圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 沈烨
MS15斜率和与积的定值问题
圆锥曲线斜率和与积问题(一)圆锥曲线二次方程的两边除以/便可构造出关于上的二次方程，Ao 是这个关于2的方程的两个XX根，当问题涉及或可转化为％八+心8或LMMoB 时，我们便可利用根与系数的关系解题。
∕lf 椭圆斜率互补与垂直的问题2 2 已知点尸(XO ,打)是椭圆三+4=l(">8>0)上的一个定点，A,8是椭圆上的两个动点。
ab~(1)若尸Aj_P8,则直线AB 过定点匕/0，-雪二⅛%];Ia÷b~ cι~÷b~J(2)若直线PAPB 与X 轴围成以点尸为顶点的等腰三角形，则直线AB 的斜率为定值丝∙°%。
证明将椭圆C 按向量而(一%,-X ))平移得椭圆C ：("+：0丫+(>+巫=1ab~又点P(Xo,%)在椭圆二+二=1上，所以-¾~+2%=1,代入上式得=+M^1—^∙x^ι—"y=0①。
ab~ ah~ ah~a~b~椭圆C 上的定点P(x 0,%)和动点A,B 分别对应椭圆C 上的定点O 和动点A',B ,,设直线Aff 的方程为 mx+ny=∖,代入①得~~j+「+(―γx —与y)+=O o 当x≠0时，两边除以一得。
a"ba"b“ 1+2，。
〃∖+(冬+2挈)2+1+2jo”=O 因为点A,B'的坐标满足这个方程,所以左M 次的是这个关b Jr abXa 于上的方程的两个根。
X(1)若PA_LP3,由平移性质知。
4'JLQ 夕，所以ZQNMQ&= 即2〃XOm+2/%〃=_(/+〃)，所以一学移一学[=1。
由此知点(一军工一卫卫]在直线a+b~a+b[a~+b- +h~) mx+ny=∖上，即直线A t B t 过定点∣-⅛⅛--⅛¾∣,从而直线相过定点∖a~+b~a~+h~If 2b 2x 0 2a 2y 0 ) a 2-b 2 a 2-b 2、(2)依题意知直线PAP3的倾斜角互补且斜率存在，由平移性质知，直线04,03'的倾斜角也互补且斜率 存在，所以+Z°zr =0,即与+2当”=0,由此得心zr =一%二骂。
圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题【原题】在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1F、)212,2F MF MF -=,点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上,过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ,Q 两点,且TA TB TP TQ ⋅=⋅,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以,轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支,设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>,则22a =,可得1a =,4b ==,所以,轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,若过点T 的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线C 无公共点,不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即1112y k x t k =+-,联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩,消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭,设点()11,A x y 、()22,B x y ,则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-,211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-,所以,()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭,设直线PQ 的斜率为2k ,同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-,因为TA TB TP TQ ⋅=⋅,即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--,整理可得2212k k =,即()()12120k k k k -+=,显然120k k -≠,故120k k +=.因此,直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【就题论题】解析几何解答题与导数解答题一般常作为压轴题出现,解析几何解答题一般难在运算量大上,往年解析几何解答题一般考查椭圆与抛物线,今年是第一次在解答题中考查双曲线.【命题意图】本题考查双曲线的定义及直线与圆锥曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难【考情分析】解析几何解答题是每年必考题,该题一般分2问,第1问一般考查曲线的方程,第2问一般考查弦长、三角形面积、定点、定值及最值问题.【得分秘籍】1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【易错警示】1.应注意平面内到两个定点F 1,F 2的距离之差等于定长2a (a >0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a <|F 1F 2|时,表示的只是双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时,表示的是一条射线；当2a >|F 1F 2|时,点的轨迹不存在．2.设直线的点斜式方程或斜截式方程要先判断斜率是否存在,若有可能不存在,要讨论．（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）解答题1．（2021福建省福建师范大学附属中学高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4,直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A 、B ,过点(2,0)T 的直线l ,与双曲线交于两点M 、N ,直线MA 交y 轴于点P ,直线NB 交y 轴于点Q ,记PAT 面积为1S ,QBT △面积为2S ,求证：12S S 为定值．【解析】（1）由题意可知2b =,因为一条渐近线方程为2y x =,所以2b a=,解得1a =,则双曲线方程为2214y x -=；（2）证明：由题意可得(1,0),(1,0)A B --,设直线1122:2,(,),(,)l x ny M x y N x y =+,把直线方程带入双曲线方程整理可得：22(41)16120n y ny -++=,可得1212221612,4141n y y y y n n +=-=--,即有12123()4ny y y y =-+,设直线方程11:(1)1y MA y x x =+-,可得11(0,)1y P x +,设直线22:(1)1y NB y x x =--,可得22(0,)1y Q x -,又3,1AT BT ==,所以111122212231(1)3(3)1y x S y ny S y ny y x ++==+-12112112122121223()3433313339()34y y y ny y y y y ny y y y y y y y -+++-====+-+-++2．（2021福建省福州市高三5月二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ,O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ,Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时,过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ,N 两点,直线AM ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,试判断12k k 是否为定值？若是,求出定值,并加以证明；若不是,请说明理由.【解析】解法一：（1）以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点坐标分别为(,0)B a ,,22a a P ⎫⎛⎪⎝⎭,,22a a Q ⎫⎛- ⎪⎝⎭.因为P ,Q 在椭圆上,所以2222441a a a b ==,所以223a b =,所以22222c a b b =-=,所以椭圆的离心率63ce a ==；（2）当2a =时,3b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.12k k 为定值13,理由如下：①当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为1x =,则(1,1)M ,(1,1)-N ,所以1111121(2)3y k x ===+--,22211212y k x -===--,所以1231kk =.②当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为1x my =+,0m ≠,设()11,M x y ,()22,N x y ,不妨设210y y <<,且120y y +≠.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-+,12233y y m =-+.要证1231k k =,只要证明：11221232y x y x +=-,只要证：()()1221322y x y x -=+,只要证：()()1221313y my y my -=+,只要证：()121223my y y y =+,因为120y y +≠,0m ≠,即证121232y y y y m=+,因为12223m y y m +=-+,12233y y m =-+,所以121232y y y y m =+.