西南科技大学2014-2015-2半期高等数学B2考试试卷及其答案
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
《高等数学(Ⅱ)》B类练习题答案
《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题答案一、单项选择题1—5：CCCCC 6—10：BBCCA 11—15：AAABD二、填空题1、xy e yz x z z -=∂∂ ，xy e xz y z z -=∂∂ ；2、yzxy z y z z x z x z 2+=∂∂+=∂∂， ； 3、）（）（，）（）（xyz xysin 1xyz xzsin 1y z xyz xysin 1xyz yzsin 1x z -+=∂∂-+=∂∂ ； 4、dz x ylnx dy x zlnx dx yz.x du yz yz 1yz ⋅⋅+⋅⋅+=- ； 5、dy -dx dz -= ； 6、dy 12dx 41-2dz +-=），（ 7、()⎰⎰313ydx y x f dy ， ； 8、⎰⎰y-2y10dx y x f dy），（ ；9、⎰⎰2x x1dy y x f dx ），（ ； 10、）（）（2yx 121e 1y +=+- ； 11、1x y 22+= ； 12、1y x 5y 325=-；三、判断题1--5：对 对 对 错 错 6—10：对 对 错 对 对 11—15：对 错 对 对 对四、计算题1、求下列函数的偏导数（1）、22232232()2 (2) (3)()2(2)(6)xy xy xy xy xy xy ze y x y e x xe yx y x ze x x y e y ye x xy y ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++分分（2）、(3)(6)x y x y x y x y x y x y z e e x e z e e y e ++++++∂=∂=∂=∂=分分（3）、222222222222222222212ln(12[ln()](3)2ln(2ln( (6)z x xx y x y y x y x x y y x y z x x y x y y y y x y x x x y x y y ∂=⋅+⋅∂+=++∂=-⋅+⋅∂+=-++)+)+分)+)分（4）22222212ln ()2ln(3)12ln(6)x y y z x x y x x y x yx x xy z y x y x y '=⋅+⋅-+=-'=⋅+⋅+（）分+（）分（5）22221[sin()]2 (3)1[sin()]22 (6)x y z x y z x y y'=-+='=-+⋅=分分（6）22221cos()22(3)1cos()2(6)xyz x y xz x y'=+⋅='=+=分分（7）2222221ln1(ln) (3)12ln1(2ln) (6) x y x yxx yx y x yyx yz e xy exe xyxz e xy eye xyy++++++'=⋅+⋅=+'=⋅⋅+⋅=+分分（8）22222222222222222ln()2[ln()] (3)2ln()2[ln()] (6) xy xyxxyxy xyyxyxz e y x y ex yxe y x yx yyz e x x y ex yye x x yx y'=⋅⋅++⋅+=+++'=⋅⋅++⋅+=+++分分（9）sin 2cos 22 22cos 2)(3)sin 2cos 22 22cos 2) (6x y z xy xy yxy y xy z xy xy xxy x xy '=+⋅=+'=+⋅⋅=+分)分（10）2222222222222222sin()cos()2 [sin()2cos()] (3)sin()cos()2 [sin()2cos()](xy xy x xy xy xy y xy z e y x y e x y x e y x y x x y z e x x y e x y y e x x y y x y '=⋅⋅++⋅+⋅=+++'=⋅⋅++⋅+⋅=+++分6)分2、求下列函数的全微分 （1）222222222222222 (2(3)2 (2(5)(2x y x y x y x y x y xy xy z e x e y x ez ey e x ye dz e +++++++∂=⋅∂=∂=⋅∂=∴=分分22(2(6)x y dx e dy ++分（2）2222222222242233()2 (2)(3)2()2 2()(5)xy xy xy xy x xy xy ze y x y e x xe x y y x z e xy x y e y ye x y xy y dz e ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++∴=分分2222433(2)2()(6)y xy x y y x dx e x y xy y dy +++++分（3）2221ln (1ln )(3)11 ln ()1 (ln 1)(5)1(1ln )(ln 1)z y x y x x y x xy xx y z x y y x y x yxx y y x xdz dx dy x y x y ∂=-⋅⋅∂=-∂=⋅⋅-∂=-∴=-+-+分+分(6)分（4）22211ln ()1 (ln 1)(3)1 ln (1ln )(5)1(ln 1)(1ln)z y x x y x y xyyx z x y xy y x y yx yy x y x ydz dx dy yx y x ∂=⋅⋅-∂=-∂=-⋅⋅∂=-∴=-+-+分+分(6)分（5）sin (3)sin 2(5)2)x y z z ydz dx ydy '=-='=-==+分分(6)分（6）2(3)(5)) (6) xyz xzdz xdx dy'=='===+分分分（7）1ln1) (3)1ln()1) (5)1)xyxzy xxy xxzy yxy yx xdz dxy x'=+⋅=+'=+⋅-=-=++分分1)(6)dyy y-分（8）221ln1(ln(3)()ln(5)1(x xy yxxyx xy yyxyx xy yz e eyeyxz e eyxeydz e dx ey'=⋅⋅='=⋅-⋅==+分分2ln(6xdyy-分（9）22221sin + cos ()(3)1(sin cos )1()sin + cos1(cos sin )(5)x xyy x x yx xyy y x yy y yz e e y x x x y y ye y x x xx y y z e e y x x x y x ye x x y xd '=⋅⋅⋅⋅-=-'=⋅-⋅⋅⋅=⋅-分分2211(sin cos )(cos sin )(6)x xyy y y y y x yz e dx e dy y x x x x x y x=-+⋅-分（10）3、计算下列二重积分 （1）解：D 的图形(略)，{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰--=--=xx D dy y x dx dxdy y x I 2)2(21)2(2110……2分⎰++-=1432)412147(x x x x 12011=……2分 （2）解： D 的图形为: (略){}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰==xx Dxydy dx xydxdy I 21……2分⎰-=153)(21dx x x ……1分241=……1分 （3） 解：D 的图形为: (略){}1,11),(≤≤≤≤-=y x x y x D ……2分⎰⎰-=Dd y x y I σ)(22⎰⎰-=-12211)(xdy y x y dx ……2分⎰---=1122)1(41dx x 154-=……2分（4）解：D 的图形为: (略)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21),(……2分 ⎰⎰Dd