-一次函数的性质与应用-教师
一次函数-一次函数的概念、图像、与基本性质(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
关于学生小组讨论部分，我发现学生们在讨论一次函数在实际生活中的应用时，能够提出一些有创意的想法。但在分享成果时，部分学生的表达能力仍有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组代表发言、角色扮演等。
最后，在总结回顾环节，学生对一次函数的知识点有了更深刻的理解。但在课后反馈中，仍有部分学生表示对某些知识点存在疑问。针对这个问题，我将在课后加强个别辅导，关注学生的掌握情况，并及时解答他们的疑问。
（4）空间想象能力的培养：对于一次函数图像的想象和绘制，学生可能缺乏空间想象力。
突破方法：借助教学软件、实物模型等辅助工具，帮助学生建立一次函数图像的空间概念。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数的概念、图像与基本性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人一起跑步，一个人跑得快，一个人跑得慢，他们的距离是如何变化的？”这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、图像和基本性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
一次函数的图象和性质教案人教版
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教材分析
本节课的教学内容是“一次函数的图象和性质”，所使用的是人教版教材。该章节内容主要涉及一次函数的图象特点、斜率与截距的概念、以及一次函数的性质。学生在学习本节课之前，应已掌握一次函数的基本概念，如函数、自变量、因变量等。
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解一次函数的基本概念。
- 思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
- 提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
- 信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。
三、学习者分析
1. 学生已经掌握了哪些相关知识：在开始本节课之前，学生应该已经学习了初中阶段的一次函数、直线方程等相关知识，对于函数的基本概念、自变量与因变量的关系有一定的了解。他们应该能够理解函数的基本性质，如单调性、连续性等，并能够运用这些知识解决一些简单的问题。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生的兴趣可能在于通过观察和实验来发现一次函数的图象和性质，他们可能对通过实际例子来理解数学概念感兴趣。在学习能力方面，学生可能需要通过具体的例子和实践活动来理解和掌握一次函数的图象和性质。他们的学习风格可能偏向于动手操作和合作学习。
3. 实践评价：通过实践活动，了解学生对一次函数的应用能力，及时发现问题并进行解决。教师可以通过设计实践活动，如小组讨论、实验等，了解学生对一次函数的应用能力，针对存在的问题进行针对性教学。
4. 期末评价：通过期末考试，了解学生对一次函数的图象和性质的掌握程度，及时发现问题并进行解决。期末考试是对学生学习成果的一次全面检验，教师应认真分析考试结果，针对存在的问题进行针对性教学。
《一次函数的图象和性质》教学设计优秀5篇
《一次函数的图象和性质》教学设计优秀5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中八年级数学教案-一次函数的图像与性质(区一等奖)
重点：一次函数的性质，以及、b对一次函数图象位置的影响。
解决措施：对于一次函数性质的探究，让学生经历“填表画图——观察图象——得出结论——用几何画板验证结论”，能自己归纳出的正负对函数图象变化趋势和增减性的影响，变传统的教师单一传授为学生自主探究的有意义学习。
难点：理解一次函数的性质，并能灵活应用。
2、通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法。
3、在探究一次函数的性质的活动中，通过动手实践，互相交流，使学生在探究的过程中，提高与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践的能力和探究精神。
同学们，在前面我们学习了正比例函数的图象，它是借助正比例函数的图象，我们研究了正比例函数的性质和图象分布特点，哪位同学来说一说
上节课我们学习了一次函数的图象，它是画它的图象只需描出几个点因为好，这节课我们就借助一次函数的图象来研究一次函数有哪些性质，图象的分布又有什么特点！
1、全班齐声回答正比例函数的图象和一次函数的形状。
1、让学生自己动手填表，画一次函数y=31，y=2-3，y= 4的图象，并观察当自变量的值从小到大增大时，函数y的值是增大还是减小从图象上看，直线从左到右是上升还是下降
2、请大家观察这三个函数有什么共同的特点，相互讨论，看看有什么发现
3、刚才三个函数的是三个特殊的取值，我们来看看更一般的情况。
打开几何画板，让在大于零的范围内不停变化，观察此时图象的变化趋势，并且在其中任意一条直线上任取5个点，用表格显示这5个点的横纵坐标，观察当增大时，y是如何变化的
利用新技术，“变抽象为直观”，“变静（间断）为动（连续）”，不仅可以加深学生对图象和性质的深层理解、击破教学难点，更能有效的培养学生的数形结合能力和探究能力。
02-一次函数的图像及性质-教师版
