数学建模数据拟合与插值
(数学建模课件)第八部分插值与拟合
例9 多项式函数拟合 x=[34 36 37 38 39 39 39 40 40 41 42 43 43 45 47 48]; y=[1.30 1.00 0.73 0.90 0.81 0.70 0.60 0.50 0.44 0.56 0.30 0.42 0.35 0.40 0.41 0.60]; close; plot(x,y) p=polyfit(x,y,2) xi=linspace(34,48,1000); %绘图的X轴数据 z=polyval(p,xi); %得到多项式在数据点处 的值 close; plot(x,y,’ko’,xi,z,’r-’)
xi=0:2*pi*300; yi=interp1(x,y,xi,’cubic’); plot(xi,yi);
2020/7/8
例3 三次样条插值 x=1:12; y=[5 6 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; close; plot(x,y,x,y,’+’) pp=spline(x,y); [b,c]=unmkpp(pp)
例5 下表给出某企业从1968—2008年间，工龄为 10年、20年、30年的职工的月均工资数据。试 用线性插值求出1973—2003年每隔10年，工龄 为15年、25年职工的月均工资。
工龄 10 年份
1968
507
1978
793
1988
1032
1998
1265
2008
2020/7/8
2496
20
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2、二维插值
Z1=interp2 (X,Y,Z,X1,Y1,’method’) 其中X和Y为两个向量，分别描述原始数据点的 自变量取值，Z是对应于X和Y的函数值；X1和 Y1是两个向量，描述欲插值的点。Method的含 义同一维插值。Z1是根据相应的插值方法得到 的插值结果。
三次样条插值与多项式拟合的关系
三次样条插值与多项式拟合的关系《三次样条插值与多项式拟合的关系》一、简介在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。
三次样条插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。
它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。
二、三次样条插值的原理与方法三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三次插值多项式的方法。
它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。
这样可以保证整个插值曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接点处有相同的函数值和导数值。
三次样条插值不仅可以实现较高的插值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。
三、多项式拟合的原理与方法多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。
常见的拟合方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。
多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。
四、三次样条插值与多项式拟合的关系在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。
可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。
多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。
可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。
五、个人观点和理解在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。
对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。
了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2022年间的性别比。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2022年间的生育率。
（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
比,Karmehu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logitic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。
2.处理2022年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题
