概率论与数理统计练习题及答案2

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《概率论与数理统计》习题二答案

《概率论与数理统计》习题及答案习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑g故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑B查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=- 故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =L L113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+L L321131313()()444444k -=++++g L L213141451()4==-g 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222xx x xx F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xxF x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1 即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1）求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2）确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭ 404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+L L242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=L L2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度；（2）求Y =2X 2+1的概率密度；（3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+-2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e)2z z P X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

《概率论与数理统计》习题及答案第二章

《概率论与数理统计》习题及答案第二章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+，所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =，则345A B B B =++，所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

《概率论与数理统计》课后习题答案2

1．试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2．试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间（0，+∞）3．设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数．解由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格．现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张，求余下的卡片中最大号码的概率分布．解设X 为余下的卡片的最大号码，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2）计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ．解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1）求X 的概率分布；（2）计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布．解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值．解因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1）求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2）若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。

概率论与数理统计(二)(02197)

概率论与数理统计(二)（02197）1[计算题]设随机变量X的概率密度为2[计算题]设随机变量X服从[0,0.2]上的均匀分布，随机变量Y的概率密度为且X与Y相互独立，求(X,Y)的概率密度。

综合题]设（X,Y）的分布律为：且X与Y相互独立，求常数和的值。

[综合题]设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为求二维随机变量(X,Y)的分布律。

[应用题]五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以千克计）分别记为随机变量.已知，，，，，且它们相互独立，求这五家商店两周的总销量的均值和方差?解:设随机变量X指五家商店两周的总销量，则由已知可得（1）这五家商店两周的总销量的均值（2）这五家商店两周的总销量的方差[应用题]设电压（以计），将电压施加于一检波器，其输出电压为，求输出电压Y的均值？[计算题][计算题][综合题]设随机变量X的分布律为记综合题]设离散型随机变量X的分布律为[应用题]已知甲进行一次射击的命中率为，求：“甲进行三次独立的射击，至少一次命中”的概率？应用题]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002试求总体均值的矩估计值?[计算题][计算题]12把钥匙中有4把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。

综合题]设袋中有依次标着-1，0，1，2，3，4数字的6个球,现从中任取一球,记随机变量X为取得的球标有的数字,求:(1)X的分布律；(2)的概率分布。

[综合题]设二维随机变量(X,Y)的分布律为(1)求(X,Y)分别关于X,Y的边缘分布律；(2)试问X与Y是否相互独立，为什么？[应用题]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一个人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A表示“男人”，B表示“女人”，C表示“这人有色盲”，则由贝叶斯公式可得：应用题]某同学的钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是0.7,0.2,0.1，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8,0.2,0.2，试求他找到钥匙的概率？解：设：A1 =“钥匙掉在宿舍里”，A2=“钥匙掉在教室里”，A3=“钥匙掉在路上”，B=“钥匙被找到”，已知。

概率论与数理统计2.第二章练习题（答案）

概率论与数理统计2.第⼆章练习题（答案）第⼆章练习题(答案)⼀、单项选择题1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则⼀定成⽴的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1]4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C )5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是(A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p?(c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P26.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C )F(x) =o,kx+b 、 x<0 0 < x< x>则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数(A ) z 7fl -cosx ； 2 0, f sinx,A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0);B. f (x)1, x < 0[cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)⾮负D. f (x)在(-叫+00)内连续A. P {X O }B. f(x)= f(-x)C. p{xl} D ? F(x) = l-F(-x)A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设⽚3与E（⼒分别为随机变量X、兀的分布函数，为使F（沪aF?—胡（⼒是某⼀随机变量的分布函数，在下列给定的多组数值中应取（A ）&设⼼与⼈是任意两个相互独⽴的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为ft （⼒和f2（⼒，分布函数分别为川⼒和E （⼒，则（A）亡（⼒+負（⼒必为某个随机变量的概率密度；（B） f⼼）临（⼒必为某个随机变量的概率密度；（C）川⼒+￡（⼒必为某个随机变量的分布函数；（D）FAx）吠（⼒必为某个随机变量的分布函数。

