5 测量误差及其处理的基本知识
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第5章测量误差基本知识讲课教案
第5章测量误差基本知识
一.产生测量误差的原因
产生测量误差的三大因素： 仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光)
有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。
19
区别错误与误差的阀值
随机变量X在区间（x1x2） 之间的概率为
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
f (x)dx 1 则函数 f ( x) 是连续型随 机变量X的分布密度函数
5
如何处理含有偶然误差的数据？
例如： 对同一量观测了n次
观测值为 l1,l2,l3,….ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
6
三.偶然误差的特性
1.偶然误差的定义：
设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，
得n个观测值 l1,l2, ,ln，则产生了n个真误 差 1,2,,n：
i Xli
(5-1-1)
2.4
14
概率
如果函数 f ( x)是连续型 随机变量X的分布密度函数
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
பைடு நூலகம்
f (x)dx 1
15
正态分布
f (x)
1
e
(
x ) 2 2
2
2
x
0
若 0, 1
则 f (x)
1
(x)2
e 2
2
16
两组观测值中误差图形的比较：
一.产生测量误差的原因
产生测量误差的三大因素： 仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光)
有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。
19
区别错误与误差的阀值
随机变量X在区间（x1x2） 之间的概率为
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
f (x)dx 1 则函数 f ( x) 是连续型随 机变量X的分布密度函数
5
如何处理含有偶然误差的数据？
例如： 对同一量观测了n次
观测值为 l1,l2,l3,….ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
6
三.偶然误差的特性
1.偶然误差的定义：
设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，
得n个观测值 l1,l2, ,ln，则产生了n个真误 差 1,2,,n：
i Xli
(5-1-1)
2.4
14
概率
如果函数 f ( x)是连续型 随机变量X的分布密度函数
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
பைடு நூலகம்
f (x)dx 1
15
正态分布
f (x)
1
e
(
x ) 2 2
2
2
x
0
若 0, 1
则 f (x)
1
(x)2
e 2
2
16
两组观测值中误差图形的比较：
第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
测量误差及其处理的基本知识
第五章 测量误差及其处理的基本知识1、测量误差的来源有哪些？什么是等精度测量？答：测量误差的来源有三个方面：测量仪器的精度，观测者技术水平，外界条件的影响。
该三个方面条件相同的观测称为等精度观测。
2、什么是系统误差？什么是偶然误差？它们的影响是否可以消除？答：系统误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均相同，或按一定规律变化的误差。
偶然误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均不固定，或看上去没有一定规律的误差。
系统误差的影响采取恰当的方法可以消除；偶然误差是必然发生的，不能消除，只能削弱偶然误差的影响。
3、举出水准测量、角度测量及距离测量中哪些属于系统误差？答：水准仪的i 角误差，距离测量时钢尺的尺长误差，经纬仪的视准轴误差、横轴误差和竖盘指标差等都属于系统误差。
4、评定测量精度的指标是什么？何种情况下用相对误差评定测量精度？答：测量中最常用的评定精度的指标是中误差，其绝对值越大精度越低。
当误差大小与被量测量的大小之间存在比例关系时，采用相对误差作为衡量观测值精度的标准。
例如距离丈量，采用往返丈量的相对误差作为评定精度的指标。
所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D ）之比，并将分子化为1表示K =||/1||m D D m = 。
5、观测值中误差如何计算？答：设在相同条件下对某量进行了n 次观测，得一组观测值L 1、L 2、……Ln ，x 为观测值的算术平均值， i v 表示观测值改正数，即11L x v -=22L x v -=．．．．．．n n L x v -=则中误差 []1-±=n vv m6、算术平均值及其中误差如何计算？答：设对某量进行n 次等精度观测，观测值为i L (i =1、2……n )，其算术平均值为x ： []nL n L L L x n =+++=......21 ； 算术平均值中误差nm m x ±= ，其中m 为观测值的中误差。
测量学第5章测量误差的基本知识
果对函数f（Δ ）求二阶导数等于零，可得曲线拐点的横坐标为：Δ 拐 ＝ ±σ 。由于曲线f（Δ ）横轴和直线Δ ＝－σ ，Δ ＝＋σ 之间的曲边梯形面
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
第5章 测量误差的基本知识
第5章
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
5 测量误差的基本知识
l 2r 2 1.465 9.205m
ml 2 mr＝2 2 ＝ 4（mm） l 9.205m 4（mm）
例3：Z=X+Y，Y=2X， 试根据X、Y的 中误差计算函数Z的中误差。
m
2 z
m
2 x
m
2 y
解1： m
m
y 2 z
2m
小 结
一、已知真值X，则真误差 中误差 m
i li X
[ ] n
二、真值不知，则
x l n , vi l i x
中误差
[vv] m n 1
5.5 观测值函数的中误差
1.和差函数 z x1 x2 xn
m
的中误差为
2
m m
2 1
2 2
mn
2.倍数函数 z k x 的中误差
m
k mx z
3.线性函数 z k 1 x1 k 2 x2 k n xn 的中误差为
M z ( k1m1 ) ( k 2 m 2 ) ...... ( k n m n )
5.1.3
粗差
由于观测者或记录者疏忽大意造成，如测错目标、读 错大数、记错读数等.观测结果中不允许粗差的存在。
小测试：
下列表述中的误差不属于偶然误差的是 A.角度测量时，秒值的估读误差 B.水准测量中视线未精平引起的读数误差 C.角度测量时不同测回瞄准同一目标的照准误差 D.丈量距离时的估读误差 。
x 2 x
5m
z 3 x 解 2： mz 3mx
考虑哪种解法正确，为什么？
小测试：
有函数z1 = x1 + x2，z2 = 2x3，若mx1 = mx2 = mx3 = m，且x1，x2，x3独立，则 A.mz1＞mz2 C.mz1= mz2 B.mz1＜mz2 D.不确定
第5章 误差基本知识
②仪器构造本身也有一定误差。
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
第五章 测量误差的基本知识
第七章测量误差基本知识内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应用。
重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。
难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。
§ 5.1 测量误差的概念测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。
一、系统误差 (system error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二、偶然误差 (accident error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2、特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差 (gross error) （即：错误）的出现。
偶然误差分布频率直方图§ 5.2 衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一、中误差方差：——某量的真误差， [] ——求和符号。
规律：标准差估值（中误差 m ）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差 m 的方法，有：1、用真误差（ true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n 为观测值个数。
[ 例题 ] ：对 10 个三角形的内角进行了观测，根据观测值中的偶然误差（三角形的角度闭合差，即真误差），计算其中误差。
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3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
可以看出：
误差符号始终不变，具有规律性。 误差大小与所量直线成正比，具有累积性。 误差对观测结果的危害性很大。
6
例
•
2：
在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时 估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶 然。 • 大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、 有时偏右。 可以看出： ① 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。 ② 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
18
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
km
km
f () d
