2016年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科数学

2016年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数121,1z i z i =+=-，则12z z =（ D ） A ．12-B ．12C ．i -D ．i 2.已知平面向量()()3,6,,1a b x ==-，如果//a b ，那么||b =（B ） AB．2 C ．3 D ．323.函数22sin cos 2sin y x x x =-的最小值为（C ）A ．-4 B．1- C．1 D ．-24. 101x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数等于（ A ）A ．45B ．20C ．-30D ．-90 5.若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ A ） A ．94 B ．86 C ．73 D ．566.下图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，俯视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ B ） A ．23π+ B ．523π- C ．53-2π D ．223π-7.为得到cos(2)6yx π=-,只需要将sin 2y x =的图像（ D ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位8.在数列{}n a 中，12211,,123n n a a a a +===，则20162017a a +=( C ) A ．56 B ．73 C ．72D ．59.已知,a b 都是实数，:2:；P a b q +=直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则p 是q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 若,x y 满足约束条件4335251-+x y x y x -≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ C ）A ．6B ．5C ．3D ．111.在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等于（ D ）俯视图侧视图正视图A ．12 B ．14 C ．23 D ．1312.已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=，如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=（ D ） A ．21 B ．14 C ．7 D ．0第Ⅱ卷二、填空题13.已知函数()f x 的定义域为实数集R ，()lg ,0,90,0x x x R f x x x >⎧∀∈-=⎨-≤⎩，则()()10100f f --的值为 -8 .14.已知三棱锥P ABC -的顶点、、B 、C P A 在球O 的表面上，ABC ∆边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为3+15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果ABC ∆的面积等于8，5a =,4tan 3B =-,那么sin sin sin a b cA B C ++++=416.已知实数,a b 都是常数，若函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2113420,2x a x x y y be x --+-==++与()31y k x =-的图象有三个公共点，则实数k 的取值范围是1(,)(0,)4-∞-⋃+∞. 三、解答题17. (本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，322n n a S -=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求证：221n n n S S S ++<.(Ⅰ)解：∵对任意正整数n ，322n n a S -=，∴11322n n a S ++-= ∴1133220n n n n a a S S ++--+=，即()113320n n n n a a S S ++---= ∴113320n n n a a a ++--=，解得13n n a a +=. 当1n =时，11322a S -=，即12=a .∴123n n a -=⨯ ∴数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯.(II)证明：又（I ）可得-12(13)313n n n S ⨯-==- 1212212131,S 3 1.430..n n n n n n n n n n n S S S S S S S ++++++++∴=-=-∴-=-⨯<∴<18. (本小题满分12分)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.(Ⅰ)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ,求事件A 的概率()P A ；(Ⅱ)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.解： (Ⅰ) 由已知，得()2222233348635C C C C P A C +==， 所以事件A 的概率为635. (Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得()()453481,2,3,4k kC C P X k k C -===.所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望()12341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点.(Ⅰ)求证：AE BD ⊥；(Ⅱ)设平面ABD ⊥平面,2,4BCD AD CD BC ===，求二面角B AC D --的正弦值.(Ⅰ)证明：设BD 的中点为O ，连接,AO EO ， ∵AB AD =，∴AO BD ⊥， 又∵E 为BC 的中点，∴//EO CD ， ∵CD BD ⊥，∴EO BD ⊥. ∵OAOE O =，∴BD ⊥平面AOE ，又∵AE ⊂平面AOE ，∴AE ⊥BD . (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：AO BD ⊥，EO BD ⊥，∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AO ⊂平面ABD ， ∴AO ⊥平面BCD .∵EO ⊂平面BCD ,∴AO EO ⊥,yB∴、、OE OD OA 两两互相垂直. ∵CD BD ⊥,4,2,BC CD BD ==∴==由O 为BD 的中点，AO BD ⊥，2AD =得1BO OD OA ====，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()0,0,0,0,0,1,0,,,O A B C D ，∴()()()0,3,1,2,3,1,0,3,1AB AC AD =--=-=-.设平面ABC 的一个法向量为(),,nx y z =，则,n AB n AC ⊥⊥.∴020z x z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩,取y =33x z =⎧⎨=⎩，∴()3,3,3n =-是平面ABC 的一个法向量.同理可求平面ADC 的一个法向量()0,m =. 设二面角B AC D --的大小为θ，则7|cos |||7||||m n m nθ⋅==. ∵0θπ<<.∴sin 7θ==，∴二面角B AC D --的正弦值为7. 20. (本小题满分12分)已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于、A B 两个相异点，且AP PB λ=.