2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷新版
2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷新版
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018九上·遵义月考) 若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值为（）
A . ﹣1
B . ﹣2
C . ﹣1或﹣2
D . 0
2. （2分）以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（）
A . 2，5，10，25
B . 4，7，4，7
C . 2，，， 4
D . ，， 2， 5
3. （2分） (2018九上·兴化月考) 如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（）
A . （2，2），2
B . （0，0），2
C . （2，2），
D . （0，0），
4. （2分）如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形ABCD的面积为（）
A .
B . 10
C . 20
D . 20
5. （2分） (2018九上·卫辉期末) 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF，DF，作∠DFC,的平分线，交AD的延长线于点H，作HG⊥BC，交I3C的延长线于点G，则下列矩形是黄金矩形的是（）
A . 矩形ABFE
B . 矩形EFCD
C . 矩形EFGH
D . 矩形DCGH
6. （2分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）
A . -4
B . -1
C . 1
D . 4
7. （2分）(2019·毕节) 在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）
A .
B .
C .
D . 1
8. （2分） (2019八上·温州期末) 如图，将点P（-1，3）向右平移n个单位后落在直线y=2x-1上的点P′处，则n等于（）
A . 2
B .
C . 3
D . 4
9. （2分） (2018八上·梅县期中) 如图，过点A的一次函数图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点B，则这个一次函数的关系式是（）
A . y=2x+3
B . y=2x-3
C . y=x-3
D . y= -x+3
10. （2分） (2018九上·老河口期中) 如图所示，在等边中，点D是边AC 上一点，连接BD，将绕着点B逆时针旋转，得到，连接ED，则下
列结论中：① ；② ；③ ；④ ，其中正确结论的序号是
A . ①②
B . ①③
C . ②③
D . ①②④
11. （2分）如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三者之间的关系是（）
A . α+β+γ=180°
B . α–β+γ=180°
C . α+β–γ=180°
D . α+β+γ=360°
12. （2分）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值是（）
A . 0
B . 0或1
C . 0或2
D . 4
二、填空题 (共6题；共6分)
13. （1分） (2019七下·东海期末) 已知是二元一次方程mx+ny=-2的一个解，则-2m+n的值等于________.
14. （1分）如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AB=4，则AC=________．
15. （1分） (2018九上·惠来期中) 若，则 ________.
16. （1分） (2019八下·扬州期末) 如图,直线x=2与反比例函数和
的图象分别交于A、B两点.若点P是y轴上任意一点，△PAB的面积是3，则k=________.
17. （1分）如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要说明∠3＋∠4＝180°，请补充完整解题过程，并在括号内填上相应的依据：
解：∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＝∠3(________)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠2＝∠3.
∴BE∥________(________)．
∴∠3＋∠4＝180°(________)．
18. （1分） (2019八下·东台期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD，点A（2，0），B（0，4），那么点C的坐标是________.
三、解答题 (共7题；共67分)
19. （10分） (2019八下·温岭期末) 解方程：
（1） x2-4x=3
（2） x2-4=2(x+2)
20. （15分） (2019八上·定安期末) 某校八年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图。
依据图中信息，解答下列问题：
（1）接受这次调查的家长共有________人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“很赞同”的家长占被调查家长总数的百分比是________；
（4）在扇形统计图中,“不赞同”的家长部分所对应扇形的圆心角度数是________度．
21. （10分） (2019九上·汕头期末) 已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
22. （10分）(2019·衢州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+2 与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA＝ OB，直线l2：y＝k2x+b经过点C（1，﹣），与x轴、y轴和线段AB分别交于点E、F、D三点．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图①：若EC＝ED，求点D的坐标和△BFD的面积；
（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23. （5分）(2019·福田模拟) 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
24. （15分） (2019八下·乐山期末) 如图，已知直线l1:y=-2x+4与x、y轴分别交于点N、C，与直线l2:y=kx+b(k≠0)交于点M，点M的横坐标为1，直线l2与x轴的交点为A(-2，0)
（1）求k，b的值;
（2）求四边形MNOB的面积.
25. （2分） (2018九下·梁子湖期中) 如图，将▱ABCD沿其对角线AC折叠，使△ABC 落在AEC处，CE与AD交于点F，连接DE.
（1）请你判断AC，DE的位置关系，并说明理由；
（2）若折叠后，CE平分AD，AB=4，BC=6，请利用（1）中的结论，求▱ABCD的面积.
参考答案
一、单选题 (共12题；共24分)
1、答案：略
2、答案：略
3、答案：略
4、答案：略
5、答案：略
6、答案：略
7、答案：略
8、答案：略
9、答案：略
10、答案：略
11、答案：略
12、答案：略
二、填空题 (共6题；共6分)
13、答案：略
14、答案：略
15、答案：略
16、答案：略
17、答案：略
18、答案：略
三、解答题 (共7题；共67分)
19、答案：略
20、答案：略
21、答案：略
22、答案：略
23、答案：略
24、答案：略
25、答案：略
第11 页共11 页。
2019-2020上学期九年级数学期中考试试题
第1页 共14页 ◎ 第2页 共14页………○………__________班级：____………○………2019-2020 九年级数学期中考试试题卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1. 若菱形 的对角线 、 的长分别是 、 ，则菱形 的面积是（ ） A. cm² B. cm² C. cm² D. cm²2. 方程 的解是（ ） A. B.C. 或D. 3. 抛硬币抛 次，其中正面朝上 次，反面朝上 次，则正面朝上的频率是（ ） A. B. C. D. 4. 能说明四边形是菱形条件是（ ）A.两组对边分别平行B.对角线互相平分且相等C.对角线互相平分且一组邻边相等D.对角线互相垂直5. 方程 经过配方化为 的形式，则正确的是（ ） A. B.C. D.6. 如图1，在 中，点 在边 上，过点 作 交 于点 ， 交 于 ，若 ，则 的值是1 2 3 4 5A.B.C.D.7. 下列说法正确的有（ ）个．①菱形的对角线相等；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有两个角是直角的四边形是矩形；④正方形既是菱形又是矩形；⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分． A. B. C. D.8. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 A. B. 且 C. D. 且9. 已知如图2四边形 为矩形，延长 到 ，使 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ， 交 于点 ，下列结论：； ； ；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D.10. 如图3，在 中， ， ， ，点 在边 上，且 ，过点 作一条直线交边 于点 ，使 与 相似，则 的长是（ ） A. B. C. 或 D.以上都不对卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）11. 矩形 的对角线 、 相交于点 ， ， ，那么 的长为________．12. 如图4，已知点 是 的边 （不含点 ， ）上的一点， 交 于点 ， 交 于点 、要使四边形 是矩形，则在 中要增加的一个条件是：________．13. 方程 的解为________．14. 如图5，正方形 的顶点 在正方形 的边 上，顶点 在 的延长线上，连接 、 ， 的平分线 过点 交 于 ，连接 交 于 ，则的值为________．15. 设 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ________． 三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计75分 ）16. 已知：如图，在 中， ， ，垂足为点 ， 是 外角 的平分线， ，垂足为点 ，连接 交 于点 ． 求证：四边形 为矩形；当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？并给出证明． 在 的条件下，若 ，求正方形 周长．17. 某花店将进货价为 元/盒的百合花，在市场参考价 元的范围内定价 元/盒销售，这样平均每天可售出 盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调 元，则平均每天可多销售 盒，要使每天的利润达到 元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？第3页 共14页 ◎ 第4页 共14页…………○……………………订………※※请※※不※※订※※线※※内※※答※※…………○……………………订………18. 四张扑克牌的牌面如图 ，将扑克牌洗匀后，如图 背面朝上放置在桌面上．小明进行摸牌游戏：（1）如果小明随机地从中抽出一张扑克牌，则牌面数字恰好为 的概率 ________；牌面数字恰好为 的概率 ________；（2）如果小明从中随机同时抽取两张扑克牌，请用树状图或表格的方法列出所有可能的结果并求出两张牌面数字之和为奇数时的概率．19. 如图所示，小明从路灯下向前走了 米，发现自己在地面上的影子长 是 米，如果小明的身高是 米，那么路灯离地面的高度 是多少米？20. 已知关于 的一元二次方程 的一根为 ，求另一根及 的值．21. 已知在 中， ＝ ， ＝ ， ＝ ．点 是线段 上的一个动点，过点 作 的垂线交线段 （如图 ）或线段 的延长线（如图 ）于点 ． （1）当点 在线段 上时，求证： ； （2）当 为等腰三角形时，求 的长．22. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上，点 的坐标为 ，请解答下列问题：（1）画出 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标．（2）画出 绕原点 旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标．23. 如图，四边形 中， 平分 ， ＝ ＝ ， 为 的中点， 与 交于点 ．（1）求证： ＝ ；（2）求证： ； （3）若 ＝ ， ＝ ，求的值．第5页 共14页 ◎ 第6页 共14页参考答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【解答】解：∵ 菱形的对角线长 、 的长度分别为 cm 、 cm ． ∴ 菱形 的面积cm²． 故选B ． 2.【解答】解：移项得， ， 移项得， ， 解得： ． 故选： ． 3.【解答】解：∵ 某人抛硬币抛 次，其中正面朝上 次，反面朝上 次， ∴ 出现正面的频率为；故选： ． 4.【解答】解： 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；、对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形； 、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形． 则能说明四边形是菱形条件是 ． 故选 ． 5.【解答】解： ， 移项得 ，二次项系数为 得，， 方程两边同加上 得 ， 配方得， 故选 ．6.【解答】解：∵ ， ∴. ∵ ， ∴， ∴. 故选 7.【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误； ③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误； ④正方形既是菱形又是矩形，故正确；⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误； 故选： ． 8.【解答】解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ 即解得 且 ． 故选 ． 9.【解答】解：如图 ，连接 ，设 与 的交点为点 ， ∵ 点 是 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ，第7页 共14页 ◎ 第8页 共14页………○………线……在※※装※※………○………线……∵ 四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ，∴ ，∵ 点 是 斜边上的中点， ∴ ，∴ ， ∴ ，在 和 中，，∴ ，∴ ， ∴ ， 所以①正确；过点 作 交 的延长线于点 ， 在 中， ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ，∵，， ∴ ， 所以②错误；∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ，∴ ， 所以③正确； ∵ ，∴ ， ∴，∵ ， ∴ ， ∴ ，∵ 由③知，∴ ，∴（利用角平分线定理）， ∵ ， ， ∴， 所以④正确， 故选 ． 10.【解答】 解：∵ ，分为两种情况：① （即 ）， ∴ ， ∴，∴ ，∴ ， ② ， ∵ ，∴ ， ∴， ∴，第9页 共14页 ◎ 第10页 共14页…………线__…………线∴，不合题意，故选 ．二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ） 11.【解答】解：∵ 四边形 是矩形，∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ，∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 12.【解答】解：∵ ， ， ∴ 四边形 是平行四边形；∴ 当 时，四边形 是矩形；（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故在 中，应添加的条件为 ． 13.【解答】解： ， 解得： ， ． 故答案为： ， ． 14.【解答】解：取 中点 ，连接 ∵ 四边形 是正方形， ∴ ， ，同理可得 ， ， 在 和 中，，∴ ， ∴ ，∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，在 和 中，，∴ ， ∴ ，∵ ， ， ∴ ，，设 和 相交于点 ．设 ，则 ，设正方形 的边长是 ，则 ， ， ∵ ，∴ ， ∴，即，即 ，解得： ，或 （舍去）， 则 ， ∵ ，∴ ， ∴，∴，，∴，∴．第11页 共14页 ◎ 第12页 共14页……订…※线※※内※※……订…故答案为 ． 15.【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， 故答案为： ．三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ） 16.【解答】(1)证明：∵ ， ，垂足为点 ，∴．∵ 是 外角 的平分线， ∴． ∵ 与 是邻补角， ∴ ，∴．∵ ， ， ∴ ， ∴ 四边形 为矩形.且 时，四边形 是一个正方形， 证明：∵ 且 ， ， ∴， ， ∴ ， ∴ ．∵ 四边形 为矩形， ∴ 四边形 为正方形. 解：由勾股定理，得， ， 即 ， ，正方形 周长 ． 17.【解答】解：设应将售价下调 元，由题意得， 解得： ， ，当 时， ，不在 元 元的范围内，不合题意，舍去. 答：应将每盒百合花在售价上下调 元. 18.【解答】解：（1）如果小明随机地从中抽出一张扑克牌，则牌面数字恰好为 的概率；牌面数字恰好为 的概率，（2）画树状图如下：则两张牌面数字之和为奇数时的概率为． 19.【解答】解：由图知， 米， 米， 米， ∴ 米 ∵ ， ∴ ∴即∴米．20.【解答】解：把 代入方程有： ， 解得 ．设方程的另一个根是 ，则： ，第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页解得 ．所以另一根为 ， 的值为 ． 21.【解答】证明：∵ ， ∴ ＝ ＝ ， 在 与 中，∵ ＝ ＝ ， ＝ ， ∴ ．在 中， ＝ ， ＝ ，由勾股定理得： ＝ ． ∵ 为钝角，∴ 当 为等腰三角形时，①当点 在线段 上时，如题图 所示． ∵ 为钝角，∴ 当 为等腰三角形时，只可能是 ＝ ， 由（1）可知， ， ∴，即，解得：， ∴ ＝ ＝； 当点 在线段 的延长线上时，如题图 所示．∵ 为钝角，∴ 当 为等腰三角形时，只可能是 ＝ ． ∵ ＝ ，∴ ＝ ，∵ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，点 为线段 中点， ∴ ＝ ＝ ＝ ．综上所述，当 为等腰三角形时， 的长为或 ． 22.【解答】 （1） 23.【解答】证明：∵ 平分 ， ∴ ＝ ，∵ ＝ ＝ ， ∴ ；∵ 为 中点， ＝ ∴＝ ， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ， ∵∴ ， ∴， ∵， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴， ∴．。
2019-2020学年福建省福州九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析
第 1 页 共 21 页
2019-2020学年福建省福州九年级上学期期中考试数学试卷
一．选择题：共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）在平面直角坐标系中，若点A 在第一象限，则点A 关于原点的中心对称点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．（4分）方程x 2＝4的解是（ ）
A ．x ＝2
B ．x ＝﹣2
C ．x ＝0
D ．x ＝2或x ＝﹣2
3．（4分）抛物线y ＝﹣x 2+2019的对称轴是（ ）
A ．直线x ＝2019
B ．直线x ＝﹣2019
C ．x ＝﹣1
D ．y 轴
4．（4分）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于（ ）
A ．8
B ．4
C ．10
D ．5
5．（4分）袋子中有2019个黑球、1个白球，他们除颜色外无其它差别．随机从袋子中摸出
一个球，则（ ）
A ．摸到黑球、白球的可能性大小一样
B ．这个球一定是黑球
C ．事先能确定摸到什么颜色的球
D ．这个球可能是白球
6．（4分）如图，一支反比例函数y =k x 的图象经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，若
S △AOB ＝3，则k 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣6
D ．6
7．（4分）国旗上大、小五角星的边长比是5：3，若大五角星的面积为50，则小五角星的
面积为（ ）。