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)答案

14.．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 ,0.1，则 0.5
15．设X为正态分布的随机变量，概率密度为，则 9
16.已知X～B（n,p），且E（X）=8，D（X）=4.8，则n=。
17．设随机变量X的密度函数为，则 0
二、单项选择题
1．甲、乙、丙三人射击的命中率分别为0.5、0.6、0.7，则三人都未命中的概率为(D)
解:设同一时刻被使用的供水设备的套数为则（二项分布）.
于是，，（ 0，1，2，3，4，5），即
.,Biblioteka ,.3.若某型号电子元件的使用寿命（单位：），（1）写出概率密度；（2）求概率；（3）求这样的5个独立使用的元件在15000小时后至多有两个能使用的概率。.
解:（1）随机变量的概率密度为
C.1/3D.1/2
4．设随机变量X的概率密度为，则X服从(A)
A．正态分布B.指数分布
C.泊松分布D.均匀分布
5．设随机变量，且，则参数的值分别为(B)
A．4和0.6B.6和0.4
C. 8和0.3D.3和0.8
6．设随机变量X的概率密度为则 ( B )
A． B.
C. D.
7. 设为随机变量且，为常数，则下列各式中不正确的是（ D ）
（2）
（3）用表示5个这样独立使用的元件在15000小时后仍能使用的个数，
则服从二项分布 .于是
4.甲、乙两台自动机床，生产同一种标准件，生产2000只所出的次品数分别用X、Y来表示，经过一段时间的考察，X、Y的分布律分别为：
X
0
1
2
3
P
0.6
0.2
0.1

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案.

