高中必修第一册数学《3.2 函数的基本性质》获奖说课教案教学设计
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
高中数学教案《函数的基本性质》
教学计划高：《函数的基本性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握函数单调性、奇偶性的定义及判断方法;能够运用函数图像理解并阐述这些性质;能够识别并解决与函数基本性质相关的简单问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、比较等数学活动，引导学生发现函数的基本性质;通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生团队协作和问题解决的能力;通过练习和实践，提高学生应用函数性质解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度;通过探索函数性质的过程，让学生体会数学中的对称美、和谐美，增强对数学美的感受力。
二、教学重点和难点教学重点：函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法;函数图像在理解函数性质中的应用。
教学难点：理解函数单调性、奇偶性的本质，能够灵活运用这些性质解决问题;通过函数图像准确判断函数的性质。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）情境导入：通过生活中的实例(如气温变化、股票价格波动等)引出函数的概念，让学生感受到函数在生活中的广泛应用。
提出问题：设问“这些函数有哪些共同的特点或性质?”引导学生思考并引出函数的基本性质——单调性和奇偶性。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法，并能够通过函数图像理解这些性质。
2. 讲授新知（约15分钟）定义讲解：详细讲解函数单调性(增函数、减函数)和奇偶性(奇函数、偶函数)的定义，结合实例帮助学生理解。
性质阐述：阐述函数单调性和奇偶性的基本性质，如单调函数的图像特征、奇偶函数的图像对称性等。
示例分析：通过具体函数示例(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，分析它们的单调性和奇偶性，加深学生的理解。
3. 观察探究（约10分钟）图像观察：利用多媒体展示不同函数的图像，引导学生观察图像的特点，尝试从图像中判断函数的单调性和奇偶性。
小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究函数性质的图像表示方法。
人教版高中数学《函数的基本性质》优质教案
2.1函数的基本性质一、教学目标1．结合具体函数，了解函数单调性的含义；2．会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、教学重点1．回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应用，一般是判断单调性、求参数或求值；2．掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路. 其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．三、教学难点掌握周期性与抽象函数结合类的题型.高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题.四、教学过程（一）考情解读设计意图：对2016年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现，一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为5-10分.紧接着分析考点内容，明确复习方向.（二）知识梳理设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础.1.单调函数的定义及几何意义2.函数的最值3.函数的奇偶性4.周期性（三）典例分析题型一：函数的单调性设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例1为简单地应用单调性定义及函数图像特征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像法等；例2为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不等式等题型.【例1】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x 【例2】已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 题型二：函数的奇偶性设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例1为简单地应用奇偶性定义求参数的题目，通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征；例2为奇偶性与分段函数结合的题目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识.【例1】（2021·全国Ⅰ卷）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【例2】（2019·全国Ⅰ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+题型三：函数的周期性设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合.这里选取了一道直接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础.【例1】（2018·江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________． 题型四：函数性质的综合应用设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型.例1为单调性与奇偶性相结合解不等式 的相关问题，教师可引导学生将此类已知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考，紧紧扣住定义解题.例2为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周期性的定义，将题目已知条件转化为熟悉的定义再去解题.()2017(,)(1)11(2)1A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]f x f f x x ⋅-∞+∞ =- -- --【例1】（全国Ⅰ卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）≤≤ ()(,)(1)(1).(1)2(1)(2)(3)(502018A.50 B.0 C.2 D.0)5f x f x f f f f f f x -∞+∞ -=+=++++= ⋅-若，则…（【例2】（全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足）（四）巩固练习设计意图：精选了三道题作为练习题.第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函数基本性质的概念，为基础题.