y x σ22⎰⎰=21122yydx y x dy ……2分 ⎰-=215)313(dy y y ……1分6427=……1分（5）解：⎰⎰⎰⎰-++==210222x y x D y x dy edxdxdy eI ……2分⎰-=22)(dx e e x ……2分2=……2分（6）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,10),(πy x y x D ……2分 ⎰⎰⎰⎰=2212sin sin πσydy x dx yd xD……2分⎰=12dx x 31=……2分 （7） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x dx d y x 22)sin()sin(ππσ……2分⎰=2cos πxdx ……1分1=……1分（8） 解：⎰⎰⎰⎰=11dx ye dy d ye xyDxyσ……2分 ⎰-=1)1(dy e y ……2分2-=e ……2分（9） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x x dx d y x x 22)sin()sin(ππσ……1分⎰⎰=+-=-2220cos )cos(πππxdx x dx y x x x……1分12-=π……2分（10） 解：{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰+=+xx Ddy y x xy dx y x xy 2)()(10……2分⎰⎰+--=+=146710322)652131()3121(2dx x x x dx xy y x x x ……1分 563=……1分4、求下列微分方程的通解（1）解：方程变形为23)(3)(1xy x y dxdy +=令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得2331u u dx du x u +=+……2分 分离变量得x dxdu u u =-32213……1分两边积分得13ln ln )12ln(21C x u +=--……2分 微分方程的解为：Cx x y =-332……1分（2）解：方程变形为1)(2-=xy x y dx dy令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得12-=+u u dx du x u ……2分分离变量得xdxdu u =-)11(……1分 两边积分得1ln ln C x u u +=-……2分 微分方程的解为：C xyy +=ln ……1分（3）解：方程变形为)ln 1(xy x y dx dy += 令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得)ln 1(u u dxdu x u +=+……2分分离变量得xdxu u du =ln ……1分 两边积分得1ln )ln(ln C x u +=……2分 微分方程的解为：Cx e xy=……1分（4）解：方程变形为3)(1xx ydx dy +=令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得31u u dx du x u +=+……2分分离变量得xdxu du u =+-43)1(……1分 两边积分得143ln ln 31C x u u+=-……2分 微分方程的解为：333yx Ce y =……1分（5）解：原方程变为：1sin 1222+-=++x x y x x dx dy ()122+=x x x p ，()1sin 2+-=x xx q()()⎰⎰+=+=1ln 1222x dx x xdx x p()()()x dx x dx e x x dx e x q x dxx p cos sin 1sin 1ln 22=-=+-=⎰⎰⎰⎰+所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()()c x x c x ex ++=++-cos 11cos 21ln 2 （c 为任意常数） （6）解：原方程变为：x x y x y 122+=-' ()x x p 2-= , ()xx x q 12+=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx xdx x p ()()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-23ln 2211112x x dx x dx e x x dx ex q x dxx p所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =2121232ln 2-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cx x c x x ex （c 为任意常数）（7）解：()xx p 1-= , ()x x q ln =()⎰⎰-=-=x dx x dx x p ln 1()()()()2ln ln ln 2ln x dx x x dx e x dx e x q x dx x p ===⎰⎰⎰⎰- 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c x x c x e x2ln 2ln 22ln （c 为任意常数） （8）解：原方程变为：x e x y xy 32=-' ()xx p 2-= , ()x e x x q 3=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx x dx x p()()⎰⎰⎰-===⎰-x x x x x dxx p e xe dx xe dx e e x dx e x q 2ln 3所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()c e xe x c e xe e x x x x x +-=+-2ln 2（c 为任意常数）（9）解：两边积分，得⎰+-=='12ln 2ln 2c x x x xdx y两边再积分，得()dx c x x x y ⎰+-=12ln 2212223ln c x c x x x ++-= （1c ，2c 为任意常数）（10）解：两边积分，得()11cos sin sin 1cos c x x x x c x x xd dx x x y +++=++=+='⎰⎰两边再积分，得()21212sin 2cos cos sin c x c x x x x dx c x x x x y ++++-=+++=⎰（1c ，2c 为任意常数）五、应用题1、 求下列函数的极值 （1）解： 解：⎩⎨⎧=-+==++=012012y x f y x f yx解得驻点(-1,1). ……………4分 又,2,1,2======yy xy xx f C f B f A ……………7分0032>>=-A B AC 且，故0)1,1(=-f 是极小值. ……………10分（2） 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=01230622''y f x f y x 解得驻点(3,2)，(3, -2). ……………4分又 y f f f yy xy xx 6,0,2''''''==-= ……………6分关于驻点(3,2)有，,12,0,2==-=C B A,0242<-=-B AC 故函数在点(3,2)没有极值。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II)理科数学 word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A. 33 B.93 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.30 D.2 12.设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii tty y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C二、 填空题（13）12（14）1 （15）（1,3-） （16）[]1,1-三、 解答题 （17）解：（I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+。
