最新——循环码(9,3)码

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【国家自然科学基金】_准循环低密度校验码_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803

推荐指数 6 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
科研热词推荐指数围长 5 准循环 4 低密度校验码 3 低密度奇偶校验码 3 线性编码 2 列差搜索算法 2 准循环码 2 准循环低密度奇偶校验码 2 非二元 1 部分平衡不完全区组设计 1 迭代填充算法 1 连续 1 素域 1 环 1 步进边增长算法 1 本原元 1 最小环长 1 循环置换矩阵 1 并行编码 1 和积译码 1 准循环低密度校验码 1 停止集 1 停止距离 1 低密度生成矩阵 1
2014Байду номын сангаас 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2014年科研热词推荐指数准循环低密度奇偶校验码 2 等差矩阵 1 有限群 1 有限域 1 循环转移矩阵偏移量优化 1 基矩阵与校验矩阵之间环的关系 1 围长 1 净编码增益 1 低密度奇偶校验码ldpc 1
推荐指数 5 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
科研热词低密度校验码循环矩阵准循环码最小和算法多码率围长半并行准循环低密度校验码准循环低密度奇偶校验码准循环信道编码中国数字地面电视广播标准非二元部分并行结构谱效率译码器现场可编程门阵列环流水线最简平衡环搜索算法平衡环可编程门阵列列差矩阵偏移量 shannon限 richardson-urbanke算法 peg算法

BCH循环码的编码与译码

中南大学物理与电子学院信息论与编码理论实验报告实验名称：BCH循环码的编码与译码专业班级：电子信息科学与技术1104姓名：学号：实验6 BCH循环码的编码与译码一、实验内容用VC或Matlab软件编写循环BCH码的编码与译码程序。

利用程序对教科书的例题做一个测试。

二、实验环境1.计算机2.Windows 2000 或以上3.Microsoft Visual C++ 6.0 或以上4.Matlab 6.0或以上三、实验目的1.通过BCH循环码的编码与译码程序的编写，彻底了解并掌握循环BCH的编码与译码原理2.通过循环BCH码的编码与译码程序的编写，提高编程能力。

四、实验要求1.提前预习实验，认真阅读实验原理以及相应的参考书。

2.对不同信道的进行误码率分析。

特别是对称信道，画出误码性能图。

即信道误码率与循环汉明码之间的关系。

3.认真填写实验报告。

五、实验原理1.循环BCH的编码与译码原理(略)2.循环BCH的程序实现。

六、实验步骤232t)()2(，其系数在GFα,...,α,α,α是GF2上的一个本原，t是整数，含有2t 个跟αm1.基本概念：设1-2m=为循环码生成多项式，并称为而原本预案BCH码。

