天津市各地市高考数学最新联考试题分类汇编(16) 选修系列

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高考数学联考试题分类大汇编16选修系列试题

智才艺州攀枝花市创界学校"各地2021年高考数学最新联考试题分类大汇编〔16〕选修系列"22.(2021年东北三四教研协作体高三第二次调研测试文科)〔本小题总分值是10分〕选修4－1：几何证明选讲.如图，在△ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.⑴求证：2BE AD =； ⑵当1AC =，2EC =时，求AD 的长.22.(本小题总分值是10分)【试题解析】解：⑴连结DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以 BDE BCA ∠=∠.又DBE CBA ∠=∠，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE DEBA CA=.而2AB AC =，所以2BE DE =.又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而2BE AD =.(5分)⑵由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -⋅=⋅+所以(2)22(22)t t t -⨯=+，即22320tt +-=，解得12t =，即12AD =.(10分)24.(2021年东北三四教研协作体高三第二次调研测试文科)〔本小题总分值是10分〕选修4－5：不等式选讲.设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，∈x R ．⑴解不等式)(x f ≤5；⑵假设mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，务实数m 的取值范围．24.(本小题总分值是10分)【试题解析】解：⑴原不等式等价于12445x x ⎧<⎪⎨⎪-⎩≤或者132225x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤或者32445x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤，因此不等式的解集为]49,41[-∈x .(5分)⑵由于mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，那么0)(=+m x f 在R 上无解.又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥，)(x f 的最小值为2，所以2m -<，即2m >-.(10分)23．(2021年4月-第二次联考模拟考试理科)(本小题总分值是10分)选修4－4：坐标系与参数方程极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位一样．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程；(Ⅱ)求点P 到直线l 间隔的最大值.【解析】23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩且参数[]0,2απ∈，所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ····················3分(Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以2)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． ·····6分法一：由(Ⅰ)点P 的轨迹方程为22(2)4xy +-=，圆心为(0,2)，半径为2.221012104211d ⨯-⨯+==+，所以点P 到直线l 间隔的最大值422. ······ 10分法二：222cos 2sin 21022)4411d ααπα--+==+++，当74πα=，max 422d =+，即点P 到直线l 间隔的最大值422+. ············· 10分24．(2021年4月-第二次联考模拟考试理科)(本小题总分值是10分)选修4－5：不等式选讲函数a a x x f +-=2)(．(Ⅰ)假设不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，务实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，假设存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，务实数m 的取值范围．22．〔东北四校2021届高三第一次高考模拟考试文科〕〔本小题总分值是10分〕选修41：几何证明选讲如图，12O O 与相交于A 、B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与1O 、2O 交于C ，D 两点。