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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （ ）(A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bcd c d= （ ）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a dbc -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y ∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L 1()(()),n n f x f f x -=L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2xx -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （ ）(A)1 (B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数 则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. 【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x Q 的周期为4，()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.【解析】 由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'><所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=⎰⎰12D D I dxdy ∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰π 2201211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得， ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则 ()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤Q ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0u ag t dt u a ≤≤-⎰ ()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x xf x f x f x f x x x x nx====++++L 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭,(I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L 与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M L L M ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LM =，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭O .B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
新课标2卷理科数学高考真题及答案
2014年新课标2卷理科数学高考真题及答案掌门1对1教育 高考真题2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i=+，则12z z =（ ）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b =( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( ) A. 5 5C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. 1727 B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 39.设x,y满足约束条件70310350x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y=-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 10.设F 为抛物线C:23yx=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A. 33B. 93C. 6332D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C. 30D.212.设函数()3xf x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m+<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221xy +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}na 满足1a =1，131n na a +=+. （Ⅰ）证明{}12na +是等比数列，并求{}na 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112naa a++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份1 2 3 4 5 6 7代号t人均2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9纯收入y（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b ab+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2xx ee x---（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线=+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，l y x:32确定D的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x=1(0)++->x x a aa（Ⅰ）证明：()f x≥2；（Ⅱ）若()35f<，求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题（13）12（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1-三、解答题 （17）解： （Ⅰ）由131n n aa +=+得 n 111a3().22n a ++=+又11322a +=，所以12n a⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。
2014级高等数学第二学期期末试卷(B类)
3.
