数理方法第一章

z n , n 0, 1, 2, z i ln(2 3 )

2
2n , n 0, 1, 2,
反三角函数
Arcsinz iLniz
Arccos z iLn z z 1
2 2
1 z
i 1 iz Arctan z Ln 2 1 - iz
-<Rez<+, 举例 求z平面上带形区域 z
0<Imz<经 =e 变换后在平面上的图形。
=ez
x x R , y 0 u e 0, v 0 注意 x R, y u e x 0, v 0
根式函数
2k 2k z r cos i sin 2 2
e z e x cos y i sin y
z x iy
指数函数 ห้องสมุดไป่ตู้质
e z e x , Arg e z y
y 0时, e e ; x 0时, e cosy isiny
z x iy
exp(z1 z2 ) exp(z1 ) exp(z2 )
exp(z i2 ) exp(z)
(2) 1
(i) 4 2 expi3 / 8
(0) expi / 2 i
(i) 4 2 expi5 / 8
举例2 设 z 1，规定(2)=1, 讨论z沿C1或C2
连续变化到原点时，函数(0)的值。 当z沿C1移动到z=0时，arg(z-1)|z=0=
除法运算
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
共轭运算 复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy
共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点

复球面
无穷远点
举例
z1 z1 设z1 5 i5, z 2 3 i 4, 求 和 z2 z2
*
设z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2为两个任意复数， 证明：z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 )
对数函数
Lnz ln z iargz 2kπ , k 0,1,2,
其中arg z是z的主幅角
lnz ln z iargz被称为Lnz的主值
性质1
Lnz : 给定一个z值，有无穷多个 值
单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域
限制值域
Riemann面
性质2

复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减运算 z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 ) 复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
- z2 z1 +(- z2)
乘法运算
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ) r1r2 exp[i(1 2 )] r1r2 cos(1 2 ) i sin(1 2 )
双曲函数
1 z z cosh z e e 2 1 z z sinh z e e 2




e z e z tanhz z z e e
性质
1. 以2i为周期
2. 与正弦函数、余弦函数的关系
3. 恒等式
反双曲函数
Arcsinh z Ln z z 2 1
感兴趣的方向
光学传输理论 非线性动力学 孤子理论 计算物理

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数学物理方法
复变函数 数学物理方程

参考文献



数学物理方法，吴崇试 数学物理方法，梁昆淼 数学物理方法，郭本宏 Methods of Mathematical Physics， H.Jeffeys and B.Jeffeys，Third Edtion，Cambridge University Press,1972 MatLab工程数学应用，许波，刘征编著 Mathematica 4.0使用教程，刘元高，刘耀儒 Maple计算机代数系统应用及程序设计，李世 奇，杜慧琴
限制值域
限制值域的幅 角范围为[0,)
0
1
限制值域的幅 角范围为 [,2)
扩大定义域
r cos i sin 2 2
Riemann面
举例1 设 z 1，规定0arg(z-1)<2，求
(2), (i), (0), (-i)。
0 arg(z 1) 2
第一章 复数与复变函数

第一节 第二节 第三节 第四节
复数及运算 区域 复变函数 复变函数的极限和连续性
第一节 复数及运算

复数的概念 形如z=x+iy的数被称为复数，其 中x , yR。x=Rez，y=Imz分别为 z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数
复数相等
z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
第三节 复变函数

复变函数之定义
设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法 则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z， 有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数 是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。
说明1
如果z的一个值对应着的唯一一个值，那么 我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着 多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。
定理2
如果 lim f ( z ) A， lim g ( z ) B，那么
z z0 z z0 z z0
lim f ( z ) g ( z ) A B
z z0
lim f ( z ) g ( z ) A B
z z0
lim f ( z ) / g ( z ) A / B, B 0
y 1+i
-1
O -i
2
x
三角函数
1 iz iz sin z e e 2i 1 iz iz cos z e e 2




sin z tan z cos z cos z cot z sin z
性质
周期性
恒等式
非有界函数
举例
1. 求解sinz=0的全部根 2. 求解sinz=2的全部根
说明2
复变函数=f(z)可以看作是z平面到平面 上的一个映射。
=f ( z)
z平面
平面
复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)， 其中是z=x+iy
举例
求0<<, 0<r<1经=iz变换后在平面上 的图形。
=iz=zexp(i/2)
z平面
平面

复变函数举例—基本初等函数
将过两点z1 x1 iy1 , z2 x2 iy 2的直线方程 用复数形式来表述。
求(1 i) 和4 1 i
100
第二节 区域

区域的概念
平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成 的集合，称为z0的 -邻域 z0 z0
邻域
|z-z0|<
0<|z-z0|<
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
z1 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i 2 2 2 2 z2 x2 y 2 x2 y 2 r1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) r2 r1 exp[i(1 2 )] r2
z z0
lim f ( z ) A
定理1 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A= u0+iv0，z=x0+iy0，
那么
z z0
lim f ( z ) A
x x0 y y0 x x0 y y0
lim u ( x, y ) u0 lim v( x, y ) v0
D
z1
z2 p
闭区域
区域D连同它的边界D一起构成闭区域，记为D
y
R
y
R
y
r R
O
x
O
x
O
x
| z | R
y
2
| z | R
y
1
r | z | R
y
O
1
O
x
-R
O
R
x
x
1 arg z 2
Im z 0
| z | R, Im z 0

单连通域与多连通域
设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条 简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲 线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称 为多连通区域。
恒等式
Lnz1 z2 Lnz1 Lnz2
Lnz1 / z2 Lnz1 Lnz2
下列式子不成立
Lnz n nLnz lnz1 z2 lnz1 lnz2 Lnn z 1 / nLnz
注意
符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别
举例
计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)
其中z re , k 0,1, 是主幅角
记
i
0 r cos i sin 2 2
1 r cos i sin 2 2
注意
根式函数是多值函数
单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域
复平面
虚轴
z平面
复数z=x+iy