非稳态传热
传热学-第三章 非稳态热传导
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
传热过程中稳态与非稳态的传热性能研究
传热过程中稳态与非稳态的传热性能研究热传导是物体内部或物体之间通过分子间碰撞来传递热量的过程。
在传热过程中，往往会涉及到稳态和非稳态传热性能的研究。
稳态传热是指系统内部的温度分布和热流密度保持不变的传热过程，而非稳态传热则是指系统内部的温度分布和热流密度随时间变化的传热过程。
本文将探讨传热过程中稳态与非稳态的传热性能研究。
一、传热过程中的稳态传热性能研究稳态传热是热传导的一种重要情况，其特点是温度分布和热流密度在系统内部保持不变。
在稳态传热过程中，可以通过一系列的实验和数学模型来研究传热性能。
1. 实验方法稳态传热性能的研究通常需要通过实验来获得数据。
实验中需要测量物体的温度和热流密度等参数，并利用传热方程来计算传热速率。
同时，还可以进行不同条件下的对比实验，以研究传热性能随温度差、材料特性等因素的变化。
2. 数学模型在稳态传热性能研究中，数学模型起到了重要作用。
通过分析热传导方程、输运方程以及边界条件等，可以建立物体的温度分布模型，从而计算热流密度和传热速率。
常见的数学方法包括有限元法、有限差分法等，这些方法可以通过计算机模拟和数值计算来得到稳态传热性能的结果。
二、传热过程中的非稳态传热性能研究非稳态传热是热传导的另一种情况，其特点是温度分布和热流密度随时间变化。
非稳态传热性能的研究对于理解瞬态过程、优化传热设备等具有重要意义。
1. 实验方法对于非稳态传热性能的研究，实验方法同样起到了关键作用。
实验中需要测量物体的温度随时间的变化，并利用实验得到的数据建立传热模型。
此外，还可以通过改变传热边界条件、加热方式等来研究传热性能的变化。
2. 数学模型非稳态传热性能的研究同样离不开数学模型的建立。
根据热传导方程和边界条件，可以建立非稳态传热模型。
此外，还可以利用转换方法将非稳态问题转化为稳态问题进行求解。
例如，可以采用拉普拉斯变换等数学方法来分析非稳态传热性能。
三、稳态与非稳态传热性能的比较与应用稳态传热性能和非稳态传热性能在实际应用中都具有重要意义。
第三章 非稳态导热传热学
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
热传导中的非稳态
热传导中的非稳态热传导是指物体内部或不同物体之间的热量传递过程。
通常情况下，当温度差异存在于物体之间时，热量会从高温物体传递到低温物体，直到两者温度达到平衡。
这种热传导过程被称为稳态传导。
然而，在某些情况下，热传导过程可能不满足稳态条件。
这种情况下热传导称为非稳态传导。
非稳态传导通常发生在物体刚刚进行加热或冷却时，或者在存在周期性温度变化的系统中。
非稳态传导的特点之一是温度随时间而变化。
当一个物体受到外部热源加热时，开始时物体内部的温度会迅速上升，然后逐渐趋于稳定。
当物体被冷却时，开始时物体内部的温度会迅速下降，然后逐渐趋于稳定。
在这个过程中，物体内部不同位置的温度分布也会随时间而变化。
物体内部不同位置的温度分布变化可以用温度分布函数来描述。
在非稳态条件下，温度分布函数的形式会随时间而改变。
根据热传导方程，温度分布函数与物体的热性能、形状和边界条件有关。
在分析非稳态热传导问题时，通常会考虑到物体内部的热扩散和热对流。
热扩散是指由于温度梯度而导致的热量传递，而热对流是指物体周围流体的对流传热过程。
这两个因素会影响非稳态传导过程中温度分布的演化。
在实际应用中，非稳态传导的问题十分常见，例如在热处理、工业加热和电子器件散热等领域都会遇到非稳态热传导的情况。
了解和掌握非稳态传导的特点对于设计和优化这些系统具有重要意义。
总之，非稳态传导是指热传导过程中温度随时间和空间的变化。
这是一个复杂的热传导问题，涉及到物体的热性能、形状和边界条件等因素。
了解非稳态传导的特点对于解决实际问题具有重要意义。
通过进一步的研究和实践，我们可以更深入地理解非稳态传导，并将其应用于实际工程中。
非稳态传热
分析方法。此时，Bi
零维问题。
，温度分布只与时间有 0.1 时，
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时， t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。to ≠t∞，h≠0
θ -球、圆柱中心过余温度，
仍然令:
(r , ) r f ( Bi, Fo, ) 0 R
θm= θ（0，τ）
m
(r , ) (r , ) m , 0 m 0
m f ( Bi, Fo), 查图(9-32) 0 (r , ) r 但是: f ( Bi, ), 查图(9-33) m R
t
t(x,τ)
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
2
-δ
0
δ x x x+dx
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板 的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
(导热微分方程) (初始条件) (温度分布对称性)
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
上式化为：