江苏省无锡市锡中实验学校2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．cos45°是（）A．1 B．C．D．2．一组数据3，4，6，8，8，9的中位数和众数分别是（）A．7，8 B．7，8，5 C．5，8 D．7，5，73．已知⊙O的半径为3，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法判断4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan B＝2，则AC的长为（）A．1 B．2 C．D．5．如图，河堤横断面迎水坡AB的破壁是，堤高BC＝12cm，则坡面AB的长度是（）A．15cm B．cm C．24cm D．cm6．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（）A．B．C．D．7．下列命题中，正确的是（）①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③90°的圆周角所对的弦是直径；④三角形的内心为三角形各内角平分线的交点；⑤同弧所对的圆周角相等．A．①②③B．②③④C．②③⑤D．③④⑤8．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O 的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸9．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°10．如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交与点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．B．10 C．7.2 D．二．填空题（共9小题）11．圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为．12．一组数据1，3，2，5，x的平均数为3，那么这组数据的方差是．13．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D＝°．14．一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是．15．如图所示，点A，B，C，D均在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC＝58°，∠ADB＝°．16．如图所示，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝4，则图中阴影部分的面积为．17．已知△ABC的边AB＝2cm，⊙O是其外接圆，且半径也为2cm，则∠C的度数是．18．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值为．19．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝8cm，AB＝6cm，以O为圆心，4cm为半径作⊙O，点C为⊙O上一个动点，连接BC，D是BC的中点，连接AD，则线段AD的最大值是cm．三．解答题（共9小题）20．计算：（1）（2）（3）已知α为锐角，，计算的值．21．为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了名居民；（2）直接写出本次调查获取的样本数据的平均数为，中位数为；（3）社区决定对该小区1500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？22．如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心在∠AOB的平分线上．23．如图，在△ABC中，BC＝6，sin A＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC＝EC．25．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EB＝，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长．27．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值．【迁移拓展】（3）如图2，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．28．如图1，有一块直角三角板，其中AB＝16，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，A、B在x轴上，点A的坐标为（20，0），圆M的半径为3，圆心M的坐标为（﹣5，3），圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，求t的值；（3）如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使∠EMF＝90°？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．cos45°是（）A．1 B．C．D．【分析】根据cos45°＝即可作出选择．【解答】解：cos45°＝，故选：C．2．一组数据3，4，6，8，8，9的中位数和众数分别是（）A．7，8 B．7，8，5 C．5，8 D．7，5，7【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可得答案．【解答】解：将数据从小到大排列为3、4、6、8、8、9，则这组数据的中位数为（6+8）÷2＝7、众数为8．故选：A．3．已知⊙O的半径为3，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法判断【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵OP＝4＞3，∴点P在⊙O外部．故选：B．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan B＝2，则AC的长为（）A．1 B．2 C．D．【分析】根据正切的定义得到BC＝AC，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝2，∴＝2，∴BC＝AC，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即（）2＝AC2+（AC）2，解得，AC＝2，故选：B．5．如图，河堤横断面迎水坡AB的破壁是，堤高BC＝12cm，则坡面AB的长度是（）A．15cm B．cm C．24cm D．cm【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及堤高BC的值，通过解直角三角形即可求出坡面AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC＝12cm，tan A＝1：；∴AC＝BC÷tan A＝12cm，∴AB＝＝24cm．故选：C．6．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（）A．B．C．D．【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC＝BD+CD即可求解．【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝120m，∴BD＝AD•tan30°＝120×＝40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝120m，∴CD＝AD•tan60°＝120×＝120m，∴BC＝BD+CD＝40+120＝160m．故选：D．7．下列命题中，正确的是（）①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③90°的圆周角所对的弦是直径；④三角形的内心为三角形各内角平分线的交点；⑤同弧所对的圆周角相等．A．①②③B．②③④C．②③⑤D．③④⑤【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、三角形的内心的概念判断即可．【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，本说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；③90°的圆周角所对的弦是直径，本说法正确；④三角形的内心为三角形各内角平分线的交点，本说法正确；⑤同弧所对的圆周角相等，本说法正确；故选：D．8．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O 的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x∵DE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．故选：C．9．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°【分析】设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA、OB、OE′，如图，利用正多边形的性质计算出∠EAB＝108°，再证明△OAE′、△OAB都为等边三角形，所以∠OAB ＝∠OAE′＝60°，则∠EAE′＝12°，然后根据旋转的性质得到点C转过的度数．【解答】解：设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA、OB、OE′，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108°，∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在圆上E′点，∴AE＝AE′＝3，∵OA＝AB＝OB＝OE′＝3，∴△OAE′、△OAB都为等边三角形，∴∠OAB＝∠OAE′＝60°，∴∠E′AB＝120°，∴∠EAE′＝12°，∴当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为12°．故选：A．10．如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交与点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．B．10 C．7.2 D．【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接OF，OD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABO是直角三角形，FO+FD＝PQ，由三角形的三边关系知，FO+FD ≥OD；只有当点F、O、D共线时，FO+FD＝PQ有最小值，最小值为OD的长，即当点F在直角三角形ABO的斜边AB的高OD上时，PQ＝OD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时OD＝＝7.2．【解答】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD ⊥AB．∵A（12，0）、B（0，9），∴AO＝12，BO＝9，∴AB＝15，∴∠AOB＝90°，FO+FD＝PQ，∴FO+FD≥OD，当点F、O、D共线时，PQ有最小值，此时PQ＝OD，∴OD＝＝＝7.2．故选：C．二．填空题（共9小题）11．圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为π．【分析】代入弧长公式计算，得到答案．【解答】解：该弧的长度＝＝π，故答案为：π．12．一组数据1，3，2，5，x的平均数为3，那么这组数据的方差是 2 ．【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，＝（x1+x2+…+x n），则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x﹣）2]．n【解答】解：x＝5×3﹣1﹣3﹣2﹣5＝4，s2＝[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]＝2．故答案为2．13．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D＝120 °．【分析】设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、7x，根据圆内接四边形的性质求出x，得到∠B的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、7x，则2x+7x＝180°，解得，x＝20°，∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°﹣∠B＝120°，故答案为：120．14．一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是 3 ．【分析】根据圆锥的侧面积＝底面半径×母线长×π，进而求出即可．【解答】解：∵母线为4，设圆锥的底面半径为x，∴圆锥的侧面积＝π×4×x＝12π．解得：x＝3．故答案为：3．15．如图所示，点A，B，C，D均在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC＝58°，∠ADB＝29 °．【分析】先利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OB⊥AC，∴＝，∴∠ADB＝∠BOC＝×58°＝29°．故答案为29．16．如图所示，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝4，则图中阴影部分的面积为4π．【分析】根据圆周角定理求出∠BOC，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，则图中阴影部分的面积＝＝4π，故答案为：4π．17．已知△ABC的边AB＝2cm，⊙O是其外接圆，且半径也为2cm，则∠C的度数是30°或150°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，分点C在优弧AB上和点C在劣弧AB 上两种情况，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵AB＝2cm，⊙O的半径也为2cm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，当点C在优弧AB上时，∠C＝∠AOB＝30°，当点C在劣弧AB上时，∠C＝150°．故答案为：30°或150°．18．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值为．【分析】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°∴设DE＝CE＝1，则CD＝，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠CAD＝，则AC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC＝，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝故答案为：．19．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝8cm，AB＝6cm，以O为圆心，4cm为半径作⊙O，点C为⊙O上一个动点，连接BC，D是BC的中点，连接AD，则线段AD的最大值是7 cm．【分析】连接OC，作直角△ABO斜边中线OE，连接ED，当DE、AE共线时AD取最大值．【解答】解：由题意知OB＝10连接OC，作直角△ABO斜边中线OE，连接ED，则DE＝OC＝2，AE＝OB＝5．因为AD＜DE+AE，所以当DE、AE共线时AD＝AE+DE最大为7cm．故答案为：7．三．解答题（共9小题）20．计算：（1）（2）（3）已知α为锐角，，计算的值．【分析】（1）先计算乘方，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减法；（2）根据实数的运算法则解答即可；（3）根据特殊角的三角函数值推知α＝60°，然后再根据60度角的三角函数值解答．【解答】解：（1）原式＝3﹣1+＝2+＝．（2）原式＝4﹣2×1+5＝4﹣2+5＝7．（3）∵α为锐角，，∴α﹣15°＝45°．∴α＝60°．∴＝﹣2×+3×﹣2＝﹣1+3﹣2＝﹣1+．21．为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了50 名居民；（2）直接写出本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分，中位数为8分；（3）社区决定对该小区1500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？【分析】（1）将各得分人数相加即可得；（2）根据加权平均数和中位数的概念求解可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）本次调查的居民总人数为4+10+15+11+10＝50（名），故答案为：50；（2）本次调查获取的样本数据的平均数为＝8.26（分），中位数为＝8（分），故答案为：8.26分，8分；（3）×1500＝300（份），答：估计需准备300份“一等奖”奖品．22．如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心在∠AOB的平分线上．【分析】首先作出∠AOB的角平分线，再作出OC的垂直平分线，两线的交点就是圆心P，再以P为圆心，PC长为半径画圆即可．【解答】解：如图所示：．23．如图，在△ABC中，BC＝6，sin A＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中利用锐角三角函数和勾股定理，先计算出CD、BD，在Rt△ACD中利用锐角三角函数和勾股定理，计算出AC、AD．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，sin B＝sin30°＝＝．∴CD＝×6＝3，BD＝BC＝3在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴AC＝＝5．∴AD＝＝＝4，∴AB＝AD+BD＝4+3．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC＝EC．【分析】连接AC，先根据直径所对的角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠E＝∠D，∠EBC＝∠E，从而根据等角对等边可证BC＝EC．【解答】证明：连接AC．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°＝∠ACE．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC＝180°，又∠ABC+∠EBC＝180°，∴∠EBC＝∠D．∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠2，∴∠1+∠E＝∠2+∠D＝90°，∴∠E＝∠D，∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC．25．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝20+5≈39.6（cm）．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，∵∠BCD＝165°，°∠DCP＝45°，∴CH＝BC sin60°＝10（cm），DP＝CD sin45°＝10（cm），∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10+10+5）（cm），∴下降高度：DE﹣DF＝20+5﹣10﹣10﹣5＝10﹣10＝3.2（cm）．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EB＝，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长．【分析】（1）连结OD，如图，由AB＝AC得到∠B＝∠ACD，由OC＝OD得到∠ODC＝∠OCD，则∠B＝∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD＝＝，则可设OD＝3x，OF＝5x，所以AB＝AC＝6x，AF＝8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE＝＝，可得到AE＝x，接着表示出BE得到x＝，解得x＝，于是可得到AE和OD的长．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD＝＝，设OD＝3x，则OF＝5x，∴AB＝AC＝6x，AF＝8x，在Rt△AEF中，∵sin∠AFE＝＝，∴AE＝•8x＝x，∵BE＝AB﹣AE＝6x﹣x＝x，∴x＝，解得x＝，∴AE＝•＝6，OD＝3•＝，即⊙O的半径长为．27．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值．【迁移拓展】（3）如图2，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD 为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．【分析】【解决问题】（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；【迁移拓展】（3）以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC 为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；同理可求AC的最小值．【解答】解：【解决问题】（1）如图1中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3．【迁移拓展】（3）如图2中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2 ，∴AC的最大值为2+2．当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2﹣2．28．如图1，有一块直角三角板，其中AB＝16，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，A、B在x轴上，点A的坐标为（20，0），圆M的半径为3，圆心M的坐标为（﹣5，3），圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，求t的值；（3）如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使∠EMF＝90°？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，OH即可．（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．想办法求出OH的长即可解决问题．（3）设M（﹣5+t，3），EF＝AB＝8，由∠EMF＝90°，可得EM2+MF2＝EF2，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵A（20，0），AB＝16，∴OA＝10，OB＝4，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝16，∠CAB＝30°，∴BC＝AB＝8，CH＝BC•sin60°＝4，BH＝BC•cos60°＝4，∴OH＝8，∴C（8，4）．（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．∵MN＝MH＝3，MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH＝∠MBN＝30°，∴BH＝MH＝9，∴点M的运动路径的长为5+4+9＝18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．（3）∵C（8，4），B（4，0），A（20，0），∵CE＝EB，CF＝FA，∴E（6，2），F（14，2），设M（﹣5+t，3），EF＝AB＝8，∵∠EMF＝90°，∴EM2+MF2＝EF2，∴（6+5﹣t）2+（）2+（14+5﹣t）2+（）2＝82，整理得：t2﹣30t+212＝0解得t＝15±．。
