【北师大版】七年级数学下册《线段的垂直平分线的性质》教案
北师大版七年级数学下册精编教学设计系列
线段的垂直平分线
一、学生知识状况分析
学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在前几节学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。
二、教学任务分析
本节课的教学目标是：
1．知识目标：
①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2．能力目标：
①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．
③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
3．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
4．教学重点、难点
重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。
难点是两者的应用上的区别及各自的作用。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。
第一环节：创设情境，引入新课
教师用多媒体演示：
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B
一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓
库的距离相等，码头应建在什么位置?
其中“到两个仓库的距离相等”，要强调
这几个字在题中有很重要的作用．
在七年级时研究过线段的性质，线段是
一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”
教师演示线段垂直平分线的性质：
定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
同时，教师板演本节的题目：
线段的垂直平分线
第二环节：探究新知
第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢．”
教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了．”
教师肯定该生的观点，进一步提出：“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．”
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN 上的点．
求证：PA=PB．
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)．；
N
A
P
B
C
M
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：
第三环节：想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．”
写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法。
证法一：
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
P 即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB 的中点C ，过PC 作直线．
∵AP=BP ，PC=PC.AC=CB ，
∴△APC ≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC ⊥AB
∴P 点在AB 的垂直平分线上．
证法三：过P 点作∠APB 的角平分线．
∵AP=BP ，∠1=∠2，PC=PC ，
△APC ≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC ，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相
等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P 点在线段AB 的垂直平分线上．
证法四：过P 作线段AB 的垂直平分线PC ．
∵AC=CB ，∠PCA=∠PCB=90°，
∴P 在AB 的垂直平分线上．
四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正
确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”
师生共析：如图(1)，PD 上AB ，D 是垂足，但D 不平分AB ；
如图(2)，PD 平分AB ，但PD 不垂直于AB ．这说明一般情况下：过
P 作AB 的垂直平分线“是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错
A P
B
C 21
误的．
从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆
命题是真命题，
我们把它称做线段垂直平分线的判定定
理．
我们曾用折纸的方法折出过线段的
垂直平分线．现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段
的垂直平分线呢?
第四环节：做一做
活动内容：用尺规作线段的垂直平分线．
活动目的：探索尺规方法作线段垂直平分线的思路与过程以及体
验其中的演绎思维过程。
活动过程：
用尺规作线段的垂直平分线．
要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段
两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找
到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直
平分线．
下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依
据．
P
D B D B P A (1) (2)
[师生共析]
已知：线段AB(如图)．
求作：线段AB 的垂直平分线．
作法：1．分别以点A 和B 为圆心，以大于12 AB 的长
为半径作弧，两弧相交于点C 和D ．
2．作直线CD ．
直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．
[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD 为什么是AB 的垂直
平分线吗?请与同伴进行交流．
[生]从作法的第一步可知 AC=BC ，AD=BD ．
∴C 、D 都在AB 的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．
∴CD 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．
[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分
线的作法时．一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就
是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．
活动效果及注意事项：活动时可以先让学生讨论，然后点名学生
板演，下面学生可以模仿着做，最后教师进行归纳和总结。
第五环节：随堂练习
课本
1．如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，
如果EC=7cm ，那么
解：∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴EC=ED．又∵EC=7 cm，
∴ED=7 cm．
∴∠EDC=∠ECD=60°．
2．已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P．
已知：直线l和l上一点P．
求作：PC⊥l．
作法：l、以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线L相交于点A和B．
2．作线段AlB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
第六环节：课时小结
本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线．
第七环节：课后作业
四、教学反思
在这一节中，所介绍的定理实际是在七年级曾经探索过的命题，如线段垂直平分线的性质定理，作为探索活动的自然延续和必要发
展，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．。
北师大版七年级数学下册《5.3 第2课时 线段垂直平分线的性质》教学设计
北师大版七年级数学下册《5.3 第2课时线段垂直平分线的性质》教学设计一. 教材分析北师大版七年级数学下册《5.3 第2课时线段垂直平分线的性质》这一节主要介绍了线段垂直平分线的性质。