第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固数形结合思想.第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心.1.（2020·全国Ⅰ卷）设函数()331f x x x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减2．(2014·全国Ⅰ卷)已知偶函数f x ()在[0,)+∞单调递减，f (2)0=．若f x >(-1)0，则x 的取值范围是__________．()()()()()3R ,R,4,22,2022=A.2022 B.2 C.2022 D.2f x x f x f x f f ∈ +=-= --.已知函数是上的奇函数对任意都有若则（）（五）总结提升设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题型及其对应方法.五、作业设计设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题.题一考查单调性判断和奇偶性定义；题二考查奇偶性的定义，深化概念；题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类题；题四考查奇偶性应用求解析式；题五考查偶函数的定义，跟2021出现的题目非常相像，说明研究高考题的重要性，值得深思；题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综合题；题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性与奇偶性的概念及其应用.。
“函数”说课稿—获奖说课稿
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------“函数”说课稿—获奖说课稿函数说课稿《全日制普通高级中学教科书(必修) 数学》第一册(上) 的第二章为函数，是根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用) 》必修课的函数部分编写的。
一、本单元课时安排：共 9 个小节，可分为三个部分：第一部分包括函数、函数的表示法、函数的单调性、反函数；第二部分包括指数、指数函数；第三部分包括对数、对数函数、函数的应用举例。
共约 30课时。
二、本单元课程价值及达成度：（一）课程价值：（1）知识构建功能：函数是数学的重要的基础概念之一。
是进一步学习高等数学的基础课程，而其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。
函数是中学数学的主体内容。
它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的函数及其图象就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用。
1/ 8后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。
理科限定选修内容有极限、导数，文科限定选修内容有导数，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识。
故本章的学习起着承上启下的作用。
（2）能力培养功能：通过对函数相关概念的学习，如（函数、反函数、单调性等）加深对函数概念的理解、培养学生的比较能力，理解能力，概括能力。
通过对函数的表示方法的学习，培养学生的理论联系，实际能力。
通过对第二章应用题讲解，可培养学生用数学知识分析问题，解决问题能力，数学建模能力。
通过对指数函数、对数函数教学，可以培养学生数形结合能力，问题转化能力。
高中数学_3.2 函数的基本性质教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的单调性导学案授课教师：【学习目标】1.能根据图像，从形和数两方面说出函数的单调性和单调区间两个概念。
2.能够根据函数单调性的定义证明简单函数在某一区间上的单调性。
3.通过探究活动，体会观察、归纳、抽象的数学过程；经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程；通过对函数单调性定义的探究，体会数形结合数学思想方法。
【观察思考，进入情境】“艾宾浩斯遗忘曲线” 新华制药股票最近一月行情图 设计意图：通过常见的生活中的实例引入，容易激发学生的学习兴趣，从图像上直观的感受曲线的上升与下降，为单调性的引入做好铺垫。
【探究新知，建构定义】首先，我们以一次函数1)(+=x x f 和二次函数以及反比例函数为例，研究一下函数的单调性。
1．借助图象，直观感知思考1.(1)函数x x f =)(+1的图象是如何变化的？(2)你能描述一下函数和的图象的升降规律吗？ tyo 20406081 2 3设计意图：通过常见函数图像的观察，进一步感受图像的升降，初步得出单调性的直观形象，并且初步理解单调性跟区间有关。
2．探究规律，理性认识思考2如何用数学语言描述函数图像的上升特征，即“y 随x 的增大而增大”呢？ 其中，怎样描述“某一段”呢？怎样描述“x 的增大”过程呢？怎样描述“函数值也在增大”呢？21,x x 有范围限制吗？思考3能不能说“因为0<2且改为-1<在单调递增？设计意图：从常见函数图象可以得到单调性的自然语言表示，但怎样转化为数学语言，是学生学习的难点。
故应采取步步逼近的方式，一点点把握概念的内涵与外延，特别要把握好定义中几个关键词的理解。
3．抽象思维，形成概念 对于一般的函数我们应当如何给增函数下定义？ 一般地，设函数如果你能仿照增函数的定义表述出减函数的定义吗?一般地，设函数如果巩固概念讨论1：下列说法是否正确？请说明理由（画图或者证明）（1）设函数的定义域为,若对任意（2）设函数的定义域为R,若对任意，则单调递增.（3）函数设计意图：尽管逐步得出了定义，但学生只是初步理解，并不深刻，通过正误的判定，通过学生自己的亲身体验和教师的纠偏，进一步理解概念。
函数的基本性质(单元教学设计)-高中数学新教材必修第一册
《函数的基本性质》单元教学设计一、内容和及其解析（一）内容函数的单调性；函数的最大值、最小值；函数的奇偶性.（二）内容解析1. 内容本质变化中的不变性是性质，变化中的规律性也是性质．函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型，因此，我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物变化的规律．高中阶段研究的函数性质有：单调性、最大（小）值、奇偶性、周期性、函数的零点、增减的快慢等.本节研究函数的单调性、最大（小）值、奇偶性．单调性是函数最重要的性质，刻画了函数值y随自变量x增大而增大或减小的变化趋势，绝大多数函数都具有单调性.函数的最大（小）值与函数的单调性有着密切的联系．通常，知道了函数的单调性，就能较方便地确定函数的最大（小）值，因此，求解函数的最大（小）值一般需要先判断函数的单调性.函数的奇偶性是一种特殊的对称性．如果函数具有奇偶性就能将研究函数的“工作量”减半．函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性和最大（小）值都是函数的整体性质．函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的定义，都是在分析函数图象特征的基础上，利用代数运算对其进行定量刻画，进而用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质．2.