2019-2020学年江西省南昌市南昌县九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年江西省南昌市南昌县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．函数y＝﹣x2+4x﹣5图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）3．若α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015B．B、2013C．﹣2015D．40304．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．时间经过25分钟，钟表的分针旋转了（）A．150°B．120°C．25°D．12.5°6．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝5x+7的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝2108．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c’B．将抛物线c沿x轴向右平移3个单位得到抛物线c’C．将抛物线c沿x轴向右平移5个单位得到抛物线c’D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c’二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．平面直角坐标系中，点（﹣5，8）关于原点对称的点的坐标为．10．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为．11．边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A（3，3），B（5，0），若A1的坐标为（﹣5，﹣3），则B1的坐标为．12．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝．13．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是．14．一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0有一个根为x＝3，且y＝ax2﹣2ax+c过（2，﹣3），则不等式ax2﹣2ax+c≤﹣6x+9的解为．三、解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）15．（1）解方程：x（x+5）+x+5＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+21＝016．已知一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k+3＝0有两个根分别为x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若原方程的两个根x1，x2满足（x1+2）（x2+2）＝15，求k的值．17．已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．（1）求a，b的值；（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．18．如图，在正方形网格中，有格点三角形ABC（顶点都是格点）和直线MN．（1）画出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A1B1C1（2）将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到三角形AB2C2，在正方形网格中画出三角形AB2C2．（不要求写作法）四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）19．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；（2）在图②中，若AP1＝4，则CQ等于多少？20．某种商品的标价为1000元/件，经过两次降价后的价格为810元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为800元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于7300元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？21．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？五、解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年江西省南昌市南昌县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．2．函数y＝﹣x2+4x﹣5图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），故选：A．3．若α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015B．B、2013C．﹣2015D．4030【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，∴α2+2α﹣2015＝0，∴α2+2α＝2015，∴α2+3α+β＝2015+α+β，∵α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，∴α2+3α+β＝2015﹣2＝2013．故选：B．4．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y＝ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选：C．5．时间经过25分钟，钟表的分针旋转了（）A．150°B．120°C．25°D．12.5°【解答】解：如图所示：因为分针每分钟转6°，所以25分钟旋转了6°×25＝150度．故选：A．6．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝5x+7的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝5x+7x2﹣1﹣5x﹣7＝0，则x2﹣5x﹣8＝0，∵b2﹣4ac＝57＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210，故选：B．8．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c’B．将抛物线c沿x轴向右平移3个单位得到抛物线c’C．将抛物线c沿x轴向右平移5个单位得到抛物线c’D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c’【解答】解：∵抛物线C：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线C的顶点P为（﹣1，﹣4），若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将P点平移后以对称轴x＝1与P点对称．则P点平移后坐标应为（3，﹣4）．因此将抛物线C向右平移4个单位．故选：A．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．平面直角坐标系中，点（﹣5，8）关于原点对称的点的坐标为（5，﹣8）．【解答】解：点（﹣5，8）关于原点对称的点的坐标为：（5，﹣8）．故答案为：（5，﹣8）．10．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为﹣9．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，∴m2﹣3m﹣5＝0，∴m2﹣3m＝5，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×5＝1﹣10＝﹣9，故答案为：﹣9．11．边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A（3，3），B（5，0），若A1的坐标为（﹣5，﹣3），则B1的坐标为（﹣3，﹣7）．【解答】解：由点A到A1可知：各对应点之间的关系是横坐标加﹣8，纵坐标加﹣7，那点B到B1的移动规律也如此，则B1的横坐标为5+（﹣8）＝﹣3；纵坐标为0+（﹣7）＝﹣7；∴B1的坐标为（﹣3，﹣7）．故答案为：（﹣3，﹣7）．12．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．【解答】解：∵函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），且两点的纵坐标相等，∴A、B关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：直线x＝＝﹣3，故答案为：﹣313．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是12或6或15．【解答】解：方程x2﹣7x+10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x＝2或x＝5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15．故答案为：12或6或1514．一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0有一个根为x＝3，且y＝ax2﹣2ax+c过（2，﹣3），则不等式ax2﹣2ax+c≤﹣6x+9的解为﹣6≤x≤2．【解答】解：把（2，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+c得4a﹣4a+c＝﹣3，即c＝﹣3，把x＝3代入ax2﹣2ax+c＝0得9a﹣6a+c＝0，解3a﹣3＝0，得a＝1，所以抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，解方程x2﹣2x﹣3＝﹣6x+9，解得x1＝﹣6，x2＝2，所以抛物线为y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣6x+9的交点的横坐标分别为﹣6，2，当﹣6≤x≤2时，ax2﹣2ax+c≤﹣6x+9，即不等式ax2﹣2ax+c≤﹣6x+9的解集为﹣6≤x≤2．故答案为﹣6≤x≤2．三、解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）15．（1）解方程：x（x+5）+x+5＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+21＝0【解答】解：（1）x（x+5）+x+5＝0，（x+5）（x+1）＝0，∴x+5＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣5，x2＝﹣1；（2）x2﹣10x+21＝0，x2﹣10x＝﹣21，x2﹣10x+25＝﹣21+25，即（x﹣5）2＝4，∴x﹣5＝2或x﹣5＝﹣2，∴x1＝7，x2＝3．16．已知一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k+3＝0有两个根分别为x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若原方程的两个根x1，x2满足（x1+2）（x2+2）＝15，求k的值．【解答】解：（1）由题意可知：△＝4（k﹣1）2﹣4（k+3）≥0，∴k2﹣3k﹣2≥0，∴k＜或k＞；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k+3，∵（x1+2）（x2+2）＝15，∴x1x2+2x1+2x2＝11，∴k+3+4（k﹣1）＝11，解得：k＝；17．已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．（1）求a，b的值；（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．【解答】解：（1）∵点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，∴13＝9a+b，∵当x＝﹣2时，y＝8，∴8＝4a+b，，解得：；（2）∵a＝1，b＝4，∴函数解析式为y＝x2+4，∵点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，∴m＝36+4＝40，20＝n2+4，∴n＝±4，则m＝40，n＝±4．18．如图，在正方形网格中，有格点三角形ABC（顶点都是格点）和直线MN．（1）画出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A1B1C1（2）将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到三角形AB2C2，在正方形网格中画出三角形AB2C2．（不要求写作法）【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△AB2C2即为所求．四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）19．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；（2）在图②中，若AP1＝4，则CQ等于多少？【解答】解：（1）∵将△A1B1C顺时针旋转45°，∴∠ACA1＝45°，AC＝A1C，∠A＝∠A1，∵∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∴∠BCA1＝∠ACA1＝45°，且AC＝A1C，∠A＝∠A1，∴△A1CQ≌△ACP1（ASA）∴CP1＝CQ；（2）如图②，过点P1作P1E⊥AC，∵∠A＝30°，AP1＝4，P1E⊥AC，∴P1E＝2，∵∠ACA1＝45°，P1E⊥AC，∴CE＝P1E＝2，∴P1C＝2，∴CP1＝CQ＝2．20．某种商品的标价为1000元/件，经过两次降价后的价格为810元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为800元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于7300元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，依题意，得：1000（1﹣x）2＝810，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣x）件，依题意，得：[1000×（1﹣10%）﹣800]m+（810﹣800）（100﹣m）≥7300，解得：m≥70．答：第一次降价后至少要售出该种商品70件．21．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？【解答】解：（1）由题意得：y＝（40+x﹣30）（180﹣5x）＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤10）（2）对称轴：x＝﹣＝﹣＝13，∵13＞10，a＝﹣5＜0，∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，∴当x＝10时，y最大值＝﹣5×102+130×10+1800＝2600，∴售价＝40+10＝50元答：当售价为50元时，可获得最大利润2600元．（3）由题意得：﹣5x2+130x+1800＝2145解之得：x＝3或23（不符合题意，舍去）∴售价＝40+3＝43元．答：售价为43元时，每周利润为2145元．五、解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，∵过点A（﹣3，0），E（0，1），∴，解得：，∴直线AE解析式为y＝x+1，如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，设D（m，m2+2m﹣3），则F（m，m+1），∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝×DF×AG+DF×OG＝×DF×（AG+OG）＝×3×DF＝（﹣m2﹣m+4）＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△ADE的面积取得最大值为．（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设P（﹣1，n），∵A（﹣3，0），E（0，1），∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，①若AP＝AE，则AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，∴P（﹣1，﹣1）；③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．。
初三级上学期期中考试数学试卷含答案
2019-2020学年第一学期九年级期中质量评估试题数 学（人教版）注意事项：1.本试卷共6页，满分120分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.一元二次方程22310x x +-=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根2.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3.用配方法解方程2620x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(3)11x -= B ．2(3)7x -= C ．2(6)38x -=D ．2(6)34x -=4.将抛物线23y x =向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A ．23(2)1y x =++ B ．23(2)1y x =-+ C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =+-5.如图，在平面直角坐标系中，将点(3,4)P 绕原点O 按逆时针方向旋转90°得到点'P ，则点'P 的坐标为（ ）A ． (3,4)-B ． (4,3)-C ． (4,3)-D ． (3,4)--6.如图所示，PA ，PB 是O 切线，A ，B 为切点，点C 在O 上，且50ACB ∠=︒，则P ∠等于（ ）A ．50°B ．70°C ．80°D ．100°7.如图，已知O 上三点A ，B ，C ，半径2OC =，30ABC ∠=︒，切线PA 交OC 延长线于点P ，则OP的长为（ ）A ．4B ．23C ．22D ．28.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象如图所示，当31x -≤≤时，下列说法正确的是（ ）A ．有最小值-5，最大值0B ．有最小值-5，最大值3C ．有最小值-6，最大值0D ．有最小值-6，最大值39.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(4,0)B ，下列说法正确的是（ ）A ． 0c >B ． 240b ac -<C ． 0a b c -+>D ．图象的对称轴是直线52x =10.如图，AB 是O 的直径，EF ，EB 是O 的弦，且EF EB =，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若35F ∠=︒，则AOF ∠的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.若关于x 的一元二次方程2(1)x a -=有实数根，则a 的值可以为__________.（写出一个即可） 12.工信部信息化和软件服务业司表示，预计2019年我国新能源汽车销量有望能够突破150万辆，已知2017年我国新能源汽车销量77.7万辆.设2017至2019年我国新能源汽车销量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为__________.13.已知，在二次函数2y ax bx c =++中，y 与x 的部分对应值如表所示：x… -1 0 1 2 3 … y…105212…则当10y <时，x 的取值范围是__________. 14.如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，60OED ∠=︒，35OCD ∠=︒，那么=AOC ∠__________°.15.如图，将边长为2的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到正方形FECG ，EF 与AD 相交于点H ，则HD 的长为__________.（结果保留根号）三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.解方程：（1）23(1)2(1)x x -=-； （2）(21)(3)2x x x -+=-.17.如图，平面直角坐标系中，ABC △的三个顶点的坐标分别为(1,3)A ，(2,1)B ，(4,4)C .（1）画出ABC △关于原点成中心对称的111A B C △；（2）画出将111A B C △绕点1A 按顺时针方向旋转90°得到的122A B C △.并直接写出点2B ，2C 的坐标.18.阅读下面内容，并解答问题杨辉和他的一个数学问题：杨辉和他的一个数学问题我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种十一卷，它们是：《详解九章算法》12卷（1261年），《日用算法》2卷（1262年），《乘除通变本末》3卷（1274年，第3卷与他人合编），《田亩比类乘除捷法》2卷（1275年），《续古摘奇算法》2卷（1275年，与他人合编），其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除捷法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题.19.如图，已知直线1y kx =-（k 为常数）经过抛物线24y x x m =-++上的点(1,0)A 及抛物线的顶点B .抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴的另一个交点为D .（1）求k 的值和点B 的坐标；（2）根据图象，写出满足241x x m kx -++>-的x 的取值范围； （3）求四边形ACDB 的面积.20.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E .（1）求证：A ADE ∠=∠；（2）若16AD =，10DE =，求BC 的长.21.某面粉厂生产某品牌的面粉按质量分5个档次，生产第一档（最低档次）面粉，每天能生产55吨，每吨利润1000元。
