第9章代数系统

EXAMPLE 9.2
设S={1, 2}，给出P(S)上的运算ˉ和⊕的 运算表，其中全集为S. xi Ø {1} {2} {1,2} xi {1,2} {2} {1} Ø ⊕ Ø {1} {2} {1,2}
Ø {1} {{1} Ø {1,2} {2} {2} {1,2} Ø {1} {1,2} {2} {1} Ø
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§9.2 代数系统
DEFINITION 9.8
非空集合S和S上k个一元或二元运算f1, f2, …,
fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，
记作<S, f1, f2, …, fk>。
例如，<N,+>,<Z,+, · >,<R,+, · >,<P(S),∪,∩,ˉ>都是代数系统。
对任何代数系统V=<S, f1, f2, …, fk>，其代数一定存在。
最大的子代数是V本身。
如果令V中所有代数常数构成的集合是B，且B对V中所
有的运算都是封闭的，则B就构成了V的最小的子代数。
这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数。
真子代数：如果V的子代数V’=<B, f1, f2, …, fk>满足 BS，则称V’是V的真子代数。
但，自然数集合N和普通减法-不能构成代数系统，因为两个自 然数相减可能得到一个负数，所以不能写成<N, ->。
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在某些代数系统中对于给定的二元运算存在 幺元或零元，我们称之为该系统的特异元素 或代数常数。
例如，<P(S),∪,∩,ˉ>中的∪和∩的幺元分别 为Ø和S，可将<P(S),∪,∩,ˉ>记为 <P(S),∪,∩,ˉ, Ø, S > 。
工作者应初步掌握其基本的理论和方法。
我们通过对具体代数系统的学习，应初步掌 握对代数系统研究的一般方法：从简单到复杂、 从具体到一般，从而发现代数系统的一般规律。
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我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联系。 现在我们要在一个集合的内部引入运算，并 研究其运算规律，主要内容为：
(3) ◦适合幂等律：xS, x◦x=x.
(4) *对◦可分配：x,y,zS, x*(y◦z)=(x*y)◦(x*z).
(5) ◦和*满足吸收律：x,yS, x*(x◦y)=x,
x◦(x*y)=x.
幂集合上的∩，∪运算满足幂等律，可分配律，以及吸收率。
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(2) 若y ◦ x = z ◦ x且x不是零元，则y = z，
就称运算◦满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)
称作右消去律。
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EXAMPLE 9.5
(1)整数集合Z上的加法满足消去律。 加法没有零元，x, y, zZ，都有： x+y = x+z y=z，y+x = z+x y=z. (2) 整数集合Z上的乘法也满足消去律。 0是乘法的零元，不能消去，任何非零的整数都 可消去，x, y, zZ (x0)，都有： xy = xz y=z，yx = zx y=z.
◦ x1 x2 … xn
x1 x 1 ◦ x1 x 2 ◦ x1 … x n ◦ x1
x2
…
xn x1 ◦ xn x2 ◦ xn … xn ◦ xn
x1 ◦ x2 … x2 ◦ x2 … … … xn ◦ x2 …
二元运算表的一般形式
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1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
请同学们分析这个二元运算有什么特点？
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DEFINITION 9.3-9.5 设◦和*为S上的二元运算， (1) ◦在S上可交换：x,yS, x◦y=y◦x. (2) ◦在S上可结合：x,y,zS, (x◦y)◦z=x◦(y◦z).
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（3） 幂集P(S)上的∪运算不满足消去律。 取A, B, CP(S)，由A∪B=A∪C不一定能得 到B=C. （4）∩运算也不满足消去律。 （5）运算满足消去律。 运算不存在零元，A, B, CP(S)，都有： AB=ACB=C，BA=CAB=C.
定理：9.1—9.3
(1) 设◦为S上的二元运算，el, er分别为运算◦的左
幺元和右幺元，则有：el=er=e，且e为S上关于运
算◦的唯一的幺元。（由定义证明） (2) 设◦为S上的二元运算，l, r分别为运算◦的左 零元和右零元，则有：l=r=，且为S上关于运 算◦的唯一的零元。 (3) 设◦为S上可结合的二元运算，e为该运算的幺 元，对于xS如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有： yl= yr=y，且y是x的唯一的逆元。
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证明： (3) yl = yl◦e = yl◦(x◦yr) = (yl◦x)◦yr= e◦yr = yr，
yl = yr ，
把yl = yr记作y，假设y’S是x的逆元，则有：
y’= y’◦e = y’◦(x◦y) = (y’◦x)◦y = e◦y = y.
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证明：
(2) =l◦r
l◦r=r l=r ，
(因为l为左零元)
(因为r为右零元)
把l=r记作，假设S中存在零元’，则有： ’= ’◦ = 是S中关于运算◦的唯一的零元。
为： x ◦ y=z.
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EXAMPLE 5. 1
1. 实数集R上的加法，减法，乘法是二元运算。 2. 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n>=2)，即：
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n M n ( R) aij R M M M M an1 an 2 L ann
第9章 代数系统简介
§9.1 二元运算及其性质
§9.2 代数系统
§3 几个典型的代数系统
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本章的主要研究对象是各种各样的代数系
统，即具有一些元运算的集合，代数系统的思想
和方法已经渗透到现代科学的许多分支，它的结
果已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学
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EXAMPLE 9.3
设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下： x ◦ y=(xy) mod 5, x, yS. 求◦的运算表。 ◦ 1 2 3 4
2 ◦3=1
xy表示 x乘y,是 普通的 乘法
1 2 3 4
则，矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。
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DEFINITION 9. 2. n元运算
设S为集合，n为正整数，则函数 f :S×S×…×S→S 称为S上的一个n元运算，简称为n元运算。
类似的，也可以使用算符来表示n元运算，若 f (<x1,x2,…,xn>) = y，则可利用算符◦简记为： ◦ (x1, x2, …, xn) = y 或 x1 ◦ x2 ◦ … ◦ xn= y.
例9.1： f :N×N→N， f(<x,y>)=x+y就是自然数集合 上的一个二元运算，即普通的加法运算。 考虑，普通的减法是不是自然数集合上的二元运算？
实数R上的减法是不是二元运算？
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由二元运算的定义可知，验证一个运算是否为集合S上 的二元运算，主要考虑两点： (1) S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果 是唯一的。（函数） (2) S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是 封闭的。 通常用◦,,•,…等符号表示二元运算，称为算符。 设f :S×S→S是S上的二元运算，对任意的x,yS，如果 x与y的运算结果是z，即 f (<x,y>)=z，则可利用算符◦简记
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EXAMPLE 9 .7
<N, +, 0>是<Z, +, 0>的子代数：因为N对+是封闭的，且它们都
含有相同的代数常数0。 <N-{0}, +>是<Z, +>的子代数，但不是<Z, +, 0>的子代数：因为
<Z, +, 0>的代数常数0N-{0}。
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DEFINITION9.9 子代数 设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，BS，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统，简称子代数。 例如，<N, +>是<Z, +>的子代数：因为N对+是封闭的，且它们 都没有代数常数。
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EXAMPLE 9.4