1、 一元一次方程与一次函数（1） 对于一次函数m ，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，解这个方程得bx k=-，于是可以知道一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标为(0)b k -，； （2） 若已知一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标bx k =-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．2、 一元一次不等式与一次函数（1） 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（2） 在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．一次函数知识结构知识精讲模块一：一次函数与不等式yx6Oyx-2O 没【例1】 已知一次函数经过(20)A ，和(13)B -，，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围． 【难度】★【答案】图像如图，2x >． 【解析】图像如图，2x >．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．【例2】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围；（2）求不等式0kx b +≤的解集． 【难度】★【答案】（1）6x <； （2）6x ≥． 【解析】（1）由图像可得：6x <； （2）由图像可得：6x ≥．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．【例3】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于y 轴左侧所有点的横坐标的取值范围； （2）求在这个函数图像上且位于y 轴右侧所有点的纵坐标的取值范围； （3）求2016y x b =-+在y 轴上的截距． 【难度】★【答案】（1）0x <；（2）2y >-；（3）2-． 【解析】（1）由图像可得：0x <； （2）由图像可得：0x >； （3）由图像可得：2b =-∴2016y x b =-+在y 轴上的截距是2-．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，注意分析清楚题目中所要求的结果．例题解析【例4】已知一次函数解析式是132y x=-．（1）当x取何值时，2y=?（2）当x取何值时，2y>?（3）当x取何值时，2y<?（4）当x取何值时，02y<<?【难度】★★【答案】（1）10x=；（2）10x>；（3）10x<；（4）610x<<．【解析】（1）令1322x-=，解得：10x=；（2）令1322x->，解得：10x>；（3）令1322x-<，解得：10x<；（4）令10322x<-<，解得：610x<<．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例5】已知函数()31f x x=-+．（1）当x取何值时，()2f x=-?（2）当x取何值时，4()2f x>>-?（3）在平面直角坐标系中，在直线()31f x x=-+上且位于x轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?【难度】★★【答案】（1）1x=；（2）11x-<<；（3）13 x>．【解析】（1）令312x-+=-，解得：1x=；（2）令4312x>-+>-，解得：11x-<<；（3）令310x-+<，解得：13 x>．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例6】已知方程20(0)ax a-=>的解为4x=，（1）求出函数2y ax=-与x轴的交点坐标；（2）解不等式20ax-≥．【难度】★★【答案】（1）（4，0）；（2）4x≥．【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：（1）2y ax =- 与x 轴的交点坐标为：（4，0）； （2）20ax -≥的解集为：4x ≥．【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，本题也可由一次函数的图像或者是函数的性质求得最终结果．【例7】 已知一次函数y ax b =+与y mx n =+交于点(34)，，根据其图像回答下列问题：（1）求解不等式组：44ax b mx n +>⎧⎨+≤⎩；（2）求解方程组：y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩；（3）求解不等式：ax b mx n +≤+．【难度】★★★【答案】（1）3x >；（2）34x y =⎧⎨=⎩； （3）3x ≤．【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：（1）由4ax b +>可得：3x >；由4mx n +≤可得：3x ≥； ∴3x >；（2）y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩的解即为两条直线交点坐标，即：34x y =⎧⎨=⎩；（3）ax b mx n +≤+解集为y ax b =+在y mx n =+上方时x 的范围，即3x ≤． 【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系，主要是根据图像进行求解．【例8】 当－1≤x ≤2时，函数6y ax =+满足10y <，求出常数a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】42a -<<．【解析】当0a >时，max 2610y a =+<，解得：2a <； 当0a <时，min 610y a =-+<，解得：4a >-； 当0a =时，66y ax =+=，满足10y <； ∴42a -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意解题时要分类讨论．1、 一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质： 当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．2、 一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限． 把上述条件反过来叙述，也是正确的．（这部分知识概念也可以按照下面表格进行讲解和整理）0b >0b <0b =0k >经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大0k <经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小知识精讲模块二：一次函数的性质【例9】 已知函数：①2y x =-+；② 132y x =+；③ 53y x =；④ 32xy -=；⑤11(1)45y x x =--．在这些函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而减小的函数有_______________． 【难度】★ 【答案】①④．【解析】由一次函数的性质，当0k <时，y 随x 的增大而减小，故选①④． 【总结】本题考察了一次函数的性质．