所以1231k k =成立,综上所述：1231k k =.解法二：（1）同解法一；（2）当2a =时,3b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设l 的方程为1x my =+,0m ≠,设()11,M x y ,()22,N x y ,不妨设210y y <<.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()22 3230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-+,12233y y m =-+.所以121223y y m y y +=,即()121223my y y y =+.11122222y k x y k x +=-121222y x x y -=+()()1212112122133y my my y y my y my y y --==++()()12112232332y y y y y y +-=++12121312239322y y y y +==+.综上所述：1231k k =.解法三：（1）同解法一；（2）当2a =时,3b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设l 的方程为1x my =+,0m ≠,设()11,M x y ,()22,N x y ,不防设210y y <<.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-+,12233y y m =-+.因为N 在椭圆上,所以222234x y +=,即2222430x y -+=,所以22221223y y x x ⋅=--+.11122222y k x y k x +=-121222y x x y -=⋅+1212322y y x x -=⋅++,()()1212333y y my my -=++()1221212339y y m y y m y y -=+++2222333323933m m m m m m ⎫⎛-- ⎪+⎝⎭=⎫⎫⎛⎛-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭229132733m m +==+.所以1231k k =.综上所述：1231k k =.解法四：（1）同解法一；当2a =时,3b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设()11,M x y ,()22,N x y ,因为M 在椭圆上,所以221134x y +=,所以11111223y y x x ⋅=-+-.所以111111223y x k x y -==-⋅+,同理222221223y x k x y +==-⋅-.设12k t k =,则()()()()211212212222x y x y t x y x y --==++,所以122211 22tx y ty x y y +=-,①12221122x y y tx y ty -=+,②①+②得122211(1)2(1)(1)2(1)t x y t y t x y t y ++-=++-,当1t =-时得21 y y =,不合题意,舍去.当1t ≠-时,12212(1)2(1)11t t x y x y t t --⎫⎫⎛⎛-=- ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭,所以直线MN 经过点2(1),01t t -⎫⎛ ⎪+⎝⎭,又MN 过定点(1,0),故2(1)11t t -=+,解得13t =.综上所述：1231k k =.3．（2021福建省三明市高三三模）在平面直角坐标系xOy 中,P 是圆22:2150E x y x ++-=上的动点,已知()1,0F ,且线段PF 的垂直平分线交PE 于Q ,设Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）设直线l 与C 交于A ,B 两点,若31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且ABM 内切圆的圆心在直线FM 上,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论.①l 恒过定点,②l 的斜率恒为定值,③O 到l 的距离恒为定值.【解析】圆E 的方程化为()22116x y ++=,的：所以圆心()1,0E -,半径4r =.因为Q 在PF 的垂直平分线上,所以QF QP =,所以4QE QF QE QP EP +=+==.又因为2EF =,则2QE QF +>,所以Q 的轨迹是以E ,F 为焦点,长轴长为4的椭圆,由24a =,1c =,得b ==所以C 的方程为22143x y +=.（2）直线l 满足性质②,证明如下：若直线l 的斜率不存在,则//AB FM ,此时ABM 的内切圆圆心不在FM 上,不符合题意.设l 的方程为y kx m =+.联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：()22143kx m x ++=,整理得：()2224384120k x kmx m +++-=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则11x ≠,21x ≠,且122843km x x k +=-+,212241243m x x k -⋅=+.因为ABM 的内切圆圆心在直线FM 上,所以FM 平分AMB ∠,即直线MA ,MB 关于直线FM 对称.又因为FM x ⊥轴,且直线MA ,MB 的斜率均存在,所以直线MA ,MB 的斜率之和为0,即12123322011y y x x --+=--.化为()()()()121212*********y x x y x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--,又由11y kx m =+,22y kx m =+,整理得()()()12121232322011kx x m k x x m x x ⎛⎫+--++- ⎪⎝⎭=--,所以22241238232043243m km k m k m k k -⎛⎫⎛⎫⋅+---+-= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,整理得：()2448230k m k m +--+=.化为()()212230k k m -+-=.若2230k m +-=,则l 过点M ,此时A ,B ,M 共线,不符合题意.所以210k -=,即12k =.所以l 的斜率恒为定值12.4．（2021广东省汕头市高三二模）已知双曲线方程为22221x y a b-=,1F ,2F 为双曲线的左､右焦点,离心率为2,点P 为双曲线在第一象限上的一点,且满足120PF PF ⋅= ,126PF PF =.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点2F 作直线l 交双曲线于,A B 两点,则在x 轴上是否存在定点(),0Q m ,使得QA QB ⋅ 为定值,若存在,请求出m 的值和该定值,若不存在,请说明理由.【解析】（1）解法一：由2c e a ==得：2c a =,b ∴==,120PF PF ⋅= ,∴12PF PF ⊥,在12Rt F PF 中,由122PF PF a -=得：222121224PF PF PF PF a +-=,代入222124PF PF c +=,126PF PF =得：224124c a -=解得：23b =,21a =,∴双曲线方程为：2213yx -=.解法二：由2ce a==得：2c a =,b ∴==,设点()(),0P x y y >,则点P 满足22221x y a b-=…①,120PF PF ⋅= ,()()222,,0c x y c x y x c y ∴---⋅--=-+=,即222x y c +=…②,121211222F PF S PF P y c F ⋅==,即3y c ⋅=…③,则由①②得：2b y c =,代入③得：23b =,21a =,∴双曲线方程为：2213y x -=.（2）解法一：当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-；当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,1221231t y y t -∴+=-,122931y y t =-,()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+()()()()()()221212121222122ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()()()()22221291223131t t m t m t t -=++-+---,令21QA QB m ⋅=- ,即()()()()222911224531t t m m t +--=--,解得：1m =-,则()1,0Q -,此时0QA QB ⋅=；综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=；解法二：当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-；当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,1221231t y y t -∴+=-,122931y y t =-,()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+()()()()()()221212121222122ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()()()()()()2222222121215991222313131t m t t m t m m t t t --+=++-+-=+----,若QA QB ⋅ 为定值,则1215931m -=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅= ；当1m =-,l 斜率为0时,210QA QB m ⋅=-=；综上所述,存在1m =-,使得0QA QB ⋅=；解法三：当l 斜率不存在时,:2l x =,此时()2,3A ,()2,3B -,若()1,0Q -,则0QA QB ⋅=；当l 斜率存在时,设():2l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得()222234430k x k x k -+--=,则236360k ∆=+>,212243k x x k -∴+=-,2122433k x x k--=-,()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+()()221212121224x x m x x m k x x x x =-+++-++⎡⎤⎣⎦()()()22221212124k x x m k x x m k =+-++++()()2222222243412433k k k m k m k k k ---=+-+++--()2224533m k m k +-=+-若QA QB ⋅ 为定值,则45313m +-=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅= ；综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=.5．