人教版四边形总复习
四、解答题
如图，甲、乙为两边平行的两张纸条，①将它们按如图（一） 放置，则重叠部分是什么图形？并证明你的猜想。②将两纸条 按什么位置放置，重叠部分是矩形？③两张纸条满足什么关系 时，重叠部分是菱形？④怎样使重叠部分为正方形？
答：① 平行四边形（如图一）；② 垂直放置（如图二）；
③ 两张纸条宽度相等（如图三），证明如下；
一个角为直角 + 一组邻边相等 + 平行四边形
= 正方形
B
2. 一组邻边相等 + 矩形 = 正方形
C
3. 一角为90°+ 菱形 = 正方形
知识联系：1. 类比等边三角形 2. 等腰直角三角形
关系 图
峰 高
攀
勇
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大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
练习题
一、根据图形所具有的性质，在下列表中打上“”或者 “×”。
一、理论复习
矩形
四 边形
平 行 四 边 形 一角为直角且一组邻边相等
菱形
正方形
梯形
关系图
二、综合应用
平行四边形 定义：两组对边都平行的四边形叫平行四边形。
性质：1. 平行四边形的对角相等。（邻角互补）
2. 平行四边形的对边相等。（且对边平行）
3. 平行四边形的对角线互相平分。 A
O
判定: 1. 定义判定法。
∴ CO=DO
∴ 四边形COPD是菱形
本题既用到平行四边形和菱形的判定，又用到了矩形 的性质,有一定的综合性。如果题目中的矩形变为菱形 (图一)，结论应变为什么？如果题目中的矩形变为正方 形(图二)，结论又应变为什么？书上 (2) 第196页8、10、11题做在作业本上
图形
性质 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 四条边相等 四个角相等
对角线互相垂直 对角线相等 对角线平分一组对角
二、选择题
“ 的四边形是正方形 ” 中下列不正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分且相等；B. 四边相等且一角为直角；
C. 三角为直角且邻边相等； D. 一组邻边相等，一角为直角。
已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O，CP∥DB,
DP∥AC, CP与DP相交于P点，求证：四边形CODP是
菱形。
分析：OC与OD的双重角色
A
B
证明: ∵ CP∥DB, DP∥AC
∴ 四边形CODP是平行四边形
D
O C
又∵ 在矩形ABCD中
P
CO 1 CA, DO 1 DB, CA=DB
2
2
三、填空题
（答案: D ） 反例
1.对角线 的四边形是平行四边形。 （互相平分）
2.
的平行四边形是矩形。 （一角为直角或对角线相等）
3.对角线 的四边形是菱形。 （互相垂直且平分）
4.正方形的对角线为4cm，它的面积为 。（8cm2）
5.菱形的对角线长为6和8，则其周长为 ，面积为 。 （20，24）
菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 A
性质：1. 菱形具有平行四边形的一切性质。
2. 菱形的四条边都相等。
B
3. 菱形的对角线互相垂直（平分）
OD
且一条对角线平分一组对角。 判定：1. 定义判定法：
C
一组邻边相等 + 平行四边形=菱形
2. 四条边都相等的四边形是菱形。
3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 知识联系：等腰三角形，直角三角形
④ 两张宽度相同的纸条垂直放置（如图四）。
甲 乙 （图一）
甲
乙 （图二）
A
甲
BE
乙
D
F C
（图三）
甲 乙 （图四）
（二）证明：作AE⊥BC,AF⊥CD 则AE=AF
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠B = ∠D
∴ Rt⊿ABE ≌Rt ⊿ADF
∴ AB=AD ∴ 平行四边形ABCD为菱形。
五、证明题
定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
性质：1. 矩形具有平行四边形的一切性质。
2. 矩形的四个角都是直角。 A
D
3. 矩形的对角线相等。（互相平分） O
B
C
判定：1. 定义判定法：90°+ 平行四边形=矩形
2. 有三个角是直角的四边形是矩形。
3. 对角线相等的平行四边形是矩形。
知识联系：1. 等腰三角形 2. 直角三角形
B
2. 两组对角相等的四边形是平行四边形。
D C
3. 两组对边相等的四边形是平行四边形。
4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
知识联系：1.平行线的性质与判定。2.全等三角形（四对）。
3. ⊿ABO、⊿ BCO、 ⊿ CDO、 ⊿ DAO等面积。
矩形
正方 形 定义：一个角为直角 + 一组邻边相等 + 平行四边形 = 正
方形（又叫正四边形）。
性质：1. 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
2. 正方形四个角都是直角，四条边都相等。
3. 正方形的两条对角线相等，并且互相垂 A
D
直平分, 每一条对角线平分一组对角。
判定：1. 定义判定法： O
人教版八年级下册第十八章： 四边形全章复习(特色班)
