代数系统
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代数系统简介
代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。
代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。
代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。
根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。
代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。
例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。
二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。
以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。
2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。
前者如群、环、域等，后者如格等。
3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。
前者如交换群等，后者如李群等。
4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。
前者如有限群等，后者如无限群等。
此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。
通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。
三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。
以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。
封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。
2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。
第三部分 代数系统
(4) 如果V1=V2，则称作自同态
第八章
代数系统
第九章
半群与群
广群
定义9.1 广群（groupoid）仅有一个二元运 算的代数系统称之为广群。
半群
定义9.2 半群（semigroup）：设有代数系统<S， *>， 其中S是非空集合， *是S上的可结合的二元运算， 则称<S， *>为半群。 由定义， 半群中的二元运算 *应满足下面两个条件： 1) *在S上封闭； 2) *在S上可结合。
唯一性定理
定理8.1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.
证： el = el◦er r为右单位元) (e r = er l为左单位元) el◦e (e
所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
f 2＝{(1， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (4， 2)} f 3＝{(1， 4)， (2， 1)， (3， 2)， (4， 3)}
例题
还可求得 f 4＝{(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)}＝f 0 f 5＝f， f 6＝f 2， …， 一般的有
f 1＝f res4 (i) (i∈N)
二元运算的性质
定义8.9 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 z◦x=z◦y，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足左消去律. (2)若对任意x,y,z∈S有 x◦z=y◦z，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足右消去律. 左消去律和右消去律都称为消去律，又称为可约律。
第一讲代数系统
θl，则称θl为A中关于运算*的左零元。
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
23
6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
17
6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
22
6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
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6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
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6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
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6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
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6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
代数系统(抽象代数)
6-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” P(E) ~ P(E) N2 + N I - I 。 Φ Φ。 <0,0>。 。 0 2。 。 -2 <0,1>。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 <0,2>。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 <1,0> 。 2 {a,b} 。 。 {a,b} <1,1>。 <1,2>。
九.分配律 设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y,z∈X，有 x(yz)=(xy)(xz) ，(yz) x =(y x)(z x) 则称对可分配。 例如： 乘法对加法可分配。 集合的∪与∩互相可分配。 命题的∧与∨互相可分配。 十.吸收律 设和 都是X上的可交换二元运算，若对任何x,y∈X， 有 x(xy)=x ，x(xy)=x 则与 满足吸收律。 例如：集合的∪与∩满足吸收律。 命题的∧与∨满足吸收律。
2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b}， P(E)上的 ∩运算表如图所示。
∩ Φ 左 Φ Φ 表 {a} Φ 头 元 {b} Φ 素 {a,b} Φ
运算 上 表 头 元 素
{a} Φ {a} Φ {a}
{b} Φ Φ {b} {b}
{a,b} Φ {a} {b} {a,b}
六.可结合性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X，有 (xy)z =x(yz)，则称是可结合的。 例：数值的加法、乘法，集合的交、并、对称差， 关系的复合、函数的复合，命题的合取、析取等。
代数系统
5-2 运算及其性质
关于逆元有下述的唯一性定理 证明：设a,b,c ∈A，且b是a的左逆元，c是b的左 逆元。 因为(b*a)*b=e*b=b 所以e=c*b=c*((b*a)*b) =(c*(b*a))*b=((c*b)*a)*b =(e*a)*b=a*b 因此b也是a的右逆元。 设元素a有两个逆元b和c，那么 b=b*e=b*(a*c) =（b*a)*c=e*c=c 因此，a的逆元是唯一的。
5-2 运算及其性质
逆元 定义 5-2.8 设设代数系统<A,*>,*是定义在A 上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的单位元 (幺元)。 如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b ，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元； 如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元； 如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元 ，即 b*a= a*b=e，那么就称b是a的一个逆元。 很明显，如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元， 简称a与b互逆。 一个元素x的逆元记为x-1.