（1）以城区取样点位置为节点进行插值，绘制城区的地形图和等高线图；（2）绘制城区的8种重金属浓度的空间分布图。
并指出浓度最高和最低的点所在的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、Shepard插值等。
工具可用Matlab，也可用urfer软件实现。
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
数学建模中常用的十种算法
数学建模中常用的十种算法在数学建模中，常用的算法有很多种。
以下是数学建模常用的十种算法：1.线性回归算法：线性回归是一种用于建立变量之间线性关系的统计算法。
它通过最小化预测值与实际值之间的均方误差来确定最佳拟合直线。
2.非线性回归算法：非线性回归是一种用于建立变量之间非线性关系的统计算法。
它通过最小化预测值与实际值之间的均方误差来确定最佳拟合曲线。
3.最小二乘法算法：最小二乘法是一种用于估计模型参数的优化算法。
它通过最小化观测值与预测值之间的平方差来确定最佳参数值。
4.插值算法：插值是一种用于根据已知数据点推断未知数据点的技术。
其中常用的算法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值。
5.数值积分算法：数值积分是一种用于计算函数的定积分的技术。
其中常用的算法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格积分。
6.数值优化算法：数值优化是一种用于求解最优化问题的技术。
其中常用的算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。
7.图形算法：图形算法是一种用于处理图像和图形数据的技术。
其中常用的算法包括图像滤波、图像分割和图像识别。
8.聚类算法：聚类是一种用于将数据集分组为不同类别的技术。
其中常用的算法包括K均值聚类、层次聚类和DBSCAN。
9.分类算法：分类是一种用于将数据分为不同类别的技术。
其中常用的算法包括支持向量机、决策树和随机森林。
10.贝叶斯算法：贝叶斯算法是一种用于计算后验概率的统计推断方法。
其中常用的算法包括贝叶斯分类、朴素贝叶斯和马尔科夫链蒙特卡洛。
以上是数学建模中常用的十种算法，它们在不同的应用领域和问题中具有广泛的应用价值，并且常常可以相互结合以获得更好的建模结果。
插值法及其应用
插值算法的介绍及其在数学建模中的应用一、插值的介绍及其作用数模比赛中，常常需要根据已知的样本点进行数据的处理和分析，而有时候现有数据较少或数据不全，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用插值法“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
在直观上，插值就是找到一个连续函数使其经过每个样本点插值法还可用于短期的预测问题（插值与拟合经常会被弄混，为了区分，这里简要介绍一下拟合：即找到一个函数，使得该函数在最小二乘的意义下与已知样本点的总体差别最小，该函数不一定要经过样本点。
通常情况下，拟合要求已知样本点的数据较多，当数据较少时不适用）二、插值法原理三、插值法的分类注：下面的1、2、3、4 并非是并列关系，几个部分之间也有交叉，目的在于逐渐引出数学建模中最常用的两种插值方法：三次样条插值与三次埃尔米特插值。
1、普通多项式插值多项式插值中，拉格朗日插值与牛顿插值是经典的插值方法，但它们存在明显的龙格现象（下面会解释龙格现象），且不能全面反映插值函数的特性（仅仅保证了插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值）。
然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。
对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。
因此，数学建模中一般不使用这两种方法进行插值，这里也不再介绍这两种方法。
龙格现象（Runge phenomenon）: 1901年，Carl Runge 在他的关于高次多项式插值风险的研究中，发现高次插值函数可能会在两端处波动极大，产生明显的震荡，这种现象因此被称为龙格现象。
所以在不熟悉曲线运动趋势的前提下，我们一般不轻易使用高次插值。
下面是对函数f(x)=\cfrac{1}{1+x^2}不同次数拉格朗日插值多项式的比较图，其中红线为函数本身图像。
可以发现，n值越大，在两端的波动越大。
c++三次多项式拟合_数学建模_003_插值和拟合_2020_9_3
c++三次多项式拟合_数学建模_003_插值和拟合_2020_9_3插值问题：有限个已知数据点，构造⼀个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
当数据量不够，需要补充,且认定已有数据可信时,通常利⽤函数插值⽅法。