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的点到点()0,A p 的距离的最小值为2．（1）求C 的方程；（2）若点F 是C 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,1l 与C 交于M ,N 两点,2l 与C 交于P ,Q 两点,线段MN ,PQ 的中点分别是S ,T ,是否存在定圆使得直线ST 截该圆所得的线段长恒为定值？若存在,写出一个定圆的方程；若不存在,说明理由．【解析】（1）设00(,)B x y 是抛物线C 上任意一点,则2002x py =,AB ,因为00≥y ,所以当00y =时min AB p ==,依题意得2p =,所以C 的方程为24x y =.（2）因为F 是C 的焦点,所以(0,1)F ,依题意,直线1l 的斜率k 存在且0k ≠,设1:1l y kx =+,由于12l l ⊥,则21:1y x l k=-+,设1122(,),(,),(',')M x y N x y S x y ,由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ,得2440x kx --=,22(4)4(4)16(1)0k k ∆=-⨯-=+>,则124x x k +=,因为21:1y x l k=-+所以2(2,21)S k k +,同理得222(,1)T k k -+则直线ST 的斜率为2222(21)(1)1'22()k k k k k k k+-+-==--则直线ST 的方程为221(21)(2)k y k x k k--+=-得213k y x k-=+所以直线ST 恒过定点(0,3)所以存在定圆222(3)H x y r +-=：（r 为常数,且0r ≠）,使得直线ST 截圆H 所得的线段长恒为定值2r .6．（2021衡水金卷河北省高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ,双曲线C 的右顶点A 在圆22:2O x y +=上,且122AF AF →→⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点,且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ､N ,问(OMN O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,试说明理由.【解析】（1）设双曲线C 的半焦距为c ,由点(,0)A a 在圆22:2O x y +=上,得a =由221((2c c c AF AF →→⋅=-⋅=-=-2,得2c =,所以2222b a c =-=,所以双曲线C 的标准方程为22122x y -=.（2）设直线l 与x 轴相交于点D ,双曲线C 的渐近线方程为y x =±当直线l 的斜率在存在时,直线l为|x OD =|MN ==,得1||||2OMN S MN OD =⋅= 2当直线l 的斜率存在时,设其方程为y kx m =+,显然0k ≠,则,0m D k ⎛⎫-⎪⎝⎭把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得()221k x -2220,kmx m +++=由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点,且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行,所以210k -≠,且0m ≠,于是得()()22222Δ4412010k m k m k ⎧=--+=⎪⎨-≠⎪⎩,得()22210m k =->,得1k >或1k <-,设()()1122,,,M x y N x y ,由y kx m y x =+⎧⎨=⎩,得11m y k =-,同理得21my k=+,所以121||2OMNS OD y y =- 221 2.2111m m m m k k k k =-==-+-综上,OMN 的面积恒为定值2.7．（河北省保定市高三二模）如图,已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ,若点P 为双曲线C在第一象限上的一点,且满足128PF PF +=,过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线PA 、PB 与渐近线的交点分别是A 和B.（1）求四边形OAPB 的面积；（2）若对于更一般的双曲线()2222:10,0x y C a b a b'-=>>,点P '为双曲线C '上任意一点,过点P '分别作双曲线C '两条渐近线的平行线P A ''、P B ''与渐近线的交点分别是A '和B '.请问四边形OA P B '''的面积为定值吗？若是定值,求出该定值（用a 、b 表示该定值）；若不是定值,请说明理由.【解析】（1）因为双曲线22:13y C x -=,由双曲线的定义可得122PF PF -=,又因为128PF PF +=,15PF ∴=,23PF =,因为124F F ==,所以,2222121PF F F PF +=,2PF x ∴⊥轴,∴点P 的横坐标为2P x =,所以,22213P y -=,0P y > ,可得3P y =,即点()2,3P ,过点P且与渐近线y =平行的直线的方程为)32y x -=-,联立)32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩,解得1232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即点33122B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,直线OP 的方程为320x y -=,点B 到直线OP的距离为32d ==,且OP =,因此,四边形OAPB 的面积为322OAPB OBP S S OP d ==⋅= △；（2）四边形OA P B '''的面积为定值12ab ,理由如下：设点()00,P x y ',双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为b y x a =±,则直线P B ''的方程为()00by y x x a-=--,联立()00b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得00002222x a x y by b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即点0000,2222x y a b B y x b a ⎛⎫++⎪⎝⎭',直线OP '的方程为0y y x x =,即000y x x y -=,点B '到直线OP '的距离为d =22==,且OP '=因此,22OA P B OB P abS S OP d ''''''==⋅=△（定值）.8．（2021湖北省黄冈市高三下学期第四次模拟）已知抛物线()2:20M y px p =>.（1）设R 为抛物线M 上横坐标为1的定点,S 为圆221:24p N x y ⎫⎛-+= ⎪⎝⎭上的上的动点,若抛物线M 与圆N 无公共点,且RS 的最小值265128p ,求p 的值；（2）设直线AC 交抛物线M 于A ,C 两点,另一条直线BD 交抛物线M 于B ,D 两点,AC 交BD 于点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且直线AC ,BD 的斜率均存在,2OA OB p ⋅=- （O 为坐标原点）,四边形ABCD 的四条边所在直线都存在斜率,直线CD 的斜率不等于0,求证：12AB CD k k =（AB k ,CD k 分别为直线AB ,CD 的斜率）【解析】（1）据题意,RS 的最小转化为R 到圆心的最小值,根据抛物线定义再转化为到抛物线准线的距离,得2651112822pp +=+,所以813p =-（舍）或85p =.（2）证明：设()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44D x y ⋅,又2OA OB p ⋅=-,所以21212x x y y p +=-,所以222221124y y y y p p+=-,所以2122y y p =-,设过点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的直线AC 方程为2AC p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,据222AC p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2220AC AC k y py k p --=,所以213y y p =-,设过点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的直线BD 方程为2BD p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,据222BD p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2220BD BD k y py k p --=,可得224y y p =-,所以12123434AB CDy y k x x y y k x x --=--()()()()34122341x x y y x x y y --=--()()()()22341222123412=12y y p py y y y y y ----3412y y y y +=+221212p p y y y y --=+212p y y =-222p p =--12=.9．