参数如下：码长：n)x(上，并且最低次多项式gmt≤k-n=校验位数：r1+2t=d0≥最小码距：dmin纠错能力：t。

)(2是任意整数<3)和纠错能力ttt≥1其中m(m-m2.计算方法：，产生GF2扩域。

m)x(1算出m，遭到一个m次的本原多项式p-2=m（1）有n)()(的根，分别计2t个连续米次根)x(m（2）在GF2上找到一个本原a,一般情况下是利用本原多项式p)x(,...,m2t)x(,m2)x(域上的最小多项式m1)2(2t所对应的GFα3,...,α2,α,α⎦⎤)x(,...,m2t)x(,m3)x(m1⎣⎡LCM=)x(（3）计算2t个连续奇次幂之根所对应的最小多项式的公倍式，得到生成多项式g求得BCH码字)x(g)x(m=)x(（4）由关系式C3.程序实现：对于BCH（15,5）,有matlab实现程序如下：①BCH编码 enbch155.mfunction coded = bch155(msg_seq) %定义函数bch编码 % 输入为msg_seq信息位 % 输出为编码后的码元codedg=[1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1]; %生成多项式系数n=15;k=5; %默认为BCH（15，5） %% 从输入msg_seq中提取信息位msg display('信息位：')if nargin<1 %判断输入信息 ,若未输入,系统自动产生5组信息码，并显示出信息位 nmsg=5;msg=randi([0,1],[nmsg,k]) elselmsg = length(msg_seq); nmsg = ceil(lmsg/k);msg = [msg_seq(:);zeros(nmsg*k-lmsg,1)];msg = reshape(msg,k,nmsg).' endxx = [msg zeros(nmsg,n-k)]; %将输入信息码msg拓展为矩阵形式的xx %% 进行编码,将xx编码为coded coded =zeros(nmsg,n); fori=1:nmsg[q,r]=deconv(xx(i,:),g); %产生余式 r=abs(rem(r,2)); coded(i,:)=r; end coded = coded + xx; %产生信息码 end②BCH解码debch155.m M=4;code = gf(code,M); [m , n]=size(code); decode=[]; code1=[]; T2=6; N=15; mat=gf(2,M,code.prim_poly).^([N-1:-1:0]'*([1:T2]));第2/5页Tx = [0 1 zeros(1,T2-1)]; fori=1:m ;code1=code(i,:); M=code1.m;T2=6;N=15; S = code1* ((gf(2,M,code1.prim_poly)).^([N-1:-1:0]'*([1:T2]))); LambdaX = gf([1 zeros(1,T2)],M,code1.prim_poly); Tx = [0 1 zeros(1,T2-1)]; L=0; for k = 1:T2;LambdaXTemp = LambdaX;Delta = S(k) - LambdaXTemp(1+[1:L])*(S(k-[1:L]))'; ifDelta.x;LambdaX = LambdaXTemp - Delta*Tx; if 2*L < k;L = k-L; Tx = LambdaXTemp/Delta; end; end;Tx = [0 Tx(1:T2)]; end;LambdaXValue = LambdaX.x;LambdaX = gf(LambdaXValue(1:max(find(LambdaXValue))), M, code1.prim_poly); errLoc_int = roots(LambdaX);errLoc = log(errLoc_int); fori =1:length(errLoc); errorMag = 1;code1(N-errLoc(i)) = code1(N-errLoc(i)) - errorMag; end;decode=[decode;code1]; end;ccode = double(decode.x); decode = ccode(:,1:5); end③测试文件 bch_en_decode.m function bch_en_decode(msg) %编码 ifnargin<1 code=enbch155();else code=enbch155(msg); %编码 end第3/5页code=code+randerr(5,15,1:3); %模拟信道产生错误，每行有1-3个随机错误display('信道传输中干扰后,接收到的信息');coder=rem(code,2) %对2取余，使范围是0、1 display('解码后');decode=debch155(coder) end4.进行测试不输入信息位，让系统自动产生信息位，在matlab中输入下面一行代码，得到结果>>bch_en_decode() 信息位： msg =0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 编码后码元: coded =0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 信道传输中干扰后,接收到的信息 coder =0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 解码后 decode =0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0第4/5页输入信息位在matalb中输入下面两行代码，得到结果如下>>msg=[1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1]; >>bch_en_decode(msg) 信息位： msg =1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 编码后码元: coded =1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 信道传输中干扰后,接收到的信息 coder =1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 解码后 decode =1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 11 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1。