精品解析：2024年天津高考数学真题(原卷版)(合并)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.已知,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中，线性相关性系数最大的是（）A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的为（）A.22eexxxyx-=+B.22cos1x xyx-=+C.eexxxyx-=+D.2sin1x xyx-=+5.设0.20.2 4.24.2 4.2log0.2a b c-===，，，则a b c，，的大小关系为（）A.a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c a b<<6.已知,m n是两条直线，α是一个平面，下列命题正确的是（）A.若//mα，m n⊥，则nα⊥ B.若,m m n⊥α⊥，则nα⊥C.若//,αα⊥m n，则m n⊥ D.若,m n⊥αα⊥，则m n⊥7.已知函数()()π3sin03f x xωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A.2- B.32- C.0 D.328.双曲线22221()00ax ya bb>-=>，的左、右焦点分别为12,.F F点P在双曲线右支上，直线2PF的斜率为2．若12PF F是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（）A.22128x y-= B.22148x y-= C.22182x y-= D.22184x y-=9.在如图五面体ABC DEF-中，棱,,AD BE CF互相平行，且两两之间距离均为1．若123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.6B.142+ C.2D.142-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅-=______．11.在62233x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．12.已知圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22y px =的焦点F 重合，且两曲线在第一象限的交点为A ，则原点到直线AF 的距离为______．13.某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．14.已知正方形ABCD 的边长为1，2,DE EC = 若BE BA BC λμ=+，其中,λμ为实数，则λμ+=______；设F 是线段BE 上的动点，G 为线段AF 的中点，则AF DG ⋅的最小值为______．15.设R a ∈，函数()21f x ax =--+.若恰有一个零点，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为s s ，已知92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求()cos 2B A -的值．17.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，,//AB AD AB DC ⊥，12,1AB AA AD DC ====．,M N 分别为111,DD B C的中点，（1）求证：1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB C C 夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点（O 为原点），ABC 的面积为332．（1）求椭圆的方程．（2）过点C 的动直线与椭圆相交于P Q ，两点．在y 轴上是否存在点T ，使得0TP TQ ⋅≤恒成立．若存在，求出点T 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．19.已知为公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，且1231,1a S a ==-．（1）求的通项公式及n S ；（2）设数列{}n b 满足11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，其中*k ∈N ．（ⅰ）求证：当()*1N ,1k n a k k +=∈>且时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS ii b =∑．20.已知函数()ln f x x x =．（1）求曲线()y f x =在点1,1处的切线方程；（2）若()(f x a x ≥-对任意∈0,+∞成立，求实数a 的值；（3）若()12,0,1x x ∈，求证：()()121212f x f x x x -≤-．2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B2.已知,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3.下列图中，线性相关性系数最大的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4.下列函数是偶函数的为（）A.22e e x xx y x -=+ B.22cos 1x x y x -=+ C.e e x xxy x-=+ D.2sin 1x x y x -=+【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e e x x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()11e 11e 1e 1e 1f -----==++，()e 11e 1f -=+，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x -=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -----===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e e x x x h x x -=+，()()11e 11e e 11,1e 11e e 1h h --++--===--+，()()11h h -≠，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()2sin 1x xx x ϕ-=+，函数定义域为R ，因为()()()()()22sin sin 11x x x xx x x x ϕϕ---+-===-+-+，且()x ϕ不恒为0，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5.设0.20.2 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b<< C.c b a<< D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.200.2-<<，所以0.200.20 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.20.20 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以c a b <<，故选：D6.已知,m n 是两条直线，α是一个平面，下列命题正确的是（）A.若//m α，m n ⊥，则n α⊥B.若,m m n ⊥α⊥，则n α⊥C.若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D.若,m n ⊥αα⊥，则m n⊥【答案】C 【解析】【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解.【详解】对于A ，若//m α，m n ⊥，则,n α平行或相交，不一定垂直，故A 错误.对于B ，若,m m n α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确.对于D ，若,m n αα⊥⊥，则m ，故D 错误.故选：C .7.已知函数()()π3sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A.2-B.32-C.0D.32【答案】D 【解析】【分析】结合周期公式求出ω，得()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体求出当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π23x +的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，则2ππT ω==，所以2ω=，即()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2336,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当26ππ3x +=，即π12x =-时，()min π33sin 62f x ==故选：D8.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12,.F F 点P 在双曲线右支上，直线2PF 的斜率为2．若12PF F 是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（）A.22128x y -= B.22148x y -= C.22182x y -= D.22184x y -=【答案】A 【解析】【分析】可利用12PF F 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=121212::sin :sin :sin 902:1:PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =，则21122PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：A9.在如图五面体ABC DEF -中，棱,,AD BE CF 互相平行，且两两之间距离均为1．若123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.B.3142+ C.32D.33142-【答案】C 【解析】.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，21221111422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数))i 2i ⋅-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+⋅=+-+=-.故答案为：7.11.在62233x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为62233x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为626124626213C 3C ,0,1,,63rrr r r rr x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1240r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12.已知圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22y px =的焦点F 重合，且两曲线在第一象限的交点为A ，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为1,0，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ，故直线()4:13AF y x =-即4340x y --=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513.某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．【答案】①.35②.12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.【详解】解法一：列举法给这5个项目分别编号为,,,,,A B C D E F ,从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲参加“整地做畦”的概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选择D 有3种可能性：,,ABD ACD ADE ，故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到D 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择D 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214.