（2021湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2,焦距为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ,B 为椭圆C 上两点,O 为坐标原点,12OA OB k k ⋅=-,点D 在线段AB 上,且13AD AB = ,连接OD 并延长交椭圆C 于E ,试问OEOD是否为定值？若是定值,求出定值；若不是定值,请说明理由.【解析】（1）由已知得22c e a ==且22c =,所以a =,1c =.所以椭圆方程为2212x y +=.（2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,()34,D x y ,由13AD AB = ,得1231232323x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,设OE ODλ=,则结合题意可知OE OD λ=,所以()33,E x y λλ.将点()33,E x y λλ代入椭圆方程,得2223312x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.即212222312322213223x x x y y y λ+⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭=+=+ ⎪⎝⎭.变形,得22221122111221441929292x x x x y y y y λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(*)又因为A ,B 均在椭圆上,且12OA OB k k ⋅=-,所以221122221212121212OA OB x y x y y y k k x x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⋅=-⎪⎩,代入(*)式解得355λ=.所以OE OD是定值,为355λ=.10．（2021湖南省岳阳市高三下学期一模）已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为2,点(P 在C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）设过点()1,0的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在定点Q ,使得QM QN ⋅为常数？若存在,求出Q 点坐标及此常数的值,若不存在,说明理由．【解析】（1）由题意,2222216315,2a b ca abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩,解得24a =,21b =．∴双曲线方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+,设定点(),0Q t ,联立221,41x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩,得()224230m y my -+-=．∴240m -≠,且()2241240m m =+->△,解得23m >且24m ≠．设()11,M x y ,()22,N x y ,∴12224m y y m +=--,12234y y m =--,∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--,()()()222121212122232111144m m x x my my m y y m y y m m =++=+++=---2224420444m m m +=-=----．∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=-⋅-=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+-+=-++----为常数,与m 无关,∴8230t -=,即238t =,此时27364QM QN ⋅= ．∴在x 轴上存在定点23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭,使得QM QN ⋅ 为常数．11．（2021湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校高三下学期联考）已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ,F 两点,记点A 在x 轴上的投影为G ,T 为BG 的中点,直线AE ,AF 与x 轴分别交于M ,N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值,求出此定值；否则,请说明理由．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ,则12c a =,则224a c =,22223b a c c =-=,所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=,将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=,所以244(43)0c ∆=-⨯-=,解得：21c =,所以24a =,23b =,故椭圆C 的方程为22143x y +=,此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=,所以1x =,此时32y =.所以A 点坐标为3(1,)2；（2）将0y =直线122y x =-+联立,得到4x =,所以(4,0)B .因为31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,0)B ,所以5(,0)2T ,①当斜率0EF k =时,(2,0)M -,(2,0)N 或(2,0)N -,(2,0)M ,9||2TM =,1||2TN =或9||2TN =,1||2TM =,此时有9||||4TM TN ⋅=,②当斜率0EF k ≠时,设EF l ：4x ny =+,代入22143x y +=得：22(34)24360n y ny +++=,设11(,)E x y ,22(,)F x y ,所以1222434n y y n -+=+,1223634y y n =+,所以AE l ：11332(1)21y y x x --=--,则113(1)(1,0)23x M y ---,111111113(1)3(1)(66)9(22)3533||12232232(23)223x x n y n y TM y y y y --++++=-+=+==⋅----同理,22(22)33||223n y TN y ++=⋅-,所以1212(22)3(22)39||||42323n y n y TM TN y y ++++⋅=⋅⋅--,对分子：[][]2212121229(31620)(22)3(22)3(22)3(22)()934n n n y n y n y y n y y n ++++++=+++++=+对分母：212121229(31620)(23)(23)46()934n n y y y y y y n ++--=-++=+,所以9||||4TM TN ⋅=.综上,9||||4TM TN ⋅=为定值.12．（202江苏省扬州中学高三下学期最后一模1）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,椭圆过点31,2P ⎛⎝⎭（1）求椭圆C 的标准方程:（2）设点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点,M 、N 为椭圆C 上异于A 、B 的两点,满足//AM BN ,判断OMN 的面积是否为定值,并给出理由.【解析】（1）由题意得22222321314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,则椭圆C 的标准方程:2214x y +=（2）设()11,M x y 、()22,N x y ,由题意得直线AM 、BN 的斜率存在,设直线AM 的方程为()2y k x =+,设直线BN 的方程为1y kx =+,由2214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222241161640k x k x k +++-=,显然0∆>,212164241k x k --=+,解得2122841k x k -=+,即222284,4141k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()224180k x kx ++=,显然0∆>,解得22841k x k =-+,即222148,4141k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭-,易得OM =,直线OM 的方程为110y x x y -=,所以点N 到直线OM的距离为d =所以2221122222111841428122241414141OMN k k k k S OM d x y x y k k k k ---=⋅=-=⋅-⋅=++++△,所以OMN 的面积为定值1.13．（2021江苏省南京师范大学附属中学高三下学期模拟）在平面直角坐标系xOy 中,已知点E (0,2),以OE 为直径的圆与抛物线C ∶x 2=2py (p >0)交于点M ,N (异于原点O ),MN 恰为该圆的直径,过点E 作直线交抛物线与A ,B 两点,过A ,B 两点分别做拋物线C 的切线交于点P .