一次函数与正比例函数
一次函数与正比例函数洋葱数学
一次函数与正比例函数洋葱数学一次函数与正比例函数是数学中常见的两种函数类型。
一次函数，也称为线性函数，是指形式为y = ax + b的函数，
其中a和b是常数。
一次函数的图像是一条直线，具有固定的斜率
和截距。
斜率表示函数的增长速率，截距表示函数与y轴的交点。
正比例函数，也称为比例函数，是指形式为y = kx的函数，其
中k是常数。
正比例函数的图像是通过原点的直线，具有固定的斜
率k。
这意味着随着x的增大，y也以相同的比率增大。
洋葱数学，可能是指著名的数学教育机构洋葱数学。
洋葱数学
致力于推广数学思维和数学教育，提供线上线下的数学培训课程，
帮助学生提高数学能力和解决问题的能力。
在洋葱数学的课程中，一次函数和正比例函数都是基础知识点。
学生通过学习一次函数和正比例函数的特点、性质和应用，可以建
立起对函数的初步理解和运用能力。
这些知识将为学生后续学习更
高级的数学概念和技巧奠定基础。
正比例函数及一次函数
，下列结论正确的是（ A. 函数图象必经过点（1，2） B．函数图象经过二、四象限 C． y 随 x 的增大而减小 D． y 随 x 的增大而增大
）
问题探究
如图所示，在同一直角坐标系中，正比例函数 y k1 x 、y k2 x、 y k3 x 、y k4 x的图象分别为 l1 、 l2 、 l3 、 l4 ，
待定系数法
待定系数法 y 正比例函数中只有一个待定系数 k ，故只要有一对 x ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 k 值. 一次函数中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立条件 确定两个关于 k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两 y 的值. 对x ，
待定系数法
1、根据函数的图象，求函数的解析式．
22Biblioteka 一次函数的性质3.已知一次函数 y 2m 4 x 3 n ． n 是什么数时，y 随 x 的增大而增大； （1）当m 、 n 是什么数时，函数图象经过原点； （2）当 m 、 （3）若图象经过一、二、三象限，求 m 、 n 的取值范围.
一次函数的性质 4.函数 y kx k (k 0) 在直角坐标系中的图象可能是（
1、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用 电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系 如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
一次函数图像的应用
2.小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下 坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关 系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需 要的时间是( ) A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
一次函数与正比例函数ppt
正比例函数的图像是 经过原点的一条直线。
当 $k > 0$ 时，图像 为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下 降直线。
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01
正比例函数是一种特殊的一次函数， 其表达式为y=kx（k为常数， k≠0）。
02
当x的系数为1或-1时，一次函数 退化为正比例函数。
正比例函数的图像
正比例函数的图像是一条通过原点的 直线，这是因为当x=0时，y=0。
当k>0时，图像位于第一和第三象限 ；当k<0时，图像位于第二和第四象 限。
正比例函数的性质
04 一次函数与正比例函数的 应用
一次函数在生活中的应用
01
02
03
预测股票价格
通过分析历史数据，利用 一次函数模型预测股票价 格的走势。
计算贷款利率
利用一次函数计算固定利 率和期限下的贷款还款总 额。
确定商品销售量
根据商品价格和市场需求， 利用一次函数预测商品的 销售量。
正比例函数在生活中的应用
题目
已知函数$f(x) = kx + b(k neq 0)$的图象经过点$(1,3)$和$( - 1, -3)$， 求函数的解析式。
正比例函数的习题及解析
• 解析：由题意得函数图象经过点$(1,3)$和$( - 1, -3)$，所以有 $\left{ \begin{array}{r} k + b = 3 \
正比例函数图像可以通过一次函数图 像上移或下移得到，移动的距离为 $b$。
《正比例函数》一次函数
实际应用
速度与时间的关系
在物理中，速度与时间的关系通 常可以表示为正比例函数，其中 速度是时间的一次函数。
斜坡的倾斜度
在几何学中，斜坡的倾斜度可以 用正比例函数表示，斜率即为正 比例常数。
02
一次函数的概念
定义与性质
01
02
03
一次函数定义
一般形式为y=kx+b（ k≠0），其中k为斜率，b 为截距。
进阶练习题
总结词
深化理解和应用
详细描述
这类题目要求在理解基本概念的基础上，进一步深化对正比例函数和一次函数的理解和应用，包括函数的参数变 化、最值问题、实际应用等。
综合练习题
总结词
综合运用和问题解决
详细描述
这类题目要求将正比例函数和一次函数与其他数学知识进行综合运用，解决较为复杂的问题，如与其 他函数的综合问题、函数不等式问题等。题目难度较大，需要较强的数学思维和问题解决能力。
线性性质
一次函数图像是一条直线 ，随着k的正负变化，直 线分别向上或向下倾斜。
斜率与单调性
当k>0时，函数为增函数 ；当k<0时，函数为减函 数。
图像表示
坐标系
在直角坐标系中，一次函 数图像是一条直线。
截距
b=0时，直线过原点； b≠0时，直线与y轴交于点 (0,b)。
斜率
k的绝对值越大，直线越陡 峭；k的正负决定直线是上 升还是下降。
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03
正比例函数与一次函数的联系
解析式的关系
正比例函数是特殊的一次函数， 形式为$y=kx$（$k neq 0$）
，其中$k$是比例系数。
一次函数的一般形式为 $y=kx+b$（$k neq 0$），其
正比例函数及一次函数
解: （1）设B市调往C市x台，调往D市（6 – x）台， A市运往C市（10 – x）台，运往D市（2 + x）台. y = 300x + 500（6 – x） + 400（10 – x） + 800（2 + x） y = 200x + 8600 （0≤x≤6的整数）
解: （2）∵200x + 8600 ≤9000 ∴x≤2，∴x = 0，1，2 答：共有三种调运方案。
（3）∵y = 200x + 8600 （0≤x≤6的整数） ∴x = 0时，总运费最低为8600元。
【例】 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果 游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考 虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收 入.因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观 人数.在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之 间存在着如图所示的一次函数关系.在这样的情况下，如 果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数 是多少?门票价格应是多少元?