已知正方形ABCD 的边长为1，2,DE EC = 若BE BA BC λμ=+，其中,λμ为实数，则λμ+=______；设F 是线段BE 上的动点，G 为线段AF 的中点，则AF DG ⋅的最小值为______．【答案】①.43②.518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅ 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅ 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即13CE BA = ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15.设R a ∈，函数()21f x ax =--+.若恰有一个零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-⋃【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与a<0进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当a<0时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -≥，当0a =时，∈，有11=--=，则12x =±，不符合要求，舍去；当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14=-x ，当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a ∞∈+时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a ∈时，210ax --+=在0x ≤时有唯一解，则当(]0,2a ∈时，210ax --+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数ℎ在12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222214a x y a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214x y a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214x y a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a ∞+上单调递增，故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<，故1a <<符合要求；当0a <时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a ∞∈-时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a ∈-时，210ax --+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210ax --+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数ℎ在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214x y a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a ∞-上单调递减，故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈-⋃.故答案为：()(1-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为s s ，已知92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求()cos 2B A -的值．【答案】（1）4（2）74（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以57sin 16B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 5716A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则7sin 4A ==【小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且∈0,π，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin 16B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=17.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，,//AB AD AB DC ⊥，12,1AB AA AD DC ====．,M N 分别为111,DD B C 的中点，（1）求证：1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB C 夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）21111【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、1,1,0、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则222cos ,11m nm n m n ⋅===⋅，故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为22211；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有121111BB m m ⋅==，即点B 到平面1CB M的距离为11.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点（O 为原点），ABC 的面积为332．（1）求椭圆的方程．（2）过点C 的动直线与椭圆相交于P Q ，两点．在y 轴上是否存在点T ，使得0TP TQ ⋅≤恒成立．若存在，求出点T 【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤ 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()32,0,0,,0,2A c B C ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，故13332222ABC S c c =⨯⨯=△，故c =，所以a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()(1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19.已知为公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，且1231,1a S a ==-．（1）求的通项公式及n S ；（2）设数列{}n b 满足11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，其中*k ∈N ．（ⅰ）求证：当()*1N ,1k n a k k +=∈>且时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS ii b =∑．【答案】（1）12,21n n n n a S -==-（2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121k n b k -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1212113143449k k i k k i b k k -=--⎡⎤∑=---⎣⎦，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以1122,2112n n n n n a S --===--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120kk k n k n b a b k k k k k k k ----⋅=--+=--≥--=-≥，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211121221122431434429k k k k i k k k k ib k kk k k ---=-----⎡⎤∑=⋅+=⋅=---⎣⎦，所以()()()123213141115424845431434499n n i n n i S n b n n =--+⎡⎤∑=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦，且1n =，符合上式，综上所述：()131419n n i iS n b =-+∑=.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1212113143449k k i k k i b k k -=--⎡⎤∑=---⎣⎦.20.已知函数()ln f x x x =．（1）求曲线()y f x =在点1,1处的切线方程；（2）若()(f x a x ≥-对任意∈0,+∞成立，求实数a 的值；（3）若()12,0,1x x ∈，求证：()()121212f x f x x x -≤-．【答案】（1）1y x =-（2）2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x '=+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t-'=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=--=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∈+∞()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∈+∞，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∈+∞，都有()0g t ≥，则对()0,t ∈+∞有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∈+∞都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a a a b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x '=+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时()0f x '>.所以()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<，结论成立；情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=--()ln 1x x ϕ'=++由于()xϕ'单调递增，且有1111111ln1ln1110 2e2e ec cϕ⎛⎫⎪'=++++--+⎪⎝⎭，且当2124ln1x cc≥-⎛⎫-⎪⎝⎭，2cx>2ln1c≥-可知()2ln1ln1ln102cx xcϕ⎛⎫=++>++=-≥⎪⎝⎭'.所以()xϕ'在()0,c上存在零点x，再结合()xϕ'单调递增，即知0x x<<时()0xϕ'<，x x c<<时()0xϕ'>.故()xϕ在(]00,x上递减，在[]0,x c上递增.①当0x x c≤≤时，有()()0x cϕϕ≤=；②当00x x<<112221e ef fc⎛⎫=-≤-=<⎪⎝⎭，故我们可以取1,1qc⎫∈⎪⎭.从而当21cxq<<->()1ln ln ln ln0x x x c c c c c c qcϕ⎫=--<--<--=-<⎪⎭.再根据()xϕ在(]00,x上递减，即知对0x x<<都有()0xϕ<；综合①②可知对任意0x c<≤，都有()0xϕ≤，即()ln ln0x x x c cϕ=--.根据10,ec⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c<≤的任意性，取2c x=，1x x=，就得到1122ln ln0x x x x--.所以()()()()12121122ln lnf x f x f x f x x x x x-=-=-≤.情况三：当12101ex x<≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11ef x f⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭.而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