（1）求证∶点P 的纵坐标为定值；（2）若F 是抛物线C 的焦点,证明∶∠PFA =∠PFB .【解析】（1）以OC 为直径的圆为x 2+(y -1)2=1.由题意可知该圆与抛物线交于一条直径,由对称性可知交点坐标为(1,1),(-1,1)代入抛物线方程可得2p =1.所以抛物线的方程为x 2=y .设A 211(,)x x ,B 222(,)x x ,所以22121212AB x x k x x x x -==+-所以直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-,即1212().y x x x x x =+-因为直线AB 过点C (0,2),所以122x x -=,所以122x x =-①.因为'2y x =,所以直线PA 的斜率为12x ,直线PB 的斜率为22x 直线PA 的方程为21112()y x x x x -=-,即2112y x x x =-,同理直线PB 的方程为2222y x x x =-联立两直线方程,可得P 1212(,)2x x x x +由①可知点P 的纵坐标为定值-2.（2）cos ||||FA FP PFA FA FP ⋅∠=⋅ ,cos ||||FB FP PFA FB FP ⋅∠=⋅ ,注意到两角都在(0,)π内,可知要证PFA PFB ∠=∠,即证(*)||||FA FP FB FP FA FB ⋅⋅= ,2111(,4FA x x =- ,129(,)24x x FP +=- ,所以22212111191777((41)24441616x x FA FP x x x x +⋅=⋅--=--=-+ ,又211||4FA x ==+ ,所以74||FA FP FA ⋅=- ,同理7,(*)4||FB FP FB ⋅=- 式得证.14．（2021江苏省苏锡常镇四市高三3月调研）已知O 为坐标系原点,椭圆2214x C y +=：的右焦点为点F ,右准线为直线n .（1）过点(4,0)的直线交椭圆C 于,D E 两个不同点,且以线段DE 为直径的圆经过原点O ,求该直线的方程；（2）已知直线l 上有且只有一个点到F 的距离与到直线n的距离之比为2.直线l 与直线n 交于点N ,过F 作x 轴的垂线,交直线l 于点M .求证：||||FM FN 为定值.【解析】（1）设过点(4,0)的直线为(4)y k x =-交于椭圆()()1122,,D x y E x y 联立2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()222241326440k x k x k +-+-=()221222121212221223212414164164441k x x k k y y k x x x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎡⎤∴=-++=⎨⎣⎦+-⎪=⎪+⎩又因为以线段DE 为直径的圆经过原点,则21212276419·0,4119k OD OE x x y y k k -=+==∴=±+则所求直线方程(4)19y x =±-（2）已知椭圆2214x y +=的离心率为32,右准线直线n的方程为x =因为直线l 上只有一点到F 的距离与到直线n的距离之比为2,所以直线l 与椭圆相切,设直线l 的方程为y kx m =+,联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得到：()222418440k x kmx m +++-=()()2222226444144041k m k m m k =-+-=∴=+ ①联立x x FM m y kx m y kx m ⎧⎧==⎪⎪∴=+∴⎨⎨=+⎪⎪=+⎩⎩点N坐标为m ⎫+⎪⎭得到||FN =222222||31168||33FM k m km FN k m ++=++,由①22||3||3||4||2FM FM FN FN ⇒=⇒=15．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知三点(0,0)(1,2)(1,2)O A B -，，,(,)M x y 为曲线C 上任意一点,满足MA MB + ()2OM OA OB =⋅++ ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ,,R S 为曲线C 上的不同两点,且PR PS ⊥,PD RS ⊥,D 为垂足,证明：存在定点Q ,使||DQ 为定值．【解析】（1）由(1,2)MA x y =--- ,(1,2)MB x y =-- 可得+(22,2)MA MB x y =--,+MA MB ∴ ,()2(,)(2,0)222OM OA OB x y x ⋅++=⋅+=+ 所以,由已知得2x +,化简得24y x =,所以,曲线C 方程为24y x =.（2）证明：若直线RS y ⊥轴,则直线RS 与曲线C 只有一个交点,不合题意；设直线RS 的方程为x my n =+,联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩,得2440y my n --=,则2=16160m n ∆+>,可得20m n +>,设1122(,)(,)R x y S x y ，,则12124,4y y m y y n +==-,21111111(2)(2)(1,2)1,2,244y y y PR x y y y ⎛⎫-+⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,同理222(2)(2),24y y PS y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,因为PR PS ⊥,所以121212(2)(2)(2)(2)+(2)(2)=016y y y y PR PS y y --++⋅=-- ,所以[]1212(2)(2)(2)(2)+16=0y y y y --++,点(1,2)P 在曲线C 上,显然12y ≠且22y ≠,所以121212(2)(2)+16=2()2048+20=0y y y y y y n m +++++=-+,所以=25n m +,所以直线RS 的方程为(2)5x m y =++,因此直线过定点(5,2)M -,所以PM =,且PDM △是以PM 为斜边的直角三角形,所以PM 中点(3,0)Q满足1=2DQ PM 为定值,所以存在(3,0)Q 使DQ 为定值.16．（2021山东省济南市高三二模）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22,且经过点(2,1)H．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0P -的直线与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点()2,0G -,若PM PG λ= ,PN PG μ= ,求证：11λμ+为定值．【解析】（1）由题意知22c e a ===,则222a b =,又椭圆C 经过点(2,1)H ,所以22411a b +=；联立解得26a =,23b =,所以椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）证明：设直线AB 方程为3x my =-,()11,A x y ,()22,B x y ,由223163x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,联立消x 得()222630m y my +-+=,所以()22361220m m ∆=-+>,12262m y y m +=+,12232y y m =+,由题意知,1y ,2y 均不为1．设(),0M M x ,(),0N N x ,由H ,M ,A 三点共线知AM 与MH 共线,所以()()112M M x x y x -=---,化简得11121M x y x y +=-；由H ,N ,B 三点共线,同理可得22221N x y x y +=-；由PM PG λ= ,得()()3,01,0M x λ+=,即3M x λ=+；由PN PG μ= ,同理可得3N x μ=+；所以11221211111122333311M N x y x y x x y y λμ+=+=+++++++--()()121211221211113311y y y y x y x y m y m y ----=+=+-+-+--2121212122611111222231112m y y y y m m y y m y y m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫--++=+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭,所以11λμ+为定值．。
圆锥曲线专题——定值问题解析版