学生通过学习这一节内容，能够理解并掌握线段垂直平分线的定义，以及它的一些基本性质，如线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
这部分内容是初中数学中的基础知识，对于学生来说非常重要。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了线段、射线、直线等基础知识，对于线段的性质也有了一定的了解。
但是学生对于线段垂直平分线的性质可能还没有完全理解，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
此外，学生可能对于线段垂直平分线的证明过程还不够熟练，需要在课堂上进行练习和巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等过程，培养自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学的兴趣和自信心，培养合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：线段垂直平分线的定义及其性质。
2.难点：线段垂直平分线的证明过程。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解线段垂直平分线的定义和性质，引导学生理解并掌握知识。
2.演示法：教师通过几何模型或动画演示线段垂直平分线的性质，帮助学生直观理解。
3.练习法：学生通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高解题能力。
4.小组合作：学生分组讨论，共同解决问题，培养合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：教师制作课件，包括线段垂直平分线的定义、性质和证明过程等内容。
2.几何模型：教师准备线段垂直平分线的模型，用于课堂演示。
3.练习题：教师准备适量的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾线段、射线、直线等基础知识，为新课的学习做好铺垫。
《线段的垂直平分线》教案
《线段的垂直平分线》教案《线段的垂直平分线》教案作为一位不辞辛劳的人民教师，总归要编写教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编整理的《线段的垂直平分线》教案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《线段的垂直平分线》教案 1教学目的:1、使理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。
2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。
3、结合教学内容培养学生的动作、形象和抽象。
教学重点:线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。
教学难点:线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。
教学关键:1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。
2、到线段两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。
教具:投影仪及投影胶片。
教学过程:一、提问1、角平分线的性质定理及逆定理是什么?2、怎样做一条线段的垂直平分线?二、新课1、请同学们在练习本上做线段AB的垂直平分线EF(请一名同学在黑板上做)。
2、在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=?PB=?引导学生观察这两个值有什么关系?通过学生的观察、分析得出结果PA=PB，再取一点P试一试仍然有PA=PB，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论叙述成命题(用幻灯展示)。
定理:线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。
这个命题，是我们通过作图、观察、猜想得到的，还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。
三、举例(用幻灯展示)例:已知，ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证:PA=PB=PC。
证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PB同理PB=PC∴PA=PB=PC由例题PA=PC知点P在AC的'垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P，这点到三个顶点的距离相等。
四、小结正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论，加强证明前的分析，找出证明的途径。
初中数学北师大版七年级下册《532线段垂直平分线的性质》教学设计
北师大版数学七年级下册5.3.2线段垂直平分线的性质教学设计这条直线究竟有哪些性质呢?下面我们一起探究一垂线。
下.【做一做】请同学们在刚才折后的线段AB的折痕上取一点C,沿CA,CB将纸折叠,把纸张展开后，你将学生按照老师得到折痕CA和CB.•C 的要求进行折叠纸片，展开CA和CB3(1)通过手中的纸片，用刻度尺量取后发现它们相等.图).(2)通过折叠纸片，从它们互相重合发现它们相等.(3)通过三角形全等证明它们相等,在^AOC和^BOC中,因为AO=BO,Z AOC=Z BOC=90°,OC=OC,所以△AOC04BOC,所以AC=BC.如果改变点C的位置，那么AC还等于BC 吗?线段垂直平分由此你能得到线段垂直平分线的性质吗?线上的点到这条线段两个端等.【例】如图，在^ABC中，Z A=40°,Z B=90°,线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D,与AC交于点E,则Z BCD的度数是10【做一做】利用尺规，作线段AB的垂直平分线。
已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.A1线段垂直平分线的性质比较重要，要让学生自己发现结论，以便加深学生的理解和记忆，同时要让学生说明自己发现的正确性，逐步培养学生的说理能力.提示:可以结合我们刚才所讲的“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图.1.分别以点A 和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D. 2.作直线CD.直线CD 就是线段AB 的垂直平分线.T'CIIAB\/-"D -注意：以点A 和B 为圆心画弧时，半径长必须要大于AB,这样才能得到C,D 两个交点.你能说明为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线吗？我们只要连CA,CB,DA,DB 就可以了，因为在△ADC 和^BDC 中.=3。
AD=BD,CD=CD,由SSS 可知△ADC 04BDC,得到N ACD=N BCD,再由等腰三角形的“三线合一”就可知道CD 是AB 的垂直平分线.如图所示，祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B 提供牛奶,奶站应建在什么地方，才能使A,B 到它的距离相等？可以先作线段AB 的垂直平分线，与河岸边的交点就是码头M 的位置.学生认真思考通过利用尺规作如何作线段线段的垂直平分AB 的垂直平 线，学生在动手分线，小组间 中学到了知识，相互讨论.教 理解并掌握了线师提示：可以 段垂直平分线的 结合我们刚才 定义与性质，有 所讲的“线段 利于学生的掌握 垂直平分线上和记忆 的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图.的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是（B）A.AE=BEB.AC=BEC.CE=DED.Z CAE=Z B4.如图所示，在直角三角形ABC中,Z C=90°,Z CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求Z B的度数.。
北师大版七年级数学下册5.线段垂直平分线的性质及画法课件
新知探究
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB 的长为（ B）
A. 6
B. 5
C. 4
C
P
D. 3
A
D E
A 图① D
B
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm，边AB 的垂直平分线交AB 于点D，交
边AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm，则AC的长是10cm .