五年(2018-22)高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题16 三角函数单选题(解析版)

A．0B．1C．2D．3
【答案】C解析:法1：由基本不等式有，
同理，，
故，故不可能均大于．
取，，，则，
故三式中大于的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于．
取，，，则，
故三式中大于的个数的最大值为2，故选C．
【题目栏目】三角函数\三角恒等变换\三角恒等变换的综合应用
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以．故选：A
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的图象
【题目来源】2022新高考全国I卷·第6题
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第11题)函数在区间的最小值、最大值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】D
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题16三角函数单选题
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第5题)已知函数，则( )
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
解析:因为．
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错．
故选,C．
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的单调性与周期性
【题目来源】2022高考北京卷·第5题
2．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数 1年新高考Ⅰ卷·第4题

2024年新高考天津数学高考真题(含答案)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径． ·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，线性相关性系数最大的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则m n ⊥B ．若//,//m n αα，则//m nC ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（） A ．22182y x -=B ．22184x y -= C ．22128x y -= D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A B 12C D 12第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为．12．圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为． 13．,,,,ABCDE 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+λμ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF中点，则AF DG ⋅的最小值为．15．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．17．已知四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB的中点，其中ABCS △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}na 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为nS ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}na 前n 项和nS ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，*,2k k ∈≥N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n ba b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．1．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4AB =，故选：B 2．C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选：A 4．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141eϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B. 5．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为 4.2xy =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.24.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.24.2log0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B 6．C【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 平行或异面或相交，故A 错误.对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确. 对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误. 故选：C. 7．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=-⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PFm =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PFm =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒= 则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F SPF PF m m =⋅=⋅=得m = 则21122PFPF F F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=. 故选：C 9．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF-一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=. 故选：C.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7.11．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C20=.故答案为：20.12．45##0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：45 13．3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率. 【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214． 43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得λμ+，设BF BE k =，求,AF DG ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值. 【详解】解法一：因为12CE DE =，即13C E B A =，则13BE B C C E B A B C =+=+，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F为线段BE上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB kBE k BA kBC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫---⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=-，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅取到最小值为518-；故答案为：43；518-. 15．()(11-⋃【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20xax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则x =去；当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20xax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441xax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a ∈，12x a=-+或102x a =>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解，则当(]0,2a ∈时，210ax -+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=右支的x 轴上方部分向右平移2a所得，由()222214y x a a -=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <1a <当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20xax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441xax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=左支的x 轴上方部分向左平移2a所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <-，故1a <-符合要求；综上所述，()()11,3a ∈-.故答案为：()(11-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 16．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin B =再根据正弦定理得sin sin a bA B =，即4sin A ，解得sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯= 17．(1)证明见解析(3)11【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-、()1,0,1CM =-、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，分别取121xx ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =、()1,1,0n =，则cos ,19m n m n m n ⋅==⋅+故平面1CB M 与平面11BB CC ；（3）由()10,0,2BB=，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有11BB m m⋅=+即点B 到平面1CB M . 18．(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤可求t 的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b ，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛- ⎝⎭，故122ABC S c =⨯△ 故c =a =3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.（2）若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760kk k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++ 而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t yt x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 19．(1)21n nS=-(2)①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【分析】（1）设等比数列{}na 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k kn ab k -==+，()121n kk b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列{}na 的公比为0q >，因为1231,1aS a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q 或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n na-=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k kn ab k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k bk a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n ba b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211n nn S a +=-=-，若1n =，则111,1Sb ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k ii b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑，所以()()()232113141115424845431434499nn S nn i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}ib 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k kk ii b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =- (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x '=+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.（2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t-'=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝. 当()0,x ∈+∞()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∈+∞，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∈+∞，都有()0g t ≥，则对()0,t ∈+∞有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =2022a a a ≤-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∈+∞都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2. （3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-. 证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1b b b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a aaab a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-. 由()ln 1f x x '=+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时0f x.所以()f x 在10,e ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上递增. 不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211e x x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<，结论成立；情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-. 对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ'=+由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪'=+<+=-= ⎪⎝⎭，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cx >2ln 1c ≥-可知 ()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0xx c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e eff c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=----=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-.根据10,e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x xx -=-=-情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭()21e f f x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

