概率论模拟试题(附答案)

模拟试题（一）

一．单项选择题（每小题2分，共16分）

1．设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立

(C) 0)(0)(==B P A P 或 (D) AB 未必是不可能事件

2．设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 21

3

)1(p p C - 3．若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立

的是（ ）

(A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续 4．若随机变量ξ的概率密度为)( 21)(4

)3(2

+∞<<-∞=+-

x e

x f x π

，

则=η（ ）)1,0(~N

(A)

2

3

+ξ (B)

2

3

+ξ(C)

2

3-ξ(D)

2

3

-ξ

5．若随机变量ηξ ,不相关，则下列等式中不成立的是（ ）

(A) 0),(=ηξCov (B) ηξηξD D D +=+)(

(C) ηξξηD D D ?=

(D) ηξξηE E E ?=

6．设样本n X X X ,,,21???取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（ ）

(A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N X n

(C)

)

(~21

2n X n

i i χ∑= (D)

)1(~-n t S

X

7．样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（ ）不是总体期望μ的无偏估计量

(A)

∑=n

i i

X

1

(B) X (C) )46(1.01n X X + (D) 321X X X -+

8．在假设检验中，记o H 为待检假设，则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立，经检验接受0H (B) 0H 成立，经检验拒绝0H (C) 0H 不成立，经检验接受0H (D) 0H 不成立，经检验拒绝0H 二．填空题（每空2分，共14分）

1．同时掷三个均匀的硬币，出现三个正面的概率是________，恰好出现一个正面的概率是________．

2．设随机变量ξ服从一区间上的均匀分布，且3

1

,3==ξξD E ，则ξ的

概率密度为________．

3．设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，η服从参数为4的指数分布，则=+)32(2ηξE ________．

4．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6|{|Y X P ________．

5．假设随机变量X 服从分布)(n t ，则21

X

服从分布________（并写出其参数）．

6．设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本，对总体方差DX 进行估计时，常用的无偏估计量是________．

三．(本题６分)

设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，求)|(B A P ． 四．(本题8分)

两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02．加工出来的零件放在一起．又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍．求：

(1) 任取一个零件是合格品的概率，

(2) 若任取一个零件是废品，它为第二台车床加工的概率． 五．(本题14分)

袋中有4个球分别标有数字1，2，2，3，从袋中任取一球后，不放回再取一球，分别以，ξη记第一次，第二次取得球上标有的数字，求：

(1) ) ,(ηξ的联合分布； (2) ηξ，的边缘分布； (3) ηξ，是否独立； (4) ξηE ． 六．(本题12分)

设随机变量X 的密度函数为

)( )(||2+∞<<-∞=-x e Ax x f x ，

试求：

(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数．

七．(本题6分)

某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6．假定在这段时间，各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）．

八．(本题10分)

一个罐内装有黑球和白球，黑球数与白球数之比为R ．

(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体，即???=白球，，黑球，

，01X 求

总体X 的分布；

(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其中有m

个白球，求比数R 的最大似然估计值．

九．(本题14分)

对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽6件，测得结果如下（单位：Ω）

： A 批：0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137；

B 批：0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141． 已知元件电阻服从正态分布，设05.0=α，问：

(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等； (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异． （2281.2)10(025.0=t ，15.7)5,5(025.0=F ）

模拟试题（二）

一．单项选择题（每小题2分，共16分） 1．设C , ,B A 表示3个事件，则C B A 表示（ ）

(A) C , ,B A 中有一个发生 (B) C , ,B A 中不多于一个发生 (C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生

2．已知)(,6

1

)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）．

(A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 4

1

3．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）

(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21

}1{=≤+Y X P

(C) 21}0{=≤-Y X P (D) 2

1

}1{=≤-Y X P

4．设X 与Y 为两随机变量，且6.0,1,4===XY DY DX ρ，则=-)23(Y X D （ ）

(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6

5．若随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，则2ξ的数学期望是（ ）

(A) λ (B) λ

1

(C) 2λ (D) λλ+2

6．设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本方差，记

∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1

22

2)(1 ∑=--=n i i X n S 1223

)(11μ ∑=-=n i i X n S 1

224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）

(A) 1

/1--=

n S X t μ (B) 1

/2--=

n S X t μ

(C) 1

/3--=

n S X t μ (D) 1

/4--=

n S X t μ

7．设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而

n X X X ,,,21 是该总体的一个样本，X 为样本方差，则总体方差2σ的矩估

计量是（ ）

(A) X (B) ∑=-n

i i X n 1

2)(1μ

(C) ∑=--n i i X X n 1

2

)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 8．在假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小