循环码

a
b
c
u3u2u1u0
u3u2u1u0 c2 c1c0
a
b
c
除法过程：除法过程：
u3u2u1u0
[ x { x ( x[ u3 x3 ]mod g(x) + u2x3 )mod g(x) + u1x3 }mod g(x) + u0x3 ]mod g(x)
1 0 u 0 1 0 1 1 ×3' c ' 0d 0 0
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵 )循环码的生成多项式为循环码的生成多项式为： )，例如： 1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3 7， 4，因此生成矩阵阶数：其中单位阵I 矩阵4
BCH码 BCH码
是一类能纠正多个随机错误的循环码其生成多项式为：其生成多项式为：
g ( x) = LCM [ m1 ( x), m3 ( x),L , m2t −1 ( x) ]
其中m 为素多项式，为纠错个数，LCM表示取最小公倍数其中mi(x)为素多项式，t为纠错个数，LCM表示取最小公倍数，最表示取最小公倍数，小码距d 2t 小码距d ≥ 2t+1 BCH码分为两种： BCH码分为两种：码分为两种 1）本原BCH码：码长n = 2m - 1 本原BCH码码长n 2）非本原BCH码：码长n为2m - 1的因子非本原BCH码码长n 其中m 其中m表示素多项式的次数
有y = c + e，即y(x) = c(x) + e(x) ，则： e， e(
CRC码 CRC码
即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验，具有即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验，实现简单，检错能力强。其原理为：实现简单，检错能力强。其原理为：然后除以生成多项式g 1）任意长的信息位向左移动r位，即xru(x)，然后除以生成多项式g(x)得到的任意长的信息位向左移动r 余数附加在信息码之后形成码组c 然后进行发送；余数附加在信息码之后形成码组c(x)，然后进行发送； 2）接收端接收到码组y(x)，然后除以g(x)，如果能整除则表示无错发生，否接收端接收到码组y 然后除以g 如果能整除则表示无错发生，则表示有错详细过程：详细过程： 1）信息位为u(x)，先向左移动r位，即xru(x)。求余式[xru(x)]mod g(x)= r(x) 信息位为u 先向左移动r 求余式[ 2）则将c(x) = xru(x) + r(x)发送出去则将c 3）若用e(x)表示可能的错误，则接收到 y(x) = c(x) + e(x) = xru(x) + r(x)+e(x)，若用e 表示可能的错误， )+e 那么校验方法：那么校验方法： [y(x)]mod g(x)=[xru(x) + r(x) + e(x) ]mod g(x) = r(x) + r(x) + [ e(x) ]mod g(x) =[x

循环码(9,3)码

循环码（9，3）码课程设计一、摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。

分析和讨论了此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。

二、关键字：循环码编码译码检错纠错 Matlab三、基本概念：更好的设计和实现线性分组码的方法是引入特定的数学结构来界定某一类线性分组码。

循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。

循环码定义：设C 使某(n,k)线性分组码的码字集合，如果对任何C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C ，则称该（n,k ）码为循环码。

该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。

其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。

如果一个（n,k ）线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j次循环移位后得到的},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。

循环码的多项式描述：码字的多项式描述，一个n 元码字可以用一个次数不超过n-1的多项式唯一表示)(0121c c c c c n n --=0112211)(c x c x c x c x c n n n n ++++=----其中，我们不关心x 的具体位置，其次数只表示相应码元的位置。

循环码

实验、循环码编译码系统一、实验目的：1、熟悉循环码的编译码原理；2、掌握Quartus Ⅱ开发软件的运用，在该软件下熟练的运用多种输入方式完成各种电路设计的要求；3、初步掌握VHDL 语言，能够运用该语言编写简单的程序，完成设计要求；4、熟悉对PLD 的下载和仿真，学会观察测试结果的正确性；5、学会运用各方面知识，设计并实现一个系统。

二、实验要求：使用Quartus Ⅱ软件，用m 序列发生器作为信号源设计循环码编译码，速率可自定,并在实验箱上调试出编码和译码波形，比较信号源和译码后的信号波形。

三、实验设备：Quartus II 软件、Modelsim 软件、FPGA 实验箱、微机1台、示波器1台四、实验原理：1、循环码的编码循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。

若（1n a - 2n a -…… 1a 0a ）为一循环码组，则(2n a - 3n a -……0a 1n a -)、（3n a - 4n a -……1n a - 2n a -）、……还是许用码组。

也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循环码组。

表1-2给出了一种（7，3）循环码的全部码字。

可以将循环码码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式，对于表1-2中的任一码组可以表示为：654326543210()A x a x a x a x a x a x a x a =++++++ （1-4）表1-2一种（7，3）循环码的全部码字在码多项式运算中采用按模运算法则。