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1．离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=．4,1,42,7.0,21,2.0,1,0)()(x x x x x X P x F 求X 的分布律．解：)0()()(000--==x F x F x X P ，∴2.002.0)01()1()1(=-=----=-=F F X P ，5.02.07.0)02()2()2(=-=--==F F X P ，3.07.01)04()4()4(=-=--==F F X P ，∴X 的分布律为2．设k a k X P 32()(==， ,2,1=k ，问a 取何值时才能成为随机变量X 的分布律．解：由规范性，a a a n n k k 2321]32(1[32lim)32(11=--=⋅=+∞→∞+=∑，∴21=a ，此时，k k X P 32(21)(⋅==， ,2,1=k ．3．设离散型随机变量X 的分布律为求：(1)X 的分布函数；(2)21(>X P ；(3))31(≤≤-X P ．解：(1)1-<x 时，0)()(=≤=x X P x F ，11<≤-x 时，2.0)1()()(=-==≤=X P x X P x F ，21<≤x 时，7.0)1()1()()(==+-==≤=X P X P x X P x F ，2≥x 时，1)2()1()1()()(==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=．2,1,21,7.0,11,2.0,1,0)(x x x x x F ．(2)方法1：8.0)2()1()21(==+==>X P X P X P ．方法2：8.02.01)21(121(1)21(=-=-=≤-=>F X P X P ．(3)方法1：1)2()1()1()31(==+=+-==≤≤-X P X P X P X P ．方法2：101)01()3()31(=-=---=≤≤-F F X P ．4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元；当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无．以X 记这两种新药的年销售额，求X 的分布律．解：设=i A {第i 组取得成功}，2,1=i ，由题可知，1A ，2A 相互独立，且4.0)()(21==A P A P ．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：21A A ，21A A ，21A A ，21A A ，相对应的X 的值为100000、40000、60000、0，则16.0)()()()100000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()40000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()60000(2121====A P A P A A P X P ，36.0)()()()0(2121====A P A P A A P X P ，∴X 的分布律为5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为p ，直到射中为止，求：(1)射击次数X 的分布律；(2)脱靶次数Y 的分布律．解：(1)由题设，X 所有可能的取值为1，2，…，k ，…，设=k A {射击时在第k 次命中目标}，则k k A A A A k X 121}{-== ，于是1)1()(--==k p p k X P ，所以X 的分布律为1)1()(--==k p p k X P ， ,2,1=k ．(2)Y 的所有可能取值为0，1，2，…，k ，…，于是Y 的分布律为1)1()(--==k p p k Y P ， ,2,1,0=k ．6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为p ，10<<p ，以X 表示直至两个面都出现时的试验次数，求X 的分布律．解：X 所有可能的取值为2，3，…，设=A {k 次试验中出现1-k 次正面，1次反面}，=B {k 次试验中出现1-k 次反面，1次正面}，由题知，B A k X ==}{，=AB ∅，则)1()(1p p A P k -=-，p p B P k 1)1()(--=，p p p p B P A P B A P k X P k k 11)1()1()()()()(---+-=+=== ，于是，X 的分布律为p p p p k X P k k 11)1()1()(---+-==， ,3,2=k ．7．随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，求)4(=X P 及)1(>X P ．X 100000060000400000P0.160.240.240.36解： )2()1(===X P X P ，∴2e e2λλλλ--=，∴2=λ或0=λ(舍去)，∴224e 32e !42)4(--===X P ．)1()0(1)1(1)1(=-=-=≤-=>X P X P X P X P 222e 31e 2e 1----=--=．8．设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-．0,0,0,e )1(1)(x x x x F x 求：(1)X 的概率密度；(2))2(≤X P ．解：(1)⎩⎨⎧<≥='=-．0,0,0,e )()(x x x x F x f x ；(2)2e 31)2()2(--==≤F X P ．9．设随机变量X 的概率密度为xx Ax f e e )(+=-，求：(1)常数A ；(2))3ln 210(<<X P ；(3)分布函数)(x F ．解：(1)⎰⎰+∞∞--+∞∞-+==xAx x f xx d e e d )(1A A x A x x x 2|e arctan d e 21e 2π==+=∞+∞-∞+∞-⎰，∴π2=A ．(2)61|e arctan 2d e e 12)3ln 210(3ln 2103ln 210==+=<<⎰-x xx x X P ππ．(3)x xx x xx t t f x F e arctan 2d e e 12d )()(ππ=+==⎰⎰∞--∞-．10．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤=．a x a x a a x B A a x x F ,1,,arctan ,,0)(其中0>a ，试求：(1)常数A ，B ；(2)概率密度)(x f ．解：(1) 2arcsin (lim )0()(0)(π⋅-=+=+-=-=+-→B A a x B A a F a F a x ，1)(lim )0()(2==+==⋅++→x F a F a F B A a x π，∴21=A ，π1=B ．(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-='=．a x a x x a x F x f ,0,,1)()(22π．