常见插值⽅法：拉格朗⽇插值(lagrange插值)分段线性插值Hermite三次样条插值克⾥⾦插值(地理学)反距离权重插值算法(地理学)拉格朗⽇插值(⾼次多项式插值)：(次数太⾼有Runge现象)1. 曲线光滑；误差估计有表达式2. 收敛性不能保证(振荡现象)3. ⽤于理论分析，实际意义不⼤matlab中没有分段线性插值：1. 收敛性良好2. 只⽤两个节点，且线性，简单实⽤3. 曲线不光滑三次样条插值:1. 曲线2阶光滑，收敛性有保证2. 实际中应⽤⼴泛3. 误差估计较难拟合：已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
曲线拟合要解决的两个问题：1. 线型的选择(关键点，⼀般根据散点图)2. 线型中参数的计算参数的求解：1. 线性拟合----最⼩⼆乘法2. ⾮线性拟合----Gauss-Newton迭代法最⼩⼆乘法:函数表达式： 其中 , k=[1,n],是线性⽆关的函数， 是待定系数，⽬的找⼀组适当的，使得 与的距离平⽅和最⼩。
这种准则称为最⼩⼆乘准则，求系数的⽅法称为最⼩⼆乘拟合法。
MATLAB拟合：线性拟合：polyfit(x,y,n)函数x,y被拟合数据的⾃变量和应变量，n为拟合多项式的次数polyval()函数多项式在 x 处的值 y 可⽤polyval函数计算⾮线性拟合：[b,r] = polyfit(x ,y ,fun,bo, option)fun: 拟合函数 b0：拟合参数初始化迭值option: 拟合选项 b:拟合参数 r:拟合残差MATLAB拟合⼯具箱： cftool(⾹)插值和拟合的异同联系都是根据实际中⼀-组已知数据来构造⼀个能够反映数据变化规律的近似函数的⽅法。
数学建模插值和拟合问题的总结
插值和数据拟合一、 插值方法问题：已知n+1个节点(x j ,y j )(j=0,1,…,n)，a=x 0<x 1<…< x n =b ，求任一插值点x*处的插值y*方法：构造一个相对简单的函数y=f(x)，使得f 通过所有节点，即f(x j )= y j ,再用y=f(x)计算x*的值。
1. 拉格朗日多项式插值设f(x)是n 次多项式，记作1110()n n n n n L x a x a x a x a --=++++要求对于节点(,)j j x y 有(),0,1,,n j j L x y j n ==将n+1个条件带入多项式，就可以解出多项式的n+1个系数。
实际上，我们有n 次多项式011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----满足1,()0,,,0,1,,i j i jl x i j i j n =⎧=⎨≠=⎩则0()()nn i i i L x y l x ==∑就是所要的n 次多项式，称为拉格朗日多项式。
由拉格朗日多项式计算的插值称为拉格朗日插值。
一般来讲，并不是多项式的阶数越高就越精确，一般采用三阶、二阶或一阶（线性）多项式，对相邻点进行分段插值。
2. 样条插值在分段插值时，会造成分段点处不光滑，如果要求在分段点处光滑，即不仅函数值相同，还要一阶导数和二阶导数相同，则构成三阶样条插值。
一般用于曲线绘制，数据估计等。
例 对21,[5,5](1)y x x =∈-+，用n=11个等分节点做插值运算，用m=21个等分插值点作图比较结果。
见inter.m 程序二、 曲线拟合 三、 给药方案 １． 问题一种新药用于临床必须设计给药方案，在快速静脉注射的给药方式下，就是要确定每次注射剂量多大，间隔时间多长．我们考虑最简单的一室模型，即整个机体看作一个房室，称为中心室，室内血液浓度是均匀的．注射后浓度上升，然后逐渐下降，要求有一个最小浓度1c 和一个最大浓度2c ．设计给药浓度时，要使血药浓度保持在1c ~2c 之间．２． 假设（１）药物排向体外的速度与中心室的血药浓度成正比，比例系数是k(>0)，称为排出速度．（２）中心室血液容积为常数V ，t=0的瞬间注入药物的剂量为d ，血药浓度立即为dV． ３． 建模设中心室血药浓度为c(t)，满足微分方程(0)dckc dtd c V=-=用分离变量法解微分方程，有()ktd c te V-=(*) ４． 方案设计每隔一段时间τ，重复注入固定剂量D ，使血药浓度c(t)呈周期变化，并保持在1c ~2c 之间．如图：设初次剂量加大到D 0，易知0221,D Vc D Vc Vc ==-，2121()11ln[],()()ln c Vc t t t c t c k d k c τ=-=-= 那么，当12,c c 确定后，要确定给药方案0{,,}D D τ，就要知道参数V 和k ．５． 由实验数据做曲线拟合确定参数值已知1210,25(/)c c g ml μ==，一次注入300mg 药物后，间隔一定ln lndc kt V=- 记12ln ,,lndy c a k a V==-=，则有 12y a t a =+求解过程见medicine_1.m得120.2347, 2.9943a a =-=，由d=300(mg)代入算出k=0.2347,V=15.02(L) 从而有0375.5(),225.3(), 3.9()D mg D mg τ===小时四、 口服给药方案 １． 问题口服给药相当于先有一个将药物从肠胃吸收入血液的过程，可简化为一个吸收室，一个中心室，记t 时刻，中心室和吸收室的血液浓度分别是1()()c t c t 和，容积分别是V ,V1，中心室的排除速度为k ，吸收速度为k1，且k,k1分别是中心室和吸收室血液浓度变化率与浓度的比例系数，t=0口服药物的剂量为d ，则有11111,(0)dc dk c c dt V =-= (1) 111,(0)0V dckc k c c dt V=-+= (2) 解方程(1)有111()k td c te V -=代入方程(2)有111()()k t kt k d c t e e V k k--=--其中三个参数1,,dk k b V=,可由下列数据拟合得到：（非线性拟合）。
