《空间直角坐标系中点的坐标》
怎样找空间直角坐标系的坐标
怎样找空间直角坐标系的坐标在空间几何中，我们经常需要利用直角坐标系来描述和定位不同点的位置。
直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴组成，分别表示x、y和z方向的坐标。
通过找到空间直角坐标系的坐标，我们可以准确地描述和计算点与点之间的距离、角度以及其他几何信息。
下面将介绍如何找到空间直角坐标系的坐标。
在空间直角坐标系中，我们要找到一个点的坐标，需要确定它在x、y和z轴上的投影长度或坐标值。
下面以一个具体的例子来说明具体的步骤。
假设我们要找到点P的坐标，在已知直角坐标系中，我们首先需要确定一个基准点，这个基准点一般被定义为原点O。
接下来，我们需要确定x、y和z轴的方向和单位长度。
1.确定原点和轴方向：–将我们选定的基准点标记为原点O，在直角坐标系中通常处于空间的中心。
–分别选择三个互相垂直的轴作为x轴、y轴和z轴，并标记它们的正方向。
2.确定轴的单位长度：–由于直角坐标系的单位长度可以自由选择，我们需要确定每个轴的单位长度。
–可以根据具体的要求和情境来选择适当的单位长度。
比如，当我们描述点的物理距离时，可以选择米（m）作为单位长度。
3.量取点P在每个轴上的投影长度：–在找寻点P的坐标时，我们需要测量它在每个轴上的投影长度。
这可以通过测量该点到原点O沿着每个轴的距离来实现。
–为了测量点P到原点O的距离，我们可以使用直尺、尺子或其他测量工具。
4.记录坐标值：–确定了点P在每个轴上的投影长度后，我们可以将它们作为点P的坐标值进行记录。
–然后按照一定的次序表示点P的坐标值，一般以(x, y, z)的形式表示，其中x、y和z分别代表在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
通过上述步骤，我们可以找到空间直角坐标系中点P的坐标。
这个坐标可以帮助我们准确地描述和计算点P与其他点之间的距离、角度以及其他几何信息。
在三维空间中，直角坐标系是一种非常有用且常见的坐标系，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
总结起来，找到空间直角坐标系的坐标需要确定原点和轴的方向，以及选择适当的轴单位长度。
高等数学《点的坐标与向量的坐标》
aazay称,y ja为z )a向称z k量为a向 的量坐a标的.(坐coo标rd表in示at式es).
若点M的坐标为(x, y, z), 则向径：OM ( x, y, z).
向 量的分 解表达式说明：任何向量可以表 示为 i , j , k 的线性组合，组合系数 ax , ay , az
就是该向量的坐标.
6(cos ,cos ,cos
)
6(1 , 2
2 2
,
1 2
)
(3
,3
2 , 3)
故点 A 的坐标为(3,3 2 ,3).
3. 向量的投影
1) 空间一点在轴上的投影
•A
过点 A 作轴 u 的垂直平面,交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影.
A
u
2) 空间一向量在轴上的投影
A
B
已知向量的起点 A 和终点 B 在
解 设所求点为M (0, y, 0), ∵|MA|= |MB|,
12 (2 y)2 32 22 (3 y)2 22
即 y2 4 y 14 y2 6 y 17, 解得 y 3 , 2
故所求点为M (0, 3 ,0). 2
思考题: (1) 在 xoy 面上求与点A(1,2,3)和点
AB AC , CB 2 AB 2 AC 2 原结论成立.
二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示
在空 间直角坐标系下, 任意向量 a 可用向径 OM 表示. 以i , j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量,称为
Oxyz 坐标系下的基本单位向量.