若一任意多项式F (x )被一个n 次多项式N (x )除，得到商式Q (x )和一个次数小于n 的余式R (x )，也就是：()()()()()F x R x Q x N x N x =+ （1-5）则可以写为：F (x )≡R (x )（模N (x )）。

这时，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1，假设：计算x 4+x 2+1除以x 3+1的值可得：422331111x x x x x x x ++++=+++ （1-6）循环码的生成多项式和生成矩阵：（全0码字除外）称为生成多项式，用g (x )表示。

循环码

码组编号信息位 a6 a5 a4 监督位 a3 a2 a1 a0 码组编号
(模( x7 1))
信息位 a6 a5 a4 监督位 a3 a2 a1 a0
1
2 3 4
000
001 010 011
0000
0111 1110 1001
5
6 7 8
100
101 110 111
1011
1100 0101 0010
x4 x2 x 1
5 4 3 T ( x ) x x x 1 ；码组（0111001）的码多项式为
码组（1110010）的码多项式为 T ( x ) x x x x ；
6 5 4
反之，若已知码多项式也可以求得对应的码组。码多项式T(x)=x7+ x3+ x+1，则8位该组为 C=（10001011）。码多项式T(x)=x5+ x3+ x2 + x1 ，则7位码组为 C=（0101110）。
（2）已知信息码，由生成多项式g(x)得到循环码对长为k位的任意消息组 M=(mk-1,…, m1,m0)，其对
应的消息多项式为m(x)=mk-1xk-1+…+ m1x+m0
可乘以g(x)而构成n-1次的码多项式：
2016/6/24
T ( x) (mk 1 xk 1 m1 x m0 ) g( x) m( x) g( x)
即生成多项式：g(x) = x4 + x2 + x + 1。将此g(x)代入（0010111）
x k 1 g ( x) k 2 x g ( x) G ( x) xg ( x) g ( x)

第5章习题解答

第5章组合逻辑电路应用习题55.1 设计一个10线-4线编码器，输出为8421BCD 码。

解：设输入9I ,8I …0I 分别表示十进制数码9，8…0，输出3Y ,2Y ,1Y ,0Y 分别表示8421BCD 码的4个二进制位。

输入低电平有效的编码器真值表如下：得到最简逻辑函数为：893Y =I +I 89=I I 27654Y I I I I = 17632Y I I I I = 5.2 试用线-3的2101Y Y Y ===，31EX Z Y ==,0F Y =,导致1U 对76,A A 进行优先编码，且与门的输出为1U 的编码输出，所以，3210Z Z Z Z 的值在1000—1111之间,1F Z =。

5.3 试分析图P5.3所示电路的功能（74148为8线-3线优先编码器）。

解：由题知0EI =当2A ,3A ...9A 中有逻辑0时，则：则1U 对它们进行优先编码，且1U 的1F Y =，导致2U 的输出全为1，与门的输出为1U 的编码输出，所以3L 2L 1L 0L 的值在0000—0111之间，1F Y =。

如果2A ,3A ...9A 全为逻辑1，则1U 的2101Y Y Y ===，31EX L Y ==,0F Y =,导致2U 对10,A A 进行优先编码，且与门的输出为2U 的编码输出，所以，3L 2L 1L 0L 的值在1000—1111之间,1F Y =。

5.4 分析图P5.4所示电路的功能。

解： 102L Y Y =• 23567L Y Y Y Y =••• 即1L ABC ABC AC =+= 2L ABC ABC ABC ABC AC AB BC =+++=++74138译码器能实现函数1L AC = 2L AC AB BC =++的功能。

5.5 用2片3线-8线译码器74138，组成4线-16线译码器。

图P5. 4图P5.33 当0EN =时，编码器对输入位号进行编码30Y = 891I I ==，相当于一个输出加上非门的8线-3线优先编码器，按765I I I …0I 的优先级数，对应的输出二进制代码依次为111,110,101…000，所以当时的输出二进制代码依次为0111,0110,0101…0000。