2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）“明年的11月8日是晴天”这个事件是（）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件2．（4分）将抛物线y＝x2向下平移一个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2 3．（4分）如图，已知A，B，C在⊙O上，的度数为300°，∠C的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（4分）黑色不透明口袋里装有红色、白色球共10个，它们除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验1000次，其中200次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是（）A．2B．4C．6D．85．（4分）抛物线y＝x2﹣2x﹣m2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（4分）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．πB．πC．D．π7．（4分）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（）A．B．C．D．8．（4分）在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个点在圆内，则r的取值范围为（）A．2B．C．3D．59．（4分）已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线y＝x2+1上一动点，则△PMF周长的最小值是（）A．5B．9C．11D．1310．（4分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，则此时排水管水面宽为（）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m11．（4分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：x…04…y…0.37﹣10.37…则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）A．0或4B．或4﹣C．1或5D．无实根二、填空题（每空4分，共24分）13．（4分）如图，在矩形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为．14．（4分）已知⊙O的半径为1，则其内接正六边形的边长为．15．（4分）合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，求学生B坐在2号座位且C坐3号座位的概率是．16．（4分）过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E两点的圆的圆心为D，如果∠A＝60°，那么∠B为．17．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与以原点（0，0）为圆心的圆交于A，B两点，且A（1，），图中阴影部分的面积等于．（结果保留π）18．（4分）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点．抛物线l的解析式为y＝（﹣1）n x2+bx+c（n为整数）．若l经过这九个格点中的三个，则满足这样条件的抛物线条数为条．三、解答题（19题7分，20题9分，21-23题8分，24-25题12分，26题14分，共78分）19．（7分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．20．（9分）已知抛物线y＝x2+（n﹣3）x+n+1经过坐标原点O，与x轴交于另一点A，顶点为B．求：（1）抛物线的解析式；（2）△AOB的面积；（3）要使二次函数的图象过点（10，0），应把图象沿x轴向右平移个单位．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°．求（1）⊙D的半径；（2）圆中阴影部分的面积（结果保留根号和π）22．（8分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任意取两个数m，n，已知有二次函数y＝（x ﹣m）2+n．（1）先取m＝1，则从余下的数中任意取n，求二次函数图象与y轴交于负半轴的概率；（2）任意取两个数m，n，求二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率．23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中作出圆心O．24．（12分）已知，如图1，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时：①请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论②当∠ABC为多少度时，点E在圆D上？请说明理由．25．（12分）某茶叶经销商以每千克18元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，已知加工过程中质量损耗了40%，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数y＝kx+b，且x＝35时，y＝45；x＝42时，y＝38．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围．26．（14分）已知如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O．（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在y＝ax2+bx+2的图象上，求出旋转中心P的坐标．2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）“明年的11月8日是晴天”这个事件是（）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【解答】解：“明年的11月8日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D．【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．2．（4分）将抛物线y＝x2向下平移一个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y＝x2向下平移一个单位得到解析式：y＝x2﹣1．故选：B．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．3．（4分）如图，已知A，B，C在⊙O上，的度数为300°，∠C的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】首先得到的度数，进而可得∠AOB的度数，再根据圆周角定理可得答案．【解答】解：∵的度数为300°，∴的度数为：360°﹣300°＝60°，∴∠AOB＝60°，∴∠C＝30°，故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．4．（4分）黑色不透明口袋里装有红色、白色球共10个，它们除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并摇匀，不断重复上述实验1000次，其中200次摸到红球，则可估计口袋中红色球的个数是（）A．2B．4C．6D．8【分析】由共摸了1000次，其中200次摸到红球，则有800次摸到白球，所以摸到红球与摸到白球的次数之比可求出，再用总球的个数乘以红球所占的百分比即可得出答案．【解答】解：共摸了1000次，其中200次摸到红球，则有800次摸到白球，∴红球与白球的数量之比为1：4，∴红球有10×＝2（个）．故选：A．【点评】本题考查的利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的比例..5．（4分）抛物线y＝x2﹣2x﹣m2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据抛物线的顶点式求出抛物线y＝x2﹣2x﹣m2（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣m2＝（x﹣1）2+（﹣m2﹣1），∴顶点坐标为：（1，﹣m2﹣1），∵1＞0，﹣m2﹣1＜0，∴顶点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．6．（4分）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．πB．πC．D．π【分析】从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，则分针在钟面上扫过的面积是：＝π．故选：B．【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．7．（4分）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据树形图即可求概率．【解答】解：根据树形图，可知蚂蚁可选择食物的路径有6条，即有6种等可能的结果，有食物的有两条．所以概率是．所以它获取食物的概率．故选：B．【点评】本题考查了用列表法与树形图法求概率，解决本题的关键是画出树形图．8．（4分）在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个点在圆内，则r的取值范围为（）A．2B．C．3D．5【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：给各点标上字母，如图所示．∵AB＝＝2，AC＝AD＝＝，AE＝＝3，AF＝＝，AG＝AM＝AN＝＝5，∴3＜r≤5时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个在圆内．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A 的距离是解题的关键．9．（4分）已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线y＝x2+1上一动点，则△PMF周长的最小值是（）A．5B．9C．11D．13【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，由PF＝PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值．【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，∵F（0，2）、M（3，6），∴ME＝6，FM＝＝5，∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝6+5＝11．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P的位置是解题的关键．10．（4分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，则此时排水管水面宽为（）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，反向延长交CD于F，∵CD∥AB，∴EF⊥CD，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了1.4m，∴OF＝1.4﹣0.8＝0.6m，∴CF＝＝＝0.8m，∴CD＝2CF＝1.6m，∴此时排水管水面宽为1.6m，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．11．（4分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误；当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选：B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．关键是注意掌握数形结合思想的应用．12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：x…04…y…0.37﹣10.37…则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）A．0或4B．或4﹣C．1或5D．无实根【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c＝0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（，﹣1），由于方程ax2+bx+1.37＝0变形为ax2+bx+0.37＝﹣1，则方程ax2+bx+1.37＝0的根理解为函数值为﹣1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．【解答】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c＝0.37，因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），所以抛物线的对称轴为直线x＝2，而抛物线经过点（，﹣1），所以抛物线经过点（4﹣，﹣1），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.37，方程ax2+bx+1.37＝0变形为ax2+bx+0.37＝﹣1，所以方程ax2+bx+0.37＝﹣1的根理解为函数值为﹣1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．二、填空题（每空4分，共24分）13．（4分）如图，在矩形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为．【分析】用阴影区域所占的面积除以总面积即可得出答案．，【解答】解：观察发现：图中阴影部分面积＝S矩形∴针头扎在阴影区域内的概率为；故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．14．（4分）已知⊙O的半径为1，则其内接正六边形的边长为1．【分析】如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，证明△OAB是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB＝1，∴△ABO是等边三角形，∴AB＝OA＝1．故答案为1．【点评】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（4分）合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，求学生B坐在2号座位且C坐3号座位的概率是．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出学生B坐在2号座位且C坐3号座位的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中学生B坐在2号座位且C坐3号座位的结果数为1，所以学生B坐在2号座位的概率＝．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．16．（4分）过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E两点的圆的圆心为D，如果∠A＝60°，那么∠B为20°．【分析】首先连接DE，由过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆的内接四边形的性质可得：∠C+∠AED＝180°，继而可求得∠C＝90°+∠B，又由三角形内角和定理，即可求得答案．【解答】解：连接DE，∵过D、A、C三点的圆的圆心为E，∴∠C+∠AED＝180°，∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，∴∠BED＝∠B＝∠B，∴∠AED＝180°﹣∠B，∴∠C＝90°+∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴60°+90°+∠B+∠B＝180°，解得：∠B＝20°．故答案为：20°．【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．17．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与以原点（0，0）为圆心的圆交于A，B两点，且A（1，），图中阴影部分的面积等于．（结果保留π）【分析】根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和等于扇形OAB的面积，又知A（1，），即可求出圆的半径．【解答】解：如图，∵A（1，），∴∠AOD＝60°，OA＝2．又∵点A、B关于直线y＝x对称，∴∠AOB＝2（60°﹣45°）＝30°．又∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，∴S阴影＝S扇形AOB＝＝．故答案是：．【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．18．（4分）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点．抛物线l的解析式为y＝（﹣1）n x2+bx+c（n为整数）．若l经过这九个格点中的三个，则满足这样条件的抛物线条数为8条．【分析】分两种情况把两个点代入解析式即可得到关于b、c的方程组，从而求得b和c 的值，然后把格点坐标代入解析式即可判断．【解答】解：当n为偶数，则抛物线l的解析式为y＝x2+bx+c，若经过O（0，0）和A （1，0），则，解得，∴抛物线为y＝x2﹣x，点D（2，2）满足函数解析式，若经过B（2，0）和A（1，0），则，解得∴抛物线为y＝x2﹣3x+2，点F（0，2）满足函数解析式，若经过A（1，0）和C（2，1），则，解得，∴抛物线为y＝x2﹣2x+1，点H（0，1）满足函数解析式，抛物线为y＝x2﹣2x+1向上平移一个单位得y＝x2﹣2x+2，点F（0，2），G（1，1），D（2，2）满足函数解析式，当n为奇数，则抛物线l的解析式为y＝﹣x2+bx+c，若经过F（0，2）和E（1，2），则，解得，∴抛物线为y＝﹣x2+x+2，点B（2，0）满足函数解析式，若经过E（1，2）和D（2，2），则，解得∴抛物线为y＝﹣x2+3x，点O（0，0）满足函数解析式，若经过E（1，2）和C（2，1），则，解得，∴抛物线为y＝﹣x2+2x+1，点H（0，1）满足函数解析式，抛物线为y＝﹣x2﹣2x+1向下平移一个单位得y＝﹣x2+2x，点O（0，0），G（1，1），B（2，0）满足函数解析式，综上，满足条件的抛物线条数为8条．故答案为8．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，要注意抛物线有开口向上和开口向下两种情况．三、解答题（19题7分，20题9分，21-23题8分，24-25题12分，26题14分，共78分）19．（7分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到10元购物券，至多可得到50元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．【分析】（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．【解答】解：（1）10，50；（2）解法一（树状图）：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P（不低于30元）＝；解法二（列表法）：0102030第二次第一次0﹣﹣1020301010﹣﹣3040202030﹣﹣5030304050﹣﹣（以下过程同“解法一”）【点评】本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（9分）已知抛物线y＝x2+（n﹣3）x+n+1经过坐标原点O，与x轴交于另一点A，顶点为B．求：（1）抛物线的解析式；（2）△AOB的面积；（3）要使二次函数的图象过点（10，0），应把图象沿x轴向右平移个单位．【分析】（1）根据抛物线y＝x2+（n﹣3）x+n+1经过坐标原点O，可把O（0，0）代入此解析式求出n的值．（2）利用（1）中的函数解析式求得点A、B的坐标，进而求得相关线段的长度，利用三角形的面积公式求解即可；（3）根据平移规律解答．【解答】解：（1）由题得：n+1＝0，n＝﹣1．∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；（2）y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点B的坐标（2，﹣4），点A的坐标（0，4），所以△AOB的面积是：×4×4＝8；（3）设抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的图象沿x轴向右平移a个单位，则平移后抛物线解析式是：y＝（x﹣2﹣a）2﹣4，把（10，0）代入，得＝（10﹣2﹣a）2﹣4＝0．解得a＝6或a＝10．即图象沿x轴向右平移6或10 个单位．【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换以及待定系数法确定函数关系式等知识点，难度不大．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°．求（1）⊙D的半径；（2）圆中阴影部分的面积（结果保留根号和π）【分析】（1）连接AB，根据∠AOB＝90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA ＝∠C＝30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，则可得出圆D的半径长；（2）根据S阴影＝S半圆﹣S△ABO即可得出结论．【解答】解：（1）连结AB，∵∠AOB ＝90°，∴AB 为⊙D 直径∵∠ABO 与∠C 是同弧所对圆周角，∴∠ABO ＝∠C ＝30°∴AB ＝2OA ，∵B 点坐标为（0，），∴OB ＝， 在直角三角形AOB 中，AB 2＝OA 2+OB 2，∴AB 2＝（AB ）2+（2）2∵AB ＞0，∴AB ＝4，即⊙D 的半径为2；（2）圆中阴影部分的面积为：S 阴影＝S 半圆﹣S △ABO ＝﹣×2×2＝2π﹣2． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．（8分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任意取两个数m ，n ，已知有二次函数y ＝（x ﹣m ）2+n ．（1）先取m ＝1，则从余下的数中任意取n ，求二次函数图象与y 轴交于负半轴的概率；（2）任意取两个数m ，n ，求二次函数y ＝（x ﹣m ）2+n 的顶点在坐标轴上的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）先取m ＝1，则从余下的数中任意取n ，m 2+n 为负数的结果有1个为﹣2，∴二次函数图象与y 轴交于负半轴的概率为；（2）画树状图得：∵﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，一共有20种可能，其中取到0的有8种可能，∴顶点在坐标轴上的概率为＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中作出圆心O．【分析】（1）延长BA、CA分别交半圆于F、E，利用圆周角定理得到∠E＝∠B＝∠C ＝∠F，则EF∥BC；（2）延长BE、CF交于G，连结GA并延长与直径交点即为圆心．【解答】解：（1）如图，EF为所作；（2）如图，点O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．24．（12分）已知，如图1，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时：①请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论②当∠ABC为多少度时，点E在圆D上？请说明理由．【分析】（1）由∠ABC＝∠DBE可知∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，即∠ABD＝∠CBE，根据SAS定理可知△ABD≌△CBE；（2）①由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE＝AD，根据点D是△ABC外接圆圆心可知DA＝DB＝DC，再由BD＝BE可判断出BD＝BE＝CE＝CD，故可得出四边形BDCE 是菱形；②当∠ABC为60度时，∠DBE也为60度，△BDE为等边三角形，求得DE＝DA，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD与△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE（SAS）；（2）解：四边形BDCE是菱形．证明如下：同（1）可证△ABD≌△CBE，∴CE＝AD，∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC，又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝CE＝CD，∴四边形BDCE是菱形；②当∠ABC为60度时，∠DBE也为60度，△BDE为等边三角形，∴DE＝DA，点E在圆D上．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理，先根据题意判断出△ABD≌△CBE是解答此题的关键．25．（12分）某茶叶经销商以每千克18元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，已知加工过程中质量损耗了40%，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数y＝kx+b，且x＝35时，y＝45；x＝42时，y＝38．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先根据加工过程中质量损耗了40%求出宁波白茶的实际成本，再根据“总利润＝每千克的利润×销售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%”得出x的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值；（3）根据“每天获得利润不低于225元”列出不等式，解不等式后结合30≤x≤48可得答案．【解答】解：（1）将x＝35、y＝45和x＝42、y＝38代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y＝﹣x+80；（2）根据题意得：W＝（x﹣30）（﹣x+80）＝﹣（x﹣55）2+625，解得30＜x≤48，所以x＝55不在此范围内当x＝48时，最大利润为576元；（3）当W＝225时W＝﹣（x﹣55）2+625＝225，解得x＝35 或x＝75，由30＜x≤48得，∴35≤x≤48．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．26．（14分）已知如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O．（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在y＝ax2+bx+2的图象上，求出旋转中心P的坐标．【分析】（1）证明△AHB≌△AGC（AAS），则点B（4，0），将点A、B的坐标代入二次函数y＝ax2+bx+2，即可求解；（2）设圆的圆心为N，则点N在OC和OH中垂线的交点上，即点N（2，1），则圆的半径为，NQ＝＝，即可求解；（3）设旋转中心P的坐标为：（m，n），由中点公式得：点O旋转后O′的坐标为（2m，2n），同理点A、C旋转后对应点A′、C′的坐标分别为：（2m﹣3，2n﹣3）、（2m，2n﹣2），再分点O′、A′在抛物线上，点C′、A′在抛物线上点C′，O′在抛物线上三种情况，分别求解即可．。
