2019-2020年高考数学二轮复习专题六概率与随机变量及其分布第1讲概率的基本问题课件
∴x5y2 的系数为 C25C13＝30. (2)记 f(x)＝(x2＋1)(x－2)11＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋… ＋a13(x－1)13， 则 f(1)＝a0＝(12＋1)(1－2)11＝－2. 而 f(2)＝(22＋1)(2－2)11＝a0＋a1＋a2＋…＋a13， 即 a0＋a1＋a2＋…＋a13＝0. 所以 a1＋a2＋…＋a13＝2.
3.事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生) 的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，
即P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
4.在一次试验中，对立事件A和 A 不会同时发生，但一定 有一个发生，因此有P( A )＝1－P(A).
热点一 排列、组合与二项式定理 [微题型1] 排列、组合问题
②二项展开式的通项 Tr＋1＝Cnran－rbr，r＝0，1，2，…，n，其中 Cnr(r＝0，1，…，n) 叫做二项式系数. 2.概率 (1)概率的取值范围是[0，1]，即 0≤P(A)≤1，必然事 件发生的概率为 1，不可能事件发生的概率为 0. (2)古典概型 P(A)＝事件试A验中的所基含本的事基件本总事数件数.
A.24
B.18
C.12
D.9
解析 从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的 最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3 ＝18种，故选B. 答案 B
2.(2016·全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的
花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花
坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
所以 8(a＋1)＝32，解得 a＝3. (2)不妨设 1＋x＝t，则 x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2 ＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则 a3＝C25(－1)2＝10.
答案 (1)3 (2)10
热点二 古典概型与互斥、对立事件的概率
[微题型1] 对于古典概型的考查
【例2－1】 (1)(2016·深圳一调)4名同学参加3项不同的课外 活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活
的系数为( )
A.10
B.20
C.30
D.60
(2)若(x2＋1)(x－2)11＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a13(x－ 1)13，则a1＋a2＋…＋a13＝________. 解析 (1)Tk＋1＝Ck5(x2＋x)5－kyk，∴k＝2. ∴C25(x2＋x)3y2 的第 r＋1 项为 C25Cr3x2(3－r)xry2， ∴2(3－r)＋r＝5，解得 r＝1，
A.72
B.120
C.144
D.168
解析 (1)法一 如丙、丁分到同一个班级，则方法数就是三个
元素的一个全排列，即 A33；若丙分到甲或乙所在的班级，则丁 只能独自一个班级，方法数是 2A33；同理，若丁分到甲或乙所 在的班级，则丙独自一个班级，方法数是 2A33.根据分类加法计 数原理，得总的方法数是 5A33＝30.
解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝ 20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收 集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，将频率视为概率得
P(X＝1)＝11050＝230，P(X＝1.5)＝13000＝130，P(X＝2)＝12050＝14，
P(X＝2.5)＝12000＝15，P(X＝3)＝11000＝.5 2 2.5 3
P
3 20
3 10
1 4
1 5
1 10
X 的数学期望为 E(X)＝1×230＋1.5×130＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.
(2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”， Xi(i＝1，2)为该顾客前面第 i 位顾客的结算时间，则 P(A)＝P(X1＝1 且 X2＝1)＋P(X1＝1 且 X2＝1.5)＋ P(X1＝1.5 且 X2＝1). 由于各顾客的结算相互独立，且 X1，X2 的分布列都与 X 的分 布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2 ＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝230×230＋230×130＋130×230＝ 890.该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为890.
【例1－1】 (1)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班 级，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到 同一个班级，则不同的分法种数为( )
A.18
B.24
C.30
D.36
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相
声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x
30
25
y
10
结算时间
1
1.5
2
2.5
3
(分种/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数 学期望； (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的 结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. (注：将频率视为概率)
第1讲 概率的基本问题
高考定位 对于排列组合、二项式定理、古典概型、互斥事 件及对立事件的概率的考查也会以选择或填空的形式命题， 属于中档以下题目.