z
C
设点 M 的坐标为 M (ax , ay , az), 则
给2.定方a向 (角x,与y,方z) 向0余, a弦与三坐标轴正向所成的
(北师大版)高中数学必修2课件：2.3.1-2空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标
数 学 必修2
第二章
解析几何初步
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2．(1)在空间直角坐标系中，点 M(－2,1,0)关于原点的对称点 M′的坐标是 ( ) A．(2，－1,0) C．(2,1,0) B．(－2，－1,0) D．(0，－2,1)
(2)已知点 A(2,3－μ，－1＋υ)关于 x 轴的对称点为 A ′(λ，7，－6)，则 λ，μ， υ 的值为( )
c)， 平面的对称点 M2 的坐标为(a， －b， 关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐标为(－a， b，c)． 关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(a，－b，－c)， 关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(－a，b，－c)， 关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(－a，－b，c)， 关于原点对称的点 M7 的坐标为(－a，－b，－c)．
2 2 1 1 1 2 2 2 2 DD DF DA DG DC P ， ， | | | | | | | | | | ′ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，所以 点的坐标为 3 3 3 3 3 3 3 3 3，故
选 D.
答案：
(1)D
(2)D
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理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置 写出点的坐标．
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空间直角坐标系的建立 (1)空间直角坐标系建立的流程图 平面直角坐标系 ↓
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 点在空间直角坐标系中的坐标 空间两点间的距离公式
2
2
5+4
9
0 =
= ,
2
2
-7+3
0 = 2 = -2,
∴AB 的中点 C
||=√25 + 1 + 100 = √126=3√14.
1 9
的坐标为(2 , 2,-2).
重难探究·能力素养速提升
探究点一
求空间点的坐标
【例1】 (1)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是
自主诊断
1.[人教A版教材习题]先在空间直角坐标系中标出A,B两点,再求它们之间
的距离:
(1)A(2,3,5),B(3,1,4);
(2)A(6,0,1),B(3,5,7).
解 (1)如图所示,标出A(2,3,5).在x轴上取OC=2,在y
轴上取OD=3,在z轴上取OE=5,分别以OC,OD,OE为
解 要作出点M(2,-6,4),只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α,过y
轴上坐标为-6的点D作垂直于y轴的平面β,根据几何知识可以得出:这两个
平面的交线就是经过点M'(2,-6,0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为4
的点A'作垂直于z轴的平面γ,那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α,β,γ的
有序实数组(a,b,c).
点P与三元有序实数组是一一对应关系.P↔(a,b,c)
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序
实数组(x,y,z)来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都
可以确定空间中的一个点P.三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角
过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
求空间坐标系点坐标技巧
求空间坐标系点坐标技巧
空间坐标系由三个坐标轴组成：X、Y和Z轴。
每个坐标轴的起点称为原点，坐标轴的每个轴线是无限延伸的。
在空间坐标系中，每个点由三个坐标值表示，分别是x坐标、y坐标和z坐标。
可以使用以下技巧确定空间坐标系中的点坐标：
1. 用三个数值分别表示点的x、y、z坐标值，例如一个点的坐标为(1,2,3)。
2. 如果已知一个点的坐标和它在坐标轴上的投影，可以用勾股定理求出该点坐标。
例如，已知点P在x轴上的投影为a，在y轴上的投影为b，在z轴上的投影为c，那么点P的坐标为(\sqrt{a^2+b^2+c^2},a,b,c)。
3. 如果已知两个点的坐标，可以用向量相减的方法求出它们之间的距离和方向。
例如，已知点P_1和P_2的坐标，它们之间的向量为
\vec{P_1P_2}=\langle{x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1}\rangle。
则两点之间的距离为\vec{P_1P_2} =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}。
4. 如果已知一个点在空间中的高度，可以用等高线图来确定它的坐标。
例如，在三维空间中，可以用图形表示高度的三个维度来定位一个点的坐标。
5. 在CAD软件中，可以使用鼠标选择点的方式来确定它的坐标。
在创建新对象时，系统会提示用户输入点的坐标，并将在屏幕上显示该点的位置。
3.2空间直角坐标系中点的坐标
2.若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为 10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱
长为10，
所以正四棱锥的高为2 23 ，
以正四棱锥的底面中心为原点，
平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
答案
达标检测
1.点Q(0,0,2 017)的位置是 A.在x轴上 B.在y轴上
√C.在z轴上
D.在平面xOy上
1 2 34 5
答案
2.点(2，－1，5)与点(2，－1，－5)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
√C.关于xOy平面对称 D.关于z轴对称
1 2 34 5
答案
3.点A(－1， 3，2)在xOz平面的射影点的坐标为
C－5
2
2，5
2
2，0， D－5
2
2，－5
2
2，0.