2007中考
正比例函数及一次函数
我们把形如 y kx b k , b 是常数，k 0 ） （
的函数叫做一次函数．
当b＝０时，y 叫做 x 的正比例函数.
1、已知 y mx
m2 -8
-n+3则当m、n满足什么条件时：
①是一次函数。 ②是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应 值（x，y）有xy<0。
例、A市和B市分别有库存机器12台和6台，现决定 支援C市和D市分别是10台和8台，已知从A市 调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元 和800元，从B市调运到C市和D市的运费分别 为300元和500元。 （1）设B市运往C市机器x台，求总运费y与x的函数解析式；
一次函数与正比例函数(优质课)获奖课件
1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之 间的关系.
2.能根据所给条件，写出简单的一次函数、正比例函数 表达式.
什么叫函数? 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并
且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应， 那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量.
y=3-x，
y=2. x=3，
y=-2. x=2，
y=1.
3x+2y=8. y=2x，
x+y=3. y=1-x，
3x+2y=5.
1.二元一次方程组
x=４ A.
y=３ x=２ C. y=４
x+2y=10 的解是( C )
y=2x
x=3 B.
y=６
x=４ D.
y=2
2.下列各式是二元一次方程的是( A )
1．（南充·中考）如图，小球从点A运动到点B，速度
v（m/s）和时间t（s）的函数关系式是v＝2t．如果小球
运动到点B时的速度为6 m/s，那么小球从点A到点B的时间
是（ C ）．
A. 1 s
B. 2 s
C. 3 s
A
D. 4 s
B
2. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本 0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本. (1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量 x（本）之间的函数关系式. (2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量 x（本）之间的函数关系式. (3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
如： 2x+3=5, y+6=8. 3.解下列方程：
一次函数知识要点详解
一次函数知识要点详解1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.说明： （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y=b 仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.2 确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．3 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．7 点P（x0，y）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y）在直线y=kx+b的图象上，那么x,y的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y是满足函数解析式的一对对应值，那么以x，y为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．如点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．如已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k≠0），由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ．说明： 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.11。
八年级数学上册教学课件《一次函数与正比例函数》
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
思考 一次函数的结构特征有哪些？
答：一次函数的结构特征： （1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数.
一次函数 正比例函数
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
素养考点 1 一次函数与正比例函数的判断
例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
数是“1”
巩固练习
变式训练
已知函数y=2x|m|+(m+1).
4.2 一次函数与正比例函数
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）由题意得： m 1 因此 m=±1.
（2）由题意得：m+1=0 , 解得m= -1.
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
y=0.12x
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行 驶路程x（km）之间的关系式吗？ z = 60-0.12x
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
研讨以下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点？
解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次. 3．自变量x的系数都不为0.
知识点 2 一次函数与正比例函数的应用
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否
为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)
与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也
是x的正比例函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
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一、探究新知
1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
(2)写出x与y之间的关系式
2 某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.
(1)完成下表:
(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?
探究二：通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念:
一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成的形式,则称y是x 的 (x是自变量,y为因变量).特别地,当时,则y是x的正比例函数.
探究三：学以致用
1写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系；
(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x个月后这棵树的高度为y(厘米),则y与x的关系.
2某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.
(1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
二课堂小结
这节课我们学习了一类很有用的函数—次函数，只要解析式可以表示成y kx b
=+（,k b为常数，k≠0）的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当0
b=时的特殊情形.。