蕴含的思想方法在函数性质概念形成的过程中，从图象特征到形式化定义，从形到数，蕴含着数形结合的思想．从几个特殊函数出发，归纳出共同特征，再概括形成函数的一般性质，这是特殊到一般的研究方法．利用定义证明具体函数性质的过程，最后形成标准化的求解步骤，蕴含着算法思想．3.知识的上下位关系函数的“集合——对应说”，并用抽象符号f（x）表示函数，为用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质奠定了基础．函数的概念与性质这部分内容，先从一般性角度研究函数概念及其性质，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用．为后续研究基本初等函数、数列、导数及其应用、概率的基本性质、随机变量等内容提供了依据．4. 育人价值在函数性质概念形成的过程中，从特殊到一般，从直观到抽象，有利于发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养；在利用定义判断或证明具体函数性质的过程中，有利于发展学生逻辑推理、数学运算的核心素养．5.教学重点用符号语言表示函数的单调性、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性.二、目标及其解析（一）目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.在从图象直观到自然文字语言描述再到符号语言表达函数单调性的过程中，能感悟引入符号表示“12,x x D ∀∈”的作用和力量，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”的方式进行表达.2.会用符号语言正确表达函数的单调性、最大（小）值，并能说出“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，知道函数单调性和最大（小）值的现实意义.能说出判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性.能说出求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，能说明最值与单调性之间的关系.3.能类比单调性的定义的学习过程，用符号语言表达函数的奇偶性，并说明偶（奇）函数的定义与函数图象关于y 轴（原点）对称之间是等价的.知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.三、教学问题诊断分析1.问题诊断及破解方法（1）函数单调性的符号语言描述的构建.学生在初中学习一次函数、反比例函数、二次函数时已经会从图象的角度观察“从左到右图象上升”“从左到右图象下将”的变化趋势，并且会用文字语言“y 随x 的增大而增大或减小”描述这种变化规律，而本单元需要将自然语言转化为符号语言：12,x x D ∀∈，当12x x <，都有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），则称函数()f x 在区间D 上的单调递增（或递减），这样的语言学习是学生第一次接触，对学生而言是一个很大的难点.破解方法：从某种意义上来讲，这也属于语言的学习，可以遵循“示范—模仿—熟练运用”的学习规律．在教学中，以初中学习过的具体函数为载体，老师示范如何完成图形语言——自然语言——符号语言的转化，进而用符号语言完整表达函数的单调性，再让学生模仿．在具体函数中熟练掌握符号语言的表达方式的基础上，再给出函数单调性严格的定义．最后，在用定义证明具体函数单调性的过程中，进一步让学生理解符号语言.（2）利用定义证明函数的单调性.学生刚开始证明函数单调性时，会出现不作差，直接写出函数值大小关系或者变形不充分就做判断的情况，这是因为学生对证明的每一步依据的“大前提”模糊导致的，经常出现依据函数单调性证明函数单调性的状况．破解方法：教学中先利用简单的具体函数的单调性证明问题，帮助学生理解代数变形的必要性，然后进一步梳理证明的步骤，总结变形的基本方法，逐步学会函数单调性的代数证明.（3）最大（小）值概念的理解．对于最大（小）值的概念，学生往往对条件“0x I ∃∈，使得()0f x M =”的必要性的理解会存在一些困难.破解方法：在教学中，可以给出丰富而典型的数学情境，给出正例和反例，让学生归纳最值的本质特征，体会“∀”和“∃”这两方面的条件缺一不可.也可以结合基本不等式求最值的问题进行解释．2.教学难点用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值；利用定义证明函数的单调性.四、教学支持条件函数的性质指的是在变化过程中的不变性和规律性，所以要借助信息技术绘制函数图象，将静态的图象进行动态演示，展示函数值随自变量变化而变化的情况.五、课时分配本单元分3课时.第1课时，函数的单调性；第2课，函数的最大值、最小值；第3课时，函数的奇偶性.。
3.2函数的基本性质教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
本节课的教学目标主要从核心素养的角度出发，旨在培养学生的数学思维能力、创新能力和实践能力。具体目标如下：
1. 培养学生对函数基本性质的理解和认识，提高学生的逻辑思维能力。通过讲解函数的单调性、奇偶性、周期性，使学生能够理解这些性质的概念和判断方法，并能运用到实际问题中。
2. 培养学生的自主学习和探索能力。通过实例讲解和图形展示，引导学生自主探索函数性质，培养学生的自主学习能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
本节课的核心内容是函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。这些性质是函数学习的基础，也是解决实际问题的关键。
（1）单调性：单调性是函数的一个重要性质，它反映了函数值随自变量变化的趋势。在教学过程中，要重点讲解单调性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过图形展示函数的单调性，让学生直观地理解单调性的概念。
3. 判断函数的周期性：给定一个函数，判断其周期性。
4. 应用函数性质解决实际问题：如最大值和最小值问题、对称性问题、周期函数的性质。
5. 绘制不同性质的函数图形：利用函数图形展示软件，绘制单调函数、奇函数、周期函数的图形。
6. 巩固对函数性质的理解和应用：通过练习题，巩固对函数性质的理解和应用。
（2）奇偶性：奇偶性是函数的另一个重要性质，它反映了函数在正负自变量下的对称性。在教学过程中，要重点讲解奇偶性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过实例讲解奇偶性的判断方法，让学生能够准确地Байду номын сангаас断一个函数的奇偶性。
（3）周期性：周期性是函数的又一重要性质，它反映了函数值在一定范围内重复出现的规律。在教学过程中，要重点讲解周期性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过实例讲解周期性的判断方法，让学生能够准确地判断一个函数的周期性。
《3.2 函数的基本性质》最新教研教案教学设计(统编人教A版高中必修第一册)