(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 二．填空题（每空2分，共14分）

1．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有1件是不合格品，则另外1件也是不合格品的概率为________．

2．设随机变量ξ服从)8.0 ,1(B 分布，则ξ的分布函数为________． 3．若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且6.0}40{=<

4．设总体X 服从参数为p 的0－1分布，其中)10(<

5．设总体X 服从参数为λ的指数分布，现从X 中随机抽取10个样本，根据测得的结果计算知2710

1=∑=i i x ，那么λ的矩估计值为________．

6．设总体) ,(~2σμN X ，且2σ未知，用样本检验假设00μμ=：H 时，采用的统计量是________．

三．（本题8分）

设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ

号盒中装有5个黑球，25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球．现在从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求： （1）取到的球是黑球的概率；

（2）若取到的是黑球，它是取自Ⅰ号盒中的概率． 四．（本题6分）

设随机变量X 的概率密度为

?????≤≤=其它，，

，，002

cos 21

)(πx x x f ， 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3

π

地次数，求2Y 的数学期望．

五．（本题12分）

设(,)ξη的联合分布律为 η 0 1 2 ξ

1 0.1 0.05 0.35

2 0.

3 0.1 0.1 问：

(1)ηξ，是否独立；

(2) 计算()P ξη=的值；

(3) 在2η=的条件下ξ的条件分布律．

六．（本题12分）

设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为

???≤≤≤=,,

0,

10,12),(2其它x y y y x f

求：(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；

(2) EXY ；

(3) )1(>+Y X P ．

七．（本题6分）

一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm ，均方差为0.05，规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格，试求产品合格的概率．

八．（本题7分） 设总体X 具有概率密度为

??

?

??>-=--,,0,0,)!

1()(1其它x e x k x f x k k

θθ 其中k 为已知正整数，求θ的极大似然估计．

九．（本题14分）

从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：

东支：230.0=x ，1337.02

1=n s ， )9(1=n 西支：269.0=x ，1736.022

=n s ， )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，问东、西两支矿脉含锌量的平

均值是否可以看作一样？)05.0(=α

53.4)7 ,8( (025.0=F ，90.4)8 ,7(025.0=F ，) 1315.2)15(0025.0=t

十．（本题5分） 设总体X 的密度函数为

?????≤≤=,,

0,0,3)(3

3其它θθx x x f

其中θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，证明：X 3

4

是θ的

无偏估计量．

模拟试卷(三)

一．填空（每小题2分，共14分）

1．一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为

81

80

,则该射手的命中率为 ． 2．若事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(则=)(B A P ． 3．设离散型随机变量ξ服从参数为λ（0>λ）的泊松分布,已知==)1(ξP )2(=ξP ,则λ= ．

4．设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为:

X 0 1

P 21 2

1

则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 ．

5．设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY

ρ,则),(Y X Cov = ．

6．设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在,总体方差2σ的无偏估计量是

21

)(∑=-n

i i X X n k ,则=k ． 7．设总体),(~2σμN X ，μ未知，检验2020σσ=H ：，应选用的统计量是 ．

二 ．单项选择（每小题2分,共16分）

1．6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为（ ）

(A )

!

10!

6!4 (B ) 107 (C ) !10!7!4 (D ) 104

2．若事件A ,B 相互独立,则下列正确的是（ ）

(A ) =)|(A B P )|(B A P (B ) =)|(A B P )(A P (C ) )|(B A P )(B P = (D ) =)|(B A P )(1A P - 3．设随机变量ξ服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=ξE ,28.1=ξD ,

则n ,p 的值为（ ）

(A ) n =8,p =2.0 (B ) n =4,p =4.0 (C ) n =5,p =32.0 (D ) n =6,p =3.0

4．设随机变量ξ服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(F x ,则有（ ）

(A ) =≥)0(ξP =≤)0(ξP 5.0 (B ) =≥)2(ξP =≤)2(ξP 5.0 (C ) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x

