数学物理方法(傅里叶变换法)
数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。
通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。
本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。
一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。
设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。
傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。
通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。
2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。
3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。
4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。
5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。
数学物理方程第五章_傅里叶变换
阜师院数科院
2.奇函数和偶函数的傅里叶展开
sin kx l
是奇函数，cos
kx l
是偶函数。
故 奇函数 f(z) 有
f
(x)
bk
k 1
sin
kx
l
,
其中
bk
1 l
l l
f ( )sin
k l
d .
偶函数 f(z) 有
f
(x)
a0
k 1
ak
cos
kx ,
l
其中
ak
1 kl
l f ( ) cos k
0.
(5.1.3) (5.1.4)
因此
akbk11lk l
l l l
f
l
f ( ) cos k d l
( ) sin k d. l
,
此为傅里叶系数
(ห้องสมุดไป่ตู้.1.5)
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。
狄里希利定理
函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收 敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致
i kx
f (x) cke l ,
k
其中
ck
1 2l
l
f
(
i
)[e
kx l
]*
d
.
l
2i
例 矩形波
f
(x)
1 1
(2m , (2m 1) ) ((2m 1) ,2m )
f (x) ck eikx , k
1
ck 2
f ( )eikxd 1
数学与物理学中的傅里叶变换及其应用
数学与物理学中的傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在数学和物理学中广泛应用的数学转换。
它是将一个时域信号（即随时间变化的函数）转换成一个频域信号（即随频率变化的函数）。
这种转换可以有很多应用，在数学和物理学中都非常重要。
最初，傅里叶变换是由法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）于19世纪发明的。
当时，他在研究热传导方程时发现，任何一个周期性函数都可以表示为一些正弦及余弦波的线性组合。
而这种线性组合就可以通过傅里叶变换得到。
傅里叶变换可以将连续时域信号（如音频信号、电信号等）表示成为连续频域信号。
例如，一段时间内的声音可以通过傅里叶变换变成不同频率的声音组合。
同时，傅里叶变换也可以将离散时域信号（如数字信号）表示为离散频域信号。
例如，在数字图像处理中，离散傅里叶变换可以将图像转换为一组频谱信息，从而方便进行图像的处理和分析。
傅里叶变换不仅可以用于信号分析，也可以广泛应用于物理学中的波动问题。
例如，光波、声波、电磁波等都可以通过傅里叶变换进行分析，并可以显示出不同波长和频率的成分。
在量子力学中，傅里叶变换也被广泛用于波函数的计算。
傅里叶变换在实际应用中是非常常见的。
例如，人们通过在电视上观看一部电影时，所看到的影像和声音都是通过傅里叶变换来得到的。
当人们在各种应用中收听音乐、观看电影、处理图像时，傅里叶变换都会被广泛应用。
此外，傅里叶变换在通信技术中也有着非常重要的应用。
通过傅里叶变换可以将信号分解成不同的频率成分，然后通过信号加密、压缩等方式对信号进行处理。
最后，需要指出的是，傅里叶变换并不是万能解决方案。
它只是一种将时域信号转换为频域信号的方法，而不是一种能够解决所有问题的黑盒子。
因此，在应用傅里叶变换时，需要对其能解决的范围进行了解，并针对不同的问题进行处理。
总的来说，傅里叶变换是一种非常重要的数学转换，在数学和物理学的研究和应用中占据着重要的位置。
简述傅里叶变换
简述傅里叶变换傅里叶变换是现代数学、物理及工程学的基石之一，它能将一个时间域信号转换成一个频域信号，为各种信号处理、控制、通信、图像处理等领域提供了有力的工具，是第一次把两个物理量之间的变换相结合，并在证明中使用了一些非常复杂的数学方法以及接近两个世纪的科学发展而发明的。
一、傅里叶变换的定义傅里叶变换是指将一个时间域函数f(x)转换成一个频域函数F(u)的过程。
其定义是：$$F(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-jux}dx$$其中，j为虚数单位，u为频率，f(x)为原信号，F(u)为转换后的频率信号。
该公式中，积分的上下限为负无穷到正无穷。
分析以上公式，可以发现傅里叶变换有以下几个特点：1. 将原信号f（x）从时域转换到频域；2. 傅里叶变换公式是一个积分表达式，波形的具体形式决定了计算的难度；3. 积分变量是虚数u，表示频率；4. 傅里叶变换是线性的。