交换二次积分
1 0
dx
2 x2
x
x2
f
(x, y)dy 的积分次序，结果为
（
）
（
）
(A)
1dy y 0 1 1 y2
f (x, y)dx ；
(B)
1dy y
0
1 1 y2
f (x, y)dx ；
(C)
1 0
dy
1 y
1 y2
f (x, y)dx ；
(D)
1dy 0
2 y y2 y2
f (x, y)dx 。
n1
(2)
若级数 xn
n1
收敛，且级数
an
n1 xn
收敛，请猜测级数 an 是否收敛，
n1
并证明（或说明）你的猜测结论。
第2页
2014 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类) （多元微分学部分试题）
1.
设
f
(x,
y)
2x2 y4 x2 y2
，则 lim x0
f (x, y)
y0
（A） 等于 0 ； （B）等于1； （C）等于 2 ；
2014 级高等数学第二学期期末试卷(B 类)
注 1：下面划去部分试题内容，不是 15 级(本次)期末考试范围。 注 2：后面增加的试题是本次期中考试范围内容。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 设向量 a, b 满足| a b || a b |，则必有
（
）
(A) a 0 ； (B) b 0 ； (C) a b 0 ； (D) a b 0 .
n1
n1
n1
（A） 0 ；
（B）1；
2014-2015学年数2-B答案
f '(x) 0
,且
1 f ( x)dx 1
0
3
,求
1 f 1 ( x)dx . 0
解: 1 f 1 ( x)dx 0
1
y
f '( y)dy, y
f
1 ( x)
0
yf ( y) |10
1 0
f ( y)dy
1 1 2.
33
4.
若 f 2(x) 1
x
[
f
2 (t )
(
f
'(t ))2 ]dt
3 x) sin 2x 3cos 2x x 1
2
13Biblioteka 2626. 计算由抛物面 z x 2 y 2 ,柱面 x 2 y 0 ,以及平面 2x y 0 , xy 坐标平面围
成的封闭空间的体积.
解: V Dzd ， D : x 2 y 0 和 2x y 0 围成的封闭区域。
( x 2 y 2 )d D
lim 0 x
e ax
lim
x
f ( x)e ax ae ax
b.
a
x
a
证:方程 y'ay f ( x) 的通解为
y e ax ( x f (t )e at dt C ) . 0
lim y( x) lim e ax ( x f (t )e at dt C )
x
x
0
lim e ax x f (t )e at dt
x
0
x f (t )e at dt
距离最短. 解：建立目标函数
F ( x, y, z,, ) x 2 y 2 z 2 (2x 3 y z 3) ( x 2 y 2 4)
高数A二B二近四年期末解答A卷 课件
2014级本科高等数学A （二）期末试题解答与评分标准A （理工类多学时）一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 1. （A ，B ）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数(,)x f x y 和(,)y f x y 存在是函数在点00(,)x y 的全微分存在的（ B ）.A. 充分条件；B. 必要条件；C. 充要条件；D. 无关条件.2. （A ，B ）设级数1(2)nn n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则级数在5x =处（ C ）.A. 发散；B. 条件收敛；C. 绝对收敛；D. 无法确定敛散性.3. （A ，B ）二阶微分方程224468e xy y y x '''-+=+的特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A. 22+e xax bx C +； B. 22+e xax bx C E ++； C. 222+e xax bx C Ex ++； D. 22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设闭区域D ：229x y +≤，221:9,0D x y y +≤≥，则下列等式中错误的是（ D ）. A.22221e d 2e d x y xy DD σσ++=⎰⎰⎰⎰；B.2222122e d 2e d x y xy DD y y σσ++=⎰⎰⎰⎰；C. 22e d 0xy Dx σ+=⎰⎰；D. 1e d 2e d x y x y DD σσ++=⎰⎰⎰⎰.6. （A ）Ω由不等式2221,x y z z ++≤≥确定，则zdxdydz Ω⎰⎰⎰求解过程错误的是（ B ）.A.2212x y dxdy +≤⎰⎰；B.22210x y z dzzdxdy +≤⎰⎰⎰；C.20rd πθ⎰⎰⎰；D.2134001sin 22d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰.二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 7.（A ，B ）直线234112x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点为 (1,2,2).8.（A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为 230y y y '''--=.9. （A ，B ）设函数4sin y z x xy xy =++，则(1,0)zy ∂=∂ 5.10. （A ，B ）交换二次积分的积分次序：2220(,)y ydy f x y dx =⎰⎰402(,)x dx f x y dy ⎰⎰.11. （A ）L 为圆周229x y +=，则对弧长的曲线积分=⎰18π.12. （A ）计算曲线积分(3)(2)LI x y dx y x dy =++-⎰Ñ，其中L 是沿椭圆2214y x +=正向的边界，则I ＝4p -.