解答
引申探究 1.若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶 点的坐标.
解 各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5,0,0)，B(0,5,0)，C(－5,0,0)， D(0，－5,0).
解答
例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5 2，侧棱长为13，建立的空 间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.
解 因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，
A5
2
2，－5
2
2，0，
B5
2
2，5
2
2，0，
浅谈空间直角坐标系中点坐标的求法
浅谈空间直角坐标系中点坐标的求法
作者：陆海仙
来源：《试题与研究·教学论坛》2015年第05期
高中几何中，用空间向量解决立体几何问题首先是建立适当的空间直角坐标系，接着是正确写出点的坐标，如果点的坐标书写错误，那么后面几乎没有什么分数可言。
本文试图对立体几何中点坐标的求法做一一些归纳和总结，以求能突破在直角坐标系中求点坐标难的问题。
一、直接法
设空间中任一点P到三个面：面zoy、面xoz、面xoy的距离分别为a、b、c，若点P在x 轴的射影在x轴的正半轴，则点P的横坐标为a；若点P在x轴的射影在x轴的负半轴，则点P的横坐标为-a，点P的纵坐标、竖坐标同理可得。
例1：（2008课标全国2，理19）如图1，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
AA1=2AB=4，点E在上且C1E=3EC。
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.
13
１画法． ３．运用空间直角坐标系表示空间点的坐标．
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14
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x P(x,0,0)
A(x,y,0)
.
11
1、在空间直角坐标系中描出下列 各点，并说明这些点的位置
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）
D（1,0,3）z E（2,2,0） F（1,0,0）
D• •B
1 •A
O•
F• 1
C
•
y
1
•E
x
.
12
如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′与B′D′相交于点P.分别写出点 C、B′、P的坐标. 答案：C、B′、P 各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)， ( 3 , 2,3)
z • P3
1
•P
y
x
x
•
•o
1 P1
1
• P2y
.
8
3、空间中点的坐标
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为
P
点。
0
点P
在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、
0
纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P 1在z轴上的坐
标z就是P点的竖坐标。
z
z P1
P
P点坐标为
1
x
•o
1
1
xM
•
yy
N
• P0
3.1 空间直角坐标系的建立
.
1
下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
.
(4,5,3 ) 5y
2
空间直角坐标系
z
从空间某一个定点０引三条互相
垂直且有相同单位长度的数轴，这样
就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o
y
x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条
坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、
yoz平面、和 zox平面．
.
3
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
yz面
Ⅳ
x y面
z zx面
Ⅱ
•O
Ⅰ
y
Ⅶx
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
.
4
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂
直，并使四指先指向x轴正方向，然后让
四指沿握拳方向旋转 9 0 o 指向y轴正方 向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我
们也称这样的坐标系为右手系 ．
z 说明:
☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
x
.
y
5
.
6
空间直角坐标系的画法:
z
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°,
而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同，x 1350 o
轴上的单位长度为y轴（或z轴）
1350
y
的单位长度的一半．
x
.
7
3、空间中点的坐标
(x,y,z)
.
9
应用举例
例1．在空间直角坐标系中作出点P(3,-2,4).
解 先确定点P′(3,-2,0)在xOy平面上的位置.
因为点P的z坐标为4, 则|P′P|=4，且点P和z轴的正半轴 在xOy平面的同侧，这样就确定 了点P在空间直角坐标系中的位置, 如右图所示.
.
10
想
在空间直角坐标系中, x轴上的点、xoy
对于空间任意一点P，要求它的坐标
方法一：过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，数值x,y,z
叫做 P点的横z 坐标、纵坐标、竖坐标。
一 想
坐标平面内的点的坐标各有什么特点？
？ 1．x轴上的点横坐标就是与x轴交点的坐
标，纵坐标和竖坐标都是０．
z
２．xoy坐标平面内的点
R(0,0,z)
B(0,y,z)的竖坐标为０，横坐标
与纵坐标分别是点向两
C(x,o,z)
•M(x,y,z) 轴作垂线交点的坐标．
O(0,0,0) o
y
Q(0,y,0)