【例10】 已知一次函数(32)1y m x m =-++，函数值y 随自变量x 的值增大，而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限?【难度】★ 【答案】（1）32m >； （2）经过一、二、四象限． 【解析】（1）由已知得：320m -<，解得：32m >； （2）此时10m +>，一次函数经过一、二、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的性质及图像所过的象限．【例11】 已知点(1)A a -，和(4)B b ，在函数13y x m =-+的图像上，试比较a 与b 的大小． 【难度】★ 【答案】a b >．【解析】由已知得：103k =-<，所以y 随x 的增大而减小，∴a b >．【总结】本题考察了一次函数的性质，也可用特殊值法比较大小．【例12】 完成下列填空：（1） 直线25y x =--是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______；（2） 直线7(2)y x =-是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______．例题解析【难度】★【答案】（1）下降，负，二、三、四，-5； （2）上升，负，一、三、四，-14． 【解析】略．【总结】本题考察了一次函数的性质，要熟记不同的情况．【例13】 直线2(1)1y m x m =+++与y 轴的交点坐标是(03)，，且直线经过第一、二、四象限，则该直线与x 轴的交点为__________． 【难度】★★【答案】30)，．【解析】由已知得：21310m m ⎧+=⎨+<⎩， 解得：m = ∴(1)3y x =+．令0y =，解得：3x =，∴与x 轴的交点坐标是：30)，． 【总结】本题考察了一次函数的性质及交点坐标；【例14】 直线2(1)3y m x =--上有两点11()A x y ，和点22()B x y ，，且12x x >，12y y <，则常数m 的取值范围是_______________． 【难度】★★ 【答案】11m -<<．【解析】由已知得：y 随x 的增大而减小， 则210m -<， 解得：11m -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对于一元二次不等式的求解方法．【例15】 已知一次函数y kx b =+的图像是与直线23y x =-平行的直线．（1） 随着自变量x 的值的增大，函数值y 增大还是减小? （2） 直线4y kx =-经过哪几个象限? （3） 直线y kx b =+经过哪几个象限? 【难度】★★【答案】（1）y 随着x 的增大而减小； （2）二、三、四象限； （3）①当0b <时，经过二、三、四象限； ②当0b =时，经过二、四象限； ③当0b >时，经过一、二、四象限．【解析】（1）由已知得：203k =-<，故y 随着x 的增大而减小；（2）∵00k b <<，，经过二、三、四象限； （3）①当0b <时，经过二、三、四象限； ②当0b =时，经过二、四象限； ③当0b >时，经过一、二、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的图像及性质的运用．【例16】 已知直线(21)3y m x m =-+，分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1） 这条直线经过原点； （2） 这条直线经过一二四象限； （3） 这条直线不经过第三象限； （4） 这条直线与2 1.5y x =-+平行． 【难度】★★【答案】（1）0m =； （2）102m <<； （3）102m ≤≤； （4）12m =-． 【解析】（1）由已知得：30m =，解得：0m =； （2）由已知得：21030m m -<⎧⎨>⎩，解得：102m <<；（3）由已知得：21030m m -≤⎧⎨≤⎩，解得：102m ≤≤；（4）由已知得：212m -=-，解得：12m =-．【总结】主要考察了一次函数的性质的运用，本题中要特别注意题干中说的是直线，因此包含了常值函数在里面，从而第（3）小问中k 可以为零．【例17】 函数y ax b =+与y bx a =+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）．AB CD【难度】★★ 【答案】B【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k 、b 范围写出来，不矛盾即为正确选项， 故选B ．【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式中k 、b 的关系．【例18】 点(1，m )，(2，n )在函数2(963)3(3)y a a x a a =-+-+-≠的图象上，则m 、n 的大小关系是____________． 【难度】★★★ 【答案】m n >．【解析】转化得：2[(31)2]3y a x a =---+-， ∵2(31)20a ---<， ∴y 随x 的增大而减小， ∴m n >．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对比例系数进行配方，从而判定正负性．【例19】 无论p 为何值，除0以外，直线2y px p =+一定经过__________象限． 【难度】★★★ 【答案】二、三．【解析】（1）当0p >时，直线经过一、二、四象限； （2）当0p <时，直线经过二、三、四象限； 故直线一定经过二、三、象限； 【总结】本题考察了一次函数的象限特点．【例20】 不论k 为何值，解析式(21)(3)(11)0k x k y k --+--=表示的函数的图象必过定点，求此定点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】(23)，．【解析】转化得：(21)3110x y k x y ----+= ∵不论k 为何值，图象必过定点， ∴2103110x y x y --=⎧⎨--+=⎩， 解得：23x y =⎧⎨=⎩，∴定点坐标为：(23)，．【总结】本题考察了函数恒过定点的问题，此题型只要令可取任意值的字母系数为零 即可解决．1、一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）中k 、b 的意义： k （称为斜率）表示直线y kx b =+（0k ≠）的倾斜程度；b （称为截距）表示直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴交点是(0,)b ，也表示直线在y 轴上的截距．