三、解答题（本大题6小题，每小题8分，共计48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：00x y →→0x y →→= （4分）0x y →→= （2分）14=-. （2分）14. （A ，B ）设函数),()(y x y g y x f z -++=，其中f 二阶可导，),(v u g 有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2zf g x∂''=+∂， (4分) 221222122(1)z f g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂. (4分)(或写为221221222(1)zf g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂ )15. （A ，B ）设函数(,)z f x y =由方程e 0z y xz x y x ----+=所确定，在点(0,1,1)处，求d z .解：令(,,)ez y xF x y z z x y x --=--+， （2分）1e e 1e z y x z y x x z y x z F zx x F x ------∂-+=-=∂+， （2分） 1e 1ez y x y z y xz F zx y F x ----∂+=-=∂+， （2分） (0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)d d d zz z x y dy xy∂∂=+=∂∂. （2分）16. （A ，B ）求幂级数2121n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值. 解：收敛域(1,1)-， （注：在端点处发散） （2分）2121220001(),(0)0,()21211n n n n n n x x S x S S x x n n x ++∞∞∞==='⎛⎫'===== ⎪++-⎝⎭∑∑∑ （2分）所以200111()(0)()d d ln ||121x xxS x S S x x x x x+'-====--⎰⎰，故11()ln ||21xS x x+=-，(11)x -<< （2分） 2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）1206()1x x d x =-=⎰. （2分）18. （A ） 计算2(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰，其中∑为上半球面z =.解：取1∑为xoy 面上的圆盘22:4xy D x y +≤，取下侧，记∑与1∑围成的闭区域为Ω，从而由高斯公式，得 （2分）12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+∑+++⎰⎰6dv Ω=⎰⎰⎰3262323ππ=⋅⋅=， （2分）而12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰1(31)4xyD z dxdy dxdy π∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰， （2分）故 原式=32(4)36πππ--=. （2分）四、解答题（本题10分） 19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：（1） 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰， （2分）求导，得2()22()t f t te tf t πππ'=+,即2()2()2t f t tf t te πππ'-=， （2分） （2）此为一阶线性微分方程，其通解为：22()()tf t e t Cππ=+（C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C =， （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ . （1分）五、证明题（本题6分）20. （A ，B ）证明：二次曲面222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为000Ax x By y Cz z D ++=.证：令222(,,)F x y z Ax By Cz D =++-，则0000(,,)2x F x y z Ax =，0000(,,)2y F x y z By =，0000(,,)2z F x y z Cz =， （2分） 故曲面(,,)0F x y z =上点000(,,)x y z 处的切平面方程为：0000002()2()2()0Ax x x By y y Cz z z -+-+-=，（2分） 又222000Ax By Cz D ++=，从而222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为：000Ax x By y Cz z D ++=. （2分）2014级本科高等数学（二）期末试题解答与评分标准A（理工类少学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. （B ）由曲线2cos a ρθ=所围图形的面积为（ B ）. A. 22a π； B.2a π； C. 24a π； D. 22a π.2. （A ，B ）下列级数收敛的是（ C ）.A.112n n∞=∑； B.21ln n n∞=∑； C. 112nn ∞=∑；D. 1n ∞=3. （A ，B ）微分方程224468e x y y y x '''-+=+的一个特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A.22+e xax bx C +； B.22+e xax bx C E ++； C.222+e xax bx C Ex ++； D.22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设二元函数(,)f x y 在2R 上有(,)0,(,)0x y f x y f x y ><，设1212,x x y y ><，则下列结论正确的是（ B ）.A. 1122(,)(,)f x y f x y <；B. 1122(,)(,)f x y f x y >；C.1112(,)(,)f x y f x y <；D.1121(,)(,)f x y f x y <.6. （A ，B ）设()f x 为连续函数，1()()t tyF t dy f x dx =⎰⎰，则(2)F '=（ D ）.A.2(2)f ；B.