2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )A.-1+IB.-1-iC.1+iD.1-i3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-194.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l5.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.-4B.-3C.-2D.-16.执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( )A.1+12+13+…+110 B.1+12!+13!+…+110! C.1+12+13+…+111D.1+12!+13!+…+111!7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c9.已知a>0,x,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.210.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=011.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16xD.y 2=2x 或y 2=16x12.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1-√22,12)C.(1-√22,13]D.[13,12)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14.从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= .15.设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 16.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC 面积的最大值.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点,AA 1=AC=CB=√22AB. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD; (Ⅱ)求二面角D-A 1C-E 的正弦值.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.20.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,不选、多选均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D,E,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost ,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ca≤13; (Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 化简得M={x|-1<x<3},所以M ∩N={0,1,2},故选A.2.A 由题意得z=2i 1-i =2i ·(1+i)2=-1+i,故选A.3.C 由已知条件及S 3=a 1+a 2+a 3得a 3=9a 1,设数列{a n }的公比为q,则q 2=9. 所以a 5=9=a 1·q 4=81a 1,得a 1=19,故选C.4.D 若α∥β,则m ∥n,这与m 、n 为异面直线矛盾,所以A 不正确.将已知条件转化到正方体中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B 、C.故选D.评析 本题考查了线面的位置关系,考查了空间想象能力,本题利用排除法求解效果比较好.5.D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为T r+1=C 5r ·x r ,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为C 52,当r=1时,x 2的系数为C 51·a,所以C 52+C 51·a=5,a=-1,故选D.6.B 由框图知循环情况如下:T=1,S=1,k=2; T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4; T=14!,S=1+12!+13!+14!,k=5;…;T=110!,S=1+12!+13!+…+110!,k=11>10,输出S,故选B. 7.A 设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O 、A 、B 、C 为顶点的四面体补成一正方体后,由于OA ⊥BC,所以该几何体以zOx 平面为投影面的正视图为A.8.D 由对数运算法则得a=log 36=1+log 32,b=1+log 52,c=1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a>b>c,故选D.9.B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC),由{x =1,y =a(x -3)得A(1,-2a), 当直线2x+y-z=0过点A 时,z=2x+y 取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故选B.10.C 由三次函数值域为R 知f(x)=0有解,所以A 项正确;因为y=x 3的图象为中心对称图形,而f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可以由y=x 3的图象平移得到,故B 项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0有两个不等实根x 1,x 2(x 1<x 2), f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),则f(x)在(-∞,x 1)上为增函数,在(x 1,x 2)上为减函数,在(x 2,+∞)上为增函数,故C 项错误;D 项正确.故选C.评析 本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数极值与单调性. 11.C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5-p 2,√2p (5-p 2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5-p2)),∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5-p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了综合解题能力.建立关于p 的方程是求解的关键.12.B (1)当直线y=ax+b 与AB 、BC 相交时(如图1),由{y =ax +b,x +y =1得y E =a+ba+1,又易知x D =-ba,∴|BD|=1+ba,由S △DBE =12×a+b a×a+b a+1=12得b=√1+1a+1∈(0,12).图1(2)当直线y=ax+b 与AC 、BC 相交时(如图2),由S △FCG =12(x G -x F )·|CM|=12得b=1-√22√1-a 2∈(1-√22,1)(∵0<a<1),图2∵对于任意的a>0恒成立, ∴b∈(0,12)∩(1-√22,1),即b ∈(1-√22,12).故选B.二、填空题 13.答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22-12×22=2. 解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.14.答案 8解析 因为5=1+4=2+3,所以2C n2=114,即n(n-1)=56,解得n=8或n=-7(舍).15.答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,易知cos θ<0, ∴cos θ=-310√10,sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105. 16.答案 -49 解析 由S n =na 1+n(n -1)2d 得{10a 1+45d =0,15a 1+105d =25,解得a 1=-3,d=23,则S n =-3n+n(n -1)2·23=13(n 2-10n),所以nS n =13(n 3-10n 2),令f(x)=13(x 3-10x 2),则 f '(x)=x 2-203x=x (x -203),当x ∈(1,203)时, f(x)递减, 当x ∈(203,+∞)时, f(x)递增,又6<203<7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nS n 的最小值为-49.评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n 的取值范围. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C ·sin B.① 又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C ∈(0,π)得sin B=cos B. 又B ∈(0,π),所以B=π4.(Ⅱ)△ABC 的面积S=12acsin B=√24ac. 由已知及余弦定理得4=a 2+c 2-2accos π4.又a 2+c 2≥2ac,故ac ≤2-√2,当且仅当a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为√2+1.18.解析 (Ⅰ)连结AC 1交A 1C 于点F,则F 为AC 1中点. 又D 是AB 中点,连结DF,则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD,所以BC 1∥平面A 1CD. (Ⅱ)由AC=CB=√22AB 得,AC ⊥BC.以C 为坐标原点,CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A 1(2,0,2),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(2,0,2). 