分别以k=1,2,3代入上式，可得： P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅ P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅ P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅ 由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差 总数的5℅，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3℅。 由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到， 故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”， 或 称为“限差”即△容=2m
2
例如： DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下 估读值完全准确无误。 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米 以下估读值的准确性。 ②仪器构造本身也有一定误差。
例如： 水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中 含有i 角误差或交叉误差。 水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误 差。
20
三、相对误差
在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量 还不能正确反映观测的质量。 例如: 用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误 差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距 的误差与其长度有关。 为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观 测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。 相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即 1 。 N 上例为 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可见: 前者的精度比后者高。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为 绝对误差。
9
5.1.2 偶然误差的特性
若△i= Li – X
误差区间 ） d ″ （ △ 0 ～3 3 ～6 6 ～9 9～12 12～15 15～18 18～21 21～24 ＞24 ∑ 负 误 差 个数 k 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181 频率 n / k 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505
（i=1,2,3,· · · ,358）
正 误 差 个数 k 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177 频率 n / k 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495 91 81 66 44 33 26 11 6 0 358 合 个数 k 计 频率 n / k 0.245 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 1.000
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的 定律，称为误差传播定律。
22
一、倍数的函数 设有函数：
z kx
Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其 中误差为mx，求Z的中误差mZ。 设x和z的真误差分别为△x和△z则： z k x
若对x 共观测了n次，则： zi k xi 将上式平方，得： 2 zi k 2 2 xi 求和，并除以n，得
4
三、测量误差的分类
先作两个前提假设：
① 观测条件相同.
② 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上 分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。
5
•
先看两个实例：
例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。 丈量结果见下表5-1： 表5-1
尺段数 观测值 真实长度 真误差 一 30 30.04 -0.04 二 60 60.08 -0.08 三 90 90.12 -0.12 四 120 120.16 -0.16 五 150 150.20 -0.20 · · · · · · · · · · · · N 30 n 30.04n -0.04 n
n
lim
n
n
(5 4)
lim
n
2
n
lim
n
n
(5 5)
14
• 从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。 即:
•
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。 1 y f () e 2 2 15
1 y f () 2
e
2 2
2
(5-3)
为标准差，标准差的平方为 2 方差。
方差为偶然误差平方的理论平均值：
13
正态分布曲线的数学方程式为 :
1 y f () 2
e
2 2
2
(5-3)
2
lim
2 n
1 2 n
2 2 2
例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。 错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。 一旦发现，应及时更正或重测。
8
(二) 测量误差的处理原则
• 在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。 • 系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改 正、抵消或削弱。 • 对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多 次观测，消弱其影响。 • 消除系统误差的常用的有效方法： • ① 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。 • ② 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。 • ③ 采用合理的观测方法：如对向观测。 • 研究偶然误差是测量学的重要课题。 • 消除或削弱偶然误差的有效方法： • ① 适当提高仪器等级。 • ② 进行多余观测，求最或是值。
第五章 测量误差及其处理的基本知识
本章主要内容如下：
• 测量误差及其产生的原因 • 测量误差的分类与处理原则 • 偶然误差的特性 • 精度评定的指标 • 误差传播定律及其应用
1
§5-1 测量误差概述
一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存 在或理论值)之差，称为测量误差。 用数学式子表达： △i = Li – X (i=1,2…n) L —观测值 X—真值 二、测量误差的来源 测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有 以下三个方面： 1、仪器的原因 ① 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的 精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。
10
从表中可以归纳出偶然误差的特性 ⑴ 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差 的绝对值不会超过一定的限值； ⑵ 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大 的误差出现的频率小； ⑶ 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率； ⑷ 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均 值趋近于零。 1 2 n 用公式表示为： lim lim 0 n n n n 实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而 且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明 显。 11
7
引进如下概念： 1.系统误差 ---- 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一 定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差 具有规律性。 2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。 个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。 3.粗差----观测中的错误叫粗差。
2 2
最大纵坐标点：
1 2
17
§5-2 评定精度的标准
一.中误差
误差△的概率密度函数为： 标准差
2
f ( )
1 2
2 e 2
lim
n
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
可以看出：
误差符号始终不变，具有规律性。 误差大小与所量直线成正比，具有累积性。 误差对观测结果的危害性很大。
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例
•
2：
在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时 估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶 然。 • 大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、 有时偏右。 可以看出： ① 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。 ② 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
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必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
km
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f () d