课堂小结
线段的垂直 平分的性质
和画法
性质 画法
内容
线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 .
作 用 见垂直平分线，得线段相等 .
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于 二分之一线段的长为半径作弧，两弧在线 段两侧交于两点； 2、连接两个交点，即可作出所求线段的垂 直平分线 .
课堂小测
P2
P1
A
B
P3A _＝___ P3B
l
新知探究
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
新知探究
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在直线l 上． 求证：PA =PB．
D.三边垂直平分线的交点
课堂小测
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D，E，F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，
这样的点的组合共有 无数 种. 4.下列说法： ①若点P，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.
【精品】2019最新北师大版七年级数学下册5.3 第2课时 线段垂直平分线的性质 学案.doc
5.3 简单的轴对称图形 第2课时 线段垂直平分线的性质一、学习目标：1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念2、探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质。
二、学习重点：1、角、线段是轴对称图形2、角的平分线、线段垂直平分线的有关性质三、学习难点：角的平分线、线段垂直平分线的有关性质（一）预习准备 （1）预习思考：角平分线有什么特征？线段垂直平分线有什么特征？ （2）预习作业：1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．角B ．等边三角形C ．线段D ．平行四边形 2．下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个．①直角三角形，②线段，③等边三角形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥圆，⑦直角． A ．4个 B ．3个 C ．5个 D ．6个 3．下列说法正确的是（ ）．A ．轴对称图形是两个图形组成的B ．等边三角形有三条对称轴C ．两个全等的三角形组成一个轴对称图形;D ．直角三角形一定是轴对称图形 4．如图，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，D 、E 为垂足． （1）若∠1=∠2，则有___________; （2）若CD=CE ，则有___________．（二）学习过程：1、角是轴对称图形，它的对称轴是_______，角的平分线上的点到这个角的两边的距离_______。
2、线段是轴对称图形，它的一条对称轴是_______，另一条对称轴是线段所在的直线。
3、线段垂直平分线上的点到这条线段_______。
例1．如图，在△ABC 中，BC=10，边BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E 和D ，BE=6， 求△BCE 的周长．变式训练1。
如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=3cm ，△ABC 的周长为13cm,求△ABC 的周长。
例2．如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D 到边AB 的距离为_____．A BCD E变式训练2.如图，在△ABC 中，∠A=90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE 是BC 的垂直平分线， 则∠C=_________拓展：1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，•DE•⊥AB ，GF ⊥AC ，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度．2．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ，若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，求线段DE 的长回顾小结： （1） 角是 图形。
线段的垂直平分线的性质教学设计
C、三条高的交点
D、三边垂直平分线的交点
2、如图所示，直线MN是线段AB的对称轴，点C在MN外，CA与MN相交于点D，如果CA+CB=8cm，那么△BCD的周长等于cm。
3、如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，且AP=5，那么PC=。
4、如图所示，已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长。
（三）自主归纳：
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。
数学语言：∵
∴
（四）学以致用：
1、如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6，BD=2.4，则四边形ACBD的周长为
2、如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长为。
《线段的垂直平分线的性质》教学设计
鹿泉区寺家庄镇中学段彦敏
基本信息
课题
线段垂直平分线的性质和判定
执教者
段彦敏
课时
1课时
所属教材
人教版八年级数学
教材分析
《线段的垂直平分线的性质》选自人教版《义务教育教科书八年级上册》第十三章《轴对称》第一单元第二课。在此之前，学生学习了全等三角形，并对轴对称的性质有了深刻的认识，为本节课的学习打下了基础。本节课的学习是今后证明线段相等和直线互相垂直的重要依据，因此本节课具有承上启下的作用。
教学目标
知识与能力目标
1、理解线段垂直平分线的性质和判定
2、能利用线段垂直平分线的性质和判定进行简单的推理、判断、计算。
过程与方法目标
经历线段垂直平分线性质探索和证明的过程，进一步发展学生的推理意识和逻辑思维能力，体验合作学习。
北师大版数学七年级下册 5.3线段的垂直平分线说课课件
以上是我对本节课的设计和思考，不足之处敬请各位老师指正！
谢谢大家观看！
教学过程
1.什么样的图形叫轴对称图形？
把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴。