圆锥曲线中的定值问题1.平面内动点P(x ，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于14-，若点P 的轨迹为曲线E ，过点 6(,0)5Q -直线 l 交曲线E 于M ，N 两点．（Ⅰ）求曲线E 的方程，并证明：∠MAN 是一定值； （Ⅰ）若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值【答案】（Ⅰ）221(2)4x y x =≠±＋（Ⅰ）16试题解析：（Ⅰ）设动点P 坐标为(,)x y ，当2x ≠±时，由条件得：22y y x x ⋅=-+１－４，化简得221(2)4x y x =≠±＋曲线E 的方程为，221(2)4x y x =≠±＋, 4分（说明：不写2x ≠±的扣1分） 由题可设直线的方程为,联立方程组可得,化简得：设,则， （6分）又,则,所以090MAN ∠=,所以的大小为定值 （8分）2. 在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⅠBC 的情况？说明理由；MAN ∠（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【解析】（1）令()1,0A x ，()2,0B x ，C(0，1)，x ，为220x mx +-=的根12122x x m x x ∆>⎧⎪+=-⎨⎪=-⎩，假设AC BC ⊥成立，所以0AC BC ⋅=u u u r u u u r，()1,1AC x =-u u u r ，()2,1BC x =-u u u r ， 所以1110AC BC x x ⋅=+≠u u u r u u u r，所以不能出现AC BC ⊥的情况.3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的120-+=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0A -，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，连接,AP AQ 分别交直线163x =于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得2221242c a a b b c a b c ⎧=⎪=⎧⎪⎪=∴=⎨⎪=⎩⎪=+⎪⎩C 的方程为2211612x y +=． （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，由()2222341821016123x y m y my x my ⎧+⎪∴++-=⎨⎪=+⎩1212221821,3434m y y y y m m --∴+==++，由,,A P M 三点共线可知()1111281643443M M y y y y x x =∴=+++ 同理可得()222834N y y x =+，所以()()121212916161649443333N M N M y y y y y y k k x x =⨯==++--()()()()()2121212124477749x x my my m y y m y y ++=++=+++Q()12122121216127497y y k k m y y m y y ∴==-+++． 4.已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【解析】（1）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c ==c e a ==．令0y =，得001x x y N =--，从而00221xx y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=． 从而四边形ABNM 的面积为定值．5.已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x . 当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y xx AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.6. 已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)，直线y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，其中O为原点．（1）求抛物线E 的方程；（2）点C 坐标为(0，－2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 21＋k 22－2k 2为定值．（2）证明：由(1)知，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2.k 1＝y 1＋2x 1＝x 21＋2x 1＝x 21－x 1x 2x 1＝x 1－x 2，同理k 2＝x 2－x 1，所以k 21＋k 22－2k 2＝2(x 1－x 2)2－2(x 1＋x 2)2＝－8x 1x 2＝16.7.已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A ，B 两点，且6OA OB =u u u r u u u rg，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为（-3,0），记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：22212112m k k +-为定值.（2）因为1111136y y k x my ==++，2222236y y k x my ==++，所以1116m k y =+，2216m k y =+，因此222222121211662()()2m m m m k k y y +-=+++- 222212121111212()36()2m m m y y y y =++++- 222121212221212()2212362y y y y y y m m m y y y y ++-=++-g g 又122y y pm m +==，1263y y p =-=-，所以2222221211622123622439m m m m m m k k -++-==+⨯+⨯-=.即22212112m k k +-为定值. 8.如图，设点,A B的坐标分别为()),，直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//,//AP OM BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．【解析】（1）由已知设点P的坐标为(),x y，由题意知(23AP BPk k x==-≠g，化简得P的轨迹方程为(22132x yx+=≠．（2）证明：由题意M N、是椭圆C上非顶点的两点，且//,//ONAP OM BP，则直线,AP BP斜率必存在且不为0，又由已知23AP BPk k=-g．因为//,//AP OM BP ON，所以23OM ONk k=-g．设直线MN的方程为x my t=+，代入椭圆方程2232x y+，得()222324260m y mty t+++-=．．．．Ⅰ设,M N的坐标分别为()()1122,,,x y x y，则2121222426,3232mt ty y y ym m-+=-=++，又()2121222221212122636OM ONy y y y tk kx x m y y mt y y t t m-===+++-g，所以222262363tt m-=--，得22223t m=+，又1212MONS t y y∆=-=所以MONS∆==MON∆的面积为定值29.椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．[自主解答] (1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，①把①代入x24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为：y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知 －4k 4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，x 0≠±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为：y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为：y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1，可得N ⎝⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12(x ＋2)，y ＝y 0x 0－2(x －2)，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2， 因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值)．。
圆锥曲线的定值最值与定点问题和圆锥曲线中的“定值”问题
探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解读几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解读融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。
一、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。
例1 A 、B 是抛物线22y px =<p ＞0）上的两点，且OA⊥OB，求证：<1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；<2）直线AB 经过一个定点。
证明：<1）设A<11,x y ）、B<22,x y ），则2112y px =，2222y px =。
∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。
<2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y p x x y y -=-+∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)p x p y y =-+，∴直线AB 过定点<2p ，0）。
例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4>都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。
<1）试证明直线AB 的斜率为定值；<2）当直线AB 的纵截距为m<m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。
分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
解读：<1）证明：把P(2，4>代入212y x h =-+，得h=6。
所以抛物线方程为：y －4=k(x －2>，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。
圆锥曲线中定值问题
