数值分析法 曲线拟合法插值建模法

数值分析法相关知识在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y 间的函数关系()y f x =有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。

当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数()y x ϕ=，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数()y x ϕ=有很多方法。

根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。

（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。

（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。

曲线拟合法已知离散点上的数据集1122{(,),(,),,(,)}n n x y x y x y ，即已知在点集12{,,,}n x x x 上的函数值12{,,,}n y y y ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使()f x 在原离散点i x 上尽可能接近给定的i y 值，这一过程称为曲线拟合。

曲线拟合的一般步骤是先根据实验数据，结合相关定律，将要寻求的最恰当的拟合曲线方程形式预测出来，再用其他的数学方法确定经验公式中的参数。

对于事先给定的一组数据，确定经验公式一般可分为三步进行：(1)、确定经验公式的形式：根据系统和测定的数据的特点，并参照已知图形的特点确定经验公式的形式。

（2）、确定经验公式中的待定系数：计算待定系数的方法有许多常用的法有图示法、均值法、差分法、最小二乘法、插值法等。

（3）、检验：求出经验公式后，还要将测定的数据与用经验公式求出的理论数据作比较，验证经验公式的正确性，必要时还要修正经验公式。

关于确定经验公式的形式，可从以下几个方面入手：（1）、利用已知的结论确定经验公式形式，如由已知的胡克定律可以确定在一定条件下，弹性体的应变与应力呈线性关系等。

（2）、从分析实验数据的特点入手，将之与已知形式的函数图形相对照，确定经验公式的形式。

（3）、描点作图法：将已知的点用光滑的曲线连接起来，寻找曲线的形式。

（4）、多项式近似、线性插值或样条插值等。

多项式近似是工程中十分常见的方法，它首先需要确定多项式的次数，一般可以用差分法、差商法来估计。

<一>、差分方程法<1>、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。

通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。

(1)、说明：差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。

通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。

(2)、应用：差分方程模型有着广泛的应用。

实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。

差分方程模型有着非常广泛的实际背景。

在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。

可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。

<2>、基本知识： 基本概念 1、 差分算子：设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=∆∆+1:为n x 在n 处的向前差分，而1--=∆n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。

（以后我们都是指向前差分），可见n x ∆是n 的函数。

从而可以进一步定义n x ∆的差分：n n x x 2)(∆=∆∆称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。

类似可定义在n 处的k 阶差分为：))((1n k n k x x -∆∆=∆2、 差分算子 、不变算子、平移算子：记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。

则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=∆ I E -=∆∴ 由上述关系可得：i n ki ik i k n iki ik ik n kn kx C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=∆00)1()1()( （1）这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。

反之，由 n n n x x x -=∆+1 得 n n n x x x ∆+=+1： n n n n x x x x +-=∆++1222，得：n n n n x x x x 2122∆++-=++,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。

即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。

……..,)1(1k n i n k i ik ik n kx x C x ++-=-+-=∆∑得： n k i n k i ik ik k n x x C x ∆+--=+-=-+∑1)1( （2）可以看出：k n x +可以由n k n n x x x ∆∆,...,,的线性组合表示出来3、 差分方程：由n x 以及它的差分所构成的方程),...,,,(1n k n n n k x x x n f x -∆∆=∆ （3）称之为k 阶差分方程。

由（1）式可知（3）式可化为：),...,,,(11-+++=k n n n k n x x x n F x （4）故（4）也称为k 阶差分方程（反映的是未知数列n x 任意一项与其前，前面k 项之间的关系）。

由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的，我们经常用的差分方程的形式是（4）式。

4、 差分方程的解与有关概念：（1）、如果n x 使k 阶差分方程（4）对所有的n 成立，则称n x 为方程（4）的解。

（2）、如果-=x x n （-x 为常数）是（4）的解，即),...,,(---=x x n F x则称-=x x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。

平衡解可能 不只一个。

平衡解的基本意义是：设n x 是（4）的解，考虑n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果x x n n =∞→lim ，则方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面），应当有 ),...,,(---=x x n F x（3）、如果（4）的解n x 使得--x x n 既不是最终正的，也不是最终负的，则称n x 为关于平衡点-x 是振动解。

（4）、如果令：--=x x y n n ，则方程（4）会变成),...,,(1-++=k n n k n y y n G y（5）则 0=y 成为（5）的平衡点。

（5）、如果（5）的所有解是关于0=y 振动的，则称k 阶差分方程 （5）是振动方程。

如果（5）的所有解是关于0=y 非振动的，则称k 阶差分方程（5）是非振动方程。

（6）、如果（5）有解n y ，使得对任意大的y N 有：>≥n N n y Sup y则称n y 为正则解。

（即不会从某项后全为零）（7）、如果方程（4）的解n x 使得-∞→=x x Lim n n ，则称n x 为稳定解。

5、差分算子的若干性质（1）n n n ny x y x ∆+∆=+∆βαβα)(.)(（2）)(1)(1n n n n nn n n y x x y y y y x ∆-∆=∆+（3）n n n n n n y x x y y x ∆+∆=∆+1)(（4）∑∑==+++∆+-=∆bak kk a bak a b b k k y x y x y x x y111（5）∑=∆=+∆==ni iin nnnx C x I x E x 0000)( 6、Z 变换：定义：对于数列n x ，定义复数级数∑∞=-==0)()(k kk n z x x Z z X （6） 这是关于z 洛朗级数。

它的收敛域是：21R z R <<，其中2R 可以为∞，1R 可以为0。

称)(n x Z 为n x 的z -变换。

由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：z 变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：))((1z X Z x n -= （7）z 变换是研究数列的有效工具 。

z 变换的若干重要性质：（1）线性性：)()()(n n n n y Z x Z y x Z βαβα+=+（2）平移性质： ])([)(10∑-=-+-=N k kk NN n z x z X z x Zz 变换举例：（1）⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(n n n δ, 则∑∞==--=⨯==001)1()())((k k kk z z k n Z δδ（2）⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(k k n u ，则∑∑∞=∞=-->-===00,1,1)())((k k kk z z z z z k u n u Z （3）设,)(na n f =则∑∞=->>-==0,0,,)(k kk na a z az zz a a Z （4）设,!1)(n n f =则0,!1)!1(01>==∑∞=-z e z k n Z k z k<3>、差分方程常用解法与性质分析： 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （8）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。

又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9）为方程（8）对应的齐次方程。

如果（9）有形如nn x λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k ka a a a λλλ （10）称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。

显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。

基本结果如下：（1）、若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解：nkk n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2）、若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：n m m nc n c c λ)...(121----+++ （3）、若（10）有一对单复根βαλi ±=，令：ϕρλi e±=，αβϕβαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项：n c n c nnϕρϕρsin cos 21--+（4）、若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有构成项：n n c n c c n nc n c c n m m m m nm m ϕρϕρs i n )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。