2023-2024学年天津市河北区高中数学人教A版选修三随机变量及其分布专项提升-16-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年天津市河北区高中数学人教A 版选修三随机变量及其分布专项提升(16)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则（）A.B.C.D.2. 设随机变量X 的概率分布列为X 1234Pm则P （|X ﹣3|=1）=（）A.B.C.D.3. .一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)( )A.B.C.D.6204. 随机变量ζ的分布列如下图，若则（）A. B. C. D.5. 甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为X ，则D （X ）等于（）A. B. C. D.16. 随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（）A. B. C. D.μ=3，Dξ=77.设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），若P （ξ＜2）=P （ξ＞4），则与Dξ的值分别为（）A.B.C.D.①为真命题；②为假命题①为假命题；②为真命题①②均为真命题①②均为假命题8. 随机变量X 的分布列如下，其中，对于给定的 .X 0nmPp有下列命题①：随着p 的增大，期望一直减小；命题②：随着p 的增大，方差先增大后减小，则下列正确的是（）A. B. C. D. 0.15850.15880.15870.15869. 已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且=0.6826，则（）A. B. C. D. 10. 有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（）A.B.C.D.，，，，11. 已知随机变量满足，，若，则（）A. B. C. D. 12. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险的基准保费为元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况想联系，最终保费基准保费（与道路交通事故相联系的浮动比率），具体情况如下表：为了解某一品牌普通座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型数量若以这辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为（）元元元元A. B. C. D.13. 设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）= ，k=0，1，2，3，则c= ．14. 已知某生产线生产的某种零件的合格率是95%，该零件是合格品，则每件可获利10元，该零件不是合格品，则每件亏损15元.若某销售商销售该零件10000件，则该销售商获利的期望为万元.15. 从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为；16. 已知随机变量X的概率分布如下表所示，，则，．X0123P a b17. 据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(1) 请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(2) 在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？(3) 在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．18. 某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，4 0），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数[0，10）2[10，20）3[20，30）5[30，40）15[40，50）40[50，60]35定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数[0，30）[30，50）[50，60]满意度指数012（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．19. “工资条里显红利，个税新政人民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表(个税起征点3500元)新个税税率表(个税起征点5000元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点税率(%)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点-专项附加扣除税率(%)1不超过1500元部分3不超过3000元部分32超过1500元至4500元部分10超过3000元至12000元部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元部分30超过35000元至55000元部分30···············随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：(1) 设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；(2) 根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过201 9年的月收入？20. 为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩优良的人数，求的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到人的成绩是优良的可能性最大，求的值．21. 为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.(1) 根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）(2) 研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占；（i）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ii）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望.（说明表示的概率.参考数据：，）答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)18.19.(1)(2)20.21.(1)(2)。

2024年天津高考数学真题+答案

2024年天津高考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，相关性系数最大的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=5．若0.30.3 4.24.24.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A ．若//m α，n ⊂α，则//m n B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n⊥D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交试卷第2页，共4页7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A．6B12+CD12二、填空题10．已知i是虚数单位，复数))i 2i +⋅=．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为．12．22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．15．若函数()2221f x x ax ax =---+有唯一零点，则a 的取值范围为．三、解答题16．在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中33ABC S =△(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．试卷第4页，共4页19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围；(3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案：1．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B 2．C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3．A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A 4．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.答案第2页，共18页故选：B.5．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B 6．C【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确.对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C.7．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 9025PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ==，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222,42,2210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：12222PF PF a -==222,8a b c a =-=所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 9．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.答案第4页，共18页【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V --==⨯⨯⨯⨯.故选：C.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅=+-=-.故答案为：7.11．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513．3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214．43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设答案第6页，共18页BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭ ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15．()(1-⋃【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则x =当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，答案第8页，共18页即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解，则当(]0,2a ∈时，210ax -+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<，故1a <<当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-，当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，答案第10页，共18页故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈- .故答案为：()(1-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.16．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B =再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A 法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ==⨯则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B =所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=17．(1)证明见解析(3)11【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，答案第12页，共18页故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则cos ,11m nm n m n ⋅===⋅，故平面1CB M 与平面11BB CC（3）由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有111BB m m ⋅==，即点B 到平面1CB M的距离为11.18．(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛- ⎝⎭，故12222ABC S c c =⨯⨯=△，故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.（2）若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k kk t t kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案第14页，共18页()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19．(1)21n n S =-(2)①证明见详解；②()131419nn S i i n b =-+=∑【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑，所以()()()232113141115424845431434499nn S nn i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S i i n b =-+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =-(2){}2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；答案第16页，共18页（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.（2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a tt t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =2022a a a ≤-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.（3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ+⎛⎫⎪=++++--+ ⎪⎝⎭'，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2c x >2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+--≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e e f f c ⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->，可得()1ln ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c ϕ⎫=-<-<---<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-≤.答案第18页，共18页根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