圆锥曲线中定值问题在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题. 在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.1.若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为0f x y g x y λλ+=（，）（，）（其中为参变数），0.0f x y g x y =⎧⎨=⎩（，）由确定定点坐标（，）例1.(2012湖南理21)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.(1)求曲线1C 的方程；(2)设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值. 1.（1）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为`220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离， 因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线， 故其方程为220y x =.（2）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+即040kx y y k -++=.于是3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则12,y y 是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=2201212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.【变式训练1】(2012辽宁理20)如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<．点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点．(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于,,,A B C D ''''四点，其中2b t a <<， 12t t ≠．若矩形ABCD 与矩形,,,A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。
圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题1．在平面直角坐标系xoy 中,设点(1,0)F ,直线:,点在直线上移动,是线段与 轴的交点, .(1) 求动点的轨迹的方程；(2) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、 的 中点分别为。
求证:直线必过定点(3,0)R 。
解:(1)依题意知,直线的方程为:.点是线段的中点,且⊥,∴是线段的垂直平分线∴是点到直线的距离.∵点在线段的垂直平分线,∴故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为:(2) 设,,直线AB 的方程为则(1)—(2)得,即, 代入方程,解得. 所以点M 的坐标为 同理可得:的坐标为.直线的斜率为,方程为 ,整理得, 显然,不论为何值,均满足方程,所以直线恒过定点.l 1x =-P l R PF y ,RQ FP PQ l ⊥⊥Q Q E F E AB CD AB CD N M ，MN l 1x =-R FP RQ FP RQ FP PQ Q l Q FP PQ QF =Q E F l 24(0)y x x =>()()B B A A y x B y x A ,,,()()N N M M y x N y x M ,,，)1(-=x k y ⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422B B A A x y x y k y y B A 4=+ky M 2=)1(-=x k y 122+=kx M 222(1,)k k +N 2(21,2)k k +-MN 21k k x x y y k N M N M MN -=--=)12(1222---=+k x kk k y )3()1(2-=-x k k y k (3,0)MN R (3,0)2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为 ，（2）设，由得 ，，.以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点，，， ， ，解得，且满足. 当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 C x C 31C :l y kx m =+C A B A B ，AB C l 22221(0)x y a b a b+=>>3,1a c a c +=-=22,1,3a c b ===221.43x y ∴+=1122(,),(,)A x y B x y 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(34)84(3)0k x mkx m +++-=22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->22340k m +->212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+ (2,0),D 1AD BD k k ⋅=-1212122y y x x ∴⋅=---1212122()40y y x x x x +-++=2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++2271640m mk k ++=1222,7k m k m =-=-22340k m +->2m k =-:(2)l y k x =-(2,0),27k m =-2:()7l y k x =-2(,0).7l 2(,0).73．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，其焦点在圆x 2+y 2=1上． (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=+ ．①求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； ②求OA 2+OB 2．解：(1)依题意，得 c =1．于是，ab =1． ……………………………………2分 所以所求椭圆的方程为2212x y +=． ………………………………………………4分 (2) (i)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y +=①，222212x y +=②． 又设M (x ，y )，因cos sin OM OA OB θθ=+ ，故1212cos sin ,cos sin .x x x y y y θθθθ=+⎧⎨=+⎩ …………7分 因M 在椭圆上，故221212(cos sin )(cos sin )12x x y y θθθθ+++=． 整理得22222212121212()cos ()sin 2()cos sin 1222x x x x y y y y θθθθ+++++=． 将①②代入上式，并注意cos sin 0θθ≠，得 121202x x y y +=． 所以，121212OA OB y y k k x x ==-为定值． ………………………………………………10分 (ii)2222222222121212121212()()(1)(1)1()222x x x x y y y y y y y y =-=⋅=--=-++，故22121y y +=． 又22221212()()222x x y y +++=，故22122x x +=． 所以，OA 2+OB 2=22221122x y x y +++=3． …………………………………………16分4．已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．（1）求双曲线的方程；（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 解: （1）∵抛物线的焦点为，∴双曲线的焦点为、，………………………………………………1分设在抛物线上，且，由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，…………………………3分∴，………………………………………………4分又∵点在双曲线上，由双曲线定义得：，∴， ∴双曲线的方程为：．………………………………6分 （2）为定值．下面给出说明． 设圆的方程为：， 5u ∵圆与直线相切，∴圆的半径为，故圆：． ………………………………7分 显然当直线的斜率不存在时不符合题意，………………………………………………8分 设的方程为，即，设的方程为，即， ∴点到直线的距离为21:8C y x =22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2F A 12,C C 25AF =2C 2C 1F M y =N 22(2)1x y -+=(1P M N 1l 2l 1l M s 2l N t s t21:8C y x =2(2,0)F 2C 1(2,0)F -2(2,0)F 00(,)A x y 21:8C y x =25AF =025x +=03x =2083y =⨯0y =±1||7AF ==A 2C 2|75|2a =-=1a =2C 2213y x -=s tM 222(2)x y r ++=M y =M r ==M 22(2)3x y ++=1l 1l (1)y k x =-0kx y k -=2l 1(1)y x k-=--10x ky +-=1F 1l 1d =点到直线的距离为，………………………………………………10分∴直线被圆截得的弦长11分 直线被圆截得的弦长12分 ∴故………………………………14分 2F 2l 2d =1l M s ==2l N t =s t ===s t。
经典圆锥曲线定点,值问题探讨
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a，k1＋k2＝y－x1 b＋y2x－2 b＝ka＋a b， ∴当 b＝－a 时，k1＋k2＝0，∴∠OPM＝∠OPN.