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输入格式为： （1）x= leastsq ('fun',x0)； （2）x= leastsq ('fun',x0,options)； （3）x= leastsq ('fun',x0,options, 'grad')； （4）[x，options]= leastsq ('fun',x0,…)； （5）[x，options,funval]=leastsq('fun',x0,…)
__________________________________________ • 解 该问题即阶最优化问题
1.用命令curvefit。此时
（1） 编写M文件curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中x(1)=a； x(2)=b；x(3)=k； （2） 输入命令 tdata=100:100:1000 cdata=1e03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59]; x0=[0.2,0.05,0.005]; x=curvefit(‘curvefun1’,x0,tdata,cdata) f=curvefun1(x,tdata) （3）运算结果为： x=0.0070 -0.0030 0.1012 f=Columns 1 through 7 0.0045 0.0050 0.0054 0.0057 0.0059 0.0061 0.0063 Columns 8 through 10 0.0064 0.0065 0.0066 即拟合得a=0.0070，b=-0.0030，k=0.0066。
例ห้องสมุดไป่ตู้ 用下面一组数据拟合函数 中的参数a,b, k 。 ___________________________________________
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
3.1 线性最小二乘拟合
• 线性最小二乘法是解决曲线拟合问题最常用的方
法，基本思路是，令
• • 其中 的函数， （1.1） 是一组事先选定的线性无关 是一组待定系数。寻求系数
使得 yi 与 f ( xi )的距离 的平方 和最小。这种准则称为最小二乘准则，其求系数 的方法称为线性最小二乘拟合方法。
2 .用命令leastsq。此时
x=(a，b，k)
（1） 编写M文件curvefun2.m
function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59]; f=cdata-x(1)-x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中x(1)=a；x(2)=b;x(3)=k；
基础上，选几种曲线分别拟合，然后比较，看哪 条曲线的最小二乘指标J 最小。
3.2 非线性最小二乘拟合
非线性最小二乘法是假设f (x)是待定系数 的任意非线性函数，在最小二乘准则下求其系数
例如上述人们常用的双曲线和指数曲线就是非线
性最小二乘拟合中最常用的非线性函数，只不过在
上面使用中将它们转变成线性最小二乘拟合方法。
• 若记
（1.5）
• 则方程组（1.4）可表示为
（1.6）
• 由于当 线性无关时，R列满秩， 可逆，所以方程组（1.6）有唯一解 • （1.7）
• 2、 函数组 的选取 面对一组数据 ，用线 性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是关键 的一步是恰当地选取 • 如果通过机理分析，能够知道y 与x之间应该 有什么样的函数关系，则 容易确定。 若无法知道y 与x之间的关系，通常可以将数 据 作图，直观地判断应该用 什么样的曲线去作拟合。
3 非线性最小二乘拟合 Matlab的优化工具箱中提供了两个求非线性最 小二乘拟合的函数：curvefit和leastsq。使用这 两个命令时，都要先建立M文件fun.m，但它们定义 f (x)的方式是不同的。 1.curvefit 设已知 xdata=(xdata1,xdata2,…,xdatan ), ydata=(ydata1,ydata2,…,ydata n ), curvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数 中的参变量x（向量），使得 最小。
2. 线性最小二乘拟合（多项式拟合）方法
在线性最小二乘拟合中，用的较多的是多项 式拟合。如果取 即用m 次多项式拟合给定数据，则Matlab中有现 成的函数 a=polyfit(x0,y0,m) 其中输入参数x0,y0为要拟合的数据，m为拟合多 项式的次数，输出参数a为拟合多项式 y am xm ... a1x a0 系数 a [am ,..., a1, a0 ] 多项式在x处的值y可用下面的函数计算 y=polyval(a,x)
