信道编码汉明码译码电路循环码生成多项式生成矩阵
循环码(7,3)码
循环码（7，3）码（生成多项式1)(234+++=x x xx g ）摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。
分析和讨论了 此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。
关键字：循环码 编码 译码 检错 纠错 Matlab信道编码：信道编码又称差错控制编码或纠错编码，它是提高信息传输可靠性的有效方法之一。
一类一类信道编码是对传输信号的码型进行变换，使之更适合于信道特性或满足接收端对恢复信号的要求，从而减少信息的损失；另一类信道编码是在信息序列中人为的增加冗余位，使之具有相关特性，在接收端利用相关性进行检错或纠错，从而达到可靠通信的目的。
1.1、循环码循环码是线性分组码中一个重要的分支。
它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠随机错误，也能纠突发错误。
循环码是目前研究得最成熟的一类码，并且有严密的代数理论基础，故有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现，所以循环码受到人们的高度重视，在FEC 系统中得到了广泛应用。
1.1.1、循环码定义定义：一个线性分组码，若具有下列特性，则称为循环码。
设码字 )(0121c c c c c n n ⋅⋅⋅=-- （1.1.1） 若将码元左移一位，得 ())(10121--⋅⋅⋅=n n c c c c c （1.1.2）()1c也是一个码字。
由于（k n ,）线性分组码是n 维线性空间n V 中的一个k 维子空间，因此()k n ,循环码是n 维线性空间n V 中的一个k 维循环子空间。
注意：循环码并非由一个码字的全部循环移位构成。
1.1.2、循环码的特点循环码有两个数学特征： （1）线性分组码的封闭型；（2）循环性，即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。
第6讲 信道编码：汉明码纠检、循环码
系数不为零的x的最高次数为多项式c(x)的次数，或称多项式的阶数，deg c(x)
例如：某码组( 1100101 )对应的码多项式可表示为 c7(x) = 1· 6+1 · 5+ 0 · 4 + 0 · 3 + 1 · 2 + 0 · +1 x x x x x x
= x6 + x5 + x2 +1
码多项式与码组的关系：本质上是一回事，仅是表示方法的不同而已
(u 2 x u1 x u 0 ) g ( x ) u ( x ) g ( x )
码多项式的模运算
正整数的模运算 若一正整数M除以正整数N，所得到的商为Q，余数为R，可表示为
M N QR N 0 R N
其中Q为整数，则在模N运算下，上式的结果为：
M R ( 模 N ， 记 为 mod N )
稍作变换，每个等式进行移项：
ˆ e0 c 0 y
ˆ d ( y , c 0 ) W ( e0 )
ˆ e1 c1 y
ˆ d ( y , c1 ) W ( e1 )
e
2 1
k
ˆ c
2 1
k
y再由两个码Biblioteka 之和的码重等于两个码组的码距，可得：
ˆ d ( y, c
2 1
多项式的模运算与正整数的模运算相同，一般利用长除法计算商式和余式
有两个多项式a(x)和p(x)，一定存在有唯一的多项式Q(x)和r(x)，使得：
a( x) Q ( x) p( x) r ( x)
称Q(x)是a(x)除以p(x)的商式，r(x)是a(x)除以p(x)的余式，在模p(x)运算下
a ( x ) r ( x ) [ mod p ( x )]
第7讲 信道编码：循环码、典型矩阵、编码电路
gnk 0 G 0
g n k 1 gnk
g n k 1 0
g1 g nk
g0 g1 g n k 1
x k 1 g ( x) 0 0 k 2 x g ( x) g0 0 xg ( x) g1 g 0 g ( x)
xn-ku(x) = x4u(x) = x14 + x11 + x8 + x5 →( 10010010010 0000 )
r(x) = [x4u(x)]mod g(x) = x2 →(0100) c(x) = x4 u(x) + r(x) = x14 + x11 + x8 + x5 + x2
即：循环码组c = ( 10010010010 0100 )
用矩阵的形式表示上式：
[ x n-k u ( x)]mod g ( x ) uk 1 uk 2
[ x n 1 ]mod g ( x ) n2 [ x ]mod g ( x ) u0 r ( x) [ x n k ] mod g ( x )
g0 h0 + gn-k hk = 0
那么对于生成多项式所构成的生成矩阵G
g nk 0 G 0 g n k 1 g nk g n k 1 0 g1 g nk g0 g1 g n k 1 0 g0 0 g1 g 0 0
k ( n k ) r1,1 r1,2 r1,n k r2,1 r2,2 r2,n k rk ,1 rk ,2 rk ,n k
信道编码中ppt课件
循环码：cyclic code 码多项式：code polynomial 生成多项式：generator polynomial 求模运算：modular arithmetic 系统码：systematic（regular）code 循环移位运算：cycle shift operation
上节回顾：线性分组码
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
插件1：查表分解xn-1的方法
（1）并非所有的xn-1都具有r次的既约(不能再分解)的因式。 但只要满足n=2r-1，xn-1就具有r次的既约因式。因此 P194 页表4中只列出满足n=2m-1的xn-1的分解情况。
由对偶式 (1110011)2和187页表知m23(x)=x6+x5+x4+x+1； i=7：(111)8=(1001001)2，得知m7(x)=x6+x3+1；
对偶式还是自己。