2024数学新高考-天津卷试题答案解析

一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（） A ．{}1,2,3,4 B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}1【答案】B【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，因此{}2,3,4A B =，故选B2．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选C.3．下列图中，线性相关性系数最大的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（）A ．22e x x y −=B ．22cos x x y += C ．e x xy −=D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c −===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3−<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2−<<<，所以0.30.30 4.21 4.2−<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选B6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（） A ．若//m α，//n α，则m n ⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交【答案】C【详解】A ，若//m α，//n α，则,m n 平行或异面或相交，A 错误. B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，B 错误.C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，C 正确.D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，D 错误. 故选C.7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A ．B ．32− C ．0 D ．32故选A8．双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x −=B ．221x y −=C ．221x y −=D ．221x y −=因为1290F PF ∠=︒，所以k 21sin 5θ=，由正弦定理可得：则由2PF m =得12PF m =由12121122PF F SPF PF =⋅=由双曲线第一定义可得：．一个五面体ABC DEF −．已知，且两两之间距离为．并已知．则该五面体的体积为（）A B 12+ C D 12【答案】C【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN −（顶点与五面体ABC DEF −一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为．．圆(1)25−+=x y 的圆心与抛物线2(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， CE =12DE,BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．18{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得，求AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，DG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值1CE DE =，即+CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 31,0BC BA BA BC ==⋅=，上的动点，设[1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=−+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=−+=−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DGk BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=−+⋅−+− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦221156311329510k k k k ⎫⎛⎫⎛⎫−+−=−−⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，时，AF DG ⋅取到最小值解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()(1,0,0,0,0,1A B C −⎝可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛=−==− ⎝因为(),BE BA BC λμλμ=+=−，则μ⎧−⎪⎨⎪⎩因为点F 在线段:3BE y =−22⎝可得()11,3,2a AF a a DG +⎛=+−=⎝则()()213322a AF DG a +⎛⋅=+−− ⎝1,03a ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以当时，AF DG ⋅取到最小值为15．若函数()21f x ax =−+恰有一个零点，则a 的取值范围为．)()1,3.三、解答题16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A −的值．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面CB M 的距离．有()0,0,0A 、(2,0,0B 则有()11,1,2CB =−、(1,0,1CM =−、(10,0,2BB =设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为(11,,m x y z =、(22,,n x y =111m CB x m CM x ⎧⋅=−⎪⎨⋅=−⎪⎩122212220n CB x y z n BB z ⎧⋅=−+⎪⎨⋅==⎪⎩分别取121x x ==，则有11=、21y =()1,3,1m =、()1,1,0n =，cos ,19m n m n m n ⋅==⋅+故平面1CB M 与平面1BB CC 11）由()10,0,2BB =()1,3,1m =，1219BB m m⋅=+因此点B 到平面1CB M 18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△ (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．，使得0TP TQ ⋅≤恒成立）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程32，()11,P x y 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤可求12，故2a c =3b c =，其中若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：设()()1122,,,P x y Q x y 223436x y ⎧+=而()(112,,,TP x y t TQ x y =−=故()(1212TP TQ x x y t y ⋅=+−()2121kx x +−因为0TP TQ ⋅≤恒成立，故若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则2，使得0TP TQ ⋅≤恒成立19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==−． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a −+=⎧=⎨+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b −≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值； (3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x −≤−．。