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目录目录 (1)一、摘要： (2)二、关键字： (2)三、基本概念： (2)四、循环码的多项式描述： (3)4.1 生成多项式g(x)及生成矩阵G (3)4.2 系统循环码 (4)4.3 循环码的编码： (5)4.4 检错纠错能力 (6)五、编码器.译码器原理图： (6)5.1 编码器原理图 (6)5.2 译码器原理图 (8)六、循环码和线性分组码、Hamming码的区别、联系： (12)6.1 线性分组码 (12)6.2 循环码 (12)6.3 汉明码hamming (13)七、循环码的MATLAB仿真： (13)八、参考文献： (16)九、参与人员： (16)循环码（9，3）码课程设计一、摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。

分析和讨论了此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。

二、关键字：循环码编码译码检错纠错 Matlab三、基本概念：更好的设计和实现线性分组码的方法是引入特定的数学结构来界定某一类线性分组码。

循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。

该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。

如果一个（n,k ）线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j 次循环移位后得到的},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。

四、循环码的多项式描述：码字的多项式描述，一个n 元码字可以用一个次数不超过n-1的多项式唯一表示)(0121c c c c c n n --=0112211)(c x c x c x c x c n n n n ++++=----其中，我们不关心x 的具体位置，其次数只表示相应码元的位置。

称这样的c(x)为c 的码字多项式。

4.1 生成多项式g(x)及生成矩阵G如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式。

在循环码中，次数最低的多项式（0除外）就是生成多项式g(x)，其他码多项式都是其倍数。

且该g(x)的阶数为r=n-k ，常数项为1，是n x +1的一个因式。

为了寻求生成多项式，必须对nx +1进行因式分解。

循环码的生成矩阵多项式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--)()()()()(21X g X Xg X g X X g X X G k k然后将系数提出就得到生成矩阵G 。

4.2 系统循环码循环码也可以构成为系统循环码。

为方便系统码的构造，将消息多项式和码式都记为高位在前，即),,,,(0121m m m m m k k ⋅⋅⋅=--的消息多项式为m(x)，1110)(--+++=k k x m x m m x m又设码式的高幂次部分等于m(x)，即)()()(111110x p x m x x c x c x c x c c x c k n n n k n k n k n k n +⋅=++++++=---+-+--- k n r x p -=<∂)(其中p(x)称为校验位多项式，由于码式是生成式的倍式，所以))((mod 0)()()()(x g x g x a x m x x p k n ==+-))()(mod ()(x g x m x x p r⋅-=因此循环码的系统码码式为))]((mod )([)()(x g x m x x m x x c r r -=将循环码的系统码构造步骤总结为多项式乘))(()(x m x x m x r r =多项式求模（余式）)())())(mod ((x p x g x m x r = 多项式减)()())((x c x p x m x r=- 如果令)(x m 为单项式1+r x ，1,,1,0-=k ir x p x p x g x a x i i r <∂+=+)(),()()(1ir i i x x p x c ++=)()(那么容易看到，)(x c i 对应的向量i c ，1,,1,0-=k i 是线性无关的，从而得到循环码系统码的生成矩阵sG 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------1000100011,11,10,11,111101,00100r k k k r r s p p p p p p p p p G4.3 循环码的编码：利用生成多项式g(x)实现编码：如上所述，但循环码的生成多项式g(x)确定时，码就完全确定了。

