稳态导热问题
第二章部分答案-稳态导热 2-46. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103⨯W/m 3。
已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m •，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2⋅，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？
解：
(1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为： 022=Φ+λ&dx
t d 边界条件为：0=x ，0=dx
dt ； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ
2&（根据热平衡求得：δΦ=-∞&)(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为： ∞+Φ+-Φ=t h
x t δδλ&&)(222
(2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即
0=dx
dt )：
117.5 30450)107()103()107(182103225252=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ&&℃ 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有ax e -Φ=Φ0&&的内热源，其中0Φ&是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。
已知x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。
导热系数λ为常数。
解：由题意导热微分方程
0022=Φ+-ax e dx t d &λ
又x=0处t=t1,x=δ处t=2t
积分并结合边界条件可得
λδλλλδ2012020210a t x a e a t t a e t a ax Φ++Φ-Φ+--Φ=--&&&& 令0=dx dt
可得：当()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Φ--=-δδλδa e t t a a x a 1ln 1021时，t 最大。
2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为δ的大平壁处理。
内表面（x=0处）绝热，外表面维持在恒定温度2t 。
γ射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源Φ&来表示，且ax e -Φ=Φ
0&&，a 为常数，x 是从加热表面起算的距离。
在稳态条件下，试：
导出器壁中温度分布的表达式。
确定x=0处的温度。
确定x=δ处的热流密度。
解： 022=Φ+λ&dx t d （1）
边界条件 r=0,0=dx dt (2)
00,t t r r == (3)
三式联立得
()()20201t x a e e a t ax a +-Φ+-Φ=--δλδλδ x=0时；()202011t a e a t a +Φ+-Φ=-λδλδ
当x=δ时，2t t =
所以 ()110-Φ-=-=-ax e a dx dt q λ 2-49 一半径为1r 的长导线具有均匀内热源Φ&，导热系数为1λ。
导线外包有一层
绝缘材料，其外半径为2r ,导热系数为2λ。
绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h ，环境温度为∞t 。
过程是稳态的，试：
列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。
求解导线与绝缘材料中温度分布。
提示：在导线与绝缘材料的界面上，热流密度及温度都是连续的。
解：导线中温度场的控制方程为：0111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+λ&dr dt r dr d r ； 环形绝缘层中温度场的控制方程为：012=⎪⎭⎫ ⎝⎛dr dt r dr d r 。
边界条件：对为有限；时，，110t r t = dr dt dr dt t t r r 2211211,λλ-=-==时，。
对
dr dt dr dt t t r r t 2211
2112,,λλ-=-==时，； ()12222t t h dr dt r r -=-=λ时，。
第一式的通解为：；2112
1ln c r c r r t ++Φ=λ&
第二式的通解为：'+'=212
ln c r c t 。
常数''2121c c c c 、、、由边界条件确定。
据r=0时，011=c t 为有限的条件，得。
其余三个条件得表达式为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--'+'=+Φ-=112111*********ln 4r c r c r c c r r r λλλλ&&；，； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=f t c r c h r c r r 2212122ln λ，，由此三式解得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ+='Φ-='22222122211ln 22r hr r t c r c f λλλ&&，， 。
