插值与数据拟合建模
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得
到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）将1994～2022岁婴儿的性别比设为2022，预测性别比例为2022～2022。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各
年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）根据时间分布分析城镇、城镇的生育率，以时间为自变量，以生育率为因变量，拟合城镇、城镇的生育率，并将生育率从2022预测到2022。
（4）将某年的城镇化水平pu(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
Karmeshu（1992）发现，自20世纪50年代以来，随着经济发展水平的提高，发达国
家城市人口的增长速度一直快于农村地区。
但是，随着城市化水平的提高，达到100%，速度将会放缓。
城市化水平的增长曲线粗略地表现为“S”型Logistic曲线〔4〕，对中国
人口1%的调查数据进行了曲线拟合，从附录2中给出了2001～2022的数据，得到了曲线，并绘制了城市化水平从2001到2050的曲线。
2.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中
的数据，完成下列问题
（1）以城区采样点为插值节点，绘制城区地形图和等高线图；（2）绘制城区8种
重金属浓度的空间分布图。
并指出最高和最低浓度点的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、shepard插值等。
工具可用matlab，也可
用surfer软件实现。
在Matlab中如何进行数据插值与拟合
在Matlab中如何进行数据插值与拟合引言：数据处理是科学研究与工程开发中不可或缺的环节之一。
而数据插值和拟合则是数据处理中常用的技术手段。
在Matlab这一强大的数值分析工具中，提供了丰富的函数与工具箱，使得数据插值与拟合变得更加便捷高效。
本文将详细阐述在Matlab中如何进行数据插值与拟合，并介绍几个常用的插值与拟合方法。
一、数据插值数据插值是通过已知的有限个数据点，推导出数据点之间未知位置上的数值。
在Matlab中，可以利用interp1函数进行数据插值。
假设我们有一组离散的数据点，存储为两个向量x和y。
那么，可以通过以下步骤进行数据插值：1. 调用interp1函数，并传入x和y作为输入参数。
```matlabxi = linspace(min(x), max(x), n);yi = interp1(x, y, xi, '方法');```其中，xi是插值点的位置，min和max分别是x向量的最小值和最大值，n是插值点的数量。
'方法'是要使用的插值方法，可以选择线性插值(method='linear')、样条插值(method='spline')等。
2. 绘制插值结果曲线。
```matlabplot(x, y, 'o', xi, yi)legend('原始数据','插值结果')```使用plot函数可以绘制原始数据点和插值结果的曲线。
通过设置不同的插值方法和插值点的数量，可以探索不同的插值效果。
二、数据拟合数据拟合是通过已知的一组数据点，找到一个符合数据趋势的函数模型。
在Matlab中，可以利用polyfit函数进行多项式拟合。
假设我们有一组离散的数据点，存储为两个向量x和y。
那么，可以通过以下步骤进行数据拟合：1. 调用polyfit函数，并传入x和y作为输入参数。
```matlabp = polyfit(x, y, n);```其中，n是多项式的次数，p是拟合多项式的系数。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
数学模型第十章插值与拟合方法建模--101数据插值方法及应用
13.12.2020
课件
6
根据地图的比例，18 mm 相当于 40 km。
根据测量数据，利用 MATLAB 软件对上下边界
进行线性多项式插值，分别求出上边界函数 f2 (x) ，
下边界函数 f1(x) ，利用求平面图形面积的数值积分 方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求
出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。
5 188.6
11 191.6
17 458.3
13.12.2020
课件
12
我们将园周展开，借助 MATLAB 软件画出对应的 柱高曲线散点图(下图)。 clear;close; x=linspace(0,2*pi*300,19); y=[502.8 ,525.0,514.3,451.0,326.5,188.6,92.2, 59.6,62.2,102.7,147.1,191.6,236.0,280.5,324.9 ,369.4,413.8,458.3,502.8]; plot(x,y,’o’); axis([0,2000,0,550]);
次样条插值。
13.12.2020
课件
17
例 3、某居民区的自来水是由一个园柱形的水塔提供。 水塔高 12.2 米，直径 17.4 米。水塔由水泵根据塔中水 位高低自动加水，一般每天水泵工作两次。按照设计， 当水塔内的水位降至约 8.2 米时，水泵自动启动加水； 当水位升至约 10.8 米时，水泵停止工作。现在需要了 解该居民区用水规律，这可以通过用水率（单位时间 的用水量）来反映。通过间隔一段时间测量水塔中的 水位来估算用水率。