四边形全章复习【课题】：四边形全章复习【教学目标】：1．通过复习使学生进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系。
2．进一步运用平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定进行简单的证明和计算；3．进一步提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力，使学生掌握几何证明中的分析、综合、转化、分类等数学思想；进一步渗透数学的形式美和内涵美、抽象美和逻辑美，提高学生数学美的鉴赏能力。
【教学重点】：平行四边形的概念、性质和判定及与其它图形之间的联系。
【教学难点】：思维能力、推理能力的的提高。
【教学突破点】：用框架图使本章知识条理化、系统化.【教法、学法设计】： 1.教法：引导复习法，指导归纳总结法，综合练习法。
2.学法：主动归纳总结复习法，反思学习法，主动练习法。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：课后练习：1．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形共有（ ）A ．2对；B ．3对；C ．4对；D ．5对．2．已知△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 是中线，则AD 的取值范围是（ ） A ．68AD << B ．17AD << C ．34AD << D ．214AD <<3．等腰梯形各边中点的连线组成的四边形为（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形4．已知菱形的周长为，面积为16，则这个菱形较短的对角线长为（ ） A ．4B ．8C ．D ．105．如图，面积为16的平行边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O ，且与AB 、CD 分别交于点E 、点F ，则图中阴影部分的面积为___________B6．如图，已知图中每个小正方形方格的边长为1，则点C 到AB 所在直线的距离等于_______7．如图，点P 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一动点，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，则MP ＋NP 的最小值为____________8．如图，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AD > CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C ′处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C ’E （1）求证：四边形CDC ’E 是菱形；（2）若BC = CD + AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明.C'EDCBA答案：1．D 2．B 3．B 4．A 5．4 6．2 8．（1）证明：根据题意，可知：CD = C ’D ，∠C ’DE =∠CDE ，CE = C ’E ， ∵ AD ∥BC ， ∴ ∠C ’DE =∠CED. ∴ ∠CDE =∠CED. ∴ CD = CE. ∴ CD = C ’D = C ’E = CE. ∴ 四边形CDC ’E 为菱形.（2）答：当BC = CD + AD 时，四边形ABED 是平行四边形. 证明：由（1）知CE = CD. ∵ BC = CD + AD ， ∴ AD = BE. 又∵ AD ∥BE ， ∴ 四边形ABED 为平行四边形.A BCDPM N26．（1）①S 阴影=()224ab π-②连结PP ′，证△PBP ′为等腰直角三角形，从而PC=6;（2）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置，由勾股逆定理证出∠P ′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P 在对角线AC 上.。
人教初中数学八下 18 平行四边形总复习课件 【经典初中数学课件汇编】
b3
h
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ”
形 如 a ( a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方, a ≥0 ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(5) (1 2)2 ( 21)2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
思考：若m(m m 24)82 m 416m4, 则m的取值范围是 _________
1.若 (1x)2 1x ,则x的取值范围为 A
((A) x)≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2
7 _____;
1 22_____.
一般地,二次根式有下面的性质:
2
a aa0
面积 a a
a
2
2
1
32______,2
2 7
______,3
213
________,
4
52________,5
232________.