第2课时奇偶性的应用学习目标1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．(知识点一 用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间 [a ，b ]上的解析式，想求关于原点的对称区间 [－b ，－a ]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．知识点二 奇偶性与单调性若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相 反的单调性．预习小测 自我检验1．若 f(x)的定义域为 R ，且 f(x)为奇函数，则 f(0)＝________.答案 02．若 f(x)为 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则 f(－1)________f(1)．填“>”“＝” 或“<”)答案 >解析 f(x)为 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在 R 上单调递减，∴f(－1)>f(1)．3．如果奇函数 f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数 f(x)在区间[3,7]上是________函数．答案 减解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函f f数．4．函数 f(x)为偶函数，若 x >0 时，f(x)＝x ，则 x <0 时，f(x)＝________. 答案 －x解析 方法一 令 x <0，则－x >0，∴f(－x)＝－x ，又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x(x<0)．方法二 利用图象(图略)可得 x <0 时，f(x)＝－x.一、利用函数的奇偶性求解析式命题角度 1 求对称区间上的解析式例 1 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x >0 时，(x)＝－x ＋1，求当 x <0 时，(x)的解析式． 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 设 x <0，则－x >0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，∴当 x <0 时，f(x)＝－f(－x)＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x ，然后把 x 转化为－x ，此时2x －1例 2 设 f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，且 f(x)＋g (x)＝ ，求函数 f(x)，g (x)的解析式．∴f(x)－g (x)＝ ，②－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练 1 已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求 f(x)的解析式．解 因为 x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以 f(－x)＝－x [1＋(－x)]＝x(x －1)．因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－x(x －1)，x ∈(－∞，0)． f(0)＝0.⎧⎪x (1＋x )，x ≥0，所以 f(x)＝⎨⎪⎩－x (x －1)，x<0.命题角度 2 构造方程组求解析式1x －1考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 ∵f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g (－x)＝－g (x)，由 f(x)＋g (x)＝ 1.①x －1用－x 代替 x ，得 f(－x)＋g (－x)＝ 1，－x －11 －x －1(①＋②)÷2，得 f(x)＝ 1；x 2－1x(①－②)÷2，得 g (x)＝ .反思感悟f(x)＋g (x)＝ 1对定义域内任意 x 都成立，所以可以对 x 任意赋值，如 x ＝－x.x －1利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．跟踪训练2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后<0 的解集为________．利用单调性比较大小．跟踪训练 3 (1)已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大小关系为()A ．f(1)>f(－10)C ．f(1)＝f(－10) B ．f(1)<f(－10)D ．f(1)和 f(－10)关系不定答案 A解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g (x)在区间[0，＋∞)上的图象与 f(x)的图象重合，设 a >b >0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b )；③g (a)>g (－b )；②f(－a)>f(b )；④g (－a)<g (b )；⑤g (－a)>f(－a)．答案 ①③⑤解析 f(x)为 R 上奇函数，增函数，且 a >b >0，∴f(a)>f(b )>f(0)＝0，又－a <－b <0，∴f(－a)<f(－b )<f(0)＝0，∴f(a)>f(b )>0>f(－b )>f(－a)，∴①正确，②错误．x ∈[0，＋∞)时，g (x)＝f(x)，∴g (x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g (－a)＝g (a)>g (b )＝g (－b )，∴③正确，④错误．又 g (－a)＝g (a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例 4 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则f (x )x答案 {x|－3<x <0 或 x>3}解析 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.(2)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x －1)<f ⎝3⎭的 x 的取值范围为( )A.⎝3，3⎭B.⎣3，3⎭C.⎝2，3⎭D.⎣2，3⎭解析 由于 f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式 f(2x －1)<f ⎝3⎭， 即－1<2x －1<1，解得1<x <2. 解得－1≤m<1.所以实数 m 的取值范围为⎡－1， ⎫.当 x >0 时，由 f(x)<0，解得 x >3；当 x <0 时，由 f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x|－3<x <0 或 x>3}．⎛1⎫⎛1 2⎫⎛1 2⎫⎡1 2⎫⎡1 2⎫答案 A⎛1⎫3 33 3反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式；(2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x 1)<f(x 2)或 f(x 1)>f(x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练 4 设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数，若 f(1－m )<f(m )，求实数 m 的取值范围．解 因为 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是减函数，所以 f(x)在[－2,2]上是减函数．