分别以k=1,2,3代入上式，可得： P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅ P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅ P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅ 由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差 总数的5℅，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3℅。 由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到， 故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”， 或 称为“限差”即△容=2m
2
例如： DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下 估读值完全准确无误。 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米 以下估读值的准确性。 ②仪器构造本身也有一定误差。
例如： 水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中 含有i 角误差或交叉误差。 水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误 差。
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三、相对误差
在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量 还不能正确反映观测的质量。 例如: 用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误 差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距 的误差与其长度有关。 为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观 测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。 相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即 1 。 N 上例为 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可见: 前者的精度比后者高。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为 绝对误差。
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5.1.2 偶然误差的特性
若△i= Li – X
误差区间 ） d ″ （ △ 0 ～3 3 ～6 6 ～9 9～12 12～15 15～18 18～21 21～24 ＞24 ∑ 负 误 差 个数 k 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181 频率 n / k 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505
（i=1,2,3,· · · ,358）
正 误 差 个数 k 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177 频率 n / k 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495 91 81 66 44 33 26 11 6 0 358 合 个数 k 计 频率 n / k 0.245 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 1.000
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的 定律，称为误差传播定律。
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一、倍数的函数 设有函数：
z kx
Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其 中误差为mx，求Z的中误差mZ。 设x和z的真误差分别为△x和△z则： z k x
若对x 共观测了n次，则： zi k xi 将上式平方，得： 2 zi k 2 2 xi 求和，并除以n，得
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三、测量误差的分类
先作两个前提假设：
① 观测条件相同.
② 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上 分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。
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•
先看两个实例：
例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。 丈量结果见下表5-1： 表5-1
尺段数 观测值 真实长度 真误差 一 30 30.04 -0.04 二 60 60.08 -0.08 三 90 90.12 -0.12 四 120 120.16 -0.16 五 150 150.20 -0.20 · · · · · · · · · · · · N 30 n 30.04n -0.04 n
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lim
n
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(5 4)
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2
n
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• 从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。 即:
•
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。 1 y f () e 2 2 15
1 y f () 2
e
2 2
2
(5-3)
为标准差，标准差的平方为 2 方差。
方差为偶然误差平方的理论平均值：
13
正态分布曲线的数学方程式为 :
1 y f () 2
e
2 2
2
(5-3)
2
lim
2 n
1 2 n
2 2 2
例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。 错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。 一旦发现，应及时更正或重测。
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(二) 测量误差的处理原则
• 在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。 • 系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改 正、抵消或削弱。 • 对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多 次观测，消弱其影响。 • 消除系统误差的常用的有效方法： • ① 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。 • ② 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。 • ③ 采用合理的观测方法：如对向观测。 • 研究偶然误差是测量学的重要课题。 • 消除或削弱偶然误差的有效方法： • ① 适当提高仪器等级。 • ② 进行多余观测，求最或是值。
第五章 测量误差及其处理的基本知识
本章主要内容如下：
• 测量误差及其产生的原因 • 测量误差的分类与处理原则 • 偶然误差的特性 • 精度评定的指标 • 误差传播定律及其应用
1
§5-1 测量误差概述
一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存 在或理论值)之差，称为测量误差。 用数学式子表达： △i = Li – X (i=1,2…n) L —观测值 X—真值 二、测量误差的来源 测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有 以下三个方面： 1、仪器的原因 ① 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的 精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。
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从表中可以归纳出偶然误差的特性 ⑴ 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差 的绝对值不会超过一定的限值； ⑵ 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大 的误差出现的频率小； ⑶ 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率； ⑷ 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均 值趋近于零。 1 2 n 用公式表示为： lim lim 0 n n n n 实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而 且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明 显。 11
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引进如下概念： 1.系统误差 ---- 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一 定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差 具有规律性。 2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。 个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。 3.粗差----观测中的错误叫粗差。
2 2
最大纵坐标点：
1 2
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§5-2 评定精度的标准
一.中误差
误差△的概率密度函数为： 标准差
2
f ( )
1 2
2 e 2
lim
n