温故知新
设计意图 通过复习轴对称图形，为学生探索线段垂直平分线的性质作准备。
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
例3 如图，A，B是公路l边上的两个新建小区，要在公路l边增加一个公共汽车站，这个公共汽车站P建在什么位置时，能使两个小区到车站的路程一样长?(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
设计意图 通过生活中的例子，让学生感受数学与生活紧密相连，激发学生学习的欲望。
探究活动1：线段的对称性
设计意图 指导学生动手实践，再与同伴之间交流合作。
A
（1）CO与AB有怎样的位置关系？
（2）AO与BO相等吗？CA与CB呢？ 能说明你的理由吗？
（3）在折痕上另取一点，再试一试。
A
O
O
想一想
设计意图 师生互动，根据刚才的实践，教师提出问题，学生回答。
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
归纳总结
设计意图 通过刚才几何画板的演示，总结出线段垂直平分线的性质。
典例精析
例1
利用尺规，作线段AB的垂直平分线。已知：线段AB。求作：AB的垂直平分线。
准备工具：圆规、直尺
北师大版数学七年级下册
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
3 简单的轴对称图形
第2课时 线段垂直平分线的性质
第五章 生活中的轴对称
北师大版数学七年级下册第2课时 线段垂直平分线的性质教案与反思
第2课时线段垂直平分线的性质路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》原创不容易，【关注】，不迷路！【知识与技能】1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质.2.尺规作图.3.应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题.【过程与方法】从生活实践中探索轴对称现象的共同特征，进一步发展空间观念.【情感态度】培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感.【教学重点】线段的垂直平分线的性质及作法、应用.【教学难点】用尺规作线段的垂直平分线.一、情景导入，初步认知1.什么是轴对称图形及轴对称图形的性质？2.下列图形哪些是轴对称图形？【教学说明】使学生对小学学过的生活中的轴对称图形进一步加深印象,熟悉轴对称图形及对称轴,为本节课学习做铺垫.二、思考探究，获取新知探究1：线段的对称性1.线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？2.做一做：按下面步骤做：①用准备的线段AB，对折AB，使得点A、B重合，折痕与AB的交点为O.②把纸展开.3.观察自己手中的图形，回答下列问题：①折痕与AB有什么样的位置关系？②AO与OB相等吗？能说明你的理由吗？【归纳结论】①线段是轴对称图形.它的对称轴有两条：一条是线段AB本身所在的直线；另一条是折痕.②它的对称轴垂直于这条线段并且平分它.③垂直于一条线段且平分这条线段的直线叫这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.探究2：垂直平分线的性质动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，再换别的点试试，你能发现什么？PA=PBP1A=P1B 由此你能得到什么规律？【归纳结论】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.【教学说明】可以运用全等来说明.教师适时的引导，学生的动手操作，有利于培养学生的观察和概括能力；充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想.探究3：作线段的垂直平分线1.已知线段AB，请画出它的垂直平分线.作法：第一步:分别以A、B为圆心,以大于AB一半的长度为半径画弧,两弧在AB 的两侧分别相交于点M和点N;第二步:过点M和点N画直线;直线MN就是线段AB的垂直平分线.2.各小组讨论：为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线？【教学说明】尺规作图能培养学生严谨的学习习惯，严密的逻辑思维和空间想象能力.尺规作图既能展现数学美，又能培养学生的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.见教材P124例12.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（B）A.6B.5C.4D.33.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°.线段AB的垂直平分交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（C）A.80°B.70°C.60°D.50°4.如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，求线段DE 的长.解：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE.∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴EDDC+EC=24，①BE+BD-DE=12.②①-②得，DE=6.5.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=3°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长.解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=A+∠ECD=72°∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5.6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连结BE.试判断EF与DE的数量关系并说明理由.解：（1）直线l即为所求.（2）EF=2DE.理由：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴∠ABC=60°，又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°又∵ED⊥AB，EC⊥BC∴ED=EC.在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，∴EF=2EC，∴EF=2ED.【教学说明】通过对不同题型的练习来对本节知识进行巩固.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.五、教学板书1.布置作业:教材“习题5.4”中第1、2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流的方式去获取数学知识.本节的教学主要是通过学生的动手实验来获取中垂线的有关知识，用纸张进行折叠活动使学生真正的经历了数学知识的形成过程，使课堂气氛变得生动而活泼.在得出实验结论后，提供典型的练习题和实际应用题，让学生经历数学知识的应用过程，同时培养他们解决实际问题的能力.【素材积累】从诞生的那一刻起，我们就像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。