2、同一平面内，不重合的两直线1(0)a ≠与2(0)a ≠的位置关系： 当1212a a b b =≠，时，两直线平行．当12a a ≠时，两直线相交，交点为方程组1122y a x b y a x b =+⎧⎨=+⎩的解．当12b b =时，两直线交于y 轴上同一点．【例21】 已知一次函数y =kx +b ，y 随x 的增大而增大，且kb <0，指出一次函数的图像经过的象限． 【难度】★★ 【答案】一、三、四；【解析】由已知得：0k >，又kb <0， ∴b <0． ∴一次函数图像经过一、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数图像经过的象限的特点．【例22】 若直线1l ：23y x =-与直线2l ：3y x =-+相交于点P ，（1）求P 点坐标；（2）求1l ，2l 与x 轴所围成的三角形的面积； （3）求1l ，2l 与y 轴所围成的三角形的面积； （4）求1l ，2l 与坐标轴所围成的四边形的面积. 【难度】★★【答案】（1）P （2，1）；（2）34； （3）6； （4）274． 【解析】（1）联立：233y x y x =-⎧⎨=-+⎩， 解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴交点坐标为P （2，1）；11b x a y +=22b x a y +=例题解析知识精讲模块三：一次函数的性质的总结与运用（2）易得233y x y x =-=-+与分别与x 轴交于（302，）、（3，0）， ∴1331224S =⨯⨯=；（3）易得233y x y x =-=-+与分别与y 轴交于（03-，）、（0，3）， ∴16262S =⨯⨯=；（4）由题意可知，所求的四边形为图中红色边的四边形，∴1313276322224S =⨯⨯+⨯⨯=．【总结】本题考察了一次函数围成图形的面积，规则图形用公式法，不规则图形用割补法；【例23】 已知：如图，直线PA 是一次函数(0)y x n n =+>的图象，直线PB 是一次函数2(0)y x m m =-+>的图象，其中点Q 是直线PA 与y 轴的交点．（1）用m ，n 来分别表示点P ，A ，B ，Q 的坐标；（2）四边形PQOB 的面积是56，AB ＝2，试求P 点的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式． 【难度】★★【答案】（1）(0)Q n ，，(0)A n -，，(0)2m B ，，2()33m n m nP -+，； （2）14()33P ，， :1PA y x =+， :22PB y x =-+．【解析】（1）易得：(0)Q n ，，(0)A n -，，(0)2mB ，； 联立：2y x n y x m =+⎧⎨=-+⎩， 解得：323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴2()33m n m n P -+，；（2）由已知得：212152232622m n n m n +⎧⨯⨯-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：21m n =⎧⎨=⎩，∴14()33P ，， :1PA y x =+， :22PB y x =-+．【总结】本题考察了一次函数与几何的综合，综合性较强，解题时注意认真分析． 【例24】 已知一次函数f (x )=ax +2a +1，当11x -≤≤时，f (x )的值有正有负，求a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】113a -<<-．【解析】由已知得：(1)(1)0f f -⋅<，∴(1)(31)0a a ++<，解得：113a -<<-．【总结】本题考察了一次函数的性质及根据取值范围得到两个函数值的正负，从而求出不等式的解集．【例25】 已知m 为正整数，直线5214x m y -++=和233my x =-+的交点在第四象限，求这两条直线与x 轴围成的三角形的面积． 【难度】★★★【答案】1140S =．【解析】联立5214233x m y m y x -++⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：2307207m x m y +⎧=>⎪⎪⎨-⎪=<⎪⎩，∵交点在第四象限， ∴可解得：322m -<<， 又∵m 为正整数， ∴1m =．∴534x y -+=和213x y -+=两直线交点坐标为：（5177-，） 两直线与x 轴交点坐标为：（305，），（102，）， ∴13111()2527140S =⨯-⨯=．【总结】本题考察了一次函数交点坐标及围成三角形面积的求法．【习题1】已知，直线2(1)2y k x k =-++在y 轴上的截距为4，且y 随x 的增大而增大，则k =_____________．【难度】★ 【答案】2．【解析】∵224k +=，∴22k =， ∴2k =±， ∵10k ->， ∴2k =． 【习题2】若点P (,)a b -在第二象限内，则直线y ax b =-不经过________． 【难度】★随堂检测【答案】第二象限．【解析】由题意可得：00a b>>，，则直线经过一、三、四象限，故不经过第二象限．【总结】本题考察了一次函数图像性质．【习题3】若0bc<，0ab>，则一次函数a cy xb b=--的图像经过第_________象限．【难度】★★【答案】第一、二、四象限．【解析】由题意可得一次函数图像经过一、二、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像的性质．【习题4】已知点A(2)a-，、B(3)b-，在直线(5)2y k x=++上，且a b≥，则k的取值范围是__________．【难度】★★【答案】5k≥-．【解析】∵a b≥，∴y随x的增大而增大，∴50k+≥，∴5k≥-．【总结】本题考察了一次函数的图像的性质及增减性的综合运用．【习题5】根据图中所画的直线1y kx k=--，则一次函数213ky kx k-=+在y轴上的截距为__________，与坐标轴围成的三角形面积为__________．【难度】★★【答案】．【解析】∵211k-=，∴k=由图可知，0k<，∴k=∴213ky kx k-=+=--∴此一次函数在y轴上的截距为【总结】本题考察了一次函数的概念和图像，注意认真分析题目中的条件．【习题6】（1）一次函数(63)24y m x n=-+-不经过第三象限，则m、n的范围是________；（2）直线(63)24y m x n=-+-不经过第三象限，则m、n的范围是_________．【难度】★★【答案】（1）2m >，2n ≥； （2）2m ≥，2n ≥．