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本节的主要内容
❖ 码多项式 ❖ 循环移位的数学表达 ❖ 循环码的生成多项式 ❖ 循环码的编码 ❖ 循环码的译码 ❖ 编、译码的电路实现
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
请简述什么是循环码以及循环码的生成多项式
请简述什么是循环码以及循环码的生成多项式
循环码(Cyclic Code)是一种线性码的一种，其中循环码的生成多项式是一个非常关键的概念。
循环码的生成多项式是指一个m次多项式g(x)，它满足以下两个条件：
1. g(x)的所有根都在循环码的生成矩阵G的右互质集合内;
2. 对于任意的0≤i
其中，n是码长，m是生成多项式的次数，G是循环码的生成矩阵，mod m表示对m取模。
循环码的生成多项式可以通过辗转相除法(又称欧几里得算法)来求得，即找到一个最简形式的m次多项式。
循环码的生成矩阵可以通过将生成多项式展开得到，即将所有不等于常数项的系数所在列组成一个n×(n-m)的矩阵，这个矩阵就是循环码的生成矩阵。
循环码具有很多良好的性质，例如其检测和纠错能力、编码和解码的易实现性等，因此在通信和编码领域得到广泛应用。
循环码的编码电路6.6循环码的译码6.7循环汉明码
*
*
6.5 循环码的编码电路
*
6.5.1 非系统码编码电路
循环码码式是生成多项式倍式。 非系统编码电路/循环码乘法编码电路 输入 a(x)=m(x)， m(x)的次数 <k 输出 a(x)g(x)=C(x)即是码式，C(x)的次数 <n 举例：生成 (7,4) 汉明码的生成多项式为 g(x)=x3+ x2+1，非系统编码电路如图6.13所示。电路共工作7个时钟节拍。
*
6.5.2 系统码编码电路
*
(2) 用 (n－k) 级移位寄存器实现的编码电路 循环码编码电路结构和工作原理 工作原理：二元 (n,k) 循环码的编码是将信息多项式 m(x) 乘 xn－k 后再除以生成多项式 g(x) 求出它的余式，即为监督数字多项式 r(x)。 二元 (n,k) 循环码的编码电路就是以 g(x) 为除式的除法电路，而输入的被除式为 xn－km(x) 。 实际的编码电路如图6.15所示。 其级数等于 g(x) 的次数 (n－k) ； 反馈连接决定于 g(x) 的系数 当 gi=0 时 (i=0,1,2,…, n－k)，反馈断开； 当 gi=1 时，对应级加入反馈。
*
*
6.6.1 接收矢量伴随式计算
设 E(x) 为 R(x) 的错误图样，那么 R(x)=C(x)+E(x)，由于 C(x)为 g(x) 的倍式，所以
S(x)≡C(x)+E(x)≡E(x) (mod g(x)) 上式表明：伴随式是由错误图样决定的，与具体码字无关。 说明：循环码伴随式的表示式 (6.4) 是由系统码推出的，但由于伴随式仅与错误图样有关，因而对非系统码也是适用的。
工作过程：
x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 任取一个三次因式为监督多项式 h(x)=x3+x+1 得 h3=1, h2=0, h1=1, h0=1
第五章 信道编码 习题解答
第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。
2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。
解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。
(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。
得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。
（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。
（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。
（4）码距越大，纠、检错能力越强。
3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。
已知码元错误概率为410e p -=。
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。
解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。
信道编码习题解答
第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。
2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。
解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。
(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。
得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。
（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。
（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。
（4）码距越大，纠、检错能力越强。
3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。
已知码元错误概率为410e p -=。
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。
解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4 汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。