(D ) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x

5．如果随机变量ξ与η满足:)(ηξ+D )(ηξ-=D ,则下列式子正确的是（ ）

(A ) ξ与η相互独立 (B ) ξ与η不相关 (C ) 0=ηD (D ) 0=?ηξD D

6．设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令

=

Y 2

1

2

)(σ

∑=-n

i i

X X

,则~Y （ ）

(A ) )1(2

-n χ (B ) )(2

n χ (C ) ),(2

σμN (D ) ),

(2

n

N σμ

7．设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）

(A ) ∑=n i i X n 121 (B ) ∑=-n i i X n 1211 (C ) ∑=n i i X n 11 (D ) ∑=-n

i i X n 1

11 8．样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ,若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量n

S X t /0μ-=

(A ) μ 未知，检验2σ=20σ (B ) μ已知，检验2σ=2

0σ

(C ) 2σ未知，检验 μ=0μ (D ) 2σ已知，检验μ=0μ 三．（本题8分）

有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床

的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？

四．（本题8分）

假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？

五．（本题12分）

1．设随机向量ξ,η的联合分布为:

ξ η 1 2 3

1 0 61 12

1

2 61 61 61

3 121 6

1

(1) 求ξ,η的边际分布；(2) 判断ξ与η是否独立. 2．设随机变量ξ和η的联合密度函数为:

),(y x f =??

?<<-其它，

，

，

，

00e y x y

求概率)1(≤+ηξP .

六．（本题8分）

设连续型随机变量ξ的分布函数为:

=)(x F ????

?

≤>+-，

，

，，

000e 22

x x B A x 求:(1) 系数A 及B ；

(2) 随机变量ξ的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤ξP ． 七．（本题8分）

设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为:

)(x f =????

?≤≤-其它，

，

，

，

0101x x θθ

其中θ>0,求未知参数θ的矩估计量．

八．（本题１０分）

设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？

九．（本题１２分）

两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）

十．（本题４分）

设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数,

?

?

?-=为偶数，，为奇数，

，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ2-e 的一个无偏估计量.

模拟试题（四）

一．填空题(每小题2分，共20分)

1．设)(A P =0.4，)(B P =0.5．若,7.0)(=B A P 则=)(B A P ． 2．若随机变量X 服从二项分布，即X ~B (5，0.1)，则)21(X D -= ． 3．三次独立重复射击中，若至少有一次击中的概率为64

37

，则每次击中的概率为 ．

4．设随机变量X 的概率密度是：???<<=,,

0,

10,3)(2其它x x x f ，且

，784.0)(=≥a X P 则=a ．

5．利用正态分布的结论，有：=+-?∞

+∞

---

dx e

x x x 2

)2(22

)44(21π

．

6．设总体X 的密度函数为：

???<<=-,,

0,

10,)(1其它x x x f αα

)0(>αα为参数其中，n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值，则样本的

似然函数=);,,,(21αn x x x L ．

7．设X ，Y 是二维随机向量，DX ，DY 都不为零，若有常数0>a 与

b 使1)(=+-=b aX Y P ，这时X 与Y 是 关系．

8．若X ~),(2σμN ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和方差，则

S

n

X )(μ-~ 分布． 9．设X ~),(211σμN ，Y ~),(2

2

2σμN ，X 与Y 相互独立．从X ，Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本，样本均值分别为Y X ,，则Y X -服从分布 ．

10．设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为____________．

二．单项选择题(每小题2分，共12分)

1． 设随机变量X 的数学期望)(X E 与2)(σ=X D 均存在，由切比雪夫不等式估计概率)4(σ<-EX X P 为( )

)(A 161≥

)(B 161≤ )(C 1615≥ )(D 16

15≤ 2．B A ,为随机随机事件，且A B ?，则下列式子正确的是( )

)(A )()(A P B A P = )(B )()()(A P B P A B P -=- )(C )()(A P AB P = )(D )()(B P A B P =

3． 设随机变量X 的密度函数为?