可以证明当 m n 且 x0 x1 xn 时，这样的多项式 存在且唯一。若要求得到函数表达式，可直接解上 面方程组。
插值与拟合算法分析
插值与拟合算法分析在数学与计算机科学领域，插值与拟合算法是两种常用的数据处理技术。
插值算法通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值，而拟合算法则通过求取最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
本文将对插值与拟合算法进行详细分析，并比较它们在不同应用中的优缺点。
一、插值算法插值算法主要用于通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值。
常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
这些算法根据插值函数的不同特点，适用于不同类型的数据处理。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于代数多项式的插值方法。
它通过构造一个全局多项式函数来拟合已知数据点，并推导出未知数据点的估算值。
拉格朗日插值算法具有简单易懂、计算效率高等优点，但在处理大量数据点时可能会出现龙格现象，导致插值结果有一定误差。
2. 牛顿插值牛顿插值是一种基于差商的插值方法。
它通过计算差商的递推关系，构造一个分段多项式函数来拟合已知数据点。
相比于拉格朗日插值，牛顿插值算法具有更高的数值稳定性和精度，并且可以方便地进行动态插值。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段函数的插值方法。
它将整个数据区间划分为若干小段，并使用不同的插值函数对每一段进行插值。
样条插值算法通过要求插值函数的高阶导数连续，能够更好地逼近原始数据的曲线特征，因此在光滑性较强的数据处理中常被使用。
二、拟合算法拟合算法主要用于通过最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
常用的拟合算法包括最小二乘拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
这些算法可以使拟合曲线与已知数据点尽可能地接近，从而进行更精确的数据分析和预测。
1. 最小二乘拟合最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来求取最佳拟合曲线的方法。
它利用数据点与拟合曲线的差异来评估拟合效果，并通过求取最小残差平方和的参数值来确定拟合曲线的形状。
最小二乘拟合算法广泛应用于线性回归和曲线拟合等领域。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来逼近已知数据点的方法。
数学建模培训之四--拟合与插值专题
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
记
J (a1 , a2 , am ) i2 [ f ( xi ) yi ]2
i 1 n i 1
n
n
[ ak rk ( xi ) yi ]
i 1 k 1
m
2
(2)
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1 r12 a2 r1m am y1 ( n m) r a r a r a y nm m n n1 1 n 2 2
r11 R 其中 rn1 r 12 rn 2
拟合多项式 次数
2.多项式在x处的值y的计算命令：y=polyval（a，x） 3.对超定方程组
Rnmam1 yn1 (m n) ，用 a R \ y
可得最小二乘意义下的解。
例1 对下面一组数据作二次多项式拟合
xi yi 0.1 1.978 0.2 3.28 0.4 6.16 0.5 7.34 0.6 7.66 0.7 9.58 0.8 9.48 0.9 1
xi
内容提纲
1.拟合问题引例及基本理论 2.Matlab求解拟合问题 3.应用实例 4.插值问题引例及基本理论 5.Maltab求解插值问题 6.应用实例
拟合问题
• 在科学计算中经常要建立实验数据的数学 模型。给定函数的实验数据，需要用比较 简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验 数据。这种逼近的特点是： • (a) 适度的精度是需要的； • (b) 实验数据有小的误差； • (c) 对于某些问题，可能有某些特殊的信 息能够用来选择实验数据的数学模型。
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实验课就要学了，不过，今天我要先自己想个办法，
用这个算出sin
”35016
这本四位数学用表给出sin 35010＝ 0.576，
sin 3502=00.5783。小华认为在sin 3501到0 sin
这样35小02的0 范围内，正弦可以近似为线性函数，于是
很容易地得到
Sin35016= 0.576+(0.5783-0.5760)×0.6=0.5774
1100
1000
900
800
700
20
40
60
80
100
根据一组（二组）数据，即平面上的 若干点，确定一个一元函数，即曲线， 使这些节点与曲线总体来说尽量接近， 这就是曲线拟合。