5-2 运算及其性质
（4）A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行 和列中的元素都与该元素相同。 （5）A中关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的 行和列依次与运算表的行和列相一致。 （6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所 在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素 都是幺元。
5-2 运算及其性质
吸收律 定义 5-2.5 设*， △是定义在A上的两个可交换 的二元运算，若x，y∈A有: x*(x△y)=x； x△(x*y)=x，称运算*和运算△满足吸收律。 例5：设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元 运算，如果对于任意的x,y ∈ N ,有 x*y=max(x,y);x y=min(x,y)，验证*和的吸收律 。 解：对于任意的a,b∈N a*(ab)=max(a,min(a,b))=a a(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此*和满足吸收律。
第4章 代数系统
则称该代数系统的运算“”满足结合律。 2.单个二元运算的交换律
(S,)中如有aS,bS,均有: ab＝ba
则称该代数系统的运算“”满足交换律。
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15
第4章 代数系统概论
3.两个二元运算的分配律 (S,,)中如有aS,bS,cS均有: a(bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 a (bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律
S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．
例 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是．
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算， 而加法和减法不是．
定义4.4子代数:两个代数系统(S,)与(S,)若满 足下列条件:
(1)S’S; (2)若aS’,bS’,则ab＝ab
则称(S,)是(S, )的子代数或子系统。
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14
第4章 代数系统概论
4.2代数运算中的常见性质
1.单个二元运算的结合律:
(S,)中如有aS,bS,cS,均有: a (bc)＝(ab) c
l l＝1r＝1 定理4.2(S,)中对运算“”若存在单位元则必唯一。
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17
第4ห้องสมุดไป่ตู้ 代数系统概论
5.二元运算中零元素 (S,)中若有元素S,对任一个xS均有 0x＝x0＝0则称此元素为对于运算“”的零元素或 称零元。 同样有:
0 l＝0r＝0
还有: 代数系统中若存在零元则必唯一。
(S,)中如有aS,bS,均有: ab＝ba
则称该代数系统的运算“”满足交换律。
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第4章 代数系统概论
3.两个二元运算的分配律 (S,,)中如有aS,bS,cS均有: a(bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 a (bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律
S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．
例 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是．
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算， 而加法和减法不是．
定义4.4子代数:两个代数系统(S,)与(S,)若满 足下列条件:
(1)S’S; (2)若aS’,bS’,则ab＝ab
则称(S,)是(S, )的子代数或子系统。
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第4章 代数系统概论
4.2代数运算中的常见性质
1.单个二元运算的结合律:
(S,)中如有aS,bS,cS,均有: a (bc)＝(ab) c
l l＝1r＝1 定理4.2(S,)中对运算“”若存在单位元则必唯一。
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第4ห้องสมุดไป่ตู้ 代数系统概论
5.二元运算中零元素 (S,)中若有元素S,对任一个xS均有 0x＝x0＝0则称此元素为对于运算“”的零元素或 称零元。 同样有:
0 l＝0r＝0
还有: 代数系统中若存在零元则必唯一。
第5章 代数系统hhs
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5.1 代数系统的引入
例3：函数的复合运算
Y X { f f : X Y} （所有从X 到Y的函数的集合)
X m, Y n, Y
X
n m个不同的函数
X X { f f : X X}
集合X {a, பைடு நூலகம்},
f1
f2
f3
f4 f 4 ( a) b
f1 f2
f1 f1 f2
5.2 运算及其性质
幺元的定义
设 是定义在集合 A 上的二元运算, 若有el A , 对于任意的 x A ,
er A e A 都有el x = x， x er = x ex =xe=x 则称 el 为 A 中关于运算 的左幺元； 右幺元； 幺元。
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5.2 运算及其性质
由集合上定义若干个运算而组成的系统,通称代数系统.