【解析】（1）∵一次函数图像不经过第三象限，∴630m -<，240n -≥， ∴2m >，2n ≥；（2）∵直线不经过第三象限， ∴630m -≤，240n -≥， ∴2m ≥，2n ≥．【总结】本题考察了函数图像的性质与函数解析式的系数的关系．【习题7】已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：（1）00k b >>，；（2）00k b ><，；（3）00k b <>，；（4）00k b <<，．其中正确的是_________． 【难度】★★ 【答案】（2）、（3）．【解析】画图可知（2）、（3）正确．【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式系数的关系．【习题8】直线111:l y k x a =+，222:l y k x b =+的交点坐标是（1，2），则使1y ＜2y 的x 取值范围是__________【难度】★★ 【答案】1x <．【解析】由图易得1y ＜2y 的x 取值范围是1x <． 【总结】本题考察了学生观察、识图的能力．【习题9】若一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是26x -≤≤，相应的函数值的范围是119x -≤≤，求此函数的解析式，以及其经过哪些象限？【难度】★★★【答案】562y x =-，函数图像经过一、三、四象限；或542y x =-+，函数图像经过一、二、四象限；【解析】由题意易得函数经过点（-2，-11）和（6，9）或者过（-2，9）和（6，-11），∴11296k b k b -=-+⎧⎨=+⎩或 92116k b k b =-+⎧⎨-=+⎩， 解得： 526k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 或 524k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴函数的解析式为：562y x =-，函数图像经过一、三、四象限；或542y x =-+，函数 图像经过一、二、四象限．【习题10】已知方程1(0)ax b a -=<的解为x =（1）求出函数1y ax b =--与x 轴的交点坐标； （2）解不等式10ax b --≥；（3）试求函数1y ax b=--与一次函数2(y x =-的交点坐标．【难度】★★★【答案】（10）； （2）x ≤； （30）． 【解析】观察图像可知．【总结】本题考察了学生对函数的识图能力和与方程的联系．【习题11】如图，直线L ：122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C (04)，，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△COM 的面积S 与点M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标． 【难度】★★★【答案】（1）A （4，0）， B （0，2）；（2）S =8-2t （04t ≤<），S =2t -8 （4t >）； （3）t =2时，M (2，0)； t =6时，M (-2，0)． 【解析】（1）易得A （4，0）， B （0，2）；（2）114422S OM OC t =⋅=-⋅；当04t ≤≤时，82S t =-， 当4t >时，28S t =-；（3）当04t ≤<时，t =2时，M (2，0)； 当4t >时， t =6时，M (－2，0)． 【总结】本题考察了函数的综合应用．【习题12】一个一次函数图象与直线514y x =-平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ， 并且过点(125)--，，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有哪些?【难度】★★★【答案】（3，－20），（7，－15），（11，－10），（15，－5），（19，0）；【解析】设54y x b=+，代入点(125)--，得：5254b-+=-，解得：954b=-，∴该一次函数的解析式为：5954xy-=，转化，得：49541955yx y+==+，∴当y 为5的倍数时，x为整数，∴满足条件的点有：（3，－20），（7，－15），（11，－10），（15，－5），（19，0）．【总结】本题考察了一次函数的图像和性质以及对整数点坐标的理解．【习题13】已知：不论k取什么实数，关于x的函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，试求a、b的值．【难度】★★★【答案】724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【解析】把（1，1）代入，得：211 36k a bk+--=，化简得：(4)(27)0b k a++-=，∵函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，∴40270ba+=⎧⎨-=⎩，解得：724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【总结】本题考察了一次函数恒过点的问题，主要是将问题转化为方程的解为任意实数的问题．课后作业【作业1】已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式___________． 【难度】★【答案】1y x =-+等，不唯一． 【解析】只需要00k b <>，即可． 【总结】本题考察了一次函数的性质．【作业2】（1）已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图像不经过第二象限，则m 为__________；（2）一次函数(2)43y a x a =-+-的图像与y 轴的交点在x 轴的下方，则a 的取值范围是__________． 【难度】★【答案】（1）3-； （2）34a <． 【解析】（1）由已知，得：4020m m +>⎧⎨+≤⎩， 解得：42m -<<-，∵m 是整数， ∴3m =-；（2）由已知，得：43020a a -<⎧⎨-≠⎩， 解得：34a <．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对图像不经过第几象限的准确理解．【作业3】已知直线2(0)y mx m m =+<．（1）当x 取何值时，0y =？（2）当x 取何值时，0y >？ （3）当x 取何值时，0y <？（4）在m 的取值范围内，直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限？ 