高中数列知识大总结(绝对全)

第六章 数列

二、重难点击

本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络

第一课时 数列

四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=n

i i n n

a a a a a S 1

321

2．??

?≥-==-2

11

1

n S S n S a n n n

课前热身

3．数列

{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( B )

A ．第４项

B ．第５项

C ．第６项

D ．第７项 4．已知数列

{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞-

5．数列{}n a 的前n 项和142

+-=n n S n ,，则??

?≥-=-=2

5

21

2

n n n a n 数列与正整数集关系

等差数列

等比数列

特殊数列求和方法

公式法

倒序相加法 错位相减法 裂项相消法

n 定义

通项公式中项

前项的和

递推公式

通项公式 数列

题型一 归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为

),110(97-?),110(972-)110(973-，, )110(9

7

-n ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为

2

)1(1n

n n a -++=

点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用??

?≥-==-)

2()1(1

1

n S S n S a n n n 求数列通项

例2．已知数列

{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.

⑴23-=n n S

解析：⑴当123,1111=-===S a n 时，

当)23()23(,211---=-=≥--n n n n n

S S a n 时

132-?=n

又11

=a 不适合上式，故???≥?==-)

2(3

2)

1(1

1

n n a n n

三、利用递推关系求数列的通项 【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式

⑴141

,2

1211-+

==

+n a a a n n

解析：⑴因为141

21-+=+n a a n n ，所以

)1

21

121(2114121+--=-=-+n n n a a n n

所以)31

11(2112-=-a a

)51

31(2123-=-a a

43111

()257

a a -=-

…，…，

1111()22321

n n a a n n --=

--- 以上)1(-n 个式相加得

)1

211(211--=

-n a a n 即：2

43

42411--=--=n n n a n

点拨：在递推关系中若

),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若

),(1

n f a a n

n =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

课外练习

3设1

212111++++++=

n n n a n ，(*

∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( C ) A ．n n a a >+1 B ．n n a a =+1 C ．n n a a <+1

D ．不能确定

解：因为

02213211

1

3212211<+-+=+-

+++=

-+n n n n n a a n n

所以n n a a <+1，选Ｃ．

二、填空题

5．已知数列

{}n a 的前n 项和，

142+-=n n S n 则???

≥-=-=)

2(,52)

1(,2n n n a n

7．已知数列

{}n a 的通项9998

--

n n （*

∈N n ），则数列

{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是910a a ，

解：构造函数

99

9899199

98--+

=--=

x x x y

由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且1

，＋∞99(

上递增且1>y

最小

最大，）

，又9109

21301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ 三、解答题

6.2等差数列

知识要点

2．递推关系与通项公式

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m

n

n n m n n n n --=--=

--=-+=-+==-+1;

)1()()1(1

111变式：推广：通项公式：递推关系：

为常数）

即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),

(1+==-+=

),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成

等差数列的充要条件。 ３．等差中项：

若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2

c

a b +=

；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 ４．前n 项和公式

2

)(1n a a S n n +=

； 2)1(1d

n n na S n -+=

)

,()(,)2(22

212为常数即特征：B A Bn

An S Bn An n f S n d

a n d S n n n +=+==-+=

是数列

{}n a 成等差数列的充要条件。

5．等差数列

{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中

⑴q p n m a a a a q p n m +=++=

+，则若反

之，不成立。 ⑵d m n a a m n

)(-=- ⑶m n m n n

a a a +-+=2

⑷n n n n

n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等

差数列

②中项法：

)22

1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数

列

③通项公式法：

),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数

列

④前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等

差数列 课前热身 2．等差数列

{}n a 中，

)

(3

1

,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

165

1203232)(32)

2(3

1

318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a

解

。 3．等差数列

{}n a 中，12910S S a =>，，则前

10

或11项的和最大。 解：0912129

=-=S S S S ，

003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，

∴

{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。

4．已知等差数列

{}n a 的前10项和为100，前100项和

为10，则前110项和为－110 解：∵

，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---

成等差数列，公差为D 其首项为

10010=S ，前10项的和为10100=S 110

2210101001022102

9

101010011010100110

-=-?++=∴+=--=∴=??+?∴）（又，S D

S S S D D 102

10102)10(29840242)1(129850max 22

==+--=-+-=?

?

????