代数系统是近世代数研究的中心问题，是数学中最重要、最 基础的分支之一，其理论不仅是许多数学研究的基础，而且在通 信理论、系统工程等领域都有着广泛的应用。特别在计算机科学 领域，是诸如程序设计、数据结构、形式语言、编码理论、逻辑 电路设计等领域必不可少的理论基础。
N , , , I , , , Q, , , R, , , C, ,
5/38
5.1 代数系统的引入
例1:时钟代数
给定代数系统 V = < Im , >，其中Im= {1，2，…, m} 为一元运算
i 1 i m (i) 1 i m
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5.2 运算及其性质
定理：设代数系统 <A, >, 这里 是定义在 A 上的一个二元 运算，A 中存在幺元 e, 且每一个元素都有左逆元。如果 是可结合的,则该代数系统中任何一个元素的左逆元必定是 该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
5.1 代数系统的引入
例3：函数的复合运算
Y X { f f : X Y} （所有从X 到Y的函数的集合)
X m, Y n, Y
X
n m个不同的函数
X X { f f : X X}
集合X {a, பைடு நூலகம்},
f1
f2
f3
f4 f 4 ( a) b
f1 f2
f1 f1 f2
5.2 运算及其性质
幺元的定义
设 是定义在集合 A 上的二元运算, 若有el A , 对于任意的 x A ,
er A e A 都有el x = x， x er = x ex =xe=x 则称 el 为 A 中关于运算 的左幺元； 右幺元； 幺元。
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5.2 运算及其性质
由集合上定义若干个运算而组成的系统,通称代数系统.
代数系统是近世代数研究的中心问题，是数学中最重要、最 基础的分支之一，其理论不仅是许多数学研究的基础，而且在通 信理论、系统工程等领域都有着广泛的应用。特别在计算机科学 领域，是诸如程序设计、数据结构、形式语言、编码理论、逻辑 电路设计等领域必不可少的理论基础。
N , , , I , , , Q, , , R, , , C, ,
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5.1 代数系统的引入
例1:时钟代数
给定代数系统 V = < Im , >，其中Im= {1，2，…, m} 为一元运算
i 1 i m (i) 1 i m
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5.2 运算及其性质
定理：设代数系统 <A, >, 这里 是定义在 A 上的一个二元 运算，A 中存在幺元 e, 且每一个元素都有左逆元。如果 是可结合的,则该代数系统中任何一个元素的左逆元必定是 该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
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虽然集合不同，运算不同，但是它们是一 些具有共同运算规律的运算，研究 < I，+ >就 相当于研究< I，*>，<R，+>，< (S)，∪>，
< (S)，∩>
5-2 运算及其性质
在前面考察几个具体的代数系统时，已经涉及到我们 所熟知的运算的某些性质。下面，着重讨论一般二元运算 的一些性质。 一、封闭性 定义5-2.1 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的 x,yA，都有x*yA，则称二元运算*在A上是封闭的。 例题1 设A-{x|x=2n,nN},问乘法运算是否封闭？对加法运 算呢？ 解 对于任意的2r,2sA，r，sN，因为2r·s=2r+sA所以乘法 2 运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因为至少有 2+22=6A
小结 运算及其性质
定义5-2.1~6 设和为集合A上的二元运算: 若xy(x,yA→xyA) , 则称在A上封闭。 若xy(x,yA→xy= yx) , 则称满足交换律。 若xyz(x,y,zA→x (y z) = (xy) z), 则称 满足结合律。 若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy) (xz)) ， 则称对满足分配律。 若xy(x,yA→x(xy)=x ,x (xy)=x) ， 则称和满足吸收律。 若x (xA→xx=x) ， 则称满足等幂律。