(2)f -；C.0；D.(2)f .二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （B ）由曲线x y e =,直线0,1x x ==和x 轴所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所形成旋转体的体积为2π.8. （A ，B ）设(,)z f x y =由方程e 0z y x z x y x ----+=所确定，则zx∂∂在点(0,1,1)处的值为 0 .9. （A ，B ）2211(2),lim()nn n n x y aa d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．10. （A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为230y y y '''--=.11. （A ，B ）曲线2z y =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为22z x y =+.12. （A ，B ）函数2yz xe =在点A (1,0)处沿点A 指向点B (2,1)-的方向导数为2- .三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：(法一)原式= 0x y →→ （4分）00x y →→= （2分）=14-（2分） (法二) 原式=00x y →→ （4分） 001224limx y xy xy →→-⋅⋅= （2分） =14-（2分）14. （A ，B ）计算函数yz x =在(2,1)的全微分． 解： 1,ln y y x y z yx z x x -== （4分）(2,1)1,(2,1)2x yz z == （2分） (2,1)d 2l n 2z d x d y =+ （2分）15. （A ，B ）设函数()f u 可微, ()ln xx z f x y =+,求222,z z x x y∂∂∂∂∂.解：()ln xz f x x y =+ ，1()ln 1z xf x x y y∂'=++∂ （2分） 22211()z x f x y y x ∂''=+∂ （3分） 2231()()z x x x f f x y y y y y∂'''=--∂∂ （3分）16. （A ，B ）求幂级数21021n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值． 解： 收敛域为(1,1)- （2分）令210()21n n x S x n +∞==+∑，(0)0S =2122001()211n n n n x S x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑， （2分） 所以200111()(0)()d d ln ||121x x xS x S S x x x x x+'-===--⎰⎰， 故11()ln ||21xS x x+=-， （11x -<<） （2分）2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）126()1x xd x =-=⎰ （2分）18. （A ，B ）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体的长宽高为,,x y z ，则问题转化为在条件2(,,)2220x y z x y y z x za ϕ=++-= 下求函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值. （3分） 设拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-，解方程组22()02()02()0222yz y z xz x z xy y x xy yz xz aλλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩得x y z ===， （4分） 这是唯一的可能极值点，也是所求问题的最大值点.故表面积为2a3（1分）四、解答题（本题10分）19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：(1) 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰ （2分）求导得 2()22()t f t te tf t πππ'=+即 2()2()2t f t tf t te πππ'-= （2分） (2) 此为一阶线性微分方程，其通解为22()()tf t et Cππ=+ （C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C = （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ （1分）五、解答题（本题6分）20. （A ，B ）设2,(,)(,)0,(,)x y Df x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩，[0,1][0,1]D =⨯，求函数()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰的表达式.