二、傅里叶变换的性质1. 时间移位性质该性质指的是如果将函数f(x)向右移动a单位，则傅里叶变换的频域函数F(u)将乘以e^-j2πau：$$FT(f(x-a)) = F(u) \cdot e^{-j2\pi ua}$$2. 频率移位性质该性质是当函数f(t)乘以一个复指数时，经傅里叶变换后，其频率也将发生移位。
$$FT(e^{j2\pi Tu}f(t)) = F(u-T) $$其中T是一个常数，表示频域移位的量。
3. 线性性质傅里叶变换是线性的，即对于任何两个函数f1(t)和f2(t)，有：$$FT(af_1(t)+bf_2(t)) = aF_1(u)+bF_2(u)$$其中a和b是任何常数。
4. 傅里叶变换的共轭对称性傅里叶变换具有共轭对称性，即：$$F^*(u) = F(-u)$$5. 卷积定理该性质的表述是：f和g的卷积时f和g的傅里叶变换的乘积。
即：$$FT(f*g) = FT(f)\cdot FT(g)$$其中“*”表示卷积操作。
数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
傅里叶变换方法
傅里叶变换方法一、傅里叶变换方法简介傅里叶变换是一种分析信号的数学工具，可以将一个时间域函数转换成一个频率域函数。
它是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的，并且在现代通信、图像处理、声音处理等领域有广泛应用。
二、离散傅里叶变换（DFT）方法1. 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换（DFT）是一种将有限长度序列转换为具有相同长度的离散频率序列的算法。
它可以用于数字信号处理中，例如数字滤波器设计、频谱分析等。
2. DFT算法步骤DFT算法步骤如下：a. 将输入序列拆分成偶数和奇数部分。
b. 对偶数和奇数部分进行递归计算DFT。
c. 将两个部分合并为一个序列，并进行后续计算。
d. 重复上述步骤，直到得到最终结果。
3. DFT算法实现DFT算法可以使用FFT（快速傅里叶变换）来实现。
FFT是一种高效的计算DFT的方法，可以大大提高计算速度。
FFT算法的实现可以使用C语言、Python等编程语言。
三、傅里叶变换在信号处理中的应用1. 信号滤波傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而可以进行滤波操作。
例如，对于一段音频信号，我们可以使用傅里叶变换将其转换为频谱图，并通过滤波器来过滤掉不需要的频率成分。
2. 图像处理在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像增强、去噪等操作。
例如，在图像增强中，我们可以对原始图像进行傅里叶变换，然后通过调整频率域的值来增强图像的对比度和清晰度。
3. 声音处理在声音处理中，傅里叶变换可以用于声音压缩、降噪等操作。
例如，在声音压缩中，我们可以对原始声音进行傅里叶变换，并通过删除一些低幅度的频率成分来减小文件大小。
四、总结以上是关于傅里叶变换方法的简介以及在信号处理中的应用。
DFT是一种常见的计算离散频谱的方法，并且可以使用FFT算法来提高计算速度。
在实际应用中，傅里叶变换可以用于信号滤波、图像处理、声音处理等领域，具有广泛的应用前景。
数学物理方法2019傅里叶变换
Em, Em,
0t t
Em
o
t
将其展开为傅立叶级数.
Em
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点x n(n 0,±1,±2, )处不连续.
收敛于 Em Em Em(Em) 0,
2
2
当x n时, 收敛于f ( x). 和函数图象为
ak
1
u(t)cos ktdt
1
0
(
Em
的拉氏逆变换．
5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的 周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关 系的正弦信号的加权和”—— 傅里叶的第一个主要论点
数学物理方法2019傅里叶变换
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 f ( t )
，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
b
F() f (t)K(t,)dt a
变为另一函数类 B中的函数 F ( ) , 这里 K (t, ) 是一个确
定的二元函数，通常称为该积分变换的核．F ( ) 称为 f ( t )
的傅里叶逆变换．
（2）特别当核函数 K(t,p)ept（注意已将积分参变量
改写为变量 p ），当 a0,b，则
F(p) f(t)eptdt 0
称函数 F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称
F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉氏变换．同时我们称 f ( t ) 为 F ( p )
记
a0 2
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dV
1
4a
(r)
14
1 r
(r
at
)eik
(
r
r
)
dk1dk2
dk3
dV
应用延迟定理
U (r,t)
1
4a
t
(r) (| r r | at)dV
| r r |
1
4a
(r) (| r r | at)dV
O
即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,
即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.