?-+--=y n n n n n n n n y 时，所以当

６．设等差数列

{}n a 的前n 项和为n S ，已知

001213123<>=S S a ，，

①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

， 中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n

解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=

3

7

243

08240)82(2

13

)(213

2)(137

2407240

)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=

-

>∴>+∴>+=d d d d a a a a a S d d d a 从而又 ②

最大。

，66771376120

00130

)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=

课外练习 一、 选择题 1． 已知

{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前

10

项的和7010

=S ，则其公差d 等于( D )

3

23

1

31

3

2．．．．D C B A -- 2． 已

知

等

差

数

列

{}

n a 中，

12497116a a a a ，则，===+等于（ A ）

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

15

1212

497=∴+=+a a a a a 解：

二、填空题 3． 设

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，

971043014S S S S ，则，=-==54

4． 已知等差数列

{}n a 的前n 项和为n

S ，若

=+++=118521221a a a a S ，则

5． 设F 是椭圆16

72

2=+y x 的右焦点，且椭圆上至

少有21个不同点

,),2,1(321F P F P F P i P i ，，使=

组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为

??

? ?????????-10100101，， 解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别为）

和（17)17(

-+，由题意得： 101001010

101

20

11

2

17)117≤

<<≤-∴≠≤∴≥--=

∴+=-+-d d d d n n d d n 或，又（）（ 三、解答题 6． 等差数列

{}n a 的前n 项和记为n

S ，已知

50302010==a a ，

①求通项n a ；②若n S =242，求n 解：d n a a n

)1(1-+=

1022

12501930

950

3011

1

2010+=∴???==∴???=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组， 由2

)1(1d

n n na S n -+

=，n S =242 舍去）

或解得(2211242

22

)

1(12-===?-+

∴n n n n n 7． 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运

动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多

走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：①设n 分钟后第一次相遇，依题意有：

舍去），解得(20770

52

)

1(2-===+-+

n n n n n n 故第一次相遇是在开始运动后7分钟。 ②设n 分钟后第二次相遇，则：

舍去），解得(281570

352

)

1(2-==?=+-+

n n n n n n 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列

{}

n a 中，

，31=a 前n 和

1)1)(1(2

1

-++=

n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列

②求数列

{}n a 的通项公式

③设数列?

??

??

?

+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实

数M ，使得M T n

≤对一切正整数n 都成立？若存

在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。 解：①∵1)1)(1(2

1

-++=

n n a n S []n

n n n n n n n n n n

n n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1)2()1(1

)1()1)(1()1)(2(2

1

1)1)(2(2

1

11212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=

-=∴-++=∴+++++++++++整理得，

n

n n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212))(1()1(2

∴数列

{}n a 为等差数列。

②1)1(311-+==+n n a n na a ，

{}1

22)1(3)1(22

51211212+=?-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列

③)

32)(12(1

11++=

+n n a a n n

61

)3

2131(21)

321

12171515131(2132112121<

∈+-=+-+++-+-=∴?

?

?

??+-+=

*n n T N n n n n T n n 时，又当 要使得M T n

≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥

6

1

，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为

6

1。

6.3等比数列

知识要点

1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为

)0≠q q ，（。

2． 递推关系与通项公式

m

n m n n n n n q

a a q a a qa a --+?=?==推广：通项公式：递推关系：111 3． 等比中项：若三个数c

b a ,,成等比数列，则称b 为

c a 与的等比中项，且为ac

b a

c b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。 4． 前n 项和公式

)1(11)1()1(111

≠??

?

??--=

--==q q q

a a q q a q na S n n n

5． 等比数列的基本性质，),,,(*

∈N q p n m 其中

①

q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若反之

不真！

②)(2*+--∈?==N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项

成等比数列。 ④

，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍

成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化 ①

{}n a 是等差数列?{}

)10(≠>c c c n

a ，是

等比数列； ②

{}

n a 是正项等比数列

?{}

)10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；

③

{}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各

项不为零的常数列。 7． 等比数列的判定法

①定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列；

②中项法：?≠?=++)0(2

2

1n n n n a a a a {}n a 为

等比数列； ③通项公式法：??=为常数）q k q k a n n

,({}

n a 为等比数列；④前

n

项和法：

?-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数

列。

1． 1031074

2222

2)(++++++=n n f 设

)18(7

2)18(72)18(72)18(72)()(431----∈+++*n n n n D C B A D n f N n ．．．．）

（等于，则

2． 已知数列

{}

n a 是等比数列，且

===m m m S S S 323010，则，70 （问题引入）

猜想：

{}n b 是等比数列，公比为2

1。

证明如下：∵4

1

21412121

-=-=++n n n a a b

n

n n b a a 2

1)41(214

1)41(211212=-=-+=

--

即：

2

11=+n n b b ，∴{}n b 是首项为41

-a ，公比

为2

1

的等比数列。

二、性质运用 例

2：⑴在等比数列

{}

n a 中，

143613233+>==+n n a a a a a a ，，

①求n a ， ②若n n n

T a a a T 求,lg lg lg 21+++=

⑵在等比数列

{}n a 中，若015

=a ，则有等式

n

n a a a a a a -+++=+++292121 )29(*∈

在等比数列{}n b 中，

若119=b 则有等式 成立。

解：⑴①由等比数列的性质可知：

n

n n a q q a a a a a a a a a a a a --=?==∴====>=+=?=?615166

16

16143612)2

1

(322

1

3213211

323332所以，，即所以

，解得，又

②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数

列，因为

2

lg 2

)