初中数学北师大七年级下册(2023年新编) 生活中的轴对称线段的垂直平分线的性质教案
线段垂直平分线的性质【教学目标】1、知识与技能目标：经历探索、猜测、证明的过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
能够理解尺规作线段的垂直平分线的原理。
2、过程与方法目标：进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
4、情感态度与价值目标：能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．在数学活动中获得成功的体验，在解决问题的过程中体验求索的精神，以严谨的态度激发学习需求。
【教学重难点】重点：线段的垂直平分线的定理及逆定理；难点：线段的垂直平分线定理与逆定理的关系．【教学过程】一、思考探究，获取新知。
1、师：大家还记得如何得到线段的垂直平分线吗？有几种方法？方法一：利用折纸的方法得到线段的垂直平分线.是的，我们可以拿出一张纸，先折一下，折出这条线，然后再沿着这条线段对折，折出来的就是这条线的垂直平分线。
方法二：可以用尺规作出线段的垂直平分线.我们还可以运用尺规作图，大家知道要怎么画吗？（展示运用尺规作图的步骤）2、师：那同学们我们通过这些方法得到定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
那我们要如何证明呢？已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在MN上。
求证：PA=PB。
请你们自己思考探究并证明。
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
反过来，如果PA=PB，那么点P 是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上。
该定理可用几何语言表示为：∵CA =CB，l⊥AB或∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA =PB．3、师：你能写出这个定理的逆定理吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明。
二、运用新知，深化理解。
1、【例1】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.2、【拓展】如图，A,B表示两个仓库，要在A,B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？三、课堂小结。
《线段的垂直平分线》教案 北师大版
1．3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线1．掌握线段垂直平分线的性质；(重点) 2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)一、情境导入如图所示，有一块三角形田地，AB ＝AC ＝10m ，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得△BDC 的周长为17m ，你能帮测量人员计算BC 的长吗？二、合作探究 探究点一：线段的垂直平分线的性质定理【类型一】 应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为()A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm 解析：∵△DBC 的周长＝BC ＋BD ＋CD ＝35cm ，又∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，故BC ＋AD ＋CD ＝35cm.∵AC ＝AD ＋DC ＝20，∴BC ＝35－20＝15cm.故选C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【类型二】 线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD . 解析：(1)根据AD ∥BC 可知∠ADC ＝∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF 即可．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠ECF .∵E 是CD 的中点，∴DE ＝EC .又∵∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE ，∴FC ＝AD .(2)∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，AD ＝CF .∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB ＝BF ＝BC ＋CF .∵AD ＝CF ，∴AB ＝BC ＋AD .方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．探究点二：线段的垂直平分线的判定定理如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．解析：先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，易证AD 垂直平分EF .解：AD 垂直平分EF .理由如下：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠EAD ＝∠F AD ，∠AED ＝∠AFD .在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，DE ＝DF ，∴直线AD 垂直平分线段EF .方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．三、板书设计1．线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.。