所以f t r r r hr r r r t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+Φ+Φ+Φ-=122212*********ln 2244λλλ&&&&；
r r r hr r t t f ln 2ln 22212222212λλλΦ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ+=&&。
传热学2章稳态导热总结问答题及答案
一、名词解释稳态温度场：物体内各点温度不随时间变化的温度场。
等温面 ：温度场中同一瞬间温度相同点组成的面。
热扩散率（或导温系数）：表征物体内部温度趋于一致的能力，为cρλα= 肋效率：肋片的实际散热量与假设整个肋片表面处于肋基温度下的散热量之比。
二、解答题和分析题1．写出傅里叶定律的一般形式的数学表达式，并说明其中各个符号的意义。
答：傅里叶的一般表达式为：n nt gradt q ∂∂-=-=λλ。
其中：q 是热流密度矢量；λ为导热系数，它表示物质导热本领的大小；gradt 是空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向，“-”号表示热量沿温度降低的方向传递。
2、写出傅里叶定律的文字表达式。
答：在导热中，单位时间内通过给定截面面积的导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
3、等温面与等温线的特点，不同温度的等温面(线)能相交不？答：1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交；2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上；3）物体的温度场通常用等温面或等温线表示，若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线越密反映出该区域导热热流密度的越大。
不同温度的等温面(线)不能相交4．得出导热微分方程所依据的是什么基本定律?答：傅里叶定律和能量守恒定律。
5．解释材料的导热系数λ和导温系数α之间的区别和联系? （或热扩散率α的定义及物理意义。
）答：从表达式看，导温系数c ρλ/a =与导热系数成正比关系，但导温系数不但与材料的导热系数有关，还与材料的热容量(或储热能力)也有关；从物理意义看，导热系数表征材料导热能力的强弱，导温系数表征材料传播温度变化的能力的大小，两者都是物性参数。
6．将一根铁棒一端置于火炉中，另一端很快烫手，而在冬天将手置于温度相同的铁板或木板上时，铁板感觉更冰凉一些，用传热学的知识解释这些原因。
传热学稳态导热
? (? ?t ) ? ? (?
?y ?y ?z
? t ) ? ?? ? 0 ?z
2020/1/4
1
1、通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而当 平板两侧保持均匀边界条件时，热量只在厚度方向 传递，温度只在厚度方向变化，即一维稳态导热问 题。
a.通过单层平壁的稳态导热
（无内热源，λ为常数）
情况与之相反。
λ=λ0(1+bt)
b>0 t2
δ
x
2020/1/4
6
热流密度计算式为 :
q?
?0 ???1?
? ? b
2
tw2 ? tw1
? tw1 ? tw2
?? ?
或
q
?
?m ?
(tw1
?
tw2 )
式中 ?m ? ??1 ? ?2 ?2 ? ?0 ?1? b?tw1 ? tw2 ?2?? ?0?1? btm?
?
t
w
2
)
? ??
x
2020/1/4
5
其抛物线的凹向取决于系数 b 的正负。当
b ? 0 时 ，? 随着 t 的增大而增大，
即高温区的导热系数大于低温区。
t1
由? ? ? ? A?dt / dx?，平壁两侧 b<0
热流相等，面积相等，所以高温
区的温度变化率较低温区平缓，
0
形成上凸的温度分布。当 b ? 0 时
从中不难看出，λm是平壁两表面温度对应的导热 系数的算术平均值，也是平壁两表面温度算术平
均值下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导热系数值。
2020/1/4
7
b.通过多层平壁的导热
稳态法测算导热系数的原理
稳态法测算导热系数的原理
稳态法是一种常用的测算导热系数（也称热传导系数）的方法，其原理基于热传导定律和热平衡原理。
根据热传导定律，热量的传导速率与物体的导热系数、传热面积和温度梯度有关。
导热系数是物质本身的特性，可以通过测量来确定。
在稳态法中，我们需要测量导热系数的样品处于稳态状态，即温度分布不随时间而变化。
这可以通过采用两个恒温源（通常称为热源和冷源），在样品两端分别提供稳定的温度，并保持温度恒定。
这样，在稳态的情况下，温度梯度将会稳定下来。
接下来，我们在样品上测量温度梯度。
通常会在样品的两侧放置多个温度传感器，并记录下每个传感器的温度值。
通过这些温度值的差异，我们可以计算出样品内的温度梯度。
最后，将测得的温度梯度、传热面积和已知的热流量（由热源提供的热量）代入热传导定律中，可以计算出导热系数。
稳态法测算导热系数的原理即基于热传导定律，在稳态状态下通过测量温度梯度和已知参数计算导热系数。
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学2.3 典型一维稳态导热问题的分析解
1笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ztz y t y x t x t c λλλτρ边界条件——导热物体边界上温度或换热情况第一类边界条件()0w t f ττ>=时第二类边界条件20()()w tf nτλτ∂>−=∂时第三类边界条件()()w w f th t t nλ∂−=−∂定解条件初始条件——初始时间温度分布非稳态项扩散项源项物理问题→数学描写→微分方程①导热系数为常数c zt y t x t a tρτ·222222)(Φ+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂②导热系数为常数 、无内热源 222222()t t t ta x y zτ∂∂∂∂=++∂∂∂∂③导热系数为常数 、稳态·2222220t t t x y z λ∂∂∂Φ+++=∂∂∂简化④导热系数为常数 、稳态 、无内热源 2222220t t tx y z ∂∂∂++=∂∂∂·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ztz y t y x t x t c λλλτρ⑴ 物理问题：大平壁，λ=const.⑵ 数学描写：微分方程边界条件·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂z tz y t y x t xt c λλλτρ导热微分方程稳态、一维、无内热源、常物性t 1t 2q oδxtdx1. 单层平壁⑶ 解微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=−=⇒12121t c t t c δ112t x t t t +−=δ线性分布带入Fourier 定律δ12d d t t x t −=⇒)(12λδλδδλA ttt t q Δ=ΦΔ=−−=⇒—— 温度分布—— 通过平壁导热的计算公式共同规律可表示为 :2.热阻的含义过程中的转换量 = 过程中的动力 / 过程中的阻力)(λδA tΔ=Φ如：欧姆定律A R R A δδλλ==热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况RU I /=平板导热:转移过程的动力转移过程的阻力导热过程的转移量面积热阻热阻tq δλΔ=}多层平壁：由几层不同材料组成}例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成}假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等边界条件：⎪⎩⎪⎨⎧====+=∑1110n n i i t t x t t x δ热 阻：nn n r r λδλδ==,,111L 3.多层平壁的导热t 1t 2t 3t 4t 1t 2t 3t 4三层平壁的稳态导热热阻的特点：串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。
传热学-稳态导热例题
专题二 稳态热传导
【解】
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】29 （北京科技大学2012） 【计算题】考察一管长6m, 内、外径分别为7.4cm、
8.0cm，导热系数为14W/(m·℃)的压缩空气管道。管的外表 面由总功率为300W的电阻带均匀加热，外包绝热层，通过 绝热层的散热损失为15％。管内空气的平均温度为−10℃ ， 管道内表面的对流换热系数为30 W/(m2·℃)。试：
专题二 稳态热传导
温度场分布：
r=r2 处有最高温度：
t2
tf
q h
t2
150 ℃ 1.05105 3 500
q 2 (t1 t2 ) 2
t1
q 2 2
t2
186.30C
燃料层控制方程： 料层边界条件：
燃料层温度分布：
t
Φ
21
1
2
2
x2
t1
燃料层最高温度：
t0
t1
1 22
21
196.8℃
【计算题】一长为L的长圆柱内热源为 ，常物性，导 热系数为λ，左端面和侧面都绝热，右端与流体接触，温 度为tf，表面传热系数为 h，求
①写出微分方程和边界条件 ②温度分布 ③最大温度tmax
【解】 控制方程:
边界条件:
第一次积分:
第二次积分:
x L,
tL
Φ 2λ
L2
c2
tf
L ; h
c2 =t f
L h
Φ 2λ
L2
温度分布: 当x=0时，取得最大温度:
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】 25（北京科技大学2011） 【计算题】考察一功率为800W的家用电熨斗
第三章稳态导热例题
2020/5/6
30
表3-1 测量干黄砂热导率实验的数据
次 数
电加热器 电流
I（A）
电加热器 内球壳平 电压 均壁温tw1
U（V） （℃）
外球壳平 均壁温tw2
（℃）
1 0.20
41.6
69.0
41.2
2 0.25 3 0.42
52.0 58.0
85.5 150.6
42.3 71.2
试确定该黄砂的导热系数与温度的依变关系式
q
0 [(t1
t2
)
b 2
(t
2 1
t
2 2
)]
2020/5/6
3
因而有
q
t1
t2
0
1
b 2
(t1
t2
)
m
t1
t2
平壁在给定温度范围的平均导热系数 为：
m
0 1
b 2 (t1
t2 )
式（3-8）
对于题目给定的条件，则有