11．设随机变量X 的概率密度曲线如图所示，其中0>a ．(1)写出密度函数的表达式，求出h ；(2)求分布函数)(x F ；(3)求)2(a X aP ≤<．解：(1)由题设知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,)(a x x ah h x f 2d )(d )(10ahx x a h h x x f a=-==⎰⎰+∞∞-，∴ah 2=，从而⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,22)(2a x x a a x f ．y hO a x(2)0<x 时，0d 0d )()(===⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F ，a x <≤0时，220202d )22(d 0d )()(a x a x t t a a t t t f x F xx-=-+==⎰⎰⎰∞-∞-，a x ≥时，1)(=x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．a x a x axa x x x F ,1,0,2,0,0)(22．(3)41411(1)2()()2(=--=-=≤<a F a F a X a P ．12．设随机变量X 在]6,2[上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观测值大于3的概率．解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他．,0,62,41)(x x f ，记3}{>=X A ，则43d 41)3()(63==>=⎰x X P A P ，设Y 为对X 进行三次独立观测事件}3{>X 出现的次数，则Y ～43,3(B ，所求概率为)3()2()2(=+==≥Y P Y P Y P )(()(333223A P C A P A P C +=3227)43(41)43(333223=+⋅=C C ．13．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，求：(1)}21{≤X 至少出现一次的概率；(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率．解：由题意知Y ～),3(p B ，其中81d 321(2102==≤=⎰x x X P p ，(1)}21{≤X 至少出现一次的概率为512169)811(1)1(1)0(1)1(33=--=--==-=≥p Y P Y P ．(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率为51221811(81()1()2(223223=-=-==C p p C Y P ．14．在区间],0[a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标．设这个质点落在],0[a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例．试求X 的分布函数．解：0<x 时，事件}{x X ≤表示X 落在区间],0[a 之外，是不可能事件，此时0)()(=≤=x X P x F ；a x ≤≤0时，事件}{x X ≤发生的概率等于X 落在区间],0[x 内的概率，它与],0[x 的长度x 成正比，即x k x X P x F =≤=)()(，a x =时，1)(=≤x X P ，所以a k 1=，则此时axx F =)(；a x ≥时，事件}{x X ≤是必然事件，有1)(=x F ，综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=，a x a x a x x x F ,1,0,,0,0)(．15．设X ～),2(2σN ，又3.0)42(=<<X P ，求)0(>X P ．解：)24222()42(σσσ-<-<-=<<X P X P 3.0)0(2(=Φ-Φ=σ，∴8.03.0)0()2(=+Φ=Φσ，∴8.0)2()2(1)0(1)0(=Φ=-Φ-=≤-=>σσX P X P ．16．设X ～)4,10(N ，求a ，使得9.0)10(=<-a X P ．解：)10()10(a X a P a X P <-<-=<-)22102(a X a P <-<-=)2()2(a a -Φ-Φ=9.01)2(2=-Φ=a，∴95.0)2(=Φa，查标准正态分布表知645.12=a，∴290.3=a ．17．设X ～)9,60(N ，求分点1x ，2x ，使得X 分别落在),(1x -∞，),(21x x ，),(2∞x 的概率之比为3：4：5．解：由题知5:4:3)(:)(:)(2211=><<<x X P x X x P x X P ，又1)()()(2211=>+<<+<x X P x X x P x X P ，∴25.041)(1==<x X P ，33.031)(21==<<x X x P ，125)(2=>x X P ，则5833.0127)(1)(22==>-=≤x X P x X P ．25.0)360()360360()(111=-Φ=-<-=<x x X P x X P ，查标准正态分布表知03601<-x ，∴03601>--x ，则75.0)360(1)360(11=-Φ-=--Φx x 查标准正态分布表，有7486.0)67.0(=Φ，7517.0)68.0(=Φ，75.02)68.0()67.0(=Φ+Φ，∴675.0268.067.03601=+=--x ，即975.571=x ．5833.0360()360360()(222=-Φ=-≤-=≤x x X P x X P ，查标准正态分布表知5833.0)21.0(=Φ，∴21.03602=-x ，即63.602=x ．18．某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布)100,65(N ，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几？解：设X 为考生的数学成绩，则X ～)100,65(N ，于是)85(1)85(≤-=>X P X P )1065851065(1-≤--=X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=，即数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的2.28%．19．设随机变量X 的分布律为求2X Y =的分布律．解：Y 所有可能的取值为0，1，4，9，则51)0()0(====X P Y P ，307)1()1()1(==+-===X P X P Y P ，51)2()4(=-===X P Y P ，3011)3()9(====X P Y P ，∴Y 的分布律为20．设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)X Y ln 2-=的概率密度．