真题感悟 1.(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小
红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
动至少有一名同学参加的概率为( )
4
4
A.9
B.27
9
3
C.64
D.64
(2)从1，2，3，…，20这20个数中任取2个不同的数，则这
两个数之和是3的倍数的概率为( )
1
3
A.19
B.38
32
57
C.95
D.190
解析 (1)4 名同学参加 3 项不同的活动共有 34＝81 种，其中 每项活动至少有一名同学参加的有：C24A33＝36 种.由古典概型 知所求概率为 P＝3861＝49.
1
1
A.3
B.2
2
5
C.3
D.6
解析 将 4 种颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种 种在另一个花坛，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红 白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红 紫))共 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有((红 黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红 白))，共 4 种，故所求概率为 P＝46＝23，选 C. 答案 C
探究提高 解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求 出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到 计数原理与排列、组合的相关知识.
[微题型2] 考查互斥事件与对立事件的概率
【例2－2】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安 排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据， 如下表所示.
所以 P(A)＝156，即小亮获得玩具的概率为156. (2)记“xy≥8”为事件 B，“3＜xy＜8”为事件 C. 则事件 B 包含的基本事件数共 6 个. 即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4). 所以 P(B)＝166＝38.事件 C 包含的基本事件数共 5 个， 即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1). 所以 P(C)＝156.因为38＞156， 所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率.
探究提高 解此类题的关键是理解频率与概率间 的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件， 要考虑全面，防止遗漏.
【训练1】 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之 和为32，则a＝____________.
(2)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋ a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
解析 (1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，
解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基 本 事 件 空 间 Ω 与 点 集 S ＝ {(x ， y)|x∈N ， y ∈ N ， 1 ≤ x ≤ 4 ， 1≤y≤4}一一对应. 因为S中元素的个数是4×4＝16. 所以基本事件总数n＝16. 记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的基本事件数共5个， 即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
答案 (1)C (2)2
探究提高 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点： ①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之 确定； ②对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题； ③(x＋y)n展开式中的每一项相当于从n个因式(x＋y)中每个因 式选择x或y组成的. (2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法， 是处理组合数问题、系数问题的经典方法.要根据二项展开 式的结构特征灵活赋值.
探究提高 解排列、组合的应用题，通常有以下途径： (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他 元素. (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他 位置. (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符 合要求的排列或组合数.
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2020版高考数学二轮复习第二部分专题四概率与统计第1讲概率、离散型随机变量及其分布列课件
第二部分 高考热点 分层突破
专题四 概率与统计 第1讲 概率、离散型随机变量及其分布列
数学
01
做高考真题
明命题趋向
02
研考点考向
破重点难点
[做真题]
题型 古典概型与事件的相互独立性
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．
每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻
C．12
D．23
解析：选 B.4 名游客去三个景点，每个景点至少有一个人，可以先将其中 2 名游客“捆 绑在一起”作为“一个人”，再将“三个人”安排到三个景点去旅游，共有 C24A33＝6×6 ＝36(种)方案．游客甲去梵净山旅游，若梵净山再没有其他 3 名游客去旅游，则有 C23A22 ＝3×2＝6(种)方案，若“乙、丙、丁”中有 1 人也去了梵净山旅游，则有 C13A22＝6(种) 方案，所以游客甲去梵净山旅游共有 12 种方案．所以游客甲去梵净山旅游的概率 P＝1326 ＝13.故选 B.
中随机选取两个不同的数有 C210种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30
的有 3 对，所以所求概率 P＝C3210＝115，故选 C.