? 一般地,二次根式有下面的性质:
性质1: a 2a (a0) 1149a765
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) x 5 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x
例2 当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
练习、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1
(2) 3x
(3)4x2 1
(4)x1
(5) x3
人教版三年级上册数学第七单元 复习 四边形 课件
①
②
③
④
用两副同样的三角尺，分别拼成一个长方形和一个 正方形。
两两副副两可同三副能样角同拼的尺样成三一的一角定三个尺能角正一拼尺方定成可形能一能 。拼个拼成长成一方一个形个长。长方方形形。，也
周长
封闭图形一周的长度，是它的周长。
思考2：要算正方形的边长 知道些什么条件？你能算吗？
探究1.用16厘米的铁丝围成一个长是5 厘米的长方形，问宽是多少厘米？
5厘米
16-5-5=6（厘米） 6÷2=3（厘米）
5厘米
探究1.用16厘米的铁丝围成一个宽是3 厘米的长方形，问长是多少厘米？
16-3-3=10（厘米）
3厘米
3厘米
10÷2=5（厘米）
正方方形形5的+的5周+边5长+长5==边是2长多0（+少边厘。长米+）边长+边长
5正×方4形= 的20周（长厘=米边）长×4
长+长+宽+宽
长+宽+长+宽
长×2+宽×2
（长+宽）×2
你认为哪一种计算方法更简便？
思考1：算长方形的长， 要知道些什么条件？你能算吗？ 算长方形的宽， 要知道些什么条件？你能算吗？
我们用到了哪些工具可以得到周长？ 软尺 绳子 化曲为直 直尺、三角尺
组合图形的周长
沿着这个组合图形边缘一周的长度。
下面每组图形的周长一样吗？你是怎样想的？
一样
平移 不一样
.下图的长方形纸片被分成了两个部分，哪个部分的 周长长？
一样长
6 厘长米
4 厘宽米
长思方考形：和正要方算形长的方周形长的周长 必须6 厘要米知道4 厘些米什么6 厘条米件？4 厘米
九年级数学第九章 四边形人教版知识精讲
九年级数学第九章四边形人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第九章四边形［复习目标］1. 掌握多边形的有关概念，多边形的内角和、外角和定理；2. 掌握四边形的内角和、外角和性质并会应用；3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，及它们的判定定理，性质定理及它们之间的区别与联系；4. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，及它们的判定定理，性质定理及应用。
5. 掌握平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线定理。
6. 掌握中心对称和中心对称图形概念，并会作中心对称图形。
［知识回顾］（一）知识归纳：四边形—平行四边形—矩形菱形—正方形—中心对称梯形—等腰梯形直角梯形—平行线等分线段—中位线⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪（二）几种特殊四边形的判定：1. 平行四边形：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
2. 矩形：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角是直角的四边形。
3. 菱形：（1）四条边都相等的四边形；（2）一组邻边相等的平行四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形。
4. 正方形：（1）一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形；（2）对角线互相垂直且相等的平行四边形。
5. 等腰梯形：（1）两腰相等的梯形；（2）在同一底上的两个角相等的梯形。
（四）与四边形有关的其它重要定理： （1）多边形内角和：（n －2）×180° 外角和：360°()四边形内角和：°，有条对角线。
360n n -32（2）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
（3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
人教版中考数学考点系统复习 第五章 四边形 微专题(四) 矩形的折叠问题
EA′＝EA
拓展折法：如图⑤，当点B′恰 好落在CD边上时，设A′B′交AD
于点P.
图⑤：过点E作 EG⊥BC，则
△EFG∽△BB′C △A′EP∽△DB′P △CFB′∽△DB′P △BB′F为等腰三角形
4．★如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上 的点A′处，点D的对应点为点D′.若A′B＝3，则DM＝2 2 .