函数值与曲线拟合都是要根据一组 数据构造一个函 数作为近似，由于近似
的要求不同，二者的数学方法是完全不 同的。
数据拟合
通过图形小华看到，R与T大致呈直线关系，于 是用手画了一条靠近5个点的直线，又想起中学 物理学过，金属材料的电阻率与温度成正比，从 而确定R与T的关系应该是
R=at+b 其中a，b为待定常数。
正是由于测量误差的存在，由R= at+b表 示的直线不可能通过全部5个点，所以，与插 值曲线要通过全部节点不同，小华打算作一条 尽量靠近所有的点的直线，求出a，b待定常 数，由此计算t= 600C 的R就十分简单了。
++ +
+ f=a1exp(a2x) + + ++
用MATLAB作最小二乘拟合
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1函数拟合,可 利用已有程序polyfit,其调用格式为:
a=polyfit(x,y,m)
系数
数有程序 curvefit,其调用格式为：
插值最初来源于天体计算——由若干观测 值（即节点）计算任意时刻星球的位置（即 插值点和插值）——的需要。现在，虽然人 们已很少需要用它从函数表计算函数值了， 但是插值仍然在诸如机械加工等工程技术和 数据处理等科学研究中有着许多直接的应用， 另一方面，插值又是数值微分、数值积分、 常微分方程数值等数值计算的基础。
数据拟合与插值建模
插值与数据拟合就是通过一些已知数据去确 定某类函数的参数或寻找某个近似函数，使所 得的函数与已知数据具有较高的精度，并且能 够使用数学分析的工具分析数据所反映的对象 的性质．
几种常用的方法： 1、一般插值法 2、样条插值法 3、最小二乘曲线 4、曲面的拟合
上大学二年级的小华正在做作业，“爸爸，计算
1. 拟合的基本原理； 2. 最小二乘拟合； 3. 用Matlab作最小二乘拟合； 4.如何用拟合解决实际问题。
引例1：血药浓度的变化规律
对某人用快速静脉注射方式一次性注射某种药物 300mg后，经过时间t采集血样，测得血药浓度c如下表：
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
2
10
1
10
Log10c(t)=a t + b
0
10
0
2
4
6
8
半对数坐标系(semilogy)下的图形
曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某 种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最 好。
这道题要用到sin 3，501可6 是我的计算器坏了，怎么
办。”当工程师的老张从厚厚的一摞旧书底下抽出
一本数学用表来，“给你，这是我念大学时用的，
那时候啊，计算器听都没听说过。”
小华拿着表翻了一会儿，无奈的说：“表上每10 才
有一个函数值，这里只sin 3和50s1i0n “3“50表20中 没
有的，都可以用插值方法计算”“插值！我们的数学
几天后，小华在物理实验里又碰到 一个看起来非常类似的问题：有一只 对温度敏感的电阻，已经测得了一组 温度T和电阻R数据。
现在想知道600C时的电阻多大。
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7
电阻R() 765 826 873 942 1032
小华征求老师的意见，老师给了他两点提示： 一是在直角坐标系中把5个点（T，R）画一下， 看看电阻R和温度T之间大致有什么关系；二是测 量数据总有相当大的误差，这与用函数表作插值 计算应该有不同之处吧（虽然函数表也存在舍入 误差，但很小，可以认为表中数值是精确的）
最小二乘拟合函数 f(x，a1， …am)的选取
1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f：
f=a1+a2x +
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
f=a1exp(a2x)+ +
曲线 y=f(x ，a1，a2， …，am) 的距离i 的平方和最小 。
记
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。 这样的拟合称为最小二乘拟合。
思考
除了最小二乘准则（即各点误差的平方和最 小），你认为还可以用怎样的拟合准则？ 比较 起来，最小二乘准则有什么优点？
y
+
+
+
+
+ i
+
(xi,yi) +
+
y=f(x)
+
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
最小二乘拟合
第一步：先选定一类函数f(x，a1，a2， …，am) 其中 a1,a2, …am 为待定常数。
f可以为一些简单的“基函数” （如幂函数，三角函数等等）的线性组合：
第二步：确定参数a1,a2, …am， 其准则为（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi) 与
聪明的小华用的这个办法是一种插值方 法——分段线性插值。实际上，插值可以 理解为，要根据一个用表格表示的函数， 计算表中没有的函数值。 表中有的，如（sin 3501，0 0.5760） (sin 3502,00 .5783)称为节点；要计算的， 如sin 3501，6 称为插值点，结果（0.5774） 即为插值。小华作的线性函数为插值函数， 插值函数所表示的直线当然要通过节点。