函数 y= 的图象上时， 停止 x 平移. 请直接写出此时四边形D′O′OD的面积. 数学 （ 二） 第 4 页 （ 共 6 页）
∠ ∠
∠ ∠
A
（ 第 2 题图）
B
C
D
3. 下列计算正确的是 A. 4a+2a=8a A. 65° B.（ a4）2=a6 B. 55°
4 C. a· a2=a6
D. a4÷a2=a
摇
图1
摇
图2
4. ∠1与∠2互为余角，当∠1为35°时，∠2的度数是 C. 45° D. 145° 5. 下列说法中正确的是 A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形
图1
（ 第 13 题图）
（ 第 14 题图）
（ 第 15 题图）
14. 如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影. 连续转动转 盘两次 （ 转动第一次，等转盘完全停止后，再转动第二次 . 若转盘停止后，指针指向等 分线则重转），则两次结果中指针一次落在白色区域，一次落在阴影区域的概率是 ▲ . 15. 如图，在边长为4的正方形 ABCD中，E为AB 边的中点，F是BC 边上的动点，将 △EBF沿 EF 所在直线折叠得到 △EB′ F，连接 B′ D. 则当 B′ D 取得最小值时， tan ∠BEF 的值为 ▲ . 三、解答题 （ 本大题共 8 个小题，共 75 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（ 本题共2个小题，每小题5分，共10分） （ 1）计算： 姨12 + -1 2
2. 如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的俯视图是
该市某用户 11月份使用 “ 峰谷电”1800 kW · h，交电费 581.4元，问该用户 11月份 “ 峰电” 和 “ 谷电”各用了多少kW · h？ 设该用户11月份 “ 峰电”用了x kW · h， “ 谷电”用了y kW · h，根据题意可列方程组 x+0.2862y=1800， 0.507x+y=1800， A. B. 0.507x+y=581.4 x+0.2862y=581.4 x+y=1800， x+y=1800， C. D. 0.507x+0.2862y=581.4 0.2862x+0.507y=581.4 7. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球. 每 次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中. 通过大量重复摸球试验后，发现摸 到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为 A. 8 B. 6 C. 12 D. 4 3 8. 已知反比例函数y=- ，下列结论不正确的是 x A. 图象经过点 （ -1，3） B. 在每一象限内，y值随x值的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 若x＜-1，则y＞3 9. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为 “ 东方魔板”. 小明利用七巧板 （ 如图1所示） 拼成了一个长方形 （ 如图2所示），则该长方形的周长是
图2
图3
姨1 姨-4sin60°. 3 x -2x+1 1- 3 （ 2）化简： ÷姨 . 姨 x+1 x -1
摇 -2 2
17.（ 本题 5 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分 别是BC和DC边上的点，且EC=FC. 求证：∠AEF=∠AFE.
（ 第 17 题图）
18.（ 本题8分）装配式建筑是指用工厂生产的预制构件在现场装配而成的建筑，是工业化 2018-2023年中国住宅产业化发 建筑的重要组成部分. 根据前瞻产业研究院发布的 《 展模式与投资战略规划分析报告》数据显示，2016年全球装配式建筑市场规模为1576 亿美元，2017年近2000亿美元. 下面是来源于该报告的三幅统计图. 数学 （ 二） 第 3 页 （ 共 6 页）
数
注意事项：
学
1. 本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
沿 此 线 折 叠
选择题 （ 共 30 分）
一、选择题 （ 本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. -2的相反数是 A. 2 B. -2 C. 1 2 D. 1 2
非选择题 （ 共 ９0 分）
. ▲ .
二、填空题 （ 本大题共 5 个小题，每小题 ３ 分，共 １5 分） ▲ x-3≤1，
12. 不等式组 x-1 的解集是 ＜x+ 1 2
13. 如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A，B两点的 1，0）和 （ 2，3）. 将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个 坐标分别是 （ 单位，则此时点B的坐标是 ▲ .
姨 姨 4π C. 姨 -2 姨 3 姨 cm 3
摇
2
姨 姨 π 2姨 3 - 姨 D. 姨 cm 3