2019_2020学年高中数学1.1.2导数的概念课时作业(含解析)新人教A版选修2_2

课时作业2 导数的概念知识点一瞬时速度1.一质点运动的方程为s(t)＝5－3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( ) A．－3 m/s B．3 m/sC．6 m/s D．－6 m/s答案 D解析当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度为－6 m/s.2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线答案 D解析当f(x)＝b时，瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0b －bΔx＝0，所以f(x)的图象为一条直线．3．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4答案 B解析设物体在t时刻的速度为零，则limΔx→0ΔsΔt＝0，ΔsΔt＝－4t＋Δt2＋16t＋Δt＋4t2－16tΔt＝－8Δt·t－4Δt2＋16ΔtΔt＝－8t－4Δt＋16，∴limΔx→0ΔsΔt＝－8t＋16＝0，∴t＝2.知识点二导数的定义4.函数f(x)在x0处可导，则limh→0f x0＋h－f x0h( )A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B解析由导数的概念可知，limh→0f x0＋h－f x0h＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关，故选B.5．若f ′(x 0)＝1，则lim Δx →0f x 0－Δx －f x 02Δx＝( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1答案 B解析 f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝1，∴lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－1，∴lim Δx →0f x 0－Δx －f x 02Δx ＝12×(－1)＝－12.6．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案114解析 Δs Δt＝7t 0＋Δt2＋8－7t 20＋8Δt＝7Δt ＋14t 0，当lim Δx →0(7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114.知识点三 导数的实际意义7.一条水管中流过的水量y (单位：m 3)是时间t (单位：s)的函数y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．解 根据导数的定义，得Δy Δt＝f2＋Δt －f 2Δt＝32＋Δt －3×2Δt＝3，所以，f ′(2)＝lim Δt →0ΔyΔt＝3. f ′(2)的意义是：水流在2 s 时的瞬时流速为3 m 3/s ，即如果保持这一速度，每经过1 s ，水管中流过的水量为3 m 3.一、选择题1．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0答案 A解析 ∵Δs Δt ＝st 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0ΔsΔt＝at 0.2．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f ΔxΔx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f 0＋Δx －f 0Δx ＝lim Δx →0f ΔxΔx＝－1，∴选B.3．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2答案 D解析 f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.4．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x 0)＝－aB ．f ′(x 0)＝－bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b答案 C解析 ∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2， ∴f x 0＋Δx －f x 0Δx＝a ＋b ·Δx .∴lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a .∴f ′(x 0)＝a . 故选C.5．已知奇函数f (x )满足f ′(－1)＝1，则lim Δx →0f Δx －1＋f 1Δx等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 A解析 由f (x )为奇函数，得f (1)＝－f (－1)，所以lim Δx →0f Δx －1＋f 1Δx＝lim Δx →0f －1＋Δx －f －1Δx＝f ′(－1)＝1.二、填空题6．已知自由落体的运动方程为s (t )＝5t 2，则t 在2到2＋Δt 这一段时间内落体的平均速度为______，落体在t ＝2时的瞬时速度为________．答案 20＋5Δt 20解析 由题物体在t ＝2到t ＝2＋Δt 这一段时间内的平均速度为v ＝52＋Δt 2－5×22Δt＝20＋5Δt ，则当Δt →0时v →20，即t ＝2时的瞬时速度为20.7．设函数y ＝f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 答案 1解析 Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝a (－1＋Δx )3＋2－a (－1)3－2＝a (Δx )3－3a (Δx )2＋3a Δx .∴Δy Δx＝a Δx3－3a Δx2＋3a ΔxΔx＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a .当Δx 无限趋近于0时，a (Δx )2－3a Δx ＋3a 无限趋近于3a . ∴f ′(－1)＝3a ＝3，∴a ＝1.8．已知y ＝x ＋4，则y ′|x ＝1＝________. 答案510解析 由题意知Δy ＝1＋Δx ＋4－1＋4＝5＋Δx －5，所以Δy Δx ＝5＋Δx －5Δx .所以y ′|x ＝1＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →05＋Δx －5Δx＝lim Δx →05＋Δx －55＋Δx ＋5Δx 5＋Δx ＋5＝lim Δx →015＋Δx ＋5＝510. 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解 当x ＝1时，Δy Δx＝f1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx＝f－1＋Δx －f －1Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.10．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解 位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0，已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。