??≤≤+=其它，，，

，010)(x B Ax x f 且

12

7

)(=X E ，则( )

)(A 5.0,1-==B A )(B 1,5.0=-=B A

)(C 1,5.0==B A )(D 5.0,1==B A

4．若随机变量X 与Y 不相关，则有( )

)(A )(9)()3(Y D X D Y X D -=- )(B )()()(Y D X D XY D ?= )(C 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E )(D 1)(=+=b aX Y P

5．已知随机变量F ~),(21n n F ，且αα=>)},({21n n F F P ，则=-),(211n n F α( )．

)(A ),(121n n F α )(B )

,(1

121n n F α-

)

(C ),(112n n F α )(D )

,(1

211n n F α-

6．将一枚硬币独立地掷两次，记事件：

1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事

件

)(A 321,,A A A 相互独立 )(B 432,,A A A 相互独立 )(C 321,,A A A 两两独立 )(D 432,,A A A 两两独立

三.计算题(每小题８分，共48分)

1．某厂由甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，

各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%．现从该厂产品中任意抽取一件，求：(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品，求它是由甲厂生产的概率．

2．一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件，第i 个零件是

不合格品的概率为)3,2,1(11

=+=i i

p i ，以X 表示三个零件中合格品的个

数，求：(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX ．

3．设总体X ~),0(2σN ，2σ为未知参数，n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值，求2σ的最大似然估计．

4．二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度：

??

?>>=+-其它，，

，

，00,02),()2(y x e y x f y x 求：(1) X 与Y 之间是否相互独立，判断X 与Y 是否线性相关；

(2) )1(≤+X Y P ．

5．某人乘车或步行上班，他等车的时间X (单位：分钟)服从参数为5

1

的

指数分布，如果等车时间超过10分钟他就步行上班．若此人一周上班5次，以Y 表示他一周步行上班的次数．求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率．

6．设随机变量X 的概率密度为

?????∈?=其它，，

，

，0]8,1[31

)(32x x

x f )(x F 是X 的分布函数．求随机变量)(X F Y =的概率分布．

四．应用题(第1题7分、第2题8分，共15分)

1．假设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率等于

0.2，用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率．

2．某厂生产铜丝，生产一向稳定．现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算:5.160)(,

5.2871

2=-=∑=n

i i

x x

x ．假定铜丝折断力

服从正态分布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)

五．证明题(5分)

若随机变量X 的密度函数)(x f ，对任意的R x ∈，满足：)()(x f x f -=，)(x F 是其分布函数．证明：对任意实数a ，有

?-=-a dx x f a F 0

)(21

)(

模拟试题（一）参考答案 一．单项选择题 1．D

2．C

3．A

4．A

5．C

6．C

7．A

8．B

二．填空题

1．

2．

3．

4．

5． 6． 三．

四．（1）0.973； （2）0.25 五．（1）

1 2 3 1 0 2

3 0

（2），，

，，

（3）不独立

（4）

六．（1）；（2）

（3）

七．643

八．（1） 1 0

即

（2），，

由样本值知，，故估计值为

九．（1）相等；（2）无显著性差异

模拟试题参考答案（二）

一．单项选择题

1．C2．A3．B4．C5．D6．B7．D8．B 二．填空题

1．

2．

3．0.2

4．，0.27

5．

6．

三．（1）0.342；（2）0.682

四．提示：，，

五．（1）不独立；（2）0.15

（3），

六．（1）（2）；（3）

七．0.4714

八．

九．是

提示：本题是在未知方差，又没有说明方差是否相等的情况下，要求检验两总体均值是否相等的问题，故首先必须检验方差是否相等，在相等的条件下，检验总体均值是否相等。

十．提示：，

模拟试题（三）参考答案

一．填空题

1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

二．单项选择题

1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．

三．

四．万元

五．1．的边际分布为：的边际分布为：

与不相互独立

2．

六．，，概率密度为 =

七．的矩估计量为: ，

最大似然估计为:

八．假设 : ，统计量，

可认为全体考生的平均成绩为分

九．此题要求检验，由于检验必须在方差相等的条件下进行，因此必须先检验与是否相等.

第一步假设 : = ，统计量 ~ ，

接受 : = ；

第二步假设 : ，

统计量

拒绝，即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.

十．证明:

，

所以是的一个无偏估计量.

模拟试题（四）参考答案

一．填空题

1．0.55

2．1.8

3．1/4

4．0.6

5．1

6．

7．完全相关

8．

9．

10．0.9．

二．单项选择题

1．C 2．A 3．D． 4．C 5．C 6．C

三．计算题

1．0.09； 0.44

2．

0 1 2 3

1/4 11/24 1/4 1/24

(1)

(2)17/36

3．

4．(1) 独立且不相关； (2)

5． ~ (5， )；

6．的分布函数为

或者的密度函数为

即

四．应用题

1．

2．0.627 3.325，拒绝，认为该厂铜丝的折断力的方差与16有显著差异．五．略