《数学分析下册》期末考试卷及参考答案

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数学分析下册期末模拟试卷及参考答案
一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已
知u =则
u
x
∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。

2、设22L y a +=2：x ，则L
xdy ydx -=⎰ 。

3、设L ⎧⎨
⎩x=3cost ，
：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ⎰22L
（x +y ）= 。

4、改变累次积分3
2
dy f dx ⎰⎰3
y
（
x ，y ）的次序为 。

5、设1D x y +≤：
，则1)D
dxdy ⎰⎰= 。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，
共15分）
1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）
点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。

( )
2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）
在点p 00（x ，y ）连续。

( )
3、若函数f （x ，y ）
在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

( ) 4、
(,)
(,)
(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =
⎰
⎰。

( )
5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ） 在D 上可积。

( )
.
三、计算题 （ 每小题9分，共45分）
1、用格林公式计算曲线积分
(sin 3)(cos 3)x x AO
I e y y dx e y dy =-+-⎰ ，
其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。

、计算三重积分
2
2()V
x
y dxdydz +⎰⎰⎰，
是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。

.
3、计算第一型曲面积分
S
I dS =⎰⎰ ，
其中S 是球面2222x y z R ++=上被平面(0)z a a R =<<所截下的顶部（z a ≥）。

4、计算第二型曲面积分 22
()()S
I y x z dydz x dzdx y
xz dxdy =
-+++⎰⎰，
其中S 是立方体[][][]0,0,0,V b b b =⨯⨯的外表面。

.
5、设{}
222(,)D x y x y R =+≤. 求以圆域D 为底，以曲面2
2()
x y z e -+=为顶的
曲顶柱体的体积。

四、证明题(每小题7分，共14分)
1、验证曲线积分
.
222(2)(2)(2)L
x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰，
与路线无关，并求被积表达式的一个原函数(,,)u x y z 。

2、证明：若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则存在(,),D ξη∈ 使得 (,)(,)D
D
f x y d f S
σξη=⋅⎰⎰ ，这里D S 是区域D 的面积。

参考答案
一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、
22x x y +；22y x y +；2222
x y
dx dy x y x y
+++。

2、2
2a π； 3、54π ； 4、3
2
2
(,)X
dx f x y dy ⎰⎰ ；5
、1)。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）
1、×；
2、○；
3、×；
4、× ；
5、○ .
.
三、计算题 （ 每小题9分，共45分）
1、解：补上线段:0,0OA y x a =≤≤ 与弧22:(0)AO x y ax y +=≥构成封闭曲线，由格林公式，有
(sin 3)(cos 3)(sin 3)(cos 3)x x x
x OA
OA AO
I e y y dx e y dy e
y y dx e y dy +=-+--
-+-⎰⎰
----------------------------------------------------------------------------------------------6分 =220:(0)
cos (cos 3)0a
x x D x y ax y e y e y dxdy dx +≤≥⎡⎤---⎣⎦⎰⎰⎰-----------------------------8
分
=2
338
D
dxdy a π=
⎰⎰--------------------------------------------------------------------9分 2、解：作柱面坐标变换：cos ,sin ,x r y r z z θθ===， 则(,,)J r z r θ= 且
2:4,02,02V V r z r θπ'⇒≤≤≤≤≤≤---------------------------------------------4分
2
22222
4
3
()683293
V
V r x y dxdydz
r rdrd dz d r dr dz π
θθπ
'∴+=⋅--------------------=--------------------=
-------------------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分
分
分
3
、解：22S Z R a =∈≤-22：x ，y ）D ：x +y
.
dS =
.
=
S
D
I dS ∴==⎰⎰--------------------------4分
作极坐标变换：cos x r θθ=，y=rsin ， 则 J θ（r ，）=r ，
且0D D r θπ'⇒≤≤≤≤：：02
D I θ
'
=
=
20
d π
⎰-----------------------------------7分
2R π=（R-a ）----------------------------------------------9分
4、解：用高斯公式，得
I dxdydz
=⎰⎰⎰V （y+0+x ）------------------------------------6分
=dx dy dz ⎰⎰⎰b
b
b
（x+y ）----------------------------------8分
=4b --------------------------------------------------9分
5、解：曲顶柱体的体积2
2x y D
V e dxdy -
+=⎰⎰（）
-----------------4分
作极坐标变换：cos sin x r y r θθ==，，则 J θ（r ，）=r ， 且 002D D r R θπ'⇒≤≤≤≤：， ，于是，有 2
r D V e rdrd θ-'=⎰⎰
=
2
20
R
r
d e rdr π
θ-⎰⎰--------------------------------------8分
.
=π2
-R （1-e ）-----------------------------------------------9分
四、证明题(每小题7分，共14分)
1、证明：222222P x yz Q y xz R z xy =-=-=-，，
222P Q R Q P R
z x y y x y z z x
∂∂∂∂∂∂==-=-==-∂∂∂∂∂∂，，，
∈3（x ，y ，z ）R . ∴曲线积分与路线无关。

-----------------------------------4分 取000x y ==，则
y
z
u P dx Q dy R dz =++⎰⎰⎰x
（x ，y ，z ）（x ，0，0）（x ，y ，0）（x ，y ，z ）
=220
y
x
z
x dx y dy dz ++⎰⎰⎰2（z -2xz ）-------------------7分
=1
3
=333（x +y +z ）-2xyz --------------------------9分
1、证明：由 最值定理，函数f （x ，y ）
在有界闭区域D 上存在最大值M 和最小值m ，且∀∈（x ，y ）D ，有
m f M ≤≤（x ，y ）， 上式各端在D 上积分，得
D D D
mS f d MS σ≤≤⎰⎰（x ，y ），
或 f d m M σ≤≤⎰⎰D
D
（
x ，y ）S ，
其中D S 为D 的面积。

根据介质性定理，存在D ξη∈（，），使得
.
f d f f σξησξη=
=⋅⎰⎰⎰⎰D
D D
D
（
x ，y ）（，），即f （x ，y ）d （，）S S。