(Ⅰ) 求椭圆E 的方程；(Ⅱ)是否存在m ，使4OA OB OP λ+=？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)根据已知设椭圆E 的方程为()222210y x a b a b +=>>，焦距为2c ，由已知得c a =2222,4a c b a c ==-=.∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为∴2,1a b ==∴==.∴椭圆E 的方程为2214y x +=. (Ⅱ)根据已知得()0,P m ，由AP PB λ=，得()OP OA OB OP λ-=-.∴()1OA OB OP λλ+=+.∵4OA OB OP λ+=,∴()14=OP OP λ+，若0m =，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=. ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立. 若0m ≠，则14λ+=，解得3λ=.设()()1122,,,A x kx m B x kx m ++，由22440y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩得()2224240kx mkx m +++-=，由已知得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>. 且212122224,44km m x x x x k k --+==++.…10分由3AP PB =得123x x -=，即123x x =-.∴()21212340x x x x ++=, ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=.当21m =时，222240m k m k +--=不成立.∴22241m k m -=-,∵2240k m -+>,∴2224401m m m --+>-,即()222401m m m ->-.∴214m <<,解得21m -<<-或12m <<.综上述，当21m -<<-或0m =或12m <<时，4OA OB OP λ+=.21. (本小题满分12分)已知()()ln 212321x f x x x +=+-+.(Ⅰ)求证：当 0x =时，()f x 取得极小值；(Ⅱ)是否存在满足0n m >≥的实数,m n ，当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[],m n ？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ)证明：由已知得()f x 的定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 当12x >-时，()()()()()22222ln 21882ln 21'22121x x x x f x x x -++++=-=++. 设()()2882ln 21F x x x x =+++，则()()()2'21F x f x x =+，当12x >-时，22188822x x x ⎡⎤⎛⎫+=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦是单调递增函数，()2ln 21x +也是单调递增函数， 当12x >-时，()()2882ln 21F x x x x =+++单调递增. ∴当102x -<<时，()()00F x F <=，当0x >时，()()00F x F >=. ∴当102x -<<时，()'0f x <，()f x 单调递减，当0x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.∴当0x =时，()f x 取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在[)0,+∞上是单调递增函数，若存在满足0n m >≥的实数m ，n ，当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[],m n ，则()(),f m m f n n ==，即()f x x =在[)0,+∞上有两个不等的实根m ，n .∴()2273ln 210x x x ++-+=在[)0,+∞上有两个不等的实根m ，n ，设()()2273ln 21H x x x x =++-+，则()28185'21x x H x x ++=+.当0x >时，210x +>，281850x x ++>，所以()28185'021x x H x x ++=>+， ∴()H x 在[)0,+∞上是单调递增函数，即当0x ≥时，()()03H x H ≥=.∴()2273ln 210x x x ++-+=在[)0,+∞上没有实数根.所以，不存在满足条件的实数m ，n .请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，BC 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于,C AB 是⊙O 的弦，D 是AC 弧的中点，BD 的延长线与CE 交于E .(Ⅰ)求证： BC CD BD CE ⋅=⋅； (Ⅱ)若93,5CE DE ==，求AB .（Ⅰ）证明：∵BC 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于C ，D 是AC 弧的中点， ∴,90CBD ECD BDC CDE BCE ∠=∠∠=∠=∠=， ∴BCD ∆∽CED ∆. ∴BC BDCE CD=， ∴BC CD BD CE ⋅=⋅.（Ⅱ）解：设BA 的延长线与CD 的延长线交于F ， ∵D 是AC 弧的中点，∴ABD CBD ∠=∠，CB∵BC 是⊙O 的直径，∴90BDC BDF ∠=∠=， ∴BDC BDF ∆≅∆.∴,CD FD BC BF ==,在Rt CDE ∆中，125CD ==. ∴125FD =. ∵90BDC BCE ∠=∠=,∴2CD BD DE =⋅,∴2165CD BD DE ==,∴4BC ==,∴4BF =.………………………………8分 由割线定理得()FB AB FB FD FC -⋅=⋅， 即()12244455AB -⨯=⨯，解得2825AB =. ∴2825AB =. 23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-⎧⎨=+⎩,（t 为参数），在以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=.(Ⅰ)直接写出直线l 、曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 上的点到与直线l 的距离为d ，求d 的取值范围. 解：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为30x y -+=， 曲线C 的直角坐标方程为2233x y +=.（Ⅱ）∵曲线C 的直角坐标方程为2233x y +=，即2213y x +=，∴曲线C 上的点的坐标可表示为()cos αα. ∵2sin 3106πα⎛⎫-+≥>⎪⎝⎭，∴2sin3dπα⎛⎫-+⎪===，∴d2，d2.d≤≤即d的取值范围为22，⎣⎦.24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()2122f x x x x=-++++.(Ⅰ)求证：()5f x≥；(Ⅱ)若对任意实数()229,1521x f x aa-<++都成立，求实数a的取值范围. （Ⅰ）证明：∵()43,25,2127,1243,2x xxf xx xx x--≤-⎧⎪-<≤-⎪=⎨+-<≤⎪⎪+>⎩，∴()f x的最小值为5，∴()5f x≥.(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知：()152f x-的最大值等于5.∵()222299111511a aa a+=++-≥-=++，“=”成立()22911=aa⇔++，即a=∴当a=时，2291aa++取得最小值5.当a≠22951aa+>+，又∵对任意实数x，()2291521-f x aa<++都成立，∴a≠∴a的取值范围为a≠。