(时间管理)时间序列分析方法第章谱分析

（时间管理）时间序列分析方法第章谱分析第六章谱分析SpectralAnalysis到目前为止,时刻变量的数值壹般均表示成为壹系列随机扰动的函数形式,壹般的模型形式为：我们研究的重点于于,这个结构对不同时点和上的变量和的协方差具有什么样的启示。

这种方法被称为于时间域(timedomain)上分析时间序列的性质。

于本章中,我们讨论如何利用型如和的周期函数的加权组合来描述时间序列数值的方法, 这里表示特定的频率,表示形式为：上述分析的目的于于判断不同频率的周期于解释时间序列性质时所发挥的重要程度如何。

如此方法被称为频域分析(frequencydomainanalysis)或者谱分析(spectralanalysis)。

我们将要见到,时域分析和频域分析之间不是相互排斥的,任何协方差平稳过程既有时域表示,也有频域表示,由壹种表示能够描述的任何数据性质,均能够利用另壹种表示来加以体现。

对某些性质来说,时域表示可能简单壹些；而对另外壹些性质,可能频域表示更为简单。

§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱,然后讨论它的性质。

6.1.1 母体谱及性质假设是壹个具有均值的协方差平稳过程,第个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的,则自协方差生成函数为：这里表示复变量。

将上述函数除以,且将复数表示成为指数虚数形式,,则得到的结果(表达式)称为变量的母体谱：注意到谱是的函数：给定任何特定的值和自协方差的序列,原则上均能够计算的数值。

利用DeMoivre 定理,我们能够将表示成为：因此,谱函数能够等价地表示成为：注意到对于协方差平稳过程而言,有：,因此上述谱函数化简为：利用三角函数的奇偶性,能够得到：假设自协方差序列是绝对可加的,则能够证明上述谱函数存于,且且是的实值、对称、连续函数。

由于对任意,有：,因此是周期函数,如果我们知道了内的所有的值,我们能够获得任意时的值。

§6.2 不同过程下母体谱的计算假设随机过程服从过程：这里：,根据前面关于过程自协方差生成函数的推导：因此得到过程的母体谱为：例如,对白噪声过程而言,,这时它的母体谱函数是常数：下面我们考虑过程,此时：,则母体谱为：能够化简成为：显然,当时,谱函数于内是的单调递减函数；当时,谱函数于内是的单调递增函数。

对过程而言,有：这时只要,则有：,因此谱函数为：该谱函数的性质为：当时,谱函数于内是的单调递增函数；当时,谱函数于内是的单调递减函数。

壹般地,对过程而言：则母体谱函数为：如果移动平均和自回归算子多项式能够进行下述因式分解：则母体谱函数能够表示为：从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列,原则上我们就能够计算ft任意的谱函数的数值。

反过来也是对的：如果对所有于内的,已知谱函数的数值,则对任意给定的整数k,我们也能够计算k 阶自协方差。

这意味着母体谱函数和自协方差序列包含着相同的信息。

其中任何壹个均无法为我们提供另外壹个无法给ft的推断。

下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了壹个有用的公式：命题 6.1 假设是绝对可加的自协方差序列,则母体谱函数和自协方差之间的关系为：上述公式也能够等价地表示为：利用上述谱公式,能够实现谱函数和自协方差函数之间的转换。

解释母体谱函数假设,则利用命题 6.1 能够得到时间序列的方差,即,计算公式为：根据定积分的几何意义,上式说明母体谱函数于区间内的面积就是,也就是过程的方差。

更壹般的,由于谱函数是非负的,对任意,如果我们能够计算：这个积分结果也是壹个正的数值,能够解释为的方差中和频率的绝对值小于的成分关联的部分。

注意到谱函数也是对称的,因此也能够表示为：这个积分表示频率小于的随机成分对方差的贡献。

可是,频率小于的随机成分对方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题,我们考虑更为特殊壹些的时间序列模型：这里和是零均值的随机变量,这意味着对所有时间t,有。

进壹步假设序列和是序列不关联和相互不关联的：,,对所有的j 和k这时的方差是：因此,对这个过程来说,具有频率的周期成分对的方差的贡献部分是。

如果频率是有顺序的：,则的方差中由频率小于或者等于的周期形成的部分是：。

这种情形下的k 阶自协方差为：因为过程的均值和自协方差函数均不是时间的函数,因此这个过程是协方差平稳过程。

可是,能够验证此时的自协方差序列不是绝对可加的。

虽然于上述过程中,我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献, 我们能够这样做的原因于于这个过程是比较特殊的。

对于壹般的情形,著名的谱表示定理(thespectralrepresentationtheorem)说明：任何协方差平稳过程均能够表示成为不同频率周期成分的和形式。

对任意给定的固定频率,我们定义随机变量和,且假设能够将壹个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：这里需要对随机变量和的关联性给ft更为具体的假设,可是上述公式便是谱表示定理的壹般形式。

§6.2 样本周期图SamplePeriodogram对壹个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程,我们已经定义于频率处的谱函数值为：,注意到母体谱是利用表示的,而表示的是母体的二阶矩性质。