⎧⎪1－m>m ，所以不等式 f(1－m )<f(m )等价于⎨－2≤m ≤2，⎪⎩－2≤1－m ≤2，21 ⎣ 2⎭) 1．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( A．f(－3)>f(0)>f(1)B．f(－3)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－3)D．f(1)>f(－3)>f(0)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案B解析∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得() A．a<b B．a>bC．|a|<|b|D．0≤a<b或a>b≥0考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案C3．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.答案－x＋1解析当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.4.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．f答案(－∞，－1]，[1，＋∞)解析奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．又因为f(2)＝0，所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，解得－2<x－1<2，所以－1<x<3.1．知识清单：(1)利用奇偶性，求函数的解析式．(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．2．方法归纳：利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．⎩⎧⎪x 2＋x ，x ≥0，1．设函数 f(x)＝⎨且 f(x)为偶函数，则 g (－2)等于( )⎪g (x )，x <0，A ．6B ．－6C ．2D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数 f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值 5，那么函数 f(x)在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且 f(1)为最小值，又已知 f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5，故选 A.3．已知函数 y ＝f(x)是 R 上的偶函数，且 f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若 f(a)≥f(－2)，则 a的取值范围是()A ．a ≤－2C ．a ≤－2 或 a ≥2 B ．a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由 f(a)≥f(－2)得 f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数 y ＝f(x)是偶函数，其图象与 x 轴有 4 个交点，则方程 f(x)＝0 的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f(x)是偶函数，所以 y ＝f(x)的图象关于 y 轴对称，所以 f(x)＝0 的所有实根之和为 0.5．设 f(x)是 R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若 x 1<0 且 x 1＋x 2>0，则() A ．f(－x 1)>f(－x 2)B ．f(－x 1)＝f(－x 2)C ．f(－x 1)<f(－x 2)D ．f(－x 1)与 f(－x 2)的大小不确定考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题答案 A解析 ∵x 1<0，x 1＋x 2>0，∴x 2>－x 1>0，又 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x 2)<f(－x 1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x 2)＝f(x 2)<f(－x 1)．6．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f(x)＝x 2＋1，则 f(－2)＋f(0)＝________.答案 －5解析 由题意知 f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(x)<f(1)的 x 的取值范围是________．考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题答案 (－∞，1)解析 由于 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以 f(x)在 R 上单调递增，f(x)<f(1)等价于 x<1.8．若 f(x)＝(m －1)x 2＋6mx ＋2 是偶函数，则 f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案 f(－2)<f(1)<f(0)解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2 恒成立，∴m ＝0，即 f(x)＝－x 2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为 y 轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即 f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数 y ＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x >0 时，f(x)＝x 2－2x ＋3.(1)试求 f(x)在 R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数 f(x)的图象关于原点对称，所以 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0.设 x <0，则－x >0，⎧⎪x －2x ＋3，x >0，10．已知函数 f(x)＝ax ＋ ＋c(a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足 f(1)＝ ，f(2)＝ . (2)试判断函数 f(x)在区间⎝0，2⎭上的单调性并证明． ∴－ax － ＋c ＝－ax － －c ， ∴c ＝0，∴f(x)＝ax ＋ . 因为当 x >0 时，f(x)＝x 2－2x ＋3.所以当 x <0 时，f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.2 于是有 f(x)＝⎨0，x ＝0，⎪⎩－x 2－2x －3，x<0.