再证逆元是唯一的
设a有两个逆元b1和b2，则有 b1 = b 1 e = b 1 （ a b2 ） = （ b1 a ） b2 = e b2 = b2
* α β γ δ
α δ α α α α β β β
β δ β γ γ γ
γ γ δ γ δ
★
α
α β γ δ β α δ δ
β δ
δ γ α β
γ
γ δ β γ
α β γ δ
解 由表5-2.2可知β ,δ 都是S中关于运算*的左幺元，而α 是S中关于运算★的右幺元。
定理5-2.1
代数结构<A，>有关于 运算的幺元e，
’=’ =
定理5-2.3 ≠e 。
如果代数结构<A，>有关于 运算
的零元 和幺元e ，且集合A中元素个数大于2，则
证明：用反证法： 反设幺元e =零元 ，则对于任意xA ，必有 x= e x = x= = e
于是，推出A中所有元素都是相同的，矛盾。
九、逆元 定义5-2.9 设代数结构<A，，e >中 为二元运算，e为 么元，a,b 为A中元素,若ba＝e，那么称b为a的左逆元，a为 b的右逆元。若ab＝ba＝e，那么称a(b)为b(a)的逆元 （inverse elements）。 x的逆元通常记为x-1;但当运算被称为“加法运算”（记为 +）时，x的逆元可记为-x 。 一般地，一个元素的左逆元不一定等于它的右逆元。一 个元素可以有左逆元不一定有右逆元。甚至一个元素的左 （右）逆元不一定是唯一的。 P-182页例题9 ：先找出幺元，再根据幺元所在的行和 列找出左、右逆元。
一、学习目的与要求
本章从一般代数系统的引入出发，研究一 些特殊的代数系统中运算的性质。通过本 章的学习使学生了界代数系统的结构与性 质。
二、知识点 1．代数系统的引入，运算的性质：封闭性、结合性、 分配性、交换性； 2．主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群； 代数系统之间的关系； 3．交换群和循环群； 4．陪集、拉格朗日定理；
证明 因为对于任意的a,b,c A (a★b)★c=b★c=c 而 a★(b★c)=a★c=c 所以(a★b)★c=a★(b★c)
四、可分配性 定义5-2.4 设*，Δ 是定义在集合A上的二元运算，如果 对于任意的x,y,zA，都有 x*(yΔ z)=(x*y)Δ (x*z) (yΔ z)*x=(y*x)Δ (z*x) 则称运算*在A上对运算Δ 是可分配的。
验证运算△对于运算*是可分配的。
从*和△的运算表中可以看出*和△两种运算都是可交换的。 故只须验证 α△(α*α)=(α△α)*(α△α) α△(α*β)=(α△α)*(α△β) α△(β*β)=(α△β)*(α△β) β△(α*α)=(β△α)*(β△α) β△(α*β)=(β△α)*(β△β) β△(β*β)=(β△β)*(β△β) α△(α*α)=α△α=α α△(α*β)=α△β=α α△(β*β)=α△α=α β△(α*α)=β△α=α β△(α*β)=β△β=β β△(β*β)=β△α=α (α△α)*(α△α)=α*α=α (α△α)*(α△β)=α*α=α (α△β)*(α△β)=α*α=α (β△α)*(β△α)=α*α=α (β△α)*(β△β)=α*β=β (β△β)*(β△β)=β*β=α
例题8 设集合S={浅色，深色}，定义在S上的一个二元运算* 如表5-2.3所示。试指出零元和幺元。
*
浅色 深色
浅色
浅色 深色
表5-2.3
深色
深色 深色
解 深色是S中关于运算*的零元，浅色是S中关于运算*的幺元。
定理5-2.2
代数结构<A，>有关于 运算的零元
，当且仅当它同时有关于 运算的左零元l和右零 元r 。并且其所含零元是唯一的,即l=r= 。 证明：先证左零元l=右零元r= l=l r=r= 再证零元是唯一的 设还有一个幺元 ’A,则
五、吸收律 定义5-2.5 设*，Δ 是定义在集合A上的两个可交换二元 运算，如果对于任意的x,yA，都有 x*(xΔ y)=x xΔ (x*y)=x 则称运算*和运算Δ 满足吸收律。
例题5 设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元运算*和★， 对于任意x,yN，有 x*y=max(x,y) x★y=min(x,y) 验证运算*和★的吸收律。 解 对于任意a,bN a*(a★b)=max(a,min(a,b))=a a★(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此，*和★满足吸收律。