三、数据拟合
• 在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。 给定函数的实验数据，需要用比较简单和合适的 函数来逼近（或拟合）实验数据。这种逼近的特 点是：
• (a) 适度的精度是需要的； • (b) 实验数据有小的误差； • (c) 对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够 用来选择实验数据的数学模型。
定是极值点。也可以直接解J 极小化问题。
3.3 最小二乘拟合法的Matlab实现
1. 解方程组方法 例1 用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式，使它与下表所示的数据拟合。
x 19 25 31 38 y 19.0 32.3 49.0 73.3 44 97.8
解 编写程序如下
x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; r=[ones(5,1),x.^2]; ab=r\y x0=19:0.1:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2; plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
数据拟合与插值
一、引言
在解决实际问题的生产（或工程）实践和科学 实验过程中，通常需要通过研究某些变量之间的函 数关系来帮助我们认识事物的内在规律和本质属性， 而这些变量之间的未知函数关系又常常隐含在从试 验、观测得到的一组数据之中。因此，能否根据一 组试验观测数据找到变量之间相对准确的函数关系 就成为解决实际问题的关键。 例如在工程实践和科学实验中，常常需要从一 组试验观测数据 之中找到自 变量x与因变量y 之间的函数关系，一般可用一个 近似函数y = f (x)来表示。函数y = f (x)的产生 办法因观测数据和要求不同而异，通常可采用数据 拟合与函数插值两种办法来实现。
对于给定的实验数据，通常应根据实验数据的走
向、趋势选择合适的数学模型，即拟合函数。
例如当实验数据具有单调性和凸性时，可选择
下述适当的数学模型y = f (x)来拟合实验数据。 等，其中a、b 为参数。
在有可能的情况下，一般将非线性拟合函数转 化为线性拟合函数求解，这一方面是如此求解简单， 另一方面也是因为一般情况下求解法方程组 得到的通常仅是J 的驻点，不一
（2） 输入命令
输入格式为：
1.x=curvefit('fun',x0,xdata,ydata)； 2.x=curvefit('fun',x0,xdata,ydata,options)； 3.x=curvefit('fun',x0,xdata,ydata,options, 'grad')； 4.[x，options]=curvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…) 5.[x,options,funval]=curvefit('fun',x0,xdata,ydata,…) 6.[x,options,funval,Jacob]=curvefit('fun',x0,xdata,yda ta,…).
将例1中的数据拟合成一个二次方程
x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; ab=polyfit(x,y,2) x0=19:0.1:44; y0=ab(3)+ab(2)*x0+ab(1)*x0.^2; plot(x,y,‘o’,x0,y0,‘r’) 结果： ab = 0.0497 0.0193 0.6882
数据拟合基本方法
• 逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合，常采用 最小二乘拟合。 • 曲线拟合问题的数学描述是，已知一组（二维） 数据 即平面上的n个点 xi 互不相同。寻求一个函数（曲线） y = f (x)，使f (x)在某种准则下与所有数据点 最为接近，即曲线拟合得最好。
最小二乘拟合分为线性最小二乘拟合和非线性 最小二乘拟合。
发现该乡镇企业的年生产利润几乎直线上升。 因此，我们可以用 y a1 x a0 作为拟合函数来预测 该乡镇企业未来的年利润。编写程序如下：
x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; a=polyfit(x0,y0,1) y97=polyval(a,1997) y98=polyval(a,1998) 求得 1997年的生产利润y97=233.4286，1998年的生产利 润y98=253.9286。
例2 某乡镇企业1990-1996年的生产利润如下表： 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 利润（万元） 70 122 144 152 174 196 202 试预测1997年和1998年的利润。 解 作已知数据的的散点图， x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; plot(x0,y0,'*')