给定由表示的T 个样本,我们能够利用下述公式计算直到阶的样本自协方差：,对于给定的,我们能够获得母体谱密度对应的样本情形,我们称其为样本周期图：样本周期图也能够表示成为如下形式：类似地,我们能够证明样本周期图下的面积等于样本方差：样本周期图也是关于原点对称的,因此也有：更为重要的是,谱表示定理于样本情形也有类似的表示。

我们将要说明,对于平稳过程的任意壹个容量为的观测值序列,存于频率和系数,,使得期的值能够表示成为：其中：当时,和不关联；当时,和不关联；对于所有的和,和不关联。

的样本方差是,该方差中能够归因于频率为的周期成分的部分由样本周期图给ft。

我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。

这时能够表示成为由个不同频率组成的周期函数,频率如下：,……,因此最高频率为：我们考虑基于常数项、正弦函数和余弦函数的线性回归：将这个回归方程表示成为下述方式：其中：,这是壹个具有个解释变量的回归方程,因此解释变量和观测值是壹样多的。

我们将证明解释变量之间是线性无关的,这意味着基于回归的OLS 预计具有惟壹解。

该回归方程的系数具有显著的统计意义：表示中能够归因于频率的周期成分的那部分。

这就是说,任意观测到的序列,它均能够利用上述周期函数形式表示,且且不同频率的周期成分对方差的贡献均能够于样本周期图中找到。

命题6.2假设样本容量是奇数,定义,且设定,,假设解释变量为：则有：进壹步,假设是任意个实数,则下述推断成立：(a)过程能够表示为：这里：,(b)的样本方差能够表示为：样本方差能够归因于频率为的周期成分的部分为。

(c)的样本方差中能够归因于频率为的周期成分的部分仍能够表示为：其中是样本周期图于频率处的值。

上述结果说明,是对角矩阵,这意味着包含于向量中的向量之间是相互正交的。

这个命题分断言：任何奇数个观测到的时间序列能够表示成为壹个常数加上具有个不同频率的个周期成的加权和。

当是偶数整数的时候,类似的结果也是成立的。

因此,这个命题给ft了类似谱表示定理的有限样本的类似情况。

这个命题进壹步表明了样本周期图的特征是将的方差按部分分解为不同频率的周期成分的贡献。

注意到解释的方差的频率均落于区间中。

为什么不使用负的频率？假设数据确实是由上述过程的壹种特殊情形生成的：这里代表某个特殊的负频率,和是零均值的随机变量,利用三角函数的奇偶性,能够将表示为：因此,利用上述式子无法从数据中识别数据是从正发频率仍是负的频率生成的。

这时壹种简单的方式是假设数据是从具有正的频率中生成的。

为什么只考虑作为最大的频率呢？假设数据真的是从频率的周期函数中生成的,例如：这时正弦和余弦函数的周期性质表明,上式能够表示成为：因此,根据以前的讨论,具有频率的周期于观测值上等价于具有频率的周期。

注意到频率和周期之间的关系,频率对应的周期为。

由于我们考虑的最高频率为,因此我们所观测到的能够自己重复的最短阶段是。

如果,则周期是每阶段重复自己。

可是,如果数据是整数阶段观测的,因此数据能够观测的时间间隔仍然是每4 个阶段观测到,这对应着周期频率是。

例如,函数和函数于整数的时间间隔上,它们的观测值是壹致的。

命题6.2 也为计算于频率()上的样本周期图的数值提供了方法。

定义：这里：,因此能够得到：§6.3 预计总本谱EstimatingthePopulationSpectrum上面我们介绍了母体谱的意义和性质,下面我们面对的问题是：获得了观测样本以后, 如何预计母体谱函数？样本周期图的大样本性质壹个显然的方法是利用样本周期图去预计母体谱函数。

可是,这种方法具有显著的限制。

假设对于无限移动平均过程而言：这里系数是绝对可加的,是具有均值和方差的独立同分布序列,假设是如上定义的母体谱函数,且对所有的,均有。

假设是如上定义的样本谱函数,Fuller(1976)证明了,对和充分大的样本容量,样本周期图和母体谱函数之比的二倍具有下述渐近分布：进壹步,如果,也有：且且上述俩个渐近分布的随机变量是相互独立的。

注意到的均值等于自由度,因此有：因为是母体数量,不是壹个随机变量,因此上式也能够表示成为：因此,对充分大的样本容量,样本周期函数为母体谱提供了壹个渐近无偏预计。

母体谱的参数化预计假设我们认为数据能够由模型表示：这里是具有方差的白噪声。

这时壹个预计母体谱的ft色方法是先利用前面介绍的极大似然预计预计参数,具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程,我们已经定义于频率处的谱函数§6.4 谱分析的应用UsesofSpectralAnalysis我们利用美国制造业生产的数据来说明谱分析的应用。

书中给ft了联邦储备委员会的季节非调整的月度指数,从1947 年1 月至1989 年11 月。

其中ft现经济衰退的时候ft现了生产的下降,大约持续壹年左右。

数据中ft现了显著的季节成分,大约于7 月ft现下降,而于8 月ft现复苏。

图 6.4 给ft了原始数据的样本周期图。

这里显示的是的函数,这里。

知识改变命运。