4 B.3
3 C.2 D.53
类型三：折痕过两边
基本折法
结论
如图④，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD， 图④：△ABE≌△A′B
BC上，沿EF将四边形ABFE折叠得到四边形A′B
′E
′FE，点B′恰好落在AD边上．
四边形BFB′E是菱形
△B′EF为等腰三角形
∠B′FE＝∠BFE
FB′＝FB，
基本折法
结论 图②：△DBC∽△PDE △BDA∽△PDE △BPE≌△BPA
基本折法
结论
图③：△GCB∽△GEF △GEF∽△PDF △BPE≌△BPA
3．★(2021·遂宁)如图，在矩形ABCD中ห้องสมุดไป่ตู้AB＝5，AD＝3，点E为BC上一
点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的点F处，则CE的长（ D ） A．1
微专题(四) 矩形的折叠 问题
类型一：折痕过对角线 基本折法
如图，点P是矩形ABCD边AD上一点， 当点P与点D重合时，将△ABP沿BP折
叠得到△EBP，BE交CD于点H.
结论
△BPE≌△BPA； △BCH≌△DEH； △DEH是直角三角形； △BHD是等腰三角形
1．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落 在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AC的长为4 5 cm，S△COE＝ 66 cm2.
人教版小学数学几何知识点精讲：平行四边形
专题二平面图形类型三平行四边形【知识讲解】1.定义两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，用端点大写字母按顺或逆时针顺序表示，如：平行四边形ABCD（如图1）2.基本公式:平行四边形的周长=2X（长+宽）平行四边形的面积=底乂高3.底和高注意:诈言时委帛三角除上的直角.底土的小方桓表示宜肓.戏;门遷常九它小股凳.只要是宜角既一走要录小枣巽=C2）底利言是一一就应於！艺帚的小視巽畝在邱条边上，它裁是这条边为底时的对应盒；〔幻国d丰.医是DC边的藝应壽，宪对不能说挂是担过並意）【典例精讲】（如图）请回忆老师引导你推导平行四边形面积公式的情境，给（1）、（2）填空；（3）计算。
1A（1）以将平行四边形转化为长方形来推导平行四边形的面积公式，把平行四边形转化成长方形采用的方法是：（2）观察转化前的平行四边形与转化后的长方形，你发现了什么？（请写在下面的横线上，至少写三条）（3）计算上面平行四边形的面积。
（先动手在图中量出计算时需要的数据，再算出它的面积）【答案】（1）剪拼法；（2）长方形的长就是平行四边形的底、长方形的高就是平行四边形的高、长方形的面积等于平行四边形的面积.（3）平行四边形的底是2厘米，高是1厘米，平行四边形的面积=2x1=2（平方厘米）。
答：平行四边形的面积是2平方厘米。
【解析】（1）从左边沿平行四边形的高剪下一个直角三角形，拼到平行四边形的右侧，就形成了一个长方形，从而利用剪拼法就可以推导出平行四边形的面积计算公式。
（2）观察转化前的平行四边形与转化后的长方形，发现：长方形的长等于平行四边形的底、长方形的高等于平行四边形的高、长方形的面积等于平行四边形的面积；（3）分别量出平行四边形的底和高，就可以计算其面积。
【巩固练习】一、选择题。
1.在一个平行四边形里，其中两条边的长度分别是8厘米和5厘米.这个平行四边形的周长是（）。
2.—个平行四边形的一组邻边分别长8厘米和12厘米，平行四边形的一条高A.13厘米B.40厘米C.26厘米是10厘米，这个平行四边形的面积是（）。
人教版新课标八年级数学下册《四边形全章复习》课件
O
C
矩
形
D O
定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 性质：矩形具有平行四边形的一切性质。 A 1。矩形的四个角都是直角。 2。矩形的对角线相等。（互相平分） 3。轴对称、中心对称 B
判定： 定义判定法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 1、对角线相等的平行四边形是矩形。 2、有三个角是直角的四边形是矩形。 知识联系：1。等腰三角形 2。直角三角形
角
对角相等 四个角 都是直角
对 角 线
两条对角线互相平分 两条对角线互相平分且相等
对称性
中心对称 轴对称 中心对称
菱 形 对边平行，四
条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分， 轴对称 每条对角线平分一组对角 中心对称
两条对角线互相垂直平分 且相等，每条对角线平分 一组对角 两条对角线相等
正方形
对边平行， 四条边 都相等
A
D
O B C