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将矩阵u和g相乘：
ug
ug
u2g
u1
gu012ug01gg10xux22gggg0((00xx))00u1gu12x2
ux 12 g0(
gx(gx)(
x) u0g1
x)u1 xg (
x)
u0 g0
u0g
(
x)
0 0 gg(1x) g0 g(x)
(u2x2 u1x u0 )g(x) u(x)g(x)
式中计算，那个乘式为1S，2 就 S1表 S明0 是 1哪一个
图样
7个逻辑与门所进行的运算分别为：
S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1 S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1 S2 S1 S0 1
循环移位之后仍然在码组的集合中 数学定义：设C为某( n, k )线性分组码的码组集合，如果对C中
任意一个码组c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )，它的循环移位c(1) = ( an-2an3 … a1 a0 an-1 )也属于C，则称该( n, k )码为循环码 其中c(i )表示c码组循环移位i次 例如：某( 7, 4 )循环码组集合中的一个码组为( 1000101 )，向左循 环移位一次后的码组( 0001011 )仍为码组集合中第一个许用码组
当且仅当S2、S1、S0全为S12时 S成1 立S0，因1此：
保1证）其对乘每积一为校1正；子设计S一2 个 S1这 S样0 的 1乘式， 2）对于右表共设计7个S2乘 S式1 ，S0对应1 于7种
可能出现的错误图样； S2 S1 S0 1 3）当三位校正子确定S后2 ， S1代 S入0 到 17个乘
进行纠错，即实现等式：
cˆ e y
由其监督矩阵可知，其监督位与信息位之间的偶监督关系：
u6 u5 u3 c2 S2 u6 u5 u4 c1 S1
u5 u4 u3 c0 S0
线性分组码的封闭性特征的证明：
码组集合中任意两许用码组之和仍为一许用码组
证明：设A1和 A2为码中任意两许用码组，则有 A1·HT = 0 A2·HT = 0
译码电路包括三个部分： 1）计算校正子； 2）查找确定纠正图样； 3）纠正接收码组中的错误
某（7，4）码的监督矩阵以 及校正子错误图样表：
查表方法如下：
S2 S1 S0
观察错误图样表发现校正子与错误图样一 一对应
利用二元有限S2域S1的S乘0 法规S2则 S，1 对 S于0 等1式：
S2 ·S1 ·S模运算 若一正整数M除以正整数N，所得到的商为Q，余数为R，可表示为
M N QRN 0RN
其中Q为整数，则在模N运算下，上式的结果为：
M R (模N， 记为mod N)
若所使得用到g(的x)的矩系阵数的组各成项矩恰阵好：与ug(x1 ) ·gg0(x)所然0 得后多将0 项上式式的的系数作为矩阵的第二行 系数相等，因此可用这种g 矩 阵0相乘g1代替g0两个0 多 项式 相乘，这一特性可用于构造循0环码0的生g1成矩g0阵
同时u(x)的系数组成矩阵: u u2 u1 u0
有两个码多项式u(x) = u2 x2 + u1 x + u0；g(gx()x不)x=g变(gx1)：xx=2+gg(1gxx0)2=+gg10xx3 + g0 x2 相加： u(x) + g(x) = ( u2 + 0 ) x2 + ( u1 + g然1 )后xg将+(xu上)0=+式=g的100x系x23+数+gg0作1xx为2 +矩g阵0 x的第一行 相乘： u(x) ·g(x) = u2 g1x3 + ( u2g0+ u1g1然) 后x2 将+ (上u=1式g00的+x3系u+0g数01x)作2x+为+g1矩ux0g阵+0 g的0 第二行
最佳译码应选择那些离y最近的cˆ ，再由上式可知：
1）所有错误图样中选择码重最小图样；
2）该图样所对应的 cˆ 作为纠正后的码组
在实际中译码： 1）一般事先确定好每种校正子S所对应的所有错误图样； 2）选择码重最小的错误图样作为可纠正的错误图样； 3）然后将校正子与最小码重的错误图样制成表格； 4）译码时，利用校正子查表，然后用等式c = e + y进行纠正
码多项式
码多项式是描述循环码的主要方法
对于任一长为n的码组
可用一多项式来表示：
c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )
c(x) = ( an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + …… + a1 x1 + a0 ) 此多项式称码多项式，式中每项的各分量an-1 , an-2 , …… , a1 , a0是多项式的系数 系数不为零的x的最高次数为多项式c(x)的次数，或称多项式的阶数，deg c(x) 例如：某码组( 1100101 )对应的码多项式可表示为
c7(x) = 1·x6+1 ·x5+ 0 ·x4 + 0 ·x3 + 1 ·x2 + 0 ·x +1 = x6 + x5 + x2 +1
码多项式与码组的关系：本质上是一回事，仅是表示方法的不同而已
相当于将g(x)乘以x2 ，使得g(x)的次数
码多项式的加法与乘法
变 相当为3于，将即g(使x)g乘(x以)的x最，使高得次g与(xu)(的x)次·g(数x) 一 变样 为2：：
A1·HT + A2·HT = ( A1 + A2 ) ·HT = 0 即（ A1 + A2）必是该码中一许用码组 由封闭性以及二元有限域的加法特性可知，两个码组之间的距离 必是另一码组的重量，码的最小距离等于非零码的最小重量。此 即证明了为线性分组码的另一特征
循环码
是线性分组码中最主要、最有用的一种码 与一般线性分组码相比，循环码具有循环特性，每个码组经任意
信道编码
译码纠、检过程
错误矩阵/错误图样E：设发送码组为c，接收码组为y，则
e c y en1 en2
则可用下式进行纠错：
e0 c y
错误图样的计算：
cˆ e y
S yHT e cHT eHT cHT eHT 即：S eHT
这个线性方程组一共有2k个解，即2k个错误图样