【难度】★★【答案】（1）2x =-； （2）2x <-； （3）2x >-； （4）二、三、四象限． 【解析】（1）令0y =，解得：2x =-； （2）令0y >，解得：2x <-； （3）令0y <，解得：2x >-； （4）易得：图像经过二、三、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的图像及性质． 【作业4】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x （2）求解不等式0kx b +≥．【难度】★★【答案】（1）5x >-； （2）5x ≤-．【解析】（1）由图像可得：5x >-； （2）由图像可得：5x ≤-． 【总结】本题考察了一次函数与方程、不等式的关系．【作业5】函数y kx k =+与ky x=(0)k ≠在同一坐标系内的图象可能是（ ）．ABCD【难度】★★ 【答案】C ．【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k,b 范围写出来，不矛盾即为正确选项，故选C ．【总结】本题考察了一次函数与反比例函数的图像．【作业6】已知一次函数2(3)2y m x m =--+，函数值y 随自变量x 的值增大而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限？【难度】★★【答案】（1）3m >； （2）二、三、四象限． 【解析】（1）由已知得：30m -<，解得：3m >；（2）由已知得：00k b <<，，图像经过二、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质．【作业7】已知点(3)a A y ，和(3)b B y -，在函数2(3)y m x m =--+的图像上，试比较a y 与b y 的大小．【难度】★★ 【答案】a b y y <．【解析】由已知得：230k m =--<， ∴y 随x 的增大而减小， ∵33>-， ∴a b y y <． 【总结】本题考察了一次函数的性质的运用．【作业8】k 在为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限？ 【难度】★★【答案】322k -<<．【解析】联立：215423k x y k x y +=+⎧⎨=+⎩， 解得：23727k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵交点在第四象限， ∴2307207k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， ∴322k -<<．【总结】本题考察了一次函数的交点坐标问题．【作业9】画出函数32y x =--的图像，利用图像求：（1）方程320x --=的根； （2）不等式320x --≥的解集； （3）当7y ≤时，求x 的取值范围；（4）当11x -≤≤时，求y 的取值范围； （5）求图像与坐标轴围成的三角形的面积； 【难度】★★【答案】（1）23x =-；（2）23x ≤-；（3）3x ≥-； （4）51y -≤≤；（5）23；【解析】（1）23x =-；（2）23x ≤-；（3）当7y =时，3x =-， ∴7y ≤时，3x ≥-；（4）当1x =-时，1y =； 当1x =时，5y =-； ∴当11x -≤≤时，51y -≤≤；（5）1222233S =⨯⨯=． 【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，主要是对函数图像的正确理解．【作业10】已知直线23y mx m m =-++分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1）直线经过(13)，；（2）直线经过原点；（3）直线与1y x =-平行； （4）直线在y 轴上的截距4；（5）直线经过一三四象限．【难度】★★【答案】（1）31m =-或；（2）30m =-或；（3）m =（4）41m =-或；（5）30m -<<． 【解析】（1）代入（1，3）得：233m m m -++=，解得：31m =-或；（2）代入（0，0）得：230m m +=，解得：30m =-或；（3）由已知得：m -=，解得：m = （4）由已知得：234m m +=，解得：41m =-或；（5）由已知得：2030m m m ->⎧⎨+<⎩解得：30m -<<． 【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对直线过原点的正确理解．【作业11】若一次函数(0)y kx b k =+≠，当31x -≤≤时，对应的函数y 值为19y ≤≤，则一次函数的解析式为_____________．【难度】★★★【答案】27y x =+或23y x =-+．【解析】（1）当0k >时，函数经过（－3，1）和（1，9）时，代入两点得：319k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得：27k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为：27y x =+；（2）当0k <时，函数经过（1，1）和（－3，9）时，代入两点得：139k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：23k b =-⎧⎨=⎩图1图2图3∴一次函数的解析式为：23y x =-+，综上，一次函数的解析式为：27y x =+或23y x =-+．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质，注意分类讨论．【作业12】已知2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经 过点(10)C ，，且把△AOB 分成两部分．（1）若把△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 、b 的值； （2）若△AOB 被分成的两部分面积之比为1：5，求k 、b 的值．【难度】★★★【答案】（1）22k b =-=，； （2）1133k b =-=，或1122k b ==，． 【解析】（1）如图1，易得：点C 为OA 中点∴BC 分△AOB 被分成的两部分面积相等∴22y x =-+即22k b =-=，；（2）由已知，得：1163AOB S S ∆∆==， ∴13h =． 1º：如图2，直线经过（0，13） ∴1133y x =-+，11,33k b =-=； 2º：如图3，直线经过（5133，） ∴1122y x =-，11,22k b ==； 综上：1133k b =-=，或1122k b ==，． 【总结】本题考察了一次函数的综合运用，注意当涉及到 面积比时，由于没说清楚哪部分大哪部分小，因此要分类 讨论．。