知识联系：等腰直角三角形
等腰梯形
A
O
B
性质：
1）两底并行，两腰相等。
D 2）同一底上的两个角相等。
C
3）两条对角线相等。 4）轴对称。 判定方法： 1）是梯形，并且同一底上的两个角相等。 2）是梯形，并且两条对角线相等。
二、几种特殊四边形的性质 边
平行 四边形 矩 形
对边平行 且相等 对边平行 且相等
3.菱形的对角线互相垂直平分； （
4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形； （ 5.一组对边平行的四边形是梯形； （ ）
6.有两个角相等的梯形是等腰梯形； （
）
）
7.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （ 8.对角线相等的四边形是矩形； （ ）
新人教版四年级数学上册《总复习平行四边形和梯形复习课》教案表格式教案集体备课教案
执教教师
单元章节
第五单元
课题
平行四边形和梯形复习课
教
学
目
标
知识与技能
通过观察、操作等活动，使学生理解平行与垂直。
过程与方法
使学生经历动手操作和自主探究的过程。
情感态度与价值观
通过分类比较、归纳等多种方式，理解平行四边形、梯形、正方形、长方形之间的关系。
重点难点
重点
理解平行于垂直的关系。
12.梯形的底、高和腰：从梯形上底上的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高，梯形有无数条高。但是从底的一个顶点向另一个底只能画一条高。
梯形的底是固定的两条边——上底和下底（互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底）；不平行的一组对边叫做梯形的腰。
特殊的梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形不可能是直角梯形，直角梯形也不可能是等腰梯形。
难点
理解平行四边、梯形等之间的关系。
教法与学法
教师
归纳总结、讲解法
学生
小组合作、独立练习
教学准备
教师
学生
教学活动组织流程
修订与补充
一、回顾整理
1.同一平面内两条直线的位置关系：相交和不相交两种。
2.平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
3.垂直：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
12.集合图：用集合图来表示四边形之间的关系
四边形包括平行四边形和梯形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。因为它们具有平行四边形的特征。正方形又是特殊的长方形。
14.四边形内角和：四边形的内角和都是360°。
人教版三年级数学上册教案总复习《平行四边形和菱形》
人教版三年级数学上册教案总复习《平行四边形和菱形》引言本教案总复主要讲解了人教版三年级数学上册中关于平行四边形和菱形的内容。
通过本节课的研究，学生将掌握平行四边形和菱形的定义、性质以及相关的应用。
教学目标通过本节课的研究，学生将能够：- 理解平行四边形的定义；- 辨别并描述平行四边形的特征；- 理解菱形的定义、性质和判定方法；- 运用所学知识解决与平行四边形和菱形相关的问题。
教学内容1. 平行四边形- 平行四边形的定义：具有两对对边平行的四边形；- 平行四边形的特征：- 对边平行；- 对角线互相平分；- 相邻角互补；- 平行四边形的判定方法：- 两组对边相等；- 其他特征（如相邻角、对角线）满足。
2. 菱形- 菱形的定义：具有四条边相等的四边形；- 菱形的特征：- 所有边相等；- 对角线互相垂直；- 对角线互相平分；- 菱形的判定方法：- 全部边相等；- 对角线互相垂直。
教学步骤1. 复：通过回顾前几节课的内容，引导学生复平行四边形和菱形的定义。
2. 讲解：教师对平行四边形和菱形的特征及判定方法进行讲解和示范。
3. 练：学生进行练，比较判断给定的图形是否为平行四边形或菱形。
4. 课堂讨论：教师带领学生讨论平行四边形和菱形的性质及应用。
5. 拓展：教师提供一些拓展题目，要求学生运用所学知识解决问题。
6. 小结：教师对本节课的重点内容进行小结，并与学生共同总结研究成果。
教学评价教师通过观察学生的研究情况、参与度和练的正确率等，对学生的掌握程度进行评价。
扩展活动- 让学生自己设计一个平行四边形或菱形的图形，并求解其面积和周长。
- 让学生在日常生活中寻找平行四边形和菱形的实际应用，并进行展示。
参考资料- 人教版三年级数学上册- 相关练习题集。
人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)
第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。