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜 利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客 客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果 相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是________． 解析：记事件 M 为甲队以 4∶1 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四 场甲队胜三场负一场，所以 P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
专题四 概率与统计 第1讲 概率、离散型随机变量及其分布列
数学
01
做高考真题
明命题趋向
02
研考点考向
破重点难点
[做真题]
题型 古典概型与事件的相互独立性
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．
每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻
C．12
D．23
解析：选 B.4 名游客去三个景点，每个景点至少有一个人，可以先将其中 2 名游客“捆 绑在一起”作为“一个人”，再将“三个人”安排到三个景点去旅游，共有 C24A33＝6×6 ＝36(种)方案．游客甲去梵净山旅游，若梵净山再没有其他 3 名游客去旅游，则有 C23A22 ＝3×2＝6(种)方案，若“乙、丙、丁”中有 1 人也去了梵净山旅游，则有 C13A22＝6(种) 方案，所以游客甲去梵净山旅游共有 12 种方案．所以游客甲去梵净山旅游的概率 P＝1326 ＝13.故选 B.
中随机选取两个不同的数有 C210种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30
的有 3 对，所以所求概率 P＝C3210＝115，故选 C.
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜 利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客 客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果 相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是________． 解析：记事件 M 为甲队以 4∶1 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四 场甲队胜三场负一场，所以 P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
通用版2019高考数学二轮复习第一部分专题十二计数原理、概率、随机变量及其分布列课件理(普通生)
所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为4690.
(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的
分布列和数学期望 E(X)．
[解] 随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck4CC31360－k(k＝0,1,2,3)． 所以 P(X＝0)＝CC04C31036＝16，P(X＝1)＝CC14C31026＝12， P(X＝2)＝CC24C13016＝130，P(X＝3)＝CC34C31006＝310. 所以随机变量 X 的分布列为：
答案：C
5.[二项式系数或各项系数的最值只
x
有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项是 ( )
A．－7
B．7
C．－28
D．28
解析：因为只有第 5 项的二项式系数 Cn4最大，所以n2＝4，即 n
＝8.x2－
1 3 8
x
的展开式的通项公式为
Tr＋1＝Cr8x28－rx2－
解析：令
x＝1，则x＋
3xn＝4n，所以x＋
3 n x
的展开式中，
各项系数和为 4n，又二项式系数和为 2n，所以42nn＝2n＝32，解
得
n＝5.二项展开式的通项
Tr＋1＝Cr5x5－r
3xr＝Cr53rx5－
3 2
r，令
5
－32r＝2，得 r＝2，所以 x2 的系数为 C2532＝90，故选 C. 答案：C
D．80
解析：x2＋2x5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr＝
C
r 5
·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为
C52·22＝40.
(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的
分布列和数学期望 E(X)．
[解] 随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck4CC31360－k(k＝0,1,2,3)． 所以 P(X＝0)＝CC04C31036＝16，P(X＝1)＝CC14C31026＝12， P(X＝2)＝CC24C13016＝130，P(X＝3)＝CC34C31006＝310. 所以随机变量 X 的分布列为：
答案：C
5.[二项式系数或各项系数的最值只
x
有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项是 ( )
A．－7
B．7
C．－28
D．28
解析：因为只有第 5 项的二项式系数 Cn4最大，所以n2＝4，即 n
＝8.x2－
1 3 8
x
的展开式的通项公式为
Tr＋1＝Cr8x28－rx2－
解析：令
x＝1，则x＋
3xn＝4n，所以x＋
3 n x
的展开式中，
各项系数和为 4n，又二项式系数和为 2n，所以42nn＝2n＝32，解
得
n＝5.二项展开式的通项
Tr＋1＝Cr5x5－r
3xr＝Cr53rx5－
3 2
r，令
5
－32r＝2，得 r＝2，所以 x2 的系数为 C2532＝90，故选 C. 答案：C
D．80
解析：x2＋2x5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr＝
C
r 5
·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为
C52·22＝40.
高考复习 第十二章 随机变量及其分布
（2）若 是随机变量， 是常数，则 也是随机变量
★热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：离散型随机变量及其分布列的计算
题型1. 离散型随机变量的取值
[例1]写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
★重 难 点 突 破★
1.重点：了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量及离散型随机变量的分布列的意义，
2.难点：会求某些简单的离散型随机变量的分布列；掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质及简单运用。
3.重难点：.
