2021高考数学二轮复习专题练大题每日一题规范练第二周含解析

大题每日一题规范练星期一(三角) 2021年____月____日【题目1】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在①(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ， ②b sinB ＋C2＝a sin B ，③cos 2A －3cos(B ＋C )＝1这三个条件中任选一个解答下列问题： (1)求A 的大小； (2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选择①.(1)由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即a 2－b 2＝c 2－bc . 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝53，b ＝5，A ＝π3，得c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.由正弦定理，得asin A ＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)，∴(2R )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin A 2＝28， ∴sin B sin C ＝bc（2R ）2＝57.选择②.(1)由正弦定理，得sin B sin B ＋C2＝sin A sin B .∵sin B ≠0，A ＋B ＋C ＝π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A ，即cos A 2＝2sin A 2cos A 2.又cos A 2≠0，∴sin A 2＝12.∵0<A <π，∴A 2＝π6，即A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝53，b ＝5，A ＝π3，得c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.由正弦定理，得asin A＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)，∴(2R )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin A 2＝28， ∴sin B sin C ＝bc（2R ）2＝57.选择③.(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，A ＋B ＋C ＝π， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0.解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去).∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝53，b ＝5，A ＝π3，得c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.由正弦定理，得asin A ＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)，∴(2R )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin A 2＝28， ∴sin B sin C ＝bc（2R ）2＝57.星期二(数列) 2021年____月____日【题目2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S n ＝2n ＋1－2.∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ， 又a 1＝2＝21适合上式， 故a n ＝2n (n ∈N *).(2)由(1)知b n ＝a n S n ＝2n (2n ＋1－2)＝2·4n －2n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2(4＋42＋…＋4n )－(22＋23＋…＋2n ＋1)＝2×4（1－4n ）1－4－4（1－2n ）1－2＝23·4n ＋1－2n ＋2＋43.星期三(概率与统计) 2021年____月____日【题目3】 第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行.为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)试根据频率分布直方图估计这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)； (2)若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率.解 (1)平均成绩x －＝0.02×45＋0.16×55＋0.22×65＋0.30×75＋0.20×85＋0.10×95＝73.00.(2)由题意知，从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中分别选取了3人，2人，1人.6人平均分成3组分配到3个社区，共有C 26C 24＝90(种)方法. 成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有A 33A 23＝36(种)，所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率p ＝3690＝25.星期四(立体几何) 2021年____月____日【题目4】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠DAB ＝60°.(1)证明：AD⊥PB；(2)若PB＝6，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值.(1)证明取AD的中点为O，连接PO，BO，BD，如图1，图1∵底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BO⊥AD.又PA＝PD，即△PAD是等腰三角形，∴PO⊥AD.又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面PBO，∴AD⊥平面PBO，又PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB.(2)解∵AB＝PA＝2，∴由(1)知△PAD，△ABD均是边长为2的正三角形，则PO＝3，BO＝3，又PB＝6，∴PO2＋BO2＝PB2，即PO⊥BO，又由(1)知，BO⊥AD，PO⊥AD，∴以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系.图2则D (－1，0，0)，P (0，0，3)，C (－2，3，0)，B (0，3，0)，PB →＝(0，3，－3)，DP →＝(1，0，3)，CD →＝(1，－3，0).设n ＝(x ，y ，z )是平面PCD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DP→＝0，n ·CD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，x －3y ＝0，取y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝－1，即n ＝(3，1，－1)为平面PCD 的一个法向量.设直线PB 与平面PDC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈PB →，n 〉|＝|0×3＋3×1＋（－3）×（－1）|6×5＝105，∴直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为105.星期五(解析几何) 2021年____月____日【题目5】 已知定点A (－3，0)，B (3，0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－19，记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点T (1，0)的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，是否存在定点S (x 0，0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在，求出S 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设动点M (x ，y )，则直线MA 的斜率k MA ＝yx ＋3(x ≠－3)，直线MB 的斜率k MB ＝yx －3(x ≠3).因为k MA ·k MB ＝－19，所以y x ＋3·y x －3＝－19，化简得x 29＋y 2＝1.又x ≠±3，所以曲线C 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠±3).(2)由题意得直线l 的斜率不为0，根据直线l 过点T (1，0)，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋9y 2＝9，消去x 得(m 2＋9)y 2＋2my －8＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋9，y 1y 2＝－8m 2＋9.又k SP ＝y 1x 1－x 0＝y 1my 1＋1－x 0，k SQ ＝y 2x 2－x 0＝y 2my 2＋1－x 0，k SP ·k SQ ＝y 1y 2（my 1＋1－x 0）（my 2＋1－x 0）＝y 1y 2m 2y 1y 2＋m （1－x 0）（y 1＋y 2）＋（1－x 0）2＝－8（x 20－9）m 2＋9（1－x 0）2， 当x 0＝3时，∀m ∈R ，k SP ·k SQ ＝－89（1－x 0）2＝－29；当x 0＝－3时，∀m ∈R ，k SP ·k SQ ＝－89（1－x 0）2＝－118. 所以存在定点S ，其坐标为(3，0)或(－3，0)使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值.星期六(函数与导数) 2021年____月____日【题目6】 已知f (x )＝e x ，g (x )＝x ＋1(e 为自然对数的底数). (1)求证：f (x )≥g (x )恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n ＜m ，求m 的最小值.(1)证明 令h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －x －1， 则h ′(x )＝e x －1，当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＜0，当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＞0， 故h (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0恒成立， 所以f (x )≥g (x )恒成立.(2)解 由(1)可知1＜1＋13n ≤e 13n ，由不等式的性质得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n ≤e 13·e 132·e 133·…·e 13n ＝e13＋132＋133＋…＋13n＝e13[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ]1－13＝e 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＜e 12＝e ＜2.所以m 的最小值为2(m ∈N *).。