现在讨论生成多项式g(x)给定以后，如何实现循环码的编码问题。

若已知 g(x)=gn-kxn-k+gn-k-1xn-k-1+...g1x+g0 并设信息元多项式 m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+...m1x+m0 要编码成系统循环码形式，即码字的最左边k 位是信息元，其余n-k 位是校验元，则要用xn-k 乘以m(x)，再加上校验元多项式r(x),这样得到的码字多项式c(x)为c(x)=xn-km(x)+r(x)=mk-1xn-1+mk-2xn-2+...m0xn-k+rn-k-1xn-k-1+...r1x+r0其中 r(x)=rn-k-1xn-k-1+...r1x+r0 c(x)一定是g(x)的倍式，即有c(x)=xn-km(x)+r(x)=q(x)g(x) c(x)=xn-km(x)+r(x)=0. mod g(x)注意到g(x)为n-k 次多项式，而r(x)最多为n-k-1次多项式，必有 r(x)=xm(x), mod g(x) （1）即r(x)必是xn-km(x)除以g(x)的余式。

式(1)指出了系统循环码的编码方法：首先将信息元多项式m(x)乘以xn-k 成为xn-km(x)，然后将xn-km(x)除以生成多项式)(x g 得到余式r(x)，该余式就是校验元多项式，从而得到码字多项式)()()(x r x km xn x c +-=。

综上所述，系统循环码的编码问题，可以归结为两个多项式的除法运算，即将xn-km(x)除以生成多项式g(x)得到余式r(x)的运算，因此研究多项式除法的电路实现是必要的。

4.4 检错纠错能力若纠错码的最小距离为min d ，那么如下三个结论的任何一个结论独立成立。

（1）可以检测出任意小于等于1dim -=d l 个差错；（2）可以纠正任意小于等于)]1(2/1[min -=d t 个差错；（3）可以检测出任意小于等于l 同时纠正小于等于t 个差错，其中l 和t 满足：11min -≤+d t 和1<t五、编码器·译码器原理图： 5.1 编码器原理图编码电路工作方程为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==++===+=4534523120150P P P P m P P P P P P P m P P 0,121==G G ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧='='='='='='453423120100P P P P P P P P PP P 1,021==G G （9，3）循环码编码电路工作过程5.2 译码器原理图输入R已知生成矩阵G 如下，列出S 与E 的对照表。

当收到码组[]001011001=B 时，解出对应的信息码组D⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001G ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000100010000010001000001000100100000010010000001001H⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000010000001000000100000010000001100100010010001001T HS 有62种形式，相应的码重最小的E 矢量有62种。

S 与E 的对照表如下：[][]000010100000010000001000000100000010000001100000010010001001001011001=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==T BH S 查表可知，E 矢量为：[]000010000=E所以正确的码组A 为：[]001001001=⊕=-=E B E B A 所以信息码组为：[]001001=S由生成多项式求解生成矩阵的过程：已知：（9，3）循环码的生成多项式为1)(36++=x x x G ,求生成矩阵及系统码生成矩阵。

解：由生成多项式可得生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001G 则系统码生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001s G 发现错误能力及纠正错误能力：由生成矩阵得纠错码的最小距离3min =d ，则：（1）可以检测出任意小于等于l=2个差错；（2）可以纠正任意小于等于t=1个差错；（3）可以检测出任意小于等于2同时纠正小于等于1个差错。

六、循环码和线性分组码、Hamming 码的区别、联系：6.1 线性分组码是同时具有分组特性（码子和消息长度恒定）和线性特性（消息相加后的编码等于各自编码后相加）的纠错码。

每个监督码元都是码组中某些信息码元的线性相加得到的。

将q 元符号按每k 个分为一组．然后通过编码得到n-k 个q 元符号作为冗余校验符号，最后由校验符号和信息符号组成有n 个q 元符号的码字符号。

得到的码字可以纠正t 个错误，编码码率为为k/n 。

两个属于该码的码字的和仍是一个属于该码的码字，全零字总是一个码字，一个线性码的两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小汉明重量。

6.2 循环码是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。

是线性分组码的一个重要子类；BCH 码是其主要的一大类；汉明码、R-M 码、Golay 码、RS 码等可变换；纳入循环码内，Goppa 码的一个子类也属于循环码；用反馈线性移位寄存器可以容易的实现其编码和得到伴随式；由于数学上的特性，译码方法简单。