例题9 设集合S={α ,β ,γ ,δ ,δ },定义在S上的一个二元 运算*如表5-2.4所示。 试指出代数系统<S,*>中各个元素的左、右逆元情况。
解 α 是幺元；β 的左逆元和右逆元都是γ ；即β 和γ 互 为逆元；δ 的左逆元是γ 而右逆元是β ；β 有两个左逆元 γ 和δ ；δ 的右逆元是γ ，但δ 没有左逆元。
七、幺元
定义5-2.7
设为集合A上的二元运算:
若 elx(el,xA→elx=x) ,则称el为A中的左幺元。
若 erx(er,xA→xer=x) ,则称er为A中的右幺元。
若 ex(e,xA→ex=xe=x) ,则称e为A中的幺元。 见P-180页例题7。
例题7 设集合S={α ,β ,γ ,δ }，在S上定义的两个二元运 算*和★ 如表5-2.2所示。试指出左幺元或右幺元。
定理5-2.4 设<A, >有么元e，且运算 满足结合 律,那么当A中元素x有左逆元l及右逆元r时,l = r,它们 就是x的逆元。并且每个元素的逆元都是唯一的。
证明：先证左逆元=右逆元
设a,b,c，且b是a的左逆元， c是b的左逆元。 因为： （ba）b =e b = b 所以： e=cb = c (（ba）b ) = (c （ba） ) b = (（c b ）a ) b = (（e ）a ) b =ab (b也是a的右逆元)
六、等幂律
定义5-2.6 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果 对于任意的xA，都有x*x=x，则称二元运算*在 A上是等幂的。
例题6 设(S)是集合S的幂集，在(S)上定义的两 个二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交” 运算∩ ，验证是∪、∩等幂的。
解
对于任意的A(S)，有A∪A=A和A∩A=A， 因此运算∪和∩都满足等幂律。
当且仅当它同时有关于 运算的左幺元el和右幺元er 。
并且其所含幺元是唯一的,即el= er= e 。
证明：先证左幺元el=右幺元er=e
el= el er = er=e 再证幺元e是唯一的 设还有一个幺元e’ A,则 e’ = e’ e = e
八、零元 定义5-2.8 如果 l A，满足:对一切xA，都有 lx=l 则称元素l 为左零元。 如果r A，满足:对一切xA，都有 xr＝r 则称元素r 为右零元。 如果A且对任意xA，都有 x＝x＝ 则称元素为代数结构<A，> (关于 运算) 的零元 (zero)。 例题8 表5-2.3定义的二元运算
代数系统
由集合上定义若干个运算而组成的 系统我们通常称它为代数系统。它在计 算机科学中有着广泛的应用。
代数结构是一类特殊的数学结构，它由 集合上定义若干个运算而组成系统。本 章主要讲授运算的性质及一些具有特殊 性质的代数系统。 重点是群、同态与同构。要求能够掌握 各种代数系统的特性，能够证明一个代 数系统是群，并能够证明两个代数系统 是同态或同构的。
二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的
x,பைடு நூலகம்A，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可交换的。
例题2 设Q是有理数集合，Δ 是Q上的二元运算，对任意 的a,bR，aΔ b=a+b-a· b，问运算Δ 是否可交换。 解 因为 aΔ b=a+b-a· b=b+a-b· a=bΔ a 所以运算Δ 是可交换的。
设A={红色，黄色，蓝色} f7：三种颜色→三种颜色混合色 f7是不封闭的。 f8是I上的除法运算， f8是不封闭的。
定义5-1.1 如果 为An到B的一个函数，则称
为集合A上的n元运算（operater）。如果 BA，则
称 该n元运算在A上封闭。
二、代数系统
定义5-1.2 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的 运算 f1,f2,…,fk 所组成的系统称为一个代数系统（代数结构）， 记为<A, f1,f2,…,fk > 。 定义5-1.2‘ 代数结构是由以下三个部分组成的数学结构： （1）非空集合S，称为代数结构的载体。 （2）载体S上的若干运算。 （3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组<S，，，… >来表示, 其中 S是载体,,，…为各种运算。有时为了强调S有某些元素地 位特殊,也可将它们列入这种多元序组的末尾。