解：设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 、 ，
则 取值分别为1，2，3； 取值分别为0，1，2，3。…………………………………2分
， ， 。
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
1
2
3
2．(广东省五校2008年高三上期末联考)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：
现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望.
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
23Βιβλιοθήκη 【名师指引】求离散型随机变量分布列时，应明确随机变量可能取哪些值，然后计算其相应的概率填入相应的表中即可。
【新题导练】
1.(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；
★热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：离散型随机变量及其分布列的计算
题型1. 离散型随机变量的取值
[例1]写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
★重 难 点 突 破★
1.重点：了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量及离散型随机变量的分布列的意义，
2.难点：会求某些简单的离散型随机变量的分布列；掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质及简单运用。
3.重难点：.
解：设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 、 ，
则 取值分别为1，2，3； 取值分别为0，1，2，3。…………………………………2分
， ， 。
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
1
2
3
2．(广东省五校2008年高三上期末联考)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：
现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望.
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
23Βιβλιοθήκη 【名师指引】求离散型随机变量分布列时，应明确随机变量可能取哪些值，然后计算其相应的概率填入相应的表中即可。
【新题导练】
1.(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；
2023版高三数学复习优秀课件《随机变量及其分布》
（3）列成表格。
一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个 黑球,采取不放回抽样方式，从中摸出两个小 球，求摸得白球的个数的分布列.
1、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
地从其中一盒中取出一根。试求他发现一
盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数k的分
布列。PΒιβλιοθήκη Cn 2nk1 2
2nk
,
k
0,1,
2,
,n
盒中有9个正品和3个次品零件，每次取 出一个零件，如果取出的次品不再放回，则 在取得正品前已取出的次品数X的分布列。
某射手有5发子弹，射击一次命中的概率 为0.8.
⑴如果命中了就停止射击，否则一直射击到子
ξ取每一个值 xi (i 1, 2, )的概率
P( xi ) pi
则表
ξ x1 x2 … xi …
p
p1
p2 … pi …
称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
根据随机变量的意义与概率的性质， 你能得出分布列有什么性质？
两个关健步骤： ⑴列出随机变量ξ的所有取值；
⑵求出ξ的每一个取值的概率．
C191
(
3 8
)10
(
5 8
)2
得a≤10000 故最大定为10000元。
袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只 木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑 料球.
现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率是多少？
条件概率 P（B A）（conditional probability )：
一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个 黑球,采取不放回抽样方式，从中摸出两个小 球，求摸得白球的个数的分布列.
1、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
地从其中一盒中取出一根。试求他发现一
盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数k的分
布列。PΒιβλιοθήκη Cn 2nk1 2
2nk
,
k
0,1,
2,
,n
盒中有9个正品和3个次品零件，每次取 出一个零件，如果取出的次品不再放回，则 在取得正品前已取出的次品数X的分布列。
某射手有5发子弹，射击一次命中的概率 为0.8.
⑴如果命中了就停止射击，否则一直射击到子
ξ取每一个值 xi (i 1, 2, )的概率
P( xi ) pi
则表
ξ x1 x2 … xi …
p
p1
p2 … pi …
称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
根据随机变量的意义与概率的性质， 你能得出分布列有什么性质？
两个关健步骤： ⑴列出随机变量ξ的所有取值；
⑵求出ξ的每一个取值的概率．
C191
(
3 8
)10
(
5 8
)2
得a≤10000 故最大定为10000元。
袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只 木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑 料球.