q
m1
t1 t2
1
q
m 2
t2 t3
2
2020/5/6
4
代入数据
1000
35
1 t w 4 t f 2 h2 q
22 230.9 37.4 15
℃
2020/5/6
16
tw2
t w1
q 1 1
513.4 230.9 0.23 429.1 0.63
℃
tw3
tw2
q
2 2
429.1 230.9 0.1 140.5 ℃
0.08
2020/5/6
17
t tw1
圆柱体一维稳态导热
圆柱体一维稳态导热在工程和物理学领域中，导热是一个重要的热传导过程。
圆柱体的一维稳态导热问题是其中一个经典的问题，它可以通过一维热传导方程来描述。
在本文中，我们将研究这个问题并推导出解析解。
圆柱体一维热传导方程圆柱体一维热传导方程描述了圆柱体内部温度的分布和变化。
在稳态情况下，温度关于径向的变化可以被假设为与时间无关，只与距离轴线的径向距离有关。
一维热传导方程如下所示：$$ \\frac{{d^2 T}}{{dr^2}} = 0 $$其中，T是温度关于径向距离r的函数。
圆柱体温度分布解析解为了求解圆柱体一维热传导方程的解析解，我们需要考虑边界条件。
在这个问题中，我们假设圆柱体的两个端面保持恒定的温度，分别为T1和T2。
边界条件可以表示为：T(0)=T1T(L)=T2其中，L是圆柱体的长度。
通过解一维热传导方程和边界条件，我们可以得到温度分布的解析解：$$ T(r) = \\frac{{T_2 - T_1}}{{L}}r + T_1 $$这个解析解表明圆柱体内部温度随着径向距离呈线性分布。
当半径为零时，温度为T1；当半径为L时，温度为T2。
圆柱体热传导率圆柱体的热传导率是一个描述圆柱体导热性能的重要参数。
热传导率k描述了单位温度梯度下的热量传导速率。
在一维稳态情况下，我们可以通过温度分布的导数来计算热传导率。
$$ \\frac{{dT}}{{dr}} = \\frac{{T_2 - T_1}}{{L}} $$根据热传导率的定义，我们可以得到热传导率的数值：$$ k = \\frac{{T_2 - T_1}}{{L}} $$圆柱体的热传导问题应用圆柱体一维稳态导热问题在工程和物理学中有广泛的应用。
例如，在热交换器的设计中，我们需要了解圆柱体管壁内外的温度分布，以便有效传递热量。
此外，圆柱体热传导问题也在材料科学研究中扮演重要角色，用于分析材料的导热性能。
结论在本文中，我们通过一维热传导方程和边界条件推导出了圆柱体一维稳态导热问题的解析解。
高等传热学_第二章_稳态导热
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
稳态导热问题
第二章部分答案-稳态导热2-46. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103⨯W/m 3。
已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m ∙，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2⋅，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？解：(1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为：022=Φ+λ dxt d 边界条件为：0=x ，0=dxdt ； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ2 （根据热平衡求得：δΦ=-∞ )(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为：∞+Φ+-Φ=t h x t δδλ )(222(2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即0=dxdt )：117.5 30450)107()103()107(182103225252=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ ℃ 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有ax e -Φ=Φ0 的内热源，其中0Φ 是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。
已知x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。
导热系数λ为常数。
解：由题意导热微分方程0022=Φ+-ax e dx t d λ又x=0处t=t1,x=δ处t=2t积分并结合边界条件可得λδλλλδ2012020210a t x a e a t t a e t a ax Φ++Φ-Φ+--Φ=-- 令0=dx dt 可得：当()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Φ--=-δδλδa e t t a a x a 1ln 1021时，t 最大。
2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为δ的大平壁处理。
内表面（x=0处）绝热，外表面维持在恒定温度2t 。
γ射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源Φ 来表示，且ax e -Φ=Φ0 ，a 为常数，x 是从加热表面起算的距离。