2019-2020学年陕西省西安交大附中九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年陕西省西安交大附中九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.1．方程x2＝3的根是（）A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝C．x1＝x2＝﹣D．x1＝，x2＝﹣2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（）A．9cm2B．16cm2C．56cm2D．24cm24．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8B．12C．16D．205．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边AB＝4，BC＝2，点C在x轴上，点A在y轴上，过点B的正比例函数为（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝﹣x D．y＝x6．已知△ABC的三个顶点A（5，6）、B（7，2）、C（4，3），先将△ABC向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（2，1）B．（3，1）C．（2，3）D．（3，3）7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，△ABC的高AD与角平分线CF 交于点E，则的值为（）A．B．C．D．8．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣19．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．函数y＝的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）11．已知＝，则＝．12．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10（m/s）的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为s（结果保留整数）．13．如图，已知A是双曲线y＝（x＞0）上一点，过点A作AB∥y轴，交双曲线y＝﹣（x＞0）于点B，过点B作BC⊥AB交y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝1，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为．三.解答题（共9小题，计58分，解答应写出过程）15．用配方法解一元二次方程（不用配方法解不得分）2x2﹣5x+1＝0．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠C．过点A作一条直线交BC于点D，使得△ABD∽△CBA．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1＝0有两个实数根x1，x2．若2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别于AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB＝AF；（2）当AB＝3，BC＝5时，求的值．19．如图，花丛中有一路灯杆AB在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度．20．如图，要建造一个直角梯形的花圃，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD＝5：4，另外三边的和为20米，设AB的长为5x米（1）求出AD的长；（用含字母x的式子表示）（2）若该花圃的面积为50平方米，且周长不大于30米，求AB的长．21．交大附中各班举行了“垃圾分类，从我做起”的主题班会，九年级三班的同学在班会课上进行了一个有关垃圾分类知识竞答的活动，他们上网查阅了相关资料，收集到四个图标，并将其制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）．他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）从中随机抽取一张，恰好抽到“可回收物”的概率是．（2）从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“其他垃圾”“有害垃圾”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）．22．已知：如图，正比例函数y1＝kx（k＞0）的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A 和点C，设点C的坐标为（2，n）．（1）①求k与n的值；②试利用函数图象，直接写出不等式kx﹣＜0的解集；（2）点B是x轴上的一个动点，连接AB、BC，作点A关于直线BC的对称点Q，在点B的移动过程中，是否存在点B，使得四边形ABQC为菱形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．23．【问题提出】（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是；（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．【实际应用】（3）如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝60cm，BC＝80cm，CD ＝70cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x2＝3的根是（）A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝C．x1＝x2＝﹣D．x1＝，x2＝﹣【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．解：∵x2＝3，∴x＝±，故选：D．2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．解：从左向右看，得到的几何体的左视图是中间被遮挡线条的矩形．故选：C．3．两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（）A．9cm2B．16cm2C．56cm2D．24cm2【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴两个相似多边形的相似比是2：3，∴两个相似多边形的面积比是4：9，∵较小多边形的面积为4cm2，∴较大多边形的面积为9cm2，故选：A．4．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8B．12C．16D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．5．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边AB＝4，BC＝2，点C在x轴上，点A在y 轴上，过点B的正比例函数为（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝﹣x D．y＝x【分析】根据矩形OABC的边AB＝4，BC＝2，可得B的坐标，然后代入y＝kx便可求出解析式．解：∵矩形OABC的边AB＝4，BC＝2，∴B（4，﹣2）设过点B的正比例函数为y＝kx，∴﹣2＝4k，∴k＝﹣，∴y＝﹣x，故选：C．6．已知△ABC的三个顶点A（5，6）、B（7，2）、C（4，3），先将△ABC向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（2，1）B．（3，1）C．（2，3）D．（3，3）【分析】平移后的三角形记作△A1B1C1，连接OA1、OB1、OC1，分别取OA1、OB1、OC1的中点A′、B′、C′，△A′B′C′即为所求．解：△A′B′C′如图所示，由图象可知，则点A的对应点A′的坐标为（2，3）．故选：C．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，△ABC的高AD与角平分线CF 交于点E，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先求得BC＝25、AD＝＝12、CD＝＝9，再证△CAF∽△CDE 得＝，据此代入计算即可．解：∵∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，∴BC＝＝25，∵AB•AC＝BC•AD，∴AD＝＝12，则CD＝＝9，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠DCE，又∵∠CAF＝∠CDE＝90°，∴△CAF∽△CDE，∴＝＝＝，故选：A．8．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣1【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．解：根据题意得：Δ＝4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，则整数a的最大值为0．故选：C．9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（）A．80°B．70°C．65°D．60°【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF＝∠DCF，四条边都相等可得BC＝DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角求出∠ABF＝∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF＝∠CBF．解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝100°﹣40°＝60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF＝∠CBF＝60°，故选：D．10．函数y＝的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数的值域进行判断．解：∵函数y＝中的y＞0，且关于y轴对称．∴选项C符合题意．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）11．已知＝，则＝4．【分析】根据等式的性质，可用y表示x，根据等式的性质，可得答案．解：x＝y．＝＝4，故答案为：4．12．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10（m/s）的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为2s（结果保留整数）．【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说S为0，建立方程求得答案即可．解：S＝10x﹣4.9x2，落回地面时S＝0，所以10x﹣4.9x2＝0，解得：x1＝0（不合题意舍去），x2＝≈2，答：物体经过约2秒回落地面．故答案为：2．13．如图，已知A是双曲线y＝（x＞0）上一点，过点A作AB∥y轴，交双曲线y＝﹣（x＞0）于点B，过点B作BC⊥AB交y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为．【分析】过A作AE⊥y轴于E，设AB交x轴于D，得到四边形ABCE是矩形，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．解：过A作AE⊥y轴于E，设AB交x轴于D，∵AB∥y轴，∴AB⊥x轴，∵BC⊥AB，∴四边形ABCE是矩形，∵A是双曲线y＝（x＞0）上一点，∴S四边形ADOE＝2，∵B在双曲线y＝﹣（x＞0）上，∴S四边形BDOC＝1，∴△ABC的面积＝S矩形ABCE＝；故答案为：．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝1，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为．【分析】作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，根据对称的性质得到∠DMF＝∠GMD，根据余角的性质得到∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．解：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，∵△DGM≌△DFM，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∵∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝4，∴BE＝2，∵DF＝1，∴DM＝2，∴AM＝2，∵＝，∴MN＝，∵GM＝＝，∴GN＝GM+MN＝MN+MF＝．∴MN+MF的最小值为，故答案为：．三.解答题（共9小题，计58分，解答应写出过程）15．用配方法解一元二次方程（不用配方法解不得分）2x2﹣5x+1＝0．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：2x2﹣5x+1＝0，移项，得2x2﹣5x＝﹣1，化二次项系数为1，得x2﹣x＝﹣，方程的两边同时加上，得（x﹣）2＝，直接开平方，得x﹣＝±，∴x1＝，x2＝．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠C．过点A作一条直线交BC于点D，使得△ABD∽△CBA．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）【分析】当∠BAD＝∠C时，且∠B＝∠B，故△ABD∽△CBA．从而作∠BAC的平分线AD交BC于D即可．解：当∠BAD＝∠C时，且∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA．∵∠BAC＝2∠C．∴作∠BAC的平分线AD交BC于D即可．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1＝0有两个实数根x1，x2．若2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【分析】由方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2与x1•x2的值，根据方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m≤4，再结合2x1x2+x1+x2≥20即可求出m≥3，由此即可得出结论．解：∵方程x2﹣6x+2m+1＝0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝6，x1•x2＝2m+1，Δ＝（﹣6）2﹣4×（2m+1）＝32﹣8m≥0，∴m≤4．∵2x1x2+x1+x2≥20，∴2×（2m+1）+6≥20，解得：m≥3．∴m的取值范围为3≤m≤4．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别于AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB＝AF；（2）当AB＝3，BC＝5时，求的值．【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义，证明∠ABF＝∠AFB，然后利用等角对等边即可证得；（2）证明△AEF∽△CEB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，又∵BF平分∠ABC，即∠ABF＝∠FBC，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF；（2）解：∵AB＝AF＝3，AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝．19．如图，花丛中有一路灯杆AB在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度．【分析】根据△CDE和△ABE相似，可得＝，根据△FGH和△ABH相似，可得＝，然后联立两式求解即可．解：由题意得，CD∥AB，所以，△CDE∽△ABE，所以，＝，即＝①，同理△FGH∽△ABH，所以，＝，即＝②，联立①②解得BD＝7.5，AB＝5.95，答：路灯杆AB的高度5.95米．20．如图，要建造一个直角梯形的花圃，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD＝5：4，另外三边的和为20米，设AB的长为5x米（1）求出AD的长；（用含字母x的式子表示）（2）若该花圃的面积为50平方米，且周长不大于30米，求AB的长．【分析】（1）作BE⊥AD于E，就可以得出BE＝CD，在Rt△ABE中由勾股定理就可以求出AE，由BC＝DE就可以表示出AD而得出结论；（2）由（1）的结论根据梯形的面积公式求出x的值，建立不等式求出x的取值范围就可以得出结论．解：（1）作BE⊥AD于E，∴∠AEB＝∠DEB＝90°．∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°．∵BC∥AD，∴∠EBC＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD，BC＝DE．∵AB：CD＝5：4，AB的长为5x米，∴CD＝4x米，∴BE＝4x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝3x．∵BC＝20﹣5x﹣4x＝20﹣9x，∴DE＝20﹣9x，∴AD＝20﹣9x+3x＝20﹣6x；（2）∵AB+BC+CD+DA≤30，∴5x+20﹣9x+4x+20﹣6x≤30，∴x≥，又∵（AD+BC）CD＝50，即（20﹣9x+20﹣6x）•4x＝50，即3x2﹣8x+5＝0，解之得：x1＝1，x2＝，∵x≥，故只取x＝，∵AB＝5x，∴AB＝，∴AB的长为米．21．交大附中各班举行了“垃圾分类，从我做起”的主题班会，九年级三班的同学在班会课上进行了一个有关垃圾分类知识竞答的活动，他们上网查阅了相关资料，收集到四个图标，并将其制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）．他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）从中随机抽取一张，恰好抽到“可回收物”的概率是．（2）从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“其他垃圾”“有害垃圾”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“可回收物”和“有害垃圾”的结果有2种，再由概率公式求解即可．解：（1）从中随机抽取一张，恰好抽到“可回收物”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“其他垃圾”“有害垃圾”的结果有2种，∴抽到的两张卡片恰好是“可回收物”和“有害垃圾”的概率为＝．22．已知：如图，正比例函数y1＝kx（k＞0）的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A 和点C，设点C的坐标为（2，n）．（1）①求k与n的值；②试利用函数图象，直接写出不等式kx﹣＜0的解集；（2）点B是x轴上的一个动点，连接AB、BC，作点A关于直线BC的对称点Q，在点B的移动过程中，是否存在点B，使得四边形ABQC为菱形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由点C的坐标为（2，n），在反比例函数y2＝的图象上，可求得点C 的坐标，又由点C在正比例函数y1＝kx（k＞0）的图象上，即可求得答案；②直接利用图象，即可求得不等式kx﹣＜0的解集；（2）分别从点B在x轴的正半轴与点B在x轴的负半轴，去分析求解即可求得答案．解：（1）①把点C的坐标（2，n）代入，解得：n＝3∴点C的坐标为（2，3），把点C（2，3）代入y1＝kx得：3＝2k，解得：k＝；②由两函数图象可知，kx﹣＜0的解集是：x＜﹣2或0＜x＜2；（2）如图1，当点B在x轴的正半轴且AB＝AC时，四边形ABQC为菱形．∵点A与点Q关于直线BC对称，∴AC＝QC，AB＝QB，∴AC＝QC＝AB＝QB．∴四边形ABQC为菱形．由（1）中点C的坐标（2，3），可求得：OC＝，∵点A与点C关于原点对称，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），∴OA＝OC＝，AC＝2，∴AC＝AB＝2．作AH⊥x轴于点H，则AH＝3．在Rt△AHB中，由勾股定理得：BH＝＝，又∵OH＝2，∴OB＝BH﹣OH＝﹣2，∴点B的坐标为，如图2，当点B在x轴的负半轴且AB＝AC时，四边形ABQC为菱形．作AT⊥x轴于点T，同理可求得：，又∵OT＝2，∴，∴点B的坐标为，综上，当点B的坐标为或时，四边形ABQC为菱形．23．【问题提出】（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是12；（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．【实际应用】（3）如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝60cm，BC＝80cm，CD ＝70cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【分析】（1）过点A作AE⊥BC，则有S△ABC＝×BC•AE，要使△ABC的面积最大，则需满足AD＝AE即可；（2）设AB＝x，则有AD＝6﹣x，然后根据题意可得函数关系，然后根据二次函数的性质进行求解即可；（3）则由题意易得△BMQ≌△CNP（AAS），则有BM＝CN，MN＝PQ，设BM＝NC＝x，则有MN＝PQ＝80﹣2x，进而可得QM＝x，然后根据矩形的面积及二次函数的性质可求解．解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，∴S△ABC＝×BC•AE，∵D为BC上一点，∴AD≥AE，∴要使△ABC的面积最大，则需满足AD＝AE，∵BC＝6，AD＝4，∴△ABC的面积最大为：×6×4＝12，故答案为：12；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD＝BC，∵矩形ABCD的周长是12，∴设AB＝x，则有AD＝6﹣x，矩形ABCD的面积为S，则有：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，此函数为二次函数，由a＝﹣1＜0，二次函数的开口向下，∴当a＝3时，矩形ABCD的面积由最大值为：S＝9；（3）如图所示：∵四边形PQMN是矩形，∴QM＝PN，PQ＝MN，∠QMN＝∠PMN＝90°，∴∠B＝∠C＝60°，∠QMB＝∠PNC＝90°，∴△BMQ≌△CNP（AAS），∴BM＝NC，设BM＝NC＝x，则有MN＝PQ＝80﹣2x，∴QM＝BM•tan60°＝x，∴S矩形PQMN＝PQ•QM＝x•（80﹣2x）＝﹣2（x﹣20）2+800，此函数关系为二次函数，由a＝﹣2＜0可得开口向下，∴当x＝20时，矩形PQMN的面积由最大，即S矩形PQMN＝800．。