(2)先画出函数在 y 轴右侧的图象，再根据对称性画出 y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)． b 5 17 x 24(1)求 a ，b ，c 的值；⎛ 1⎫考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，b b x xb x又∵f(1)＝5，f(2)＝17， 2 4⎧ 5a ＋b ＝ ，∴a ＝2，b ＝ . (2)由(1)可知 f(x)＝2x ＋ .0， ⎫上为减函数．函数 f(x)在区间⎛1任取 0<x <x < ， 1 1则 f(x )－f(x )＝2x ＋ －2x － 2－＝(x －x )⎛2x1x 2 1 2＝(x －x ) . 0， 上为减函数．∴f(x)在⎝ 2⎭∴⎨2x 1 2x 21 2 ⎝ 2x x ⎭ ∵0<x 1<x 2< ，2 2 42 ⎩2a ＋b ＝17. 1 2综上，a ＝2，b ＝1，c ＝0. 21 2x1 ⎝ 2⎭证明如下：1 2 21 21 2 1 ⎫ 1 24x x －1 1 21∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f(x 1)－f(x 2)>0，即 f(x 1)>f(x 2)．⎛ 1⎫即f (x )<0， 综上使f (x )<0 的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．11．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(1)＝0，则不等式f (x )－f (－x)解析 ∵f(x)为奇函数，f (x )－f (－x )x <0 的解集为(A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 Cx <0，x∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且 f(1)＝0，∴当 x >1 时，f(x)<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上 f(x)为减函数且 f(－1)＝0，即 x <－1 时，f(x)>0.x12．已知 f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数 x ，y 都成立，则函数 f(x)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数 )f D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令 x ＝y ＝0，所以 f(0)＝f(0)＋f(0)，所以 f(0)＝0.又因为 f(x －x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数，故选 A.13．已知 y ＝f(x)＋x 2 是奇函数且 f(1)＝1，若 g (x)＝f(x)＋2，则 g (－1)＝________.考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f(x)＋x 2 是奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x 2]，∴f(x)＋f(－x)＋2x 2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.∵g (x)＝f(x)＋2，∴g (－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1－x)＝f(1＋x)，且 f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当 x ＝________时，(x)取得最大值；若不等式 f(0)<f(m )成立，则 m 的取值范围是________．答案 1 (0,2)解析 由 f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线 x ＝1 对称，又 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则 f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当 x ＝1 时 f(x)取到最大值．由对称性可知 f(0)＝f(2)，所 以 f(0)<f(m )，得 0<m <2，即 m 的取值范围为(0,2)．a ＋b15．已知 f(x)，g (x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)－g (x)＝x 3＋x 2＋1，则 f(1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f(x)－g (x)＝x 3＋x 2＋1，∴f(－x)－g (－x)＝－x 3＋x 2＋1.∵f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g (－x)＝－g (x)．∴f(x)＋g (x)＝－x 3＋x 2＋1.∴f(1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.f (a )＋f (b ) 16．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意 a ，b ∈R ，当 a ＋b ≠0 时，都有 >0.(1)若 a >b ，试比较 f(a)与 f(b )的大小关系；(2)若 f(1＋m )＋f(3－2m )≥0，求实数 m 的取值范围．解 (1)因为 a >b ，所以 a －b >0，f (a )＋f (－b ) 由题意得 >0， a －b所以 f(a)＋f(－b )>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．。
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【新教材】3.2.2 奇偶性（人教A 版）《奇偶性》内容选自人教版A 版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用.课程目标1、理解函数的奇偶性及其几何意义；2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3、学会判断函数的奇偶性．数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；2.逻辑推理：证明函数奇偶性；3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；4.数据分析：利用图像求奇偶函数；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。
重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；难点：函数奇偶性概念的探究与理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质. 画出并观察函数21()()2||()()=f x xg x x f x x g x x==-=和、和的图像，你能发现这两个函数图像()()()()0f x f x f x f x -=⇔--=()()()()0f x f x f x f x -=-⇔+-=有什么共同特征码？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本82-84页，思考并完成以下问题1.偶函数、奇函数的概念是什么？2.奇偶函数各自的特点是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、 新知探究1．奇函数、偶函数（1）偶函数（even function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数（odd function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．2、奇偶函数的特点（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。