一次函数的性质及应用
一次函数的性质及应用一次函数，也称为线性函数，是数学中较为简单而重要的函数类型之一。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a 表示直线斜率，b 表示直线与 y 轴的截距。
一次函数在数学中有着广泛的应用，本文将介绍一次函数的性质及其在实际问题中的应用。
1. 一次函数的性质一次函数的性质主要包括直线斜率和截距的关系，直线的特殊情况以及函数图像的特点。
1.1 直线斜率和截距的关系在一次函数 y = ax + b 中，直线的斜率 a 决定了直线的倾斜程度，截距 b 决定了直线在 y 轴上的位置。
当 a > 0 时，直线向右上方倾斜；当 a < 0 时，直线向左上方倾斜；当 a = 0 时，直线平行于 x 轴。
截距 b 则表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置，当 b > 0 时，交点在 y 轴上方；当 b < 0 时，交点在 y 轴下方；当 b = 0 时，交点位于原点。
1.2 直线的特殊情况一次函数中存在两种特殊的情况，即水平和竖直线。
当直线平行于 x 轴时，斜率 a = 0，此时直线呈水平姿态。
水平直线的一般形式为 y = b，其中 b 为直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置。
当直线平行于 y 轴时，斜率不存在，此时直线呈竖直姿态。
竖直直线的一般形式为 x = c，其中 c 为直线与 x 轴的交点在 x 轴上的位置。
1.3 函数图像的特点一次函数的图像呈现直线的形式。
根据直线的性质，我们可以得出以下结论：a) 当a ≠ 0 时，直线是无限延伸的；b) 当 a = 0 时，直线是水平的，长度可能有限也可能无限；c) 当 b = 0 时，直线经过原点。
2. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，其中包括数学、物理、经济等各个领域。
2.1 数学领域在数学中，一次函数常用于解决线性方程组的问题。
线性方程组可以通过一次函数的表示转化为直观易懂的图像，从而得出解的意义和解的性质。
一次函数的性质与应用
一次函数的性质与应用一次函数，也叫线性函数，是数学中的基础函数之一。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 分别是常数，a 称为斜率，b 称为截距。
一次函数的性质及其应用广泛存在于数学、经济学、物理学等各个学科领域中。
一. 一次函数的性质1. 斜率与图像关系：斜率代表直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为零表示直线水平。
斜率的绝对值越大，越陡峭；绝对值越小，越平缓。
2. 截距与图像关系：截距表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的坐标。
当截距为正时，直线在 y 轴上方交 y 轴；当截距为负时，直线在 y 轴下方交 y 轴；当截距为零时，直线通过原点。
3. 函数图像的性质：一次函数的图像是一条直线。
当斜率a > 0 时，图像从左下方逐渐向右上方倾斜；当斜率 a < 0 时，图像从左上方逐渐向右下方倾斜；当斜率 a = 0 时，图像平行于 x 轴。
4. 定义域和值域：一次函数的定义域是全体实数，即 (-∞, +∞)；值域也是全体实数，即 (-∞, +∞)。
二. 一次函数的应用1. 经济学应用：一次函数可以描述经济关系中的线性关系。
例如，产量与成本之间的关系可以用一次函数表示。
斜率表示每增加一个单位产量对应的成本变化，截距表示没有产量时的固定成本。
2. 物理学应用：物理学中的运动学问题常常可以用一次函数建模。
例如，匀速直线运动中，位移与时间之间的关系可以用一次函数表示。
斜率表示物体的运动速度，截距表示物体的初始位置。
3. 工程学应用：在工程学中，一次函数可以用来描述电阻和导线的关系、温度和热量的关系等。
例如，欧姆定律描述了电流和电阻之间的线性关系。
4. 统计学应用：统计学中的线性回归分析就是建立在一次函数的基础上。
通过一次函数模型，可以对变量之间的关系进行探索和预测。
综上所述，一次函数具有明确的性质和广泛的应用。
在数学和实际问题中，了解和掌握一次函数的性质和应用，对于解决问题和做出正确的决策具有重要意义。
一次函数的图像和性质教案3篇
一次函数的图像和性质教案1课型：新授教学目标：一、知识与技能目标（1）能根据一次函数的图象和函数关系式，探索并理解一次函数的性质；（2）进一步理解正比例函数图象和一次函数图象的位置关系；（3）探索一次函数的图象在平面直角坐标系中的位置特征。
二、过程与方法目标通过组织学生参与由一次函数的图象来揭示函数性质的探索活动，培养学生观察、比较、抽象和概括的能力，培养学生用数形结合的思想方法探索数学问题的能力。
三、情感、态度与价值观目标通过师生共同探讨，体现数学学习充满着探索性和创造性，感受共同合作取得成功的快乐。
教学重点：一次函数图象的性质。
教学难点：通过图形探求性质以及分析图形的位置特征。
课前准备：本节课为了帮助同学们能正确理解函数的增减性，更清楚、快捷地通过图象探究函数的某些特征。
教师在课前准备好多媒体课件，并选择在多媒体教室完成本节课的教学任务。
【教学过程设计】一、创设情景，引导探究（1）复习一次函数图象的画法师：上节课我们了解了一次函数图象，并学习了图象的画法。
同学们能画出函数y=2x+4和y=-x-3的图象吗？说说看，如何画？生：能。
因为一次函数的图象是一直线，所以，我可以过（1，6）和（0，4）两点画直线y=2x+4。
过（1，-）、（0，-3）两点画直线y=-x-3。
师：很好。
还有不同的取点法吗？生：有，可经过（-2，0）和（0，4），画直线y=2x+4；经过（-2，0）和（0，-3）画直线-x-3。
师：大家说说看，哪一种取法更好呢？众：乙的方法好。
师：对。
我们可以针对函数中不同的k和b的值，灵活取值。
教师要求学生画出这两函数的图象。
【设计说明】：通过对两函数图象画法的讨论，引导学生得出简捷画法，并为后面新知识的研究作一些伏笔。
（2）探究一次函数的增减性师：教师用多媒体呈现给大家一幅画面。
图画上有两个一次函数的图象，而背景是一座山，两一次函数的图象正好对应着背景图中的上山和下山的路线，教师在课件中设计一个人从左边上山顶，并继续下山到右边山脚，并把这一活动来回放两遍给学生看，继而引导学生思考。