现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率是多少？
条件概率 P（B A）（conditional probability )：
2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率、随机变量及其分布教案理(最新整理)
第1讲概率、随机变量及其分布［做小题——激活思维］1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X）＝1。
6,则a－b＝( ）X0123P0。
1a b0。
1A．0.2C．0。
8 D．－0。
8B［由0。
1＋a＋b＋0.1＝1,得a＋b＝0。
8,又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0。
1＝1。
6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0。
3,b＝0.5，则a－b＝－0。
2.］2．已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0。
5,两个路口连续遇到红灯的概率为0。
4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )A．0。
6 B．0.7C．0.8 D．0。
9C［记“第一个路口遇到红灯"为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）＝0.5，P（AB)＝0。
4，则P（B｜A)＝错误!＝0.8，故选C。
]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ）A。
错误!B。
错误!C。
14D。
错误!B［设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝错误!,P(B）＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A错误!)＋P（错误!B)＝P（A)P（错误!）＋P(错误!）P(B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。
］4．设随机变量X~B(2，p），Y～B（4，p)，若P（X≥1）＝错误!,则P(Y≥1）＝( ）A.错误!B。
错误!C。
错误!D．1C[∵X～B(2，p），∴P（X≥1）＝1－P(X＝0）＝1－C错误!（1－p)2＝错误!，解得p＝错误!,∴P(Y≥1）＝1－P（Y＝0)＝1－C0，4（1－p)4＝1－错误!＝错误!，故选C.］5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球,记住颜色后再放回，连续取4次,设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为________．错误!［因为是有放回地取球，所以每次取球（试验）取得红球（成功）的概率均为错误!，连续取4次(做4次试验），X为取得红球（成功）的次数,则X~B错误!，∴D(X）＝4×错误!×错误!＝错误!.]6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米)服从正态分布N（0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6）内的概率为________．（附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2），则P(μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0。
2019大一轮高考总复习理数(人教版)课件：第11章 概率、随机变量及其分布列 第1节 随机事件的概率
[刷好题]
1．给出下列命题，其中正确命题有____0____个． ①有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品；② 做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是73；③随机事件发 生的频率就是这个随机事件发生的概率． 解析：①错，不一定是 10 件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于 概率，这是两个不同的概念．
[提能力]
【典例】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张 奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等 奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝125＋145＝25.
随机事件的关系
[明技法]
1．准确把握互斥事件与对立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生． (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有 且仅有一个发生． 2．判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥 事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是 互斥事件．
[刷好题]
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至 少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一 种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件．如果是，再判断它们是不是 对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. 解：(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可 能同时发生，故A与C不是互斥事件．
2024届新教材高考数学二轮复习 概率 课件(69张)
A.15
B．13
C．25
D．23
【解析】 从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，
(5,6)，15 种情况，其中数字之积为 4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，
2.古典概型 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝nk＝nnΩA. 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
多 维 题 组·明 技 法
角度1：随机事件的关系 1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中 任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D ) A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治 C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率 为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－ β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1 －β)3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率 大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】 由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3 表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与 事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选 项A，C，D错误，选项B正确．故选B.
高考数学二轮专题复习第20课时随机变量及其分布课件理
2．二项分布的识别策略：(1)凡是所考虑的试 验可以看作是一个只有两个可能结果A和的试验的 n次独立重复，则n次试验中A发生的次数ξ就服从二 项分布．(2)凡是服从二项分布的随机变量一定只取 有限个实数为其值，否则，随机变量不服从二项分 布．(3)凡是服从二项分布的随机变量在被看作是n 次试验中某事件发生的次数时，此事件在每次观察 中出现的概率相等，否则不服从二项分布．
3， 10
PX
3
C11C31C22 C62C42
1 ，随机变量X的分布列为 30
EX 7.
6
16
3.二项分布 【例3】(2011·3月新昌中学模拟)一袋中有6个黑球， 4个白球． (1)依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (2)有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数X的 分布列和数学期望．
(123, 234，，789)，因此P X
2
7 C93
1. 12
X 1有42种情况，即 12 4,5, 6, 7,8,9 6个，
23 5, 6, 7,8,9 5个， 34 1, 6, 7,8,9 5个，
ห้องสมุดไป่ตู้
45 1, 2, 7,8,9 5个， 56 1, 2,3,8,9 5个，
20
【变式训练】(2011 4月金华一中模拟)检测部门决定对某 市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、 C三级，每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上 、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都 是B级，则该教室的空气质量不合格，设各教室的空气 质量相互独立，且每次检测的结果也是相互独立，根据 多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C 三级的频率依次为 3，1，1。
3， 10
PX
3
C11C31C22 C62C42
1 ，随机变量X的分布列为 30
EX 7.