2019-2020学年四川省成都市武侯区西川中学九年级(上)期中数学试卷含答案
2019-2020学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若＝，则的值为（）A．1B．C．D．2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形4．（3分）如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（）A．120m B．100m C．75m D．25m5．（3分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取1本恰好是小说的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m＞D．m＜7．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．点（﹣3，1）在它的图象上B．它的图象在第二、四象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°9．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（）A．200（﹣1）B．100（﹣1）C．100（3﹣）D．50（﹣1）10．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．点P为AB 边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11．（4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．12．（4分）已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是．13．（4分）如图，在▱ABCD中，E在AD上，＝，CE交BD于F，则S△BCF：S△DCF＝．14．（4分）如图，函数y＝kx（k≠0）与y＝的图象交于A，B两点，过点A作AM垂直于x轴，垂足为点M，则△BOM的面积为．三、解答题（共54分）15．（10分）（1）解方程：x2+2x﹣8＝0．（2）解方程：（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0．16．（8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．17．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．18．（8分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘出“五一“长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题．（1）“五一”期间，该市周边景点共接待游客万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图．（2）甲、乙两个旅行团在A，B，D三个景点中进行选择，求同时选择去同一景点的概率为多少？（请用画树状图或列表法加以说明）19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）写出kx+b﹣＜0的解集．20．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．（1）求证：DE⊥DF；（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21．（4分）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2019的值为．22．（4分）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y＝（5﹣m2）x 的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程（m+1）x2+mx+1＝0有实数根的概率是．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为．24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点A的坐标是．25．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）五、解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？27．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），A为x负半轴上一点，AD＝CD．（1）求直线AC的解析式；（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若＝，则的值为（）A．1B．C．D．【解答】解：∵＝，∴＝＝．故选：D．2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从前面看可得到左边有2个正方形，右边有1个正方形，所以选A．3．（3分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行边形是菱形，所以B选项错误；C、顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，所以C选项正确；D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误．故选：C．4．（3分）如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（）A．120m B．100m C．75m D．25m【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，∴AB＝＝＝100（米）．则两岸间的大致距离为100米．故选：B．5．（3分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取1本恰好是小说的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵书架上有3本小说、2本散文，共有5本书，∴从中随机抽取1本恰好是小说的概率是；故选：D．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m＞D．m＜【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3m，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3m）＝1+12m＞0，解得m＞．故选：C．7．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．点（﹣3，1）在它的图象上B．它的图象在第二、四象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【解答】解：A、∵﹣＝1，∴点（﹣3，1）在它的图象上，故本选项正确；B、k＝﹣3＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；C、k＝﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；D、k＝﹣3＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误．故选：D．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．故选：B．9．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（）A．200（﹣1）B．100（﹣1）C．100（3﹣）D．50（﹣1）【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，而AB＝200，∴AC＝×200＝100（﹣1）．故选：B．10．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．点P为AB 边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设AP的长为x，则BP长为7﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（7﹣x）＝3：4，解得：x＝3②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（7﹣x），解得：x＝4或3．∴满足条件的点P的个数是2个，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11．（4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．12．（4分）已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是﹣3．【解答】解：设方程的另一个根为x2，则2x2＝﹣6，解得x2＝﹣3，故答案为：﹣3．13．（4分）如图，在▱ABCD中，E在AD上，＝，CE交BD于F，则S△BCF：S△DCF＝3：1．【解答】解：∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝CB，∴△DEF∽△BCF，∴，∴．故答案为：3：1．14．（4分）如图，函数y＝kx（k≠0）与y＝的图象交于A，B两点，过点A作AM垂直于x轴，垂足为点M，则△BOM的面积为．【解答】解：由题意得：OA＝OB，则S△AOM＝S△BOM，设A（a，b）（a＞0，b＞0），故OM＝a，AM＝b，将x＝a，y＝b代入反比例函数y＝得：b＝，即ab＝3，又∵AM⊥OM，即△AOM为直角三角形，∴S△BOM＝S△AOM＝OM•AM＝ab＝．故答案是：．三、解答题（共54分）15．（10分）（1）解方程：x2+2x﹣8＝0．（2）解方程：（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣8＝0，∴（x+4）（x﹣2）＝0，则x+4＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2；（2）令2x﹣1＝a，则a2﹣2a＝0，∴a（a﹣2）＝0，∴a＝0或a﹣2＝0，解得a＝0或a＝2，当a＝0时，2x﹣1＝0，解得x＝0.5；当a＝2时，2a﹣1＝2，解得x＝1.5；综上，x1＝0.5，x2＝1.5．16．（8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．【解答】解：（1）图中点O为所求；（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，﹣2）；C″（4，﹣4）．17．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【解答】解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC＝CD＝x米，∴△ABN∽△ACD，∴＝，即＝，解得：x＝6.125≈6.1．经检验，x＝6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米18．（8分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘出“五一“长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题．（1）“五一”期间，该市周边景点共接待游客50万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是108°，并补全条形统计图．（2）甲、乙两个旅行团在A，B，D三个景点中进行选择，求同时选择去同一景点的概率为多少？（请用画树状图或列表法加以说明）【解答】解：（1）该市周边景点共接待游客数为：15÷30%＝50（万人），A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360°＝108°，B景点接待游客数为：50×24%＝12（万人），故答案为：50，108°；补全条形统计图如下：（2）画树状图可得：共有9种等可能的结果，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，∴同时选择去同一个景点的概率为＝．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）写出kx+b﹣＜0的解集．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，AC＝＝＝3，故点A的坐标为（﹣4，3），将A（﹣4，3）代入y＝得m＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；∵当y＝6时，x＝﹣2，∴B（﹣2，6），将A（﹣4，3），B（﹣2，6）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+9；（2）设一次函数交x轴于点R，把y＝0代入y＝x+9得：x＝﹣6，即R的坐标是（﹣6，0），OR＝6，S△AOB＝S△BOR﹣S△AOR＝6×6﹣×6×3＝9；（3）由图象知kx+b﹣＜0的解集为：x＜﹣4或﹣2＜x＜0．20．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．（1）求证：DE⊥DF；（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE＝90°，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS）∴∠ADF＝∠CDE，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠FDE＝90°，∴DE⊥DF；（2）解：∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△BGE的周长为16∴BE+GB+GE＝16∴BE+GB+GF＝16∴BE+BA+AF＝16∵CE＝AF，∴BA+CB＝16，∴BC＝BA＝8，∴S四边形DEBF＝S四边形DEBA+S△ADF＝S四边形DEBA+S△DCE＝S正方形ABCD＝AB2＝64；（3）过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，∵GF＝GE，DF＝DE，∴DG垂直平分EF，∵∠FDE＝90°，∴DH＝EH，∠DHE＝∠PHC＝90°，∴∠DHE﹣∠EHC＝∠PHC﹣∠EHC，即∠DHC＝∠EHP，∵在四边形DHEC中，∠HDC+∠HEC＝180°，∠HEC+∠HEP＝180°，∴∠HEP＝∠HDC，在△HDC和△HEP中，，∴△HDC≌△HEP（ASA）∴DC＝PE＝8，CH＝HP＝5，∴在Rt△PHC中，PC＝10，∴EC＝PC﹣PE＝2，∴AF＝2，BE＝6，在Rt△BGE中，设EG＝x，则BG＝10﹣x，由勾股定理得，（10﹣x）2+62＝x2解得：x＝，∴AG＝GF﹣AF＝．四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21．（4分）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2019的值为2022．【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，∴x2﹣2x+1＝3，即（x﹣1）2＝3，则原式＝3+2019＝2022．故答案为：2022．22．（4分）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y＝（5﹣m2）x 的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程（m+1）x2+mx+1＝0有实数根的概率是．【解答】解：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴5﹣m2＞0，∴m2＜5，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m＝0代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，x2+1＝0，Δ＝﹣4＜0，无实数根；将m＝﹣1代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，﹣x+1＝0，x＝1，有实数根；将m＝﹣2代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，x2+2x﹣1＝0，Δ＝4+4＝8＞0，有实数根．故方程有实数根的概率为；故答案为：．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝∠CAD＝60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG＝∠AGE＝30°，∵∠B＝∠EGF＝60°，∴∠AGF＝90°，∴FG⊥BC，∴2•S△ABC＝BC•FG，∴2××（6）2＝6•FG，∴FG＝3．故答案为3．24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点A的坐标是（8，4）．【解答】解：∵点D的坐标为（6，8），∴OD＝＝10，∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝OD＝10，∴点B的坐标为：（10，0），∵AB＝AD，即A是BD的中点，∴点A的坐标为：（8，4），故答案是：（8，4）．25．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，∴＝＝＝，故②错误；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∵∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴＝，∴PD2＝PH•CD，∵PB＝CD，∴PD2＝PH•PB，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，∴∠PCD＝30°∴PN＝PB•sin60°＝4×＝2，PM＝PC•sin30°＝2，S△BPD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝×4×2+×2×4﹣×4×4＝4+4﹣8＝4﹣4，∴＝．故答案为：①③④．五、解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．27．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝1，∴BF＝，∴BC＝2BF＝2，则DC＝2﹣x，EC＝2﹣y．∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y＝x+2（0＜x＜2）；（3）当AD＝DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝2﹣x，将x＝2﹣2，代入y＝x+2．解得：y＝4﹣2，即AE＝4﹣2，当AE＝ED时，如图3，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，则ED＝EC，即y＝（2﹣y），解得：y＝，即AE＝，当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE＝4﹣2或．28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），A为x负半轴上一点，AD＝CD．（1）求直线AC的解析式；（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），∴CD＝5，DO＝4，∴AD＝CD＝5，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝3．∴A（﹣3，0），C（5，4）．设直线AC的解析式为，y＝kx+b，由题意得，解得：．故直线AC的解析式为：y＝x+．（2）∵当x＝0时，y＝，∴E（0，），∴OE＝，∴DE＝．在Rt△CDE和Rt△AOE中，由勾股定理得：CE＝，AE＝，∴AC＝4．∵OA＝3，OB＝5，∴AB＝8，∵BC＝4，∴tan∠BAC＝，sin∠BAC＝，∴当0＜t＜时，S＝﹣＝﹣t2+t；当＜t≤4时，S＝﹣＝t2﹣t．综上所述，S＝；（3）①如图1，作NH⊥CD与H，MG⊥AB与G，QR⊥AB与R，∴∠MHN＝∠MGP＝∠PRQ＝90°，∵四边形QPMN为正方形，∴MP＝MN＝PQ，∠NMP＝∠MPQ＝90°，∴∠NMH＝∠GMP＝∠QPR，在△MHN和△PRQ中，，∴△MHN≌△PRQ（AAS）．∴NH＝QR．在△GMP和△RPQ中，，∴△GMP≌△RPQ（AAS），∴GM＝RP，GP＝QR，∵GM＝OD＝4cm，∴RP＝4cm．∵＝，∴AR＝8﹣2t，∴PR＝8﹣2t﹣2t＝4，∴t＝1，∴AR＝6，AP＝2，∴PO＝1，∵＝，∴QR＝3，∴GO＝4，∴HN＝3，MH＝4，∴H、O在同一直线上，∴N（0，7）；②如图2，作NS⊥CD于S，QH⊥AB于H，MR⊥AB于R，∴∠NSM＝∠QHP＝∠PRM＝90°，∵四边形PQNM是正方形，∴∠QPM＝∠PMN＝90°，PQ＝PM＝MN，∴∠HPQ＝∠PMR＝∠NMS，∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM，∴NS＝QH＝PR，HP＝MR＝SM＝4，∵＝，∴＝，∴AH＝8﹣2t，∴2t﹣（8﹣2t）＝4，∴t＝3，∴AH＝2，HO＝1，∴QH＝SN＝1，OR＝4，∴SM＝OR，∴S在y轴上，∴N（0，5）．综上所述，N点的坐标为：（0，7）或（0，5）．。