( x, ) t ( x, ) t
大家好，我 们见过面了
2 a 2 0 x , 0 (9 58) x 0, t0 t 0 , 0 x x 0
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一 类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
稳态与非稳态传热对系统热传导的影响
稳态与非稳态传热对系统热传导的影响在热传导过程中，稳态和非稳态传热是两种不同的热传导状态。
了解稳态和非稳态传热的特点和对系统热传导的影响，对于热传导领域的研究和工程应用都具有重要意义。
1. 稳态传热稳态传热是指热传导过程中温度场随时间不变化，系统内部没有热量的积累或消耗的情况。
在稳态传热条件下，热量从高温区域流向低温区域，保持一个稳定的温度梯度。
这种热传导状态常见于长时间稳定的热传导系统，如导热棒、导热管等。
稳态传热对系统热传导的影响主要表现在两个方面。
首先，稳态传热可以维持一个恒定的温度场分布，使得热量在系统内有序地传递。
这对于保持系统的热平衡至关重要，特别是在需要保持恒定温度的应用中，如电子设备散热、制冷系统等。
其次，稳态传热过程中温度场的稳定性可以帮助我们更好地设计和优化热传导系统。
通过对系统中不同位置的温度场分布和热流分布的分析，可以得到系统的热传导特性，进而指导优化散热设备和热管理策略的设计。
2. 非稳态传热非稳态传热是指热传导过程中温度场随时间变化的热传导状态。
在非稳态传热条件下，系统内部存在热量的积累或消耗情况，温度场存在时间相关性。
这种热传导状态常见于热传导系统由冷态转变为热态，以及系统在温度变化较大的情况下。
非稳态传热的特点使系统的热传导过程更加复杂。
温度场的时间变化导致热量的传输速率不断变化，从而影响系统的热能储存和消耗。
此外，非稳态传热可能引起热应力和热膨胀等问题，对系统稳定性和工程设计提出了更高的要求。
非稳态传热对系统热传导的影响需要进行详细的分析和研究。
通过建立合适的数学模型和热传导方程，可以预测温度场的变化规律和热传导速率的时变特性。
这对于优化热管理和热设计具有重要意义，尤其是在高温、高功率应用中，如火箭发动机、核反应堆等。
综上所述，稳态和非稳态传热是热传导中两种常见的热传导状态。
稳态传热维持系统的热平衡和温度梯度，非稳态传热则导致系统温度场的变化和热传导速率的时变特性。
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
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物体内温度变化速率不 同,温度分布主要受初始 温度分布控制
物体内温度变化速率相 同,温度分布主要取决于 边界条件及物性
(d). 各等温面上传导的热流密度不再相等(即使是最简单 的平壁),为什么?
B. 周期性非稳态导热
在周期性变化的边界条件下,物体内温度及热流量随时间周期变化
2
h(V
A)
(V
a
A)
2
令
V A
lc
则有：
h(V A) hL Bi
a
a
Fo
(V A)2 L2
L―定型尺寸
Bi―毕渥数
Fo ―傅立叶数
4）将毕渥数和傅立叶数代回温度计算式，则：
hA
e cV eBi Fo
物体中的温度 呈指数分布
0
hA
W m2K
m2
W1
5）方程中指数的量纲：
cV
kg m3
(
2 n
F0
)
0 [1
n1
n2
2sin2 n n sin n cos n
e ] ( n2F0 )
-δ
t t(x,τ)
0
δx
x x+dx
0[1
n1
n2
2sin2 n n sin n cos n
e ] ( n2F0 )
由上式可知:
0
f (Bi, Fo)
图9-31 P214
圆柱体、球体在第三类边界条件下非稳态导热
第九章 导热
第三节 非稳态导热
0.非稳态导热的基本概念
(1) 非稳态导热的定义 . t f (x, y, z, )
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
(2) 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热 瞬态非稳态导热
内
外表面
各个时刻墙体内温度变化
墙内各个地点温度变化
内、外表面穿过的热流 密度变化
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程
二者的差值， 内表面 为墙本身温度的
升高提供的热量 外
内
外表面
各个时刻墙体内温度变化
墙内各个地点温度变化
采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变
内、外表面穿过的热流 密度变化
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并
内的温度分布趋于均匀一致。
可以忽略导热热阻
Bi→0 是一个极限情况，工程上把Bi<0.1看作是接近这种极限 的判据。Bi<0.1时，平壁中心温度与表面温度的差别≤5%， 接近均匀一致。——可用集总参数法求解
3、 正常情况阶段的温度实用计算方法－（诺谟图）
总是用级数计算有点烦，能不能来点简单的？
可以，看我的
A. 瞬态非稳态导热
瞬态非稳态导热：从某一初始状态起，物体内温度随时间不断升高（加热） 或降低（冷却），在经历了相当长时间后，物体内温度趋于稳定，重新与 外界达到热平衡。
