稳态导热问题

第二章部分答案-稳态导热 2-46. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103⨯W/m 3。已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m •，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2⋅，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？

解：

(1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为： 022=Φ+λ&dx

t d 边界条件为：0=x ，0=dx

dt ； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ

2&（根据热平衡求得：δΦ=-∞&)(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为： ∞+Φ+-Φ=t h

x t δδλ&&)(222

(2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即

0=dx

dt )：

117.5 30450)107()103()107(182103225252=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ&&℃ 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有ax e -Φ=Φ0&&的内热源，其中0Φ&是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。已知x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数λ为常数。

解：由题意导热微分方程

0022=Φ+-ax e dx t d &λ

又x=0处t=t1,x=δ处t=2t

积分并结合边界条件可得

λδλλλδ2012020210a t x a e a t t a e t a ax Φ++Φ-Φ+--Φ=--&&&& 令0=dx dt

可得：当()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Φ--=-δδλδa e t t a a x a 1ln 1021时，t 最大。

2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为δ的大平壁处理。内表面（x=0处）绝热，外表面维持在恒定温度2t 。γ射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源Φ&来表示，且ax e -Φ=Φ

0&&，a 为常数，x 是从加热表面起算的距离。在稳态条件下，试：

导出器壁中温度分布的表达式。

确定x=0处的温度。

确定x=δ处的热流密度。

解： 022=Φ+λ&dx t d （1）

边界条件 r=0,0=dx dt (2)

00,t t r r == (3)

三式联立得

()()20201t x a e e a t ax a +-Φ+-Φ=--δλδλδ x=0时；()202011t a e a t a +Φ+-Φ=-λδλδ

当x=δ时，2t t =

所以 ()110-Φ-=-=-ax e a dx dt q λ 2-49 一半径为1r 的长导线具有均匀内热源Φ&，导热系数为1λ。导线外包有一层

绝缘材料，其外半径为2r ,导热系数为2λ。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h ，环境温度为∞t 。过程是稳态的，试：

列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。

求解导线与绝缘材料中温度分布。

提示：在导线与绝缘材料的界面上，热流密度及温度都是连续的。 解：导线中温度场的控制方程为：0111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+λ&dr dt r dr d r ； 环形绝缘层中温度场的控制方程为：012=⎪⎭⎫ ⎝⎛dr dt r dr d r 。

边界条件：对为有限；时，，110t r t = dr dt dr dt t t r r 2211211,λλ-=-==时，。

对

dr dt dr dt t t r r t 2211

2112,,λλ-=-==时，； ()12222t t h dr dt r r -=-=λ时，。 第一式的通解为：；2112

1ln c r c r r t ++Φ=λ&

第二式的通解为：'+'=212

ln c r c t 。常数''2121c c c c 、、、由边界条件确定。 据r=0时，011=c t 为有限的条件，得。其余三个条件得表达式为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--'+'=+Φ-=112111*********ln 4r c r c r c c r r r λλλλ&&；，； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=f t c r c h r c r r 2212122ln λ，，由此三式解得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ+='Φ-='22222122211ln 22r hr r t c r c f λλλ&&，， 。 所以f t r r r hr r r r t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+Φ+Φ+Φ-=122212*********ln 2244λλλ&&&&；

r r r hr r t t f ln 2ln 22212222212λλλΦ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ+=&&。