2019-2020学年浙江省杭州市余杭区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，则（）A．开口方向相同B．开口大小相同C．顶点坐标相同D．对称轴相同2．已知圆的半径为r，圆外的点P到圆心的距离为d，则（）A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）A．72°B．36°C．18°D．54°4．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为（）A．B．C．D．15．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A．300°B．150°C．120°D．75°6．如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB，CD，EF，则以下结论正确的是（）A．2∠AOB＝∠AEBB．＝＝C．＝＝D．点O是三角形三条中线的交点7．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m 的取值范围是（）A．m≤0 B．0＜m≤1 C．m≤1 D．m≥18．若点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）都在抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB 于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α10．已知二次函数y＝x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．向往右下方移动，再往右上方移动二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．甲、乙、丙三人排成一排，其中甲、乙两人位置恰好相邻的概率是．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣7 ﹣4 0 613．如图，要拧开一个边长为a＝6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为．14．如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝．（用含a的代数式表示）．15．已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为．16．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3）．求这个二次函数表达式．18．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围；（3）当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围．20．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为，求放入了几个黑球？21．在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上的一点，连接BD、AD、OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中劣弧的长．22．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与二次函数y＝（a+3）x2+（b ﹣15）x+c+18的图象与x轴的交点分别是A，B，C．（1）判断图中经过点B，D，C的图象是哪一个二次函数的图象？试说明理由．（2）设两个函数的图象都经过点B、D，求点B，D的横坐标．（3）若点D是过点B、D、C的函数图象的顶点，纵坐标为﹣2，求这两个函数的解析式．23．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC、BD，且DA＝DB．（1）如图1，∠ADB＝60°．求证：AC＝CD+CB．（2）如图2，∠ADB＝90°．①求证：AC＝CD+CB．②如图3，延长AD、BC交于点P，且DC＝CB，探究线段BD与DP的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，则（）A．开口方向相同B．开口大小相同C．顶点坐标相同D．对称轴相同【分析】根据题意的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，∴函数y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；函数y＝﹣x2+1的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，1）；故选项A、C错误，选项D正确；∵二次函数y＝2x2中的a＝2，y＝﹣x2+1中的a＝﹣，∴它们的开口大小不一样，故选项B错误；故选：D．2．已知圆的半径为r，圆外的点P到圆心的距离为d，则（）A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．解：∵⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，P点在圆外，∴d＞r，故选：A．3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）A．72°B．36°C．18°D．54°【分析】由点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，∴∠BAC＝∠BOC＝36°．故选：B．4．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为（）A．B．C．D．1【分析】列举出所有情况，让恰好是一双的情况数除以总情况数即为所求的概率．解：设两双只有颜色不同的手套的颜色为红和绿，列表得：（红，绿）（红，绿）（绿，绿）﹣（红，绿）（红，绿）﹣（绿，绿）（红，红）﹣（绿，红）（绿，红）﹣（红，红）（绿，红）（绿，红）∵一共有12种等可能的情况，恰好是一双的有4种情况，∴恰好是一双的概率＝．故选：B．5．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A．300°B．150°C．120°D．75°【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，∴S＝Rl，即60π＝×R×10π，解得：R＝12，∴S＝60π＝，解得：n＝150°，故选：B．6．如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB，CD，EF，则以下结论正确的是（）A．2∠AOB＝∠AEBB．＝＝C．＝＝D．点O是三角形三条中线的交点【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．解：∵AB＝CD＝EF，∴＝＝，故选：B．7．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m 的取值范围是（）A．m≤0 B．0＜m≤1 C．m≤1 D．m≥1【分析】根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．解：∵函数的对称轴为x＝m，又∵二次函数开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵x＞1时，y随x的增大而减小，∴m≤1．故选：C．8．若点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）都在抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3【分析】先求出二次函数y＝﹣x2﹣4x+m的图象的对称轴，然后判断出A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+m中a＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴为x＝﹣＝﹣2，∵A（﹣，y1）到对称轴的距离大于B（﹣1，y2）到对称轴的距离，∴y1＜y2，又∵B（﹣1，y2），C（，y3）都在对称轴的右侧，而在对称轴的右侧，y随x得增大而减小，故y2＞y3．∵A（﹣，y1）到对称轴的距离小于C（，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∴y2＞y1＞y3．故选：D．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB 于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α【分析】连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．解：连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A．10．已知二次函数y＝x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．向往右下方移动，再往右上方移动【分析】先分别求出当b＝﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．解：当b＝﹣1时，此函数解析式为：y＝x2+x+1，顶点坐标为：（﹣，）；当b＝0时，此函数解析式为：y＝x2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b＝1时，此函数解析式为：y＝x2﹣x+1，顶点坐标为：（，）．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选：C．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．甲、乙、丙三人排成一排，其中甲、乙两人位置恰好相邻的概率是．【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．解：由题意可得，所列树状图如下图所示，故甲、乙两人位置恰好相邻的概率是，故答案为：．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＞3或x＜﹣2 ．x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣7 ﹣4 0 6【分析】本题通过描点画出图象，即可根据图象在x轴上部的那部分得出不等式ax2+bx+c ＞0的解集．解：通过描点作图如下，从图中可看出不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＞3或x＜﹣2．13．如图，要拧开一个边长为a＝6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为6acm．【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB＝6cm，∠AOB＝60°，∴cos∠BAC＝，∴AM＝6×＝3（cm），∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，∴AM＝MC＝AC，∴AC＝2AM＝6（cm）．故答案为6cm．14．如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝a．（用含a的代数式表示）．【分析】先根据垂径定理得出AE＝PE，PF＝BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出EF∥AB，EF＝AB即可．解：连接AB，∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，∴AE＝PE，PF＝BF，∴EF是△APB的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB＝，故答案为：a．15．已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为15°或75°．【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的同旁；两弦在圆心的两旁．根据垂径定理和三角函数求解．解：过点O作OM⊥AC于M，在直角△AOM中，OA＝r．根据OM⊥AC，则AM＝AC＝r，所以cos∠OAM＝，则∠OAM＝30°，同理可以求出∠OAB＝45°，当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45°﹣30°＝15°；当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45°+30°＝75°．故答案为15°或75°．16．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝1或0或．【分析】分两种情况讨论：当函数为一次函数时，必与坐标轴有两个交点；当函数为二次函数时，将（0，0）代入解析式即可求出m的值．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与Y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3）．求这个二次函数表达式．【分析】根据二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3），可以设该函数的交点式，然后根据与y轴交于点（0，3），即可求得a的值，从而可以得到该函数的解析式．解：设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵该二次函数的图象与y轴交于点（0，3），∴3＝a（0+1）×（0﹣3），解得，a＝﹣1，∴该函数解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，即这个二次函数表达式是y＝﹣x2+2x+3．18．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．【分析】连接AE，根据圆周角定理可得∠AEB＝90°，再根据等腰三角形三线合一可得∠BAE＝∠CAE，进而可得弧BE＝弧DE，根据等弧所对的弦相等可得结论．【解答】证明：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∴弧BE＝弧DE，∴BE＝ED，∴ED＝EC19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围；（3）当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）根据图象中的数据可以得到方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根时，k的取值范围；（3）根据图象中的数据可以得到当0＜x＜3时，函数值y的取值范围．．解：（1）由图象可得，当y＝0时，x＝﹣1或x＝3，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解是x1＝﹣1，x2＝3；（2）由图象可知，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是y＝﹣4，故方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围是k＞﹣4；（3）由图象可知，当0＜x＜3时，函数值y的取值范围﹣4≤y＜0．20．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为，求放入了几个黑球？【分析】（1）由概率公式计算即可；（2）列举得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率；（3）由题意得出方程，解方程即可．解：（1）将“恰好是白球”记为事件A，则P（A）＝＝．（2）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，从中任意摸出2个球，“2个都是白球”记为事件B，则P（B）＝＝．（3）设放入n个黑球，由题意得＝，解得n＝10，即放入了10个黑球．21．在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上的一点，连接BD、AD、OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中劣弧的长．【分析】（1）由在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，根据垂径定理可得＝，则可求得∠AOC的度数；（2）首先连接OB，由弦BC＝6cm，可求得半径的长，继而求得图中劣弧的长．解：（1）∵在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，∴＝，∴∠AOC＝2∠ADB＝2×30°＝60°；（2）连接OB，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∵弦BC＝6cm，OA⊥BC，∴CE＝3cm，∴OC＝＝2cm，∴劣弧的长为：＝π．22．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与二次函数y＝（a+3）x2+（b ﹣15）x+c+18的图象与x轴的交点分别是A，B，C．（1）判断图中经过点B，D，C的图象是哪一个二次函数的图象？试说明理由．（2）设两个函数的图象都经过点B、D，求点B，D的横坐标．（3）若点D是过点B、D、C的函数图象的顶点，纵坐标为﹣2，求这两个函数的解析式．【分析】（1）根据a+3＞a作出判断；（2）联立方程组，通过解方程组求得答案；（3）设所求解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，把点B的坐标（2，0）代入求值．解：（1）因为a+3＞a，所以经过B、D、C的图象是y＝（a+3）x2+（b﹣15）x+c+18的图象．（2）解方程组解得x1＝2，x2＝3，∴点B，D的横坐标分别为2，3．（3）设所求解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，把点B的坐标（2，0）代入，解得a＝2，即y＝2x2﹣12x+16，因此左边抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2．23．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC、BD，且DA＝DB．（1）如图1，∠ADB＝60°．求证：AC＝CD+CB．（2）如图2，∠ADB＝90°．①求证：AC＝CD+CB．②如图3，延长AD、BC交于点P，且DC＝CB，探究线段BD与DP的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图1中，在AC上截取AF＝BC，连结DF．证明△DAF≌△DBC（SAS），推出△DFC为等边三角形即可解决问题．（2）①结论：AC＝CD+CB，如图2，在AC上截取AF＝BC，连结DF．证明△DAF≌△DBC（SAS）即可解决问题．②结论：BD＝2DP．如图3，过点D作DF⊥AC于点F，证明△DFE≌△CBE（AAS），△ADE≌△BDP（ASA）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，在AC上截取AF＝BC，连结DF．在△DAF与△DBC中，∴△DAF≌△DBC（SAS），∴DF＝DC，∠CDB＝∠ADF，∵∠CDF＝∠CDB+∠EDF＝∠ADF+∠EDF＝∠ADB＝60°，∴△DFC为等边三角形，∴DC＝FC，∴AC＝AF+FC＝BC+CD．（2）①解：结论：AC＝CD+CB．理由：如图2，在AC上截取AF＝BC，连结DF．在△DAF与△DBC中，∴△DAF≌△DBC（SAS），∴DF＝DC，∠CDB＝∠ADF，∵∠CDF＝∠CDB+∠EDF＝∠ADF+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴△DFC为等腰直角三角形，∴FC＝DC，∴AC＝AF+FC＝CD+CB．②解：结论：BD＝2DP．理由：如图3，过点D作DF⊥AC于点F，∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△CFD是等腰直角三角形，∴CD＝DF，∵CD＝CB，∴DF＝CB，在△DFE和△CBE中，，∴△DFE≌△CBE（AAS），∴DE＝BE＝BD，在△ADE和△BDP中，，∴△ADE≌△BDP（ASA），∴DP＝DE＝BE＝BD，即BD＝2DP．。
2019-2020学年江苏省连云港市东海县九年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）关于x 的方程2360ax x --=是一元二次方程，则( )A ．0a ≠B ．0a >C ．0aD ．1a =2．（3分）把一元二次方程(3)(5)2x x +-=化成一般形式，得( )A ．22170x x +-=B ．28170x x --=C ．2217x x -=D ．22170x x --=3．（3分）在用配方法解一元二次方程261x x -=的过程中配方正确的是( )A ．2(3)8x -=B ．2(3)10x -=C ．2(3)1x +=D ．2(3)8x +=4．（3分）当m 取下列哪个值时，关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根( )A ．2B ．0C ．1D ．2-5．（3分）在下列命题中，正确的是( )A ．弦是直径B ．长度相等的两条弧是等弧C ．三点确定一个圆D ．三角形的外心不一定在三角形的外部6．（3分）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm ，则该莱洛三角形的周长为( )A ．2πB ．9C ．3πD ．6π7．（3分）在数轴上，点A 所表示的实数为5，点B 所表示的实数为a ，A 的半径为3，要使点B 在A 内时，实数a 的取值范围是( )A ．2a >B ．8a >C ．28a <<D ．2a <或8a >8．（3分）如图，在O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是( )①AC CD =；②AD BD =；③AC BD BC +=；④CD 平分ACB ∠A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）一元二次方程2x x =的解为 ． 10．（3分）若a 是方程210x x --=的一个根，则22017a a -+的值为 ． 11．（3分）写出一个以1和2为根，且二次项系数为1的一元二次方程为 ．12．（3分）已知(2)(21)0x x -+=，则21x +的值为 ．13．（3分）圆心角是60︒且半径为2的扇形面积为 （结果保留)π．14．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，所列方程是 ．15．（3分）如图，AB 是O 的直径，直线PA 与O 相切于点A ，PO 交O 于点C ，连接BC ，40P ∠=︒，则ABC ∠的度数为 ．16．（3分）如图，AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线，点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上，连接AE ．若64ABC ∠=︒，则BAE ∠的度数为 ．17．（3分）如图，在Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3OA =，4OB =，O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PC （点C 为切点），则线段PC 长的最小值为 ．18．（3分）如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，(2,0)A -，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60︒，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是 ．三、解答题（共8小题，满分82分）19．（16分）解下列方程．（1）2616x x -=（2）2(23)9x +=（3）23210x x --=（4）(23)46x x x -=-20．（8分）当x 为何值时，代数式21x -的值是1x +的值的2倍？21．（8分）已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 是正整数，求关于x 的方程2210x x m -+-=的根．22．（8分）如图，AB 是圆O 的直径，30ACD ∠=︒，（1）求BAD ∠的度数．（2）若4AD =，求圆O 的半径．23．