解：0t ≤时，()0F t = （1分）01t ≤≤时，221()22F t t t =⋅= （2分）12t <≤时，221()21(2)422F t t t t ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦（2分）2t >时，()2F t = （1分）2013级高等数学(二)期末试卷解答A理工类 多、少学时1. （A ，B ）下列函数中有且仅有一个间断点的函数为（ B ）． （A ）x x y +； （B ）22e ln()x x y -+； （C ）xy； （D ）||1xy +．2. （A ，B ）曲线：23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ B ）．（A ） 有一条； （B ）有两条； （C ）有三条； （D ）不存在．3. （A ，B ）设222{(,)|()}D x y x a y a =-+≤，则二重积分22e d x y Dσ--=⎰⎰（ C ）（A ）22cos 0d d a re r r πθθ-⋅⎰⎰； （B ）22cos 0d d a re r πθθ-⎰⎰；（C ）22cos 22d d a r er r πθπθ--⋅⎰⎰；（D ）22cos 202d d a re r πθπθ--⎰⎰4. （A ，B ）微分方程x y y cos =+''的特解具有形式（ B ）（A ）cos sin A x B x + （B ）sin cos Ax x Bx x + （C ）cos A x （D ）cos Ax x5. （A ，B ）已知函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在，则( D )．（A ）(,)f x y 在00(,)x y 可微；（B ）(,)f x y 在00(,)x y 沿任意方向方向导数存在； （C ）(,)f x y 在00(,)x y 连续； （D ）0(,)f x y 在00(,)x y 连续．6. 多（A ）设221:1l x y +=，222:2l x y +=，223:12y l x +=， 224:12x l y +=为四条逆时针封闭曲线，记曲线积分33()d (2)d 63ii l y x I y x x y =++-⎰，1,2,3,4I =，则max{}i I =（ C ）（A ） 1I ； （B ）2I ； （C ）3I ； （D ）4I6. 少（A ，B ）下列各选项正确的是（ C ） A ． 若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥； B ． 若级数∑∞=1n nu收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则级数∑∞=1n nv收敛．C ． 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛，则∑∞=+12)(n n nv u收敛；D ． 若||1nn n vu ∑∞=收敛， 则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛；二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （A ，B ）幂级数1(3)3n nn x n ∞=-⋅∑的收敛域为[0,6)．8. （A ，B ）已知级数1nn us ∞==∑，则11()n n n u u ∞+=+=∑12s u -．9.（A ，B ）设函数()f u 可微，且(2)1f '=，则函数()z f x y =+在点(1,1)处的全微分(1,1)d |z =d d x y +．10.（A ，B ）微分方程yy x'=-满足初始条件24x y =-=的特解为8xy =-．11.多（A ）设L 为上半圆周：222x y R +=，（0,0R y >>），则曲线积分22()d Lx y s +=⎰3R π．11. 少（A ，B ）设(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤，则二重积分()cos 1d d Dy xy x y +=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 2 ．12.多（A ）设∑是球面2222()x y z R R ++-=的外侧，则曲面积分d d x y ∑=⎰⎰ 0 ．12.少（B ）2d 11A x x +∞-∞=+⎰，则 A = 1π.三、 解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）13.（A ，B ）设函数2(,)sin()z f x y xy ==，求(,1)2xx f π，(,1)2xy f π．解：22(,)cos()x f x y y xy =，42(,)sin()xx f x y y xy =-， 232(,)2cos()2sin()xy f x y y xy xy xy =- （6分）(,1)12xx f π=-，(,1)2xy f ππ=- （2分）14.（A ，B ）设函数()y x z z ,=由方程23z e xy z +-=所确定，求(2,1,0)x z 及(2,1,0)y z ．解：令(,,)23z F x y z e xy z =+--， （1分） y F x =，x F y =，2z z F e =- （3分）所以2z z y x e ∂=∂-，2zz xy e ∂=∂- （2分） (2,1,0)1x z =，(2,1,0)2y z =． （2分）15.（A ，B ）求幂级数0(1)1nnn x n ∞=-+∑的收敛域与和函数．