2023-2024学年天津市南开区高中数学人教A版选修三随机变量及其分布强化训练-16-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年天津市南开区高中数学人教A 版选修三随机变量及其分布强化训练(16)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）①为真命题；②为假命题①为假命题；②为真命题①②均为真命题①②均为假命题1. 随机变量X 的分布列如下，其中，对于给定的.X 0nmPp有下列命题①：随着p 的增大，期望一直减小；命题②：随着p 的增大，方差先增大后减小，则下列正确的是（）A. B. C. D. 2. 已知随机变量X ，Y 分别满足，，且期望，又，则（）A. B. C. D.p 3. 设一随机试验的结果只有和，，令随机变量则的方差为（）A. B. C. D.12344. 下列四个结论中正确的个数是（）（1）对于命题使得，则都有；（2）已知，则（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；（4）“”是“”的充分不必要条件.A. B. C. D. 5. 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示，现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P （A|B ）=（）A. B. C.D.6. 一台机器在一天内发生故障的概率为，若这台机器一周个工作日不发生故障，可获利万元；发生次故障获利为万元；发生次或次以上故障要亏损万元，这台机器一周个工作日内可能获利的数学期望是（）万元．（已知，）A. B. C.D.347. 已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（）A. B. C. D.3912368. 已知离散型随机变量的分布列为：26若，则（）．A. B. C. D.23459. 若随机变量的分布列如下表，且＝X02aP pA. B. C. D.0110. 随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（）A. B. C. D.11. 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）A. B. C. D.12. 随机变量的分布列如表，若，则（）A. B. C. D.13. 考查下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则，14. 某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直发到4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且，发球次数为X，则的最大值为；若，则p的取值范围是．15. 若随机变量，，则．16. 袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是 .17. 某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷已知甲考生对三道题中的每一题能解出的概率都是，乙考生对三道题能解出的概率分别是，，，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．(1) 求甲至少能解出两道题的概率；(2) 设表示乙在考试中能解出题的道数，求的数学期望；(3) 按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由．18. 某公同为调查某产品的市场满意度，对市场进行调研测评，测评方式知下：从全体消费者中随机抽取1000人给该商品评分，得分在60分以下视为“不满意”，得分在区间视为“基本满意”，得分在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给该商品的评分分组：，得到如下频率分布直方图：(1) 对评分为“基本满意”与“非常满意”的消费者进行跟踪调查，根据上述的统计数据补全列联表，并判断是否有99.5%的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关．基本满意非常满意总计年龄350年龄110总计800附：．0.0500.0100.0053.8416.6357.879(2) 从评分为“基本满意”和“非常满意”的消费者中用分层抽样的方法抽取8人，进行二次调查，对产品提出改进意见，并进行评比．最终有3人获奖（8人中每人是否获奖视为等可能的），求获奖消费者中评分为“基本满意”的人数X 的分布列及数学期望．19. 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：组别年龄组统计结果组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车27人13人40人20人23人17人35人25人20人20人35人25人参考公式：，其中.(1) 先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自组，求组这4人中得到礼品的人数的分布列和数学期望；(2) 从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄应取25还是35？请通过比较的观测值的大小加以说明.20. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1) 若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）(2) 用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望．21. 广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．(1) 估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；(2) 求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；(3) 若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．答案及解析部分1.2.3.5.6.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。

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一、填空题:
11.（天津市十二区县重点中学2013年高三毕业班联考一）已知圆C 的参数方程为2x y θθ⎧=⎨=+⎩cos ,sin ,
(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C
所得的弦长是 .
2．（天津市天津一中2013届高三第一次月考理）点P(x,y)在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨
=⎩(θ为参数,θ∈R)上,则y x
的取值范围是 .
3.（天津市天津一中2013届高三第一次月考理）如图过⊙0外一点P分别作圆的切线和
割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .
13. (天津市六校2013届高三第二次联考理)已知：如图⊙O和⊙P相交于A，B两点，
⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E做EF⊥CE延长线与点F.若CD=2，CB=22，则EF的长为。

【答案】2
D P O B A C
E 12. (天津市六校2013届高三第二次联考文)如上图，PA 与⊙O 切于点A ，过点P 的割线
与弦AC 交于B ，与⊙O 交于D 、E ，且==PB PA BC ，若4=PD ，21=DE ,则AB =
▲ . 【答案】9
13. （天津市南开中学2013届高三第四次月考理）如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝72，AB ＝BC ＝3，则AC 的长为。

13. （天津市2013年滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理）直线4,:(),:22cos()12.
4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C 截得的弦长为655
，则实数a 的值为 . 【答案】 0或2在平面直角坐标系下直线方程为2(2)0x y a ++-=，圆的方程为2222x y x y +=-，即22(1)(1)2x y -++=，所以圆心为(1,1)-，半径2r =l 被圆C 65，则圆心到直线的距离223595()2555
d r =-=-=，又2122155
512a a d -+--=
==+，即11a -=，解得0a =或2a =。