瞬态非稳态导热就是指这一温度持续变化的导热过程。物体内温度重 新趋于稳定时，瞬态非稳态导热也结束。
采暖房屋外墙墙内温度变化过程
内表面 外
3.集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi 0.1 时，，温度分布只与时间有
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
零维问题。
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为 t 的流
间常数 ( Vc / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 Vc 时， 1.83% 工程上认为=4 Vc / hA时
hA
导热体已达到热平衡状态
0
7）总热量 导热体在τ时刻、单位时间内传给流体的热量：
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 Vc 时， 1.83% 工程上认为 =4 Vc / hA时
hA
导热体已达到热平衡状态
0
4 Biv Fov 物理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
圆柱体、球体半径R ,λ=const, a=const, & 0
τ=0,t=t0 ；τ＞ 0，与流体tf 接触，壁面与流体间的表面 传热系数 h，t0 ≠t f ，外表面与流体间对流换热将使圆柱体 和球体吸热或放热，它们内部将产生温度差，且温度分布曲 线将随着时间变化。内部发生非稳态导热过程，加热（冷却） 开始。
用范围 一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2
B 对于F0小于0.2，仍然需要通过下式计算得到
(x,
)
0
n1
n
2sin n sin n cos
n
cos(n
x
)exp(n2
a 2
)
2) 热量计算
(x,
)
0
n1
n
2sin n sin n cos
n
cos(n
x
)exp(n2
a 2
)
单位面积平壁非稳态导热所能传递的最大热量
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
(x, ) t(x, ) t
大家好，我 们见过面了
上式化为：
a
2
x2
0 x , 0
(9 58)
0, t0 t 0 , 0 x
0
x x0
0
h 0
x x
x
解的结果
* (x,
0
)
n1
n
J kgK
[
m3
]
J
s
6）分析
即与 1 的量纲相同
hA
cV
W m2K
m2
kg m3
J kgK
[
m3
]
W J
1 s
Vc
称 hA 为时间常数，用 c 表示。可用来表示测
温元件的反应快慢。（？）
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
hA
Q
0Φ( )d
Vc0 (1 e Vc )
J
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
7）总热量
hA
e cV eBi Fo
0
导热体在时间0~τ内传给流体的总热量：
解：查附录14：材料的导热系数0.648 W/(M2·K)，a=15.7×10-8(m2/s)
毕渥数：
Bi h 20 0.025/ 2 0.385
0.648
1 2.59 Bi
傅立叶数：
Fo
a 2
15
.7 10 8 (0.025 /
1200 2)2
1.204
查 得：
m 0.73 0
中心温度： tm t0 0.70 250 0.7 (20 250) 89 ℃
仍然令:
(r, ) (r, ) m ,
0
m 0
m f (Bi, Fo), 查图(9-32) 0
但是: (r, ) f (Bi, r ), 查图(9-33)
m
R
在温度为250℃烘箱内烤洋山芋，洋山芋可看成5㎝的球。初始温度 是20℃。其物性可取50℃水的值，试估算20min后洋山芋中心的温度。山 芋与环境间的表面传热系数20 W/(m2·K)。
夏季 空调 房间 墙体 温度
室外空 气温度
室外墙 面温度
某时刻 温度
墙内最 高温度
平均 温度
特点： 1）同一时刻， 周期性波动； 2）不同时刻， 同一位置 周期性波动
墙内最 低温度
1. 一维非稳态导热问题的分析解
(1).无限大平壁冷却或加热的分析解简介
物理问题描述
厚度2δ 的无限大平壁，λ、
a为已知常数,无内热源；τ=0 时温度为t0;突然把两侧介质温
2）控制方程式改为：
d hA d Vc
3）解方程
d hA d Vc
积分
分离变量
ln hA Vc 0
0
d
hA
Vc
0
d
t t
hA
e Vc
0 t0 t
其中指数：
过余温度比
hA
cV
hV
A
c
A2 V2
h(V
A)
a
(V A)2
27
hA
cV
h(V
A)
c
(V
A)
1、Fo≥0.2时无量纲温度可以表达为：
(x, ) 0
1
2sin 1 sin 1 cos 1
cos(1
x )e12F0
(9 63)
两边取对数：
Bi和位置x/δ 的函数
令
m
12
a
2
表明：Fo≥0.2时（τ*≥0.2δ2/a）平壁内所有各点过余温度
的对数都随时间按线性规律变化，变化曲线的斜率都相等
度降低为t ∞ 并保持不变,壁中温 度下降，冷却开始。壁表面与