解：收敛半径为1R =，收敛域为(1,1]- （2分）令0()(1)1nnn x S x n ∞==-+∑，0x =时，(0)1S =， （1分）0x ≠时，1000()(1)(1)d 1n x nn n n n x xS x x x n +∞∞===-=-+∑∑⎰001()d d ln(1)1x xnn x x x x x∞==-==++∑⎰⎰所以ln(1),0()1,0x x S x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ （5分）16.（A ，B ）计算二重积分2e d d y DI x y -=⎰⎰，其中D 是以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形所围的闭区域．解：21e d d yy I y x -=⎰⎰ （4分）21101e d (1e )2y y y --==-⎰ （4分）17. 多（A ）验证曲线积分(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰在XOY 平面内积分与路径无关，并计算该曲线积分． 解：324Q x y x ∂=-∂，324Px y y∂=-∂，且连续，所以积分与路径无关 （4分）(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰(2,0)(2,1)423(1,0)(2,0)(23)d (4)d xy y x x xy y =-++-⎰⎰21313d (48)d x y y =+-⎰⎰ （2分） 325=+= （2分）17. 少（A ，B ）计算二重极限22222001cos()lim sin ()x y x y x y →→-++．解：222222222220000()1cos()2lim lim sin ()()x x y y x y x y x y x y →→→→+-+=++ （4分） 12=（4分）18. 多（A ）计算曲面积分3d d 2d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =介于平面0z =与平面2z =之间部分的下侧．解：补充曲面221:2,4z x y ∑=+≤，取上侧， （2分） 由高斯公式13d d 2d d d d x y z y z x z x y '∑∑∑+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰6d V Ω=⎰⎰⎰ （2分）16π= ． （2分） 其中，113d d 2d d d d d d 2d d 8Dx y z y z x z x y z x y x y π∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以3d d 2d d d d 8x y z y z x z x y π∑++=⎰⎰ （2分）18. 少（A ，B ）判断级数1!n n n a n n∞=∑的敛散性，其中0,e a a >≠．解：111(1)!lim lim lim (1)!(1)e n n n n n n n n n n nu a n n a n au n a n n +++→∞→∞→∞+⋅=⋅==++ （4分） 所以0e a <<时，级数收敛；e a >时，级数发散。
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西南科技大学2014-2015学年第2学期半期考试试卷
22212(0,)1(0,)21(0,)
2(,)2(2)0;(,)2ln 10
0,1/-------211(0,)2(2)|2(2)1(0,)4|011(0,)(2)|0,0------5x y xx e
xy e
yy e f x y x y f x y x y y x y e A f y e e B f xy e C f x e e y AC B A 分
分
=+==++=∴====+=+=====+=->>
111(,)(0,)(0,)--------2f x y f e e e
在驻点处取得极小值分∴=- 4、设函数(,)f x y 连续，且(,)(,)D
f x y x y f u v dudv =+⎰⎰，其中D 由1,2,1y y x x ===围成，求(,)f x y 解:
2111(,);(,)(,)-------311()()24
1,--------52
1(,)+--------12
D D
y D A f u v dudv f x y x y f u v dudv x yA A x yA dxdy dy x yA dx A A f x y x y 设分
两边求二重积分分故分==+=+=+=+=
+∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5、计算三重积分()⎰⎰⎰Ω
+dv y x 22，其中Ω是由曲面()z y x =+222与平面4=z 所围成的区域。
解:()⎰⎰⎰Ω+dv y x 2223r rdrd dz 分θΩ=---⎰⎰⎰
224
3002r d r dz πθ=⎰⎰ (
)2320042d r dr πθ=-⎰ 8------63
分π=
6、计算曲线积分222(1)(1)y y L
xe dx x e dy ++-⎰,其中L 为自点(4,0)A 沿上半圆周 22(2)4x y -+=到点(0,0)O 的一段弧。
解：22221,1,2y y y Q P P xe Q x e xe x y
∂∂=+=-==∂∂，所以该曲线积分和积分路径无关。
（4分） (4,0)A ,02222224
(1)(1)(1)(1)(1)=12y y y y L AO xe dx x e dy xe dx x e dy x dx ++-=++-=+-⎰⎰⎰（5分） 四、证明题(共6分)
1、设函数(,)z x y 由方程(,)0z z F x y y x +
+=所确定，证明z z x y z xy x y
∂∂+=-∂∂ 证明:公式法: 1212122211;;-------3-------3x y z y x z z z z F F F F F F F F F x y y x F F z z x y x y z xy x y F F 分分--=+⋅
=⋅+=⋅+⋅--∂∂+=⋅+⋅=-∂∂。