6
16
3.二项分布 【例3】(2011·3月新昌中学模拟)一袋中有6个黑球， 4个白球． (1)依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (2)有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数X的 分布列和数学期望．
(123, 234，，789)，因此P X
2
7 C93
1. 12
X 1有42种情况，即 12 4,5, 6, 7,8,9 6个，
23 5, 6, 7,8,9 5个， 34 1, 6, 7,8,9 5个，
ห้องสมุดไป่ตู้
45 1, 2, 7,8,9 5个， 56 1, 2,3,8,9 5个，
20
【变式训练】(2011 4月金华一中模拟)检测部门决定对某 市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、 C三级，每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上 、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都 是B级，则该教室的空气质量不合格，设各教室的空气 质量相互独立，且每次检测的结果也是相互独立，根据 多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C 三级的频率依次为 3，1，1。
2019-2020年高考数学二轮复习专题六概率与随机变量及其分布第2讲随机变量及其分布列课件
(2)ξ 的所有可能值为 0，9 000，18 000，27 000. P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3) ＝89×190×1110＝181， P(ξ＝9 000)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3) ＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3) ＝19×190×1110＋89×110×1110＋89×190×111＝294920＝4115，
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换 的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更 换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零 件数. (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19 与n＝20之中选其一，应选用哪个？
率为35.假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两次回 球互不影响.求：
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和X的分布列与数学期望.
解 (1)记 Ai 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i＝0，1，3)， 则 P(A3)＝12，P(A1)＝13，P(A0)＝1－12－13＝16； 记 Bj 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分” (j＝0，1，3)， 则 P(B3)＝15，P(B1)＝35，P(B0)＝1－15－35＝15. 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次落点在乙上”.
热点一 相互独立事件、独立重复试验概率模型 [微题型1] 相互独立事件的概率 【例 1－1】 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，该单位年初
2019届高考数学(文)二轮复习课件：第2部分 专题6 统计与概率 6.2
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年份 卷别 设问特点 求相关系数;判 全国 断样本符合标 Ⅰ 准;求样本均值 与标准差
涉及知识点 题目类型 解题思想方法 相关系数、 相关关 均值与标准 系、样本 整体代换 差 数字特征
频率分布直 方图、 频率、 频率估计概率; 2017 全国 概率、列联 独立性检 观察、分析、 独立性检验;样 Ⅱ 表、独立性 验 判断 本估计总体 检验、样本 数据特征 频率估计概率; 全国 频率、 概率、样本估计 分析、抽象概 求利润及利润 Ⅲ 函数关系 总体 括 为正的概率
������=1 ������
^ ^
^
^
∑ ������������ ������������ -������������ ������
2 ∑ ������2 ������������ ������ ������=1
������
, ������ = ������ − ������ ������.
∑ ������������ ������������ -������������ ������
பைடு நூலகம்
②概率公式是 P(A)= ②概率公式是 P(A)=
事件������中所含的基本事件数 试验的基本事件总数
.
(2)几何概型:①特点为无限性,等可能性;
构成事件������的区域长度(面积或体积) 试验全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
-6-
-7-
1.统计图表 (1)在频率分布直方图中:①各小矩形的面积表示相应各组的频 率,各小矩形的高=
频率 组距
;②各小矩形面积之和等于 1.
(2)茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边 的数字表示个位数;当数据是三位数时,前两位相对比较集中时,常以 前两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推). 2.样本的数字特征 (1)众数:是指出现次数最多的数,体现在频率分布直方图中,是 指高度最高的小矩形的宽的中点的横坐标; (2)中位数是指从左往右小矩形的面积之和为 0.5 处的横坐标; (3)平均数������ =