11(2)lg (lg 2lg 5lg 2lg )6(2lg lg 116n n n a a T a n a n n n n -=+==-==-所以，

⑵由题设可知，如果

0=m a 在等差数列中有

n m n a a a a a a --+++=+++122121 )12(*∈-

q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于

等

比

数

列

{}

n b ，则有

q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若所以可以得

出结论，若

n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-

n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈

点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。

典例精析

一、 错位相减法求和 例1：求和：n n a

n

a a a S ++++= 32321 解：⑴

2

)

1(3211+=

+++==n n n S a n 时， ⑵01

≠≠a a 时，因为 n n a n

a a a S ++++= 32321 ① 1

321211++-+++=n n n a

n

a n a a S a ② 由①－②得：

???

????≠----=+=----=

---=-+++=-++)

1)1()1()1()1(2)1()1()

1()1(11)

11(1111)11(2211

2a a a a n a a a n n S a a a n a a S a n a

a a

a

n a a a S a n n

n n n n n n n n n 综上所述，

所以

点拨：①若数列

{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求数列

{}n n b a ?的前n 项和时，可采用错位

相减法；

②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为

1进行讨论；

③当将n S 与q

n S 相减合并同类项时，注意错

位及未合并项的正负号。

二、 裂项相消法求和 例

2

：

数

列

{}

n a 满足

1

a =8，

022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ）

①求数列

{}n a 的通项公式；

则21

41

4-=--=

a a d

所以，n a =8＋（n －1）×（－2）＝―10－2n

②32)2(41)1(4183)2111211(41)211()4121()3111(41)21

1(41)

2(21

)14(121m n n n n n n b b b T n n n n a n b n

n n n >+-+-=+-+-+=???

???+-++-+-=

+++=+-=

+=

-= 所以

对一切*

∈N n 恒成立。

3

16

31621811812)2

8

18122

81812min <

=

+-+-=

+-+-∈∈+-+-

<∴**m n n N n N n n n m 所以，（对恒成立。对一切故

m 的最大整数值为5。

点拨：①若数列

{}

n a 的通项能转化为

)()1(n f n f -+的形式，常采用裂项相消法求和。

②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。 三、 奇偶分析法求和 例3：设二次函数

[]1)(2+∈+=n n x x x x f ，，当

1． 在等差数列

{}n a 中，1a =1，前n 项和n S 满足

，，，211

2

42=++=n n n S S n n

①求数列{}n a 的通项公式

②记)0(>=p p a b n a n n ，求数列{}n b 的前n

项和n T 。

解：①设数列

{}

n a 的公差为d ，由

，，，2112

42=++=n n n S S n n 1

)1(22

)(22)(12412

3112122121+++=

+++=

=++=-===+n n n n n n

a n a n

a a n

a nd a S S n n a a d a a a a 又

即，所以得

所以n a =n ②由)0(>=p p a b n a n n

，有n n np b =

所以n n

np p p p T ++++= 3232 ①

2

)

1(1+=

=n n T p n 时，当 时，

当1≠p 132)1(2++-+++=n n n np p n p p pT ②

①－②得

???

????≠----=+=----=---=-+++=-++++)

1(1)1()1()1(2

)1(1)

1()1(1)1()1(121

2

1

1

2p p np p p p p n n T p np p p p T np p

p p np p p p T p n n

n n n n n n n n n 即：所以

课外练习 １． 数列

{}

n a 的前

n

项和为

n S ，若

5)

1(1

S n n a n ，则+=

等于（ B ）

6

5)

61

51()3121()2111(1

1

1)1(130

1

616

51

5=-++-+-=+-

=+= S n n n n a D C B A n 所以解：因为．．

．

．

４．)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是以2为周期的周期函数，数列

{}n a 是首项为)(*∈N a a

，公差为

1的等差数列，那么)()()(1021a f a f a f +++ 的值为（ C ）

A ．－1

B ．1

C ．0

D ．10a 解：因为函数)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是以2为周期的周期函数， 所以

)()2(00(x f x f f =+=，且）

又数列

{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列