解：由题设可知⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f ，(1)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，X 2-1-013P5161511513011X 0149P51307513011∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；e 0<<y 时，)e ()()(y P y Y P y F X Y ≤=≤=)(ln )ln (y F y X P X =≤=，此时，yy f y y y F y F y f X XY X 1)(ln 1)(ln )(ln )()(=='⋅'='=；e ≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,e 0,1)(y y y f Y ．(2)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；当0>y 时，)e ()ln 2()()(2y Y X P y X P y Y P y F -≥=≤-=≤=)e (1)e (122y X y F X P ---=<-=，此时，222e 21)e ()e ()()(yy y X Y X F y F y f ---='⋅'-='=；∴⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY ．21．设X ～)1,0(N ，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)122+=X Y 的概率密度；(3)X Y =的概率密度．解：由题知22e 21)(x X xf -=π，+∞<<∞-x ，(1)0≤y 时，=≤=}e {y Y X ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，)(ln )ln ()e ()()(y F y X P y P y Y P y F X X Y =≤=≤=≤=，此时，2)(ln 2e 21)(ln 1)(ln )(ln )()(y X XY X y f yy y F y F y f -=='⋅'='=π；综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2)(ln 2y y y f y Y π．(2)1<y 时，=≤+=}12{2y X Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ；1≥y 时，21()12()()(22-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y )2121(-≤≤--=y X y P 当1=y 时，0)(=y F Y ，故1≤y 时，0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；当1>y 时⎰⎰------==210221212d e22d e21)(22y x y y x Y x x y F ππ，此时，41e)1(21)()(---='=y Y Y y y F y f π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--．1,0,1,e )1(21)(41y y y y f y Y π．(3)0<y 时，=≤=}{y X Y ∅，∴0)()()(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ，0≥y 时，)()()()(y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，0=y 时，0)(=y F Y ，∴0≤y 时，有0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，22e 22)()()()()(y X X Y Y Y yf y f y F y F y f -=-+=-'+'=π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 22)(22y y y f yY π．22．(1)设随机变量X 的概率密度为)(x f ，+∞<<∞-x ，求3X Y =的概率密度．(2)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他．,00,e )(x x f x 求2X Y =的概率密度．解：(1)0=y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0≠y 时，)()()()()(333y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=，3233331())(()()(-⋅=''='=y y f y y F y F y f XY Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-．0,0,0),(31)(332y y y f y y f Y ．(2)由于02≥=X Y ，故当0<y 时，}{y Y ≤是不可能事件，有0)()(=≤=y Y P y F Y ；当0≥y 时，有)()(()()()(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=；因为当0=y 时，0)0()0()(=--=X X Y F F y F ，所以当0≤y 时，0)(=y F Y ．将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=．，；，000)](([21)(y y y f y f y y f X X Y ，⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-．0,0,0),e e (21y y yyy ．23．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,0,2)(2ππx xx f 求X Y sin =的概率密度．解：由于X 在),0(π内取值，所以X Y sin =的可能取值区间为)1,0(，在Y 的可能取值区间之外，0)(=y f Y ；当10<<y 时，使}{y Y ≤的x 取值范围是),arcsin []arcsin ,0(ππy y - ，于是}arcsin {}arcsin 0{}{ππ<≤-≤<=≤X y y X y Y ．故)arcsin ()arcsin 0()()(ππ<≤-+≤<=≤=X y P y X P y Y P y F Y ⎰⎰-+=ππyX y X x x f x x f arcsin arcsin 0d )(d )(⎰⎰-+=ππππyy x xx xarcsin 2arcsin 02d 2d 2，上式两边对y 求导，得22222121)arcsin (21arcsin 2)(yyy yyy f Y -=--+-=ππππ；综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,12)(2y y y f Y π．。