（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数：,44()()(),f x x x f x -=-==奇函数： ；（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
四、典例分析、举一反三题型一 判断函数奇偶性例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性（1） 4()f x x = （2） 5()f x x = （3） 1()f x x x =+（4）21()f x x =【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)为偶函数(3)f(x)为奇函数 (4)f(x)为偶函数【解析】(1) 4()f x x = 的定义域为R ，关于原点对称。
且 所以4()f x x = 为偶函数. (2) 5()f x x = 的定义域为R ，关于原点对称。
且 55()()(),f x x x f x -=-=-=-所以 5()f x x = 为偶函数.（3） 1()f x x x =+ 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称. 且 11()()(),f x x x f x x x -=-+=-+=-- 所以 1()f x x x=+ 为奇函数. （4） 21()f x x= 的定义域为 {}|0x x ≠ ，关于原点对称.且 2211()(),()f x f x x x -===- 所以 21()f x x =为偶函数. 解题技巧：（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）1.定义法（1）. 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）. 确定f(－x)与f(x)的关系；（3）.作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．2.图像法跟踪训练一1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ x 2－1＋ 1－x 2；(3)f(x)＝x x －1； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ＞0，－x ＋1，x ＜0.【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)是非奇非偶函数 (4)f(x)为偶函数【解析】 (1)∵函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x ＝f(x)；当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x ＝f(x)．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．题型二 利用函数的奇偶性求解析式例2 已知f(x)为R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=-22x +3x+1,(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.【答案】(1)-2 (2)f(x)={-2x 2+3x +1,x >0,0,x =0,2x 2+3x -1,x <0.【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-22()x -+3(-x)+1=-22x -3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=22x +3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.所以f(x)的解析式为f(x)={-2x 2+3x +1,x >0,0,x =0,2x 2+3x -1,x <0.解题技巧：(求函数解析式的注意事项）)1.已知当x ∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x ∈(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x ∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)为偶函数,则当x ∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.跟踪训练二1.若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x 2－2x ＋3，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0.【解析】当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x 2＋2x ＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x 2－2x －3.即当x ＜0时，f(x)＝－x 2－2x －3.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0.题型三 利用函数的奇偶性求参例3 (1)若函数f(x)＝a 2x ＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a]，则a ＝________，b ＝________；(2)已知函数f(x)＝a 2x ＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.【答案】(1)130 (2)0 【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13. 又函数f(x)＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0.解题技巧：（利用奇偶性求参数）1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参；2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参.跟踪训练三1.设函数()()1x x a x++为奇函数，则a ＝________ 【答案】-1【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－x ＋1－x ＋a －x＝－x ＋1x ＋a x . 显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计3.2.2奇偶性 1. 奇偶性概念 例1 例2 例3 2. 奇偶函数的特点七、作业课本85页习题3.2本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．。