例5 恒定表面浓度扩散 在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体 中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由
于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求 是半无界空间x>0中的定解问题
第十三章 积分变换法
拉普拉斯变换求解常微分方程，变换后，常微分方程变成了 代数方程，求解后再进行逆变化就得到了常微分方程的解。 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程 得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后， 再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换 还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往 往不能。 本章主要介绍傅里叶变换法、拉普拉斯变换在求解偏微分 方程中的应用。
x at
( )d
达朗贝尔公式
2
2a xat
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx) 0( x )
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t, k) (k)ek2a2t
扰动已经过去.
16
例7 推迟势 求解三维无界空间中的受迫振动
utt a23u f (r, t) u |t0 0, ut |t0 0
解 做傅里叶变换,变为非齐次常微分方程的初始值问题
U k 2a2U F (t; k) U |t0 0,U |t0 0
其中 (x)，(x) 分别是 (x), (x) 的傅里叶变换，这样原来
的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
U (t, k) A(k)eikat B(k)eikat
代入初始条件可得：A(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
1
4aBiblioteka (r)[1
4 2
1 ik
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
利用5.3例1的结果
U (r,t)
1
4a
t
(r)
1 r
(
r
at
)eik
(
r
r
)
dk1dk2
dk3
dt
对t积分一次，并考虑零初始值可得：
U (t; k) ek2a2t t F ( ; k)ek2a2 d 0 t f ( , )eik ek e 2a2t k2a2 dd 0
进行傅里叶逆变换
u(x,t) 1
2
t 0
1
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是
离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于
无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是
连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积
分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。
例1 求解无限长弦的自由振动
1
2a t
e
(
x ) 4a2t
2
d
0 2 ex2 /4a2t
高斯函数
2a t
8
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
u( x, t )
硅1
的分布情况,曲线1对应于较早的时刻
片 表
2
2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓 面
3
x
度趋于均匀,曲线下的面积为 0
2
积分公式： e 2k2 ek dk ( / a)e 2 / 4 2
令 a t , i(x ) 利用上述公式可得
u(x,t) ( )
1
e
(
x )2 4a2t
d
2a t
例3 求解无限长细杆的有源热传导问题
utt u |t
0
a2u
xx 0( x
(x),ut |t (x)
)
解： 应用傅里叶变换，即用 eikx / 2 同乘方程和定解条件
中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则
2
定解问题变换成：U k 2a2U 0
U |t0 (x),U |t0 (x)
r at
的面积元,此即泊松公式.
15
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为
球心,以at为半径作球面
S
r at
然后拿初始扰动 (r), (r)
按泊松公式在球面
S
r at
上积分
,波动以速度a传播,只有跟点r
相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到r
(x 2a
t
)
记做erfcx,则有
u( x, t )
N0erf
c
x 2a
t
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
分布情况,曲线1对应于某个较早的时 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很
余误差函数
u( x, t )
硅
片
表
3
面
2 1
O
t
x
明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线)
uut|x0a2uNxx0 0
u |t0 0
9
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令 u(x,t) N0 w(x,t)
则化为关于w的定解问题:
wt w |
a2 x0
wxx u |x
0
0 N0
0
w |t0 u |t0 N0 N0
ut a2uxx f (x, t)( x ) u |t0 0
解： 作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：
U k 2a2U F (t; k)
U |t0 0
5
e 用 k 2a2t 同乘方程各项，可得：
d U (t, k)ek2a2t F (t; k)ek2a2t
13
1
4a
(r)[
1
4 2
1 ik
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
1
4a t
(r)[
1
4 2
1 ik
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
f
(
,
)ek 2a2
(t
e) ik
dd
eikxdk
交换积分次序可得：
u(x,t)
t 0
f ( , )
1
2
e
k
2a
2
(t
)eik
(
x
)
dk
dd
6
并利用积分公式可得最后的结果为：
u(x,t)
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即
wt a2wxx 0
w
|t
0
N0 N0
( (
x x
0) 0)
引用例2结果可得
w(x,t)
0
N0
1
2a t
e d
(
x ) 4a2t
2
0
N0
1
2a t
e d
(
x )2 4a2t
初始扰动只限于区域T0,如图,取一定点r,与T0
最小距离为d,最大距离为D,当t<d/a,
S
r at
跟
T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋
T0 d
Dr
没有到达r,当d/a<t<D/a,
S
r at
跟T0
相交,
u(r, t )
0
扰动到达r,当t>D/a,
S
r at
包围了T0,但跟T0不相交,u(r,t)=0,表明
进行傅里叶逆变换可得：
u(x, t) F 1[U (t, k )] (k )ek2a2teikxdk
1
[
(
)e
ik
d
]e
k
2
a
2t
e
ik
x
dk
2
4
交换积分次序
u(x,t) 1
( )[