[规范解答] (1)由题设可得 M(2 a，a)，N(－2 a，a)， 或 M(－2 a，a)，N(2 a，a)．(2 分) 又 y′＝2x，故 y＝x42在 x＝2 a处的导数值为 a，曲线 C 在点(2 a， a)处的切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)， 即 ax－y－a＝0.(4 分)
将其代入 y＝mx－m22，得 y0＝24－m2m＋2 1. 因为yx00＝－41m， 所以直线 OD 的方程为 y＝－41mx.
联立方程y＝－41mx， x＝m，
得点 M 的纵坐标 yM＝－14， 所以点 M 在定直线 y＝－14上．
2．已知双曲线 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e＝ 25，虚轴长为 2. (1)求双曲线 C 的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与双曲线 C 相交于 A，B 两点(A，B 均异于 左、右顶点)，且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，求证： 直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
[考生不规范示例] 解：(1)k＝0，M(2 a，a)，N(－2 a，a)， y′＝2x，∴k1＝ a，k2＝－ a. ∴切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)和 y－a＝－ a(x＋2 a)．
(2)假设存在点 P(0，b)，M(x1，y1)N(x2，y2)
y＝kx＋a 由y＝x42
得 x2－4kx－4a＝0.
解：(1)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1， 解得 a2＝8，b2＝4.(3 分) 所以 C 的方程为x82＋y42＝1.(4 分) 证明：(2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， M(xM，yM)．(5 分) 将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1，得
圆锥曲线题型技巧--- 斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
2
2
中，椭圆 2 + 2 = 1( >
> 0)的右焦点为
(1，0)，离心率为
2．分别过
2
，
的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 = ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值．
2
【答案】(1) +
2 = 1;(2)详见解析.
,
④
同理由③得
y2 1 x2 2
4
x2 2
y2 1
,
⑤
由①④⑤得
x1 2
4 y1 1
x2 2
4 y2 1
0
,
化简得 x1y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑥
由①得 x1 y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑦
4 − 1)
= ⋅ 2( 1 2− 3 4)−( 1+ 2)+( 3+ 4)13 分
( 1− 3)( 2− 4)
= 0． 16 分
=
⋅ 2( 2
−2 2+
1
−
2( 2
( 1−
2 2
− +
1) 1
)
−
0
+
2
3)( 2 − 4)
4
2
2
+1
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
4k 2 1
x2 8kbx 4b2 8 0 ,
(**)
82
则
x1
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8
主要方法：设而不求 整体代入
设而不求-----多个变量
整体代入-----减少变量
关键是消元
含x与y的式子统一消元 为只含x或y的式子
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于 含 x1x2,x1x2型的可用韦达定理来代入
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9
考题分析 题型二 斜率之和为定值
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3
考题分析 题型一 斜率之积为定值
消x or y
y1y2,y1y2型
韦达定理 整体代入
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代设 入而 般特 不 殊求 到整 一体ห้องสมุดไป่ตู้
4
考题分析 题型一 斜率之积为定值
合理选择直线的设法可避免分类讨论，简化运算
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5
考题分析 题型一 斜率之积为定值
消y后整 体消除
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6
考题分析 题型二 斜率之和为定值
消y
x1x2,x1x2型
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10
类题通法 探究实践、拓展提升
消y
x1x2,x1x2型
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11
类题通法 探究实践、拓展提升
求出坐标
隐含条件
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12
类题通法 探究实践、拓展提升
隐含条件 消y
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13
课堂小结
1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
圆锥曲线中斜率之积（和）为定值问题
2018
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紫高 沈烨
1
考情 1.本校考试情况分析 分析 3.11周考
3.13第一次学考模拟考
解析几何掌握情况很不 理想
原因分析：1.不敢做，不自信 2.计算能力不过关 3.基础知识不牢固，题目理解不到位.
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2
考情 2.16、 17年学考卷圆锥曲线考察情况 分析
x1x2,x1x2型
消y
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7
考题分析
定值问题常用方法： 一般是在一些动态的事物（如动点、动直线、 动弦、动角、动圆、动三角型等）中寻求不 变量.
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个 值与变量无关
（2）直接推理，计算，并在计算推理过程 中消去变量，从而得到定值
设而不求思想：
在解决数学问题时，先设定一些未知数， 然后把它们当成已知数，根据题目本身 的特点，将未知数消去或代换，使问题 的解决变得简捷。
3.做好这类题还需要什么？
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课外思考 探究实践、拓展提升
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