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概率论与数理统计练习题（2）条件概率独立性
1．填空题
（1）某大型商场销售某种型号的电视机1000台，其中有20台次品，已售出400台．从剩下的电视机中，任取一台是正品的概率为．
（2）设有10件产品，其中有4件次品，依次从中不放回地抽取一件产品，直到将次品取完为止．则抽取次数为7的概率为．
（3）某射手射靶4次，各次命中率为0.6，则4次中恰好有2次命中的概率为．
（4）一架轰炸机袭击1号目标，击中的概率为0.8，另一架轰炸机袭击2号目标，击中的概率为0.5，则至少击中一个目标的概率是．
（5）4个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是
41，则此谜语被猜破的概率是．
（6）设两两相互独立的三事件C B A ,,满足条件：,21)()()(<
==C P B P A P φ=ABC ，且已知16
9)(=C B A P ，则=)(A P ．（7）已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则条件概率()P B A
B = ． 2．选择题
（1）袋中共有5个球，其中3个新球，2个旧球，每次取1个，无放回地取2次，则第二次取到新球的概率是（）．
（A ）53；（B ）43；（C ）21；（D ）10
3．（2）设0)(=AB P ，则（）．
（A ）A 和B 不相容；（B ）A 和B 独立；
（C ）0)(0)(==B P A P 或；（D ）)()(A P B A P =-．
（3）设A 、B 是两个随机事件，且)|()|(,0)(,1)(0A B P A B P B P A P =><<，则必有（）．
（A ）)|()|(B A P B A P =；（B ）)|()|(B A P B A P ≠；
（C ）)()()(B P A P AB P =；（D ）)()()(B P A P AB P ≠．
3．甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各台机床加工的百分比依次是50%，30%，20%．各机床加工的优质品率依次是80%，85%，90%，将加工的零件放在一起，从中任取1个，求取得优质品的概率．
4．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，信息A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01．信息A 与信息B 传送的频繁程度为2∶1．若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？
5．甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击
中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率．
6．已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
7.一个学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为
12，若第一次及格，第二次及格的概率也为12；若第一次不及格，第二次及格的概率为14
（1）若至少有一次及格则此学生获得某种资格，求他获得该资格的概率
（2）已知此学生第二次考试及格，求他第一次及格的概率
概率论与数理统计练习题（2）详细解答
1．填空题
（1）0.98；（2）
221；（3）0.3456；（4）0.9；（5）175256
；（6）14．（7）14 2．选择题
（1）A ；（2）D ；（3）C ．
3．解：令1B ={取到的产品是甲机床加工的}，
2B ={取到的产品是乙机床加工的}，
3B = {取到的产品是丙机床加工的}， A ={取得优质品}．则
112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++
0.50.80.30.850.20.90.835=⨯+⨯+⨯=．
4．解：令H ={原发信息是A}，C ={收到的信息是A}，则
20.98()(|)1963(|)0.99521()(|)()(|)197
0.980.0133
P H P C H P H C P H P C H P H P C H ⨯====+⨯+⨯． 5．解：令A ={飞机被击落}，i B ={恰有i 人击中飞机}，0,1,2,3i =，则 0()0.60.50.30.09P B =⨯⨯=，
1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 2()0.60.50.70.40.50.70.40.50.30.41P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 3()0.40.50.70.14P B =⨯⨯=．从而
3
0()()(|)0.0900.360.20.410.60.1410.458i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑．
6. 解：令A =随机选一人是女性，A =随机选一人是男性 ()(0.5P A P A ==）
C =随机选一人恰好是色盲由全概率公式得：()()()()()P C P A P C A P A P C A =+ 0.50.00250.50.05=⨯+⨯ 0.02625= 由贝叶斯公式：()()()()()()
P A P C A P AC P A C P C P C == 0.50.050.95240.02625
⨯== 7. 解：令i A =第i 次考试及格， 112121()0.5,()0.5,()0.5,()0.25P A P A P A A P A A ====
（1）则1212()1()P A A P A A =- 1211()[1()P A P A A =-- 1(10.5)(10.25)=--- 35188
=-= （2）12112122121121()()()()()()()()()
P A P A A P A A P A A P A P A P A A P A P A A ==+ 0.50.520.50.50.50.253⨯==⨯+⨯。