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（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长。
解：（1）C(0,1)；D(2,0)
-
（2）直线CD的解析式为
1
1
2
y x
=+
AB与CD的交点M 为
26 (,) 55
所以BM=2
5 5
例2、小李师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，（1）请问汽车行驶多少小时后加油，中途加油多少升；
（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
（3）已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由。
例3、如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线的长．
解：延长BC 交x 轴于D ，作BE ⊥x 轴，交于E ．先证△AOC ≌△DOC ， ∴OD=OA=1，CA=CD ，∴CA+CB=DB=222234DE BE +=+= 5．
备选例题
例1、如图，在Rt OAB ∆中，0
30ABO ∠=，83
3
OB =，边AB 垂直平分线CD 分别与AB 、x 轴、y 轴交于点C 、G 、D ，（1）求点G 的坐标； （2）求直线CD 的解析式。
解：（1）G 43
(
,0)3
（2）过点C 作CH x ⊥轴于点H 可求出AB=4，所以BC=2， 在Rt CBH ∆中，1
12
CH BC =
=，3BH = 所以8353
333
OH =
-=，点C 53(,1)3-， 点D (0,4)，所以直线CD 的解析式为34y x =-+
例2、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10．已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B•市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元． （1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的函数关系式，并求W 的最大值和最小值．
（2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W （元），并求W 的最大值和最小值．
解：（1）由题设知，A 市、B 市、C 市发往D 市的机器台数分x ，x ，18-2x ，
发往E 市的机器台数分别为10-x ，10-x ，2x-10．
从图像中可知，通话2分钟需付电话费 1.4 元；通话7分钟需付电话费 6.4 元。
B
C
A
1
2345
1.4
2.4
3.4
4.4
第5题图 第7题图
6、设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k （k=1，2，3，……，2008），
那么S 1+S 2+…+S 2008=__
1004
2009
_____． 7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T•与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两个城市间的距离d （单位：km ）有T=
2kmn
d
的关系（k 为常数）．•现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话次数为__T BC =k×2801003253205642
t t
⨯=⨯=_____次（用t 表示）
． 二：选择题：
1、无论m 为何实数，直线m x y 2+=与4+-=x y 的交点不可能在（ C ）
（A ） 第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限
2、过点P （-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ C ） （A ）4条 （B ）3条 （C ）2条 （D ）1条 *****
3、已知abc≠0，而且
a b b c c a c a b
+++===p ，那么直线y=px+p 一定通过（B ） （A ）第一、二象限 （B ）第二、三象限（C ）第三、四象限 （D ）第一、四象限 4、当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a 的取值范围是（D ） （A ）-4<a<0 （B ）0<a<2 （C ）-4<a<2且a≠0 （D ）-4<a<2
5、在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点
P 共有（D ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
6、设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）
三解答题：
1、某公司急需用车，但暂时无力购买，于是准备与出租车公司签订租车合同，以每月行驶x 千米计算，甲出租车公司的月租车费用是1y 元，乙出租车公司的月租车费用是2y 元，如果()()12,y f x y g x ==，这两个函数的图像如图所示，那么：
（1） 每月行驶多少路程时，两家公司的租车费用相
同？
（2） 每月行驶多少路程时，租用甲公司的车合算 （3）如果每月用车的路程约为2300千米，那么租用哪家的车合算？ 解：（1）1500km ；
（2）x >1500km 时，租用甲公司的车合算； （3）选甲家的车合算；
2、育才中学需要添置某种教学仪器，方案一：到商家购买，每件需要8元。
方案二：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元。
设需要仪器x 件，方案一与方案二的费用分别为12,y y 元。
（1）分别写出12,y y 的函数解析式；
（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？
（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由。
解：（1）128;420y x y x ==+
（2）令12y y =，解得30x =，所以当购置仪器30件时，两种方案的费用相同 （3）若学校需要仪器50件，选方案二便宜
1850400y =⨯=（元）， 2450120320y =⨯+=（元）， 因为12y y >，所以选方案二
自我测试。