（10分）定义新运算：对于任意实数m 、n 都有m ※22n m n m n =+-，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如3-※22(3)22(3)210=-⨯+⨯--=，根据以上知识解决问题：（1）计算2※(3)-的值；（2）若x ※1的值等于2，求x 的值．24．（10分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点(0,4)A 、(4,4)B -、(6,2)C -，请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D 点，则D 点坐标为 ；（2）连接AD 、CD ，则圆D 的半径长为 （结果保留根号）．ADC ∠的度数为 ︒；（3）若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长（结果保留根号）25．（10分）小明在学习“圆的对称性”时知道结论：垂直于弦的直径一定平分这条弦，请尝试解决下面的问题：如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，圆O 是ACB ∆的外接圆．点D 是圆O 上一点，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，且BD 平分ABE ∠．（1）判断直线ED 与圆O 的位置关系，并说明理由．（2）若12AC =，5BC =，求线段BE 的长．26．（12分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价）（1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？2019-2020学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）关于x 的方程2360ax x --=是一元二次方程，则( )A ．0a ≠B ．0a >C ．0aD ．1a =【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．【解答】解：关于x 的方程2360ax x --=是一元二次方程，则0a ≠；故选：A ．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（3分）把一元二次方程(3)(5)2x x +-=化成一般形式，得( )A ．22170x x +-=B ．28170x x --=C ．2217x x -=D ．22170x x --=【分析】根据一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=，把原方程经过去括号，移项，合并同类项等步骤整理后，即可得到答案．【解答】解：(3)(5)2x x +-=，去括号得：253152x x x -+-=，移项得：2531520x x x -+--=，合并同类项得：22170x x --=，故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．3．（3分）在用配方法解一元二次方程261x x -=的过程中配方正确的是( )A ．2(3)8x -=B ．2(3)10x -=C ．2(3)1x +=D ．2(3)8x +=【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：261x x -=，26910x x ∴-+=，2(3)10x ∴-=，故选：B ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．（3分）当m 取下列哪个值时，关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根( )A ．2B ．0C ．1D ．2-【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△440m =-<，1m ∴>，故选：A ．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．5．（3分）在下列命题中，正确的是( )A ．弦是直径B ．长度相等的两条弧是等弧C ．三点确定一个圆D ．三角形的外心不一定在三角形的外部【分析】根据命题的“真”“假”进行判断即可．【解答】解：A 、弦不一定是直径，是假命题；B 、完全重合的两条弧是等弧，是假命题；C 、不在同一直线上的三点确定一个圆，是假命题；D 、三角形的外心不一定在三角形的外部，是真命题；故选：D ．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．6．（3分）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm ，则该莱洛三角形的周长为( )A ．2πB ．9C ．3πD ．6π【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解答】解：该莱洛三角形的周长60333180ππ=⨯=． 故选：C ．【点评】本题考查了弧长公式：180n R l π=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为)R ．也考查了等边三角形的性质．7．（3分）在数轴上，点A 所表示的实数为5，点B 所表示的实数为a ，A 的半径为3，要使点B 在A 内时，实数a 的取值范围是( )A ．2a >B ．8a >C ．28a <<D ．2a <或8a > 【分析】首先确定OB 的取值范围，然后根据点A 所表示的实数写出a 的取值范围，即可得到正确选项．【解答】解：A 的半径为3，若点B 在A 内，3OB ∴<， 点A 所表示的实数为5，28a ∴<<，故选：C ．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．8．（3分）如图，在O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是( )①AC CD =；②AD BD =；③AC BD BC +=；④CD 平分ACB ∠A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据折叠的性质可得AD CD =；根据线段中点的定义可得AD BD =；根据垂径定理可作判断③；延长OD 交O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断④．【解答】解：过D 作DD BC '⊥，交O 于D '，连接CD '、BD '，由折叠得：CD CD '=，ABC CBD '∠=∠，AC CD CD '∴==，故①正确；点D 是AB 的中点，AD BD ∴=，AC CD '=，故②正确；∴AC CD ='，由折叠得：BD BD =，∴AC BD BC +=；故③正确；延长OD 交O 于E ，连接CE ，OD AB ⊥，ACE BCE ∴∠=∠，CD ∴不平分ACB ∠，故④错误；故选：A ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）一元二次方程2x x =的解为 10x =，21x = ．【分析】首先把x 移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．【解答】解：2x x =，移项得：20x x -=，(1)0x x ∴-=，0x =或10x -=，10x ∴=，21x =．故答案为：10x =，21x =．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是把方程的右面变为0．10．（3分）若a 是方程210x x --=的一个根，则22017a a -+的值为 2018 ．【分析】先把a 代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．【解答】解：210x x --=210a a ∴--=，21a a ∴-=，22017120172018a a ∴-+=+=．故答案为：2018．【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题关键是把a 的值代入原方程，从中获取代数式2a a -的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．11．（3分）写出一个以1和2为根，且二次项系数为1的一元二次方程为 2320x x -+= ．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可设方程为：20x bx c ++=，由根与系数的关系可知：12b +=-，12c ⨯=，3b ∴=-，2c =，∴该方程为：2320x x -+=，故答案为：2320x x -+=【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．12．（3分）已知(2)(21)0x x -+=，则21x +的值为 5或0 ．【分析】先利用因式分解法求出x 的值，再分别代入求解可得．【解答】解：(2)(21)0x x -+=，20x ∴-=或210x +=，解得12x =，20.5x =-，当2x =时，215x +=；当0.5x =-时，21110x +=-+=；综上，215x +=或0；故答案为：5或0．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．（3分）圆心角是60︒且半径为2的扇形面积为23π （结果保留)π． 【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可． 【解答】解：由扇形面积公式得：260223603S ππ⨯==． 故答案为：23π． 【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n ︒，半径为r 的扇形的面积为2360n R S π=． 14．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，所列方程是 2560(1)315x -= ．【分析】设每次降价的百分率为x ，根据题意可得，560(1⨯-降价的百分率）2315=，据此列方程即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x ，由题意得，2560(1)315x -=．故答案为：2560(1)315x -=．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．15．（3分）如图，AB 是O 的直径，直线PA 与O 相切于点A ，PO 交O 于点C ，连接BC ，40P ∠=︒，则ABC ∠的度数为 25︒ ．【分析】先利用切线的性质得到90OAP ∠=︒，则利用互余和计算出50AOP ∠=︒，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出B ∠的度数．【解答】解：直线PA 与O 相切于点A ，OA PA ∴⊥，90OAP ∴∠=︒，9050AOPP P ∴∠=︒-∠=︒，AOP B OCB ∠=∠+∠，而OB OC =， 1252B AOP ∴∠=∠=︒． 故答案为25︒．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．16．（3分）如图，AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线，点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上，连接AE ．若64ABC ∠=︒，则BAE ∠的度数为 52︒ ．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：圆内接四边形ABCD ，180116D ABC ∴∠=︒-∠=︒，点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上，116D AEC ∴∠=∠=︒，1166452BAE ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：52︒．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出AEC ∠的度数是解题关键．17．（3分）如图，在Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3OA =，4OB =，O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PC （点C 为切点），则线段PC 长的最小值为 2115．【分析】连接OP ，OC ，由PC 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 与PC 垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP 最小时，PC 最短，根据垂线段最短得到OP 垂直于AB 时最短，利用面积法求出此时OP 的值，再利用勾股定理即可求出PC 的最短值． 【解答】解：连接OP 、OC ，如图所示，PC 是O 的切线，OC PC ∴⊥，根据勾股定理知：222PC OP OC =-，∴当PO AB ⊥时，线段PC 最短，在Rt AOB ∆中，3OA =，4OB =，5AB ∴=，1122AOB S OA OB AB OP ∆∴∴==，即341255OP ⨯==， 2OC =，222212211()25PC OP OC ∴=--=， 故答案为：2115．【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．18．（3分）如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，(2,0)A -，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60︒，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是 (4038，23) ．【分析】先求出开始时点C 的横坐标为112OC =，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C 的位置，然后求出翻转B 前进的距离，连接CE ，过点D 作DH CE ⊥于H ，则CE EF ⊥，60CDH EDH ∠=∠=︒，CH EH =，求出22sin 6023CE CH CD ==⨯︒=C 的坐标．【解答】解：六边形ABCDEF 为正六边形，120AOC ∴∠=︒， 1209030DOC ∴∠=︒-︒=︒， ∴开始时点C 的横坐标为：112122OC =⨯=， 正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60︒，∴每6次翻转为一个循环组循环，202063364÷=⋯，∴为第336循环组的第4次翻转，点C 在开始时点E 的位置，如图所示：(2,0)A -，2AB ∴=，∴翻转B 前进的距离220204040=⨯=，∴翻转后点C 的横坐标为：404024038-=，连接CE ，过点D 作DH CE ⊥于H ，则CE EF ⊥，60CDH EDH ∠=∠=︒，CH EH =， 322sin 602223CE CH CD ∴==⨯︒=⨯⨯=， ∴点C 的坐标为(4038，23)， 故答案为：(4038，23)．【点评】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30︒角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C 所在的位置是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分82分）19．（16分）解下列方程．（1）2616x x -=（2）2(23)9x +=（3）23210x x --=（4）(23)46x x x -=-【分析】（1）移项，利用因式分解法求解即可；（2）利用直接开平方法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）整理后，利用因式分解法计算．【解答】解：（1）2616x x -=，26160x x --=(8)(2)0x x -+=，80x ∴-=或20x +=，18x ∴=，22x =-；（2）2(23)9x +=，233x +=±，10x ∴=，23x =-；（3）23210x x --=(31)(1)0x x +-=，310x ∴+=或10x -=，113x ∴=-，21x =； （4）(23)46x x x -=-22760x x -+=(23)(2)0x x --=，230x ∴-=或20x -=，132x ∴=，22x =． 【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．20．（8分）当x 为何值时，代数式21x -的值是1x +的值的2倍？【分析】先根据题意列出关于x 的方程，再整理成一般式，最后利用因式分解法求解可得．【解答】解：根据题意，得：212(1)x x -=+，整理，得：2230x x --=，则(3)(1)0x x -+=，30x ∴-=或10x +=，解得13x =，21x =-．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键21．（8分）已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 是正整数，求关于x 的方程2210x x m -+-=的根．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△0>，据此列出关于m 的不等式，解之可得；（2）由（1）中m 的范围且m 为正整数得出m 的值，代入方程，解之可得．【解答】解：（1）根据题意得：2(2)4(1)0m --->，解不等式得：2m <；（2）由（1）得：2m < m 为正整数，1m ∴=，把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =．【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键．22．（8分）如图，AB 是圆O 的直径，30ACD ∠=︒，（1）求BAD ∠的度数．（2）若4AD =，求圆O 的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）AB 是圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒，30B C ∠=∠=︒，60BAD ∴∠=︒；（2）30B ∠=︒，90ADB ∠=︒，2AB AD ∴=，4AD =，8AB ∴=，∴圆O 的半径为4．【点评】本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角．23．（10分）定义新运算：对于任意实数m 、n 都有m ※22n m n m n =+-，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如3-※22(3)22(3)210=-⨯+⨯--=，根据以上知识解决问题：（1）计算2※(3)-的值；（2）若x ※1的值等于2，求x 的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式12435=-++=-；（2）已知等式利用题中的新定义化简得：2212x x +-=，即2(1)2x -=，开方得：1x -=1x =【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（10分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点(0,4)A 、(4,4)B -、(6,2)C -，请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D 点，则D 点坐标为 (2,0)- ；（2）连接AD 、CD ，则圆D 的半径长为 （结果保留根号）．ADC ∠的度数为 ︒；（3）若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长（结果保留根号）【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出D 点位置，结合图形得到点D 的坐标；（2）利用点的坐标结合勾股定理得出D 的半径长，根据勾股定理的逆定理ADC ∠的度数； （3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．【解答】解：（1）分别作AB 、BC 的垂直平分线，两直线交于点D ，则点D 即为该圆弧所在圆的圆心，由图形可知，点D 的坐标为(2,0)-，故答案为：(2,0)-；（2）圆D 的半径长222425=+=2226210AC =+=22202040AD CD +=+=，240AC =，则222AD CD AC +=，90ADC ∴∠=︒， 故答案为：2590；（3）设圆锥的底面圆的半径长为r ， 则90252r ππ⨯=， 解得，5r =【点评】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．25．（10分）小明在学习“圆的对称性”时知道结论：垂直于弦的直径一定平分这条弦，请尝试解决下面的问题：如图，在Rt ACB∆中，90ACB∠=︒，圆O是ACB∆的外接圆．点D是圆O上一点，过点D 作DE BC⊥，垂足为E，且BD平分ABE∠．（1）判断直线ED与圆O的位置关系，并说明理由．（2）若12AC=，5BC=，求线段BE的长．【分析】（1）直线ED与O相切．连接OD．根据圆的性质和等边对等角可得ODB OBD∠=∠，等量代换得到ODB DBE∠=∠，根据平行线的判定和性质得到90DEC ODE∠=∠=︒，再根据垂直的定义和性质可得OD DE⊥，根据切线的判定即可求解；（2）如图，延长DO交AC于点H，连结CO，构建直角ABC∆的中位线OH，运用三角形中位线定理和勾股定理分别求得1522OH HO BC===、13AB=，结合图形找到相关线段间的和差关系求得线段BE的长度即可．【解答】解：（1）如图，连接OD．OB OD=，ODB OBD∴∠=∠，又OBD DBE∠=∠，ODB DBE∴∠=∠，//OD BE ∴，又DE BC ⊥，90DEC ∴∠=︒，90ODE ∴∠=︒，OD DE ∴⊥，又OD 为半径，∴直线ED 与O 相切；（2）如图，延长DO 交AC 于点H ，连结CO ，//OD BE ，90ODE ∠=︒，90OHC ∴∠=︒，即OH AC ⊥，又OA OC =，AH CH ∴=，又由O 是AB 的中点，HO ∴是ABC ∆的中位线， 1522HO BC ∴==． AC 为直径，90ACB ∴∠=︒，12AC ∴=，5BC =，222212513AB AC BC ∴=+=+=，11322OA OD AB ∴===． 9HD HO OD ∴=+=由四边形CEDH 是矩形，9CE HD ∴==，9CE ∴=，4BE CE BC ∴=-=．【点评】本题考查了三角形的外接圆和切线的判定，勾股定理，三角形中位线定理，难度较大．26．（12分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价）（1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？【分析】（1）设降低x元销售(04)x，由总数300减去第一天销售的，再减去第二天销售的，等于0，列一元一次方程，求解即可；（2）设单价降低x元销售，根据第一天的利润加第二天的利润，再加上清仓利润等于625元，得方程，求解即可．【解答】解：（1）设降低x元销售(04)x，由题意得：300100(10025)0x--+=解得：4x=1046-=（元)答：销售价格应定为6元．（2）设单价降低x元销售，由题意得：(106)100(106)(10025)(46)[300100(10025)]625x x x-⨯+--++---+=化简得：2210x x-+=121x x∴==1019∴-=∴第二天每个饰品的销售价格为9元．【点评】本题考查了一元一次方程和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系，正确列式，是解题的关键．。