设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则{n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0,即{x 1+y 1=0,2x 1+2z 1=0. 可取n =(1,-1,-1).同理,设m 是平面A 1CE 的法向量,则{m ·CE ⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0. 可取m =(2,1,-2).从而cos<n,m >=n ·m |n||m|=√33,故sin<n,m >=√63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为√63.评析 本题考查了线面平行的判定和性质,考查二面角的计算.考查了空间想象能力.正确求出平面的法向量是解题的关键.19.解析 (Ⅰ)当X ∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X ∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T={800X -39 000,100≤x <130,65 000,130≤X ≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(Ⅲ)依题意可得T 的分布列为T45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.20.解析 (Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,y 2-y 1x 2-x 1=-1,由此可得b 2(x 2+x 1)a 2(y 2+y 1)=-y 2-y1x 2-x 1=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 0x 0=12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(√3,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为x 26+y 23=1. (Ⅱ)由{x +y -√3=0,x 26+y 23=1解得{x =4√33,y =-√33,或{x =0,y =√3. 因此|AB|=4√63. 由题意可设直线CD 的方程为y=x+n (-5√33<n <√3),设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由{y =x +n,x 26+y 23=1得3x 2+4nx+2n 2-6=0. 于是x 3,4=-2n±√2(9-n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD|=√2|x 4-x 3|=43√9-n 2.由已知,四边形ACBD 的面积S=12|CD|·|AB|=8√69√9-n 2. 当n=0时,S 取得最大值,最大值为8√63. 所以四边形ACBD 面积的最大值为8√63.评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了解析几何中的中点问题和最值问题,计算量大,综合性较强.应充分重视方程思想和函数思想在解题中的作用.21.解析 (Ⅰ)f '(x) =e x -1x+m .由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x -ln(x+1),定义域为(-1,+∞), f '(x)=e x -1x+1.函数f '(x)=e x -1x+1在(-1,+∞)单调递增,且f '(0)=0,因此当x ∈(-1,0)时, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)当m ≤2,x ∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0.当m=2时,函数f '(x)=e x -1x+2在(-2,+∞)单调递增.又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x 0,且x 0∈(-1,0).当x ∈(-2,x 0)时, f '(x)<0;当x ∈(x 0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x 0时, f(x)取得最小值. 由f '(x 0)=0得e x 0=1x0+2,ln(x 0+2)=-x 0, 故f(x)≥f(x 0)=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0. 综上,当m ≤2时, f(x)>0.评析 本题考查了函数的极值、单调性,考查了构造函数证明不等式;考查了函数与方程思想,转化与化归的思想,对运算能力要求很高.22.解析 (Ⅰ)因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DCEA ,故△CDB ∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB ·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB ·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα (0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.解析 (Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca ≤13.(Ⅱ)因为a 2b +b ≥2a,b 2c +c ≥2b,c 2a +a ≥2c,故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c.所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1.。
新课标全国统考区2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编6：不等式
新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）当实数,x y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x 时,恒有3ax y +≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．02a ≤≤D ．3a ≤【答案】D2 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）若*1(),()(),2f n n g n n n n N nϕ==-=∈,则(),(),()f n g n n ϕ的大小关系 （ ） A ．()()()f n g n n ϕ<< B ．()()()f n n g n ϕ<< C ．()()()g n n f n ϕ<<D ．()()()g n f n n ϕ<<【答案】B3 ．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）已知变量x ,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值为( )（ ）A ．12B ．11C ．3D ．-1【答案】B4 ．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）已知实数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,13,1,m y x x y y y x 满足如果目标函数y x z 45-=的最小值为—3,则实数m=（ ）A ．3B ．2C ．4D ．311 【答案】A5 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y=a 扫过A 中的那部分区域面积为 （ ）A ．2B ．1C ．34D ．74【答案】D6 ．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）若0.5222,log 3,log sin5a b c ππ===,则,,a b c 之间的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B7 ．（云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word 版） ）已知()f x 是定义域为实数集R的偶函数,10x ∀≥,20x ∀≥,若12x x ≠,则1212()()0f x f x x x -<-.如果13()34f =,184(log )3f x >,那么x 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,12,2⎛⎤+∞⎥⎝⎦D ．110,,282⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B8 ．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）若a>1,设函数4)(-+=x a x f x 的零点为m,g(x)4log -+=x x a 的零点为n,则nm 11+的取值范围是 （ ）A ．(3.5,+∞)B ．(1,+∞)C ．(4,+∞)D ．(4.5,+∞)【答案】B9 ．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）已知点(),P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动,则z x y =-的取值范围是 （ ）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]1,2-D ．[]1,2【答案】C10．（黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word 版含答案）设x 、y 满足约束条件2040220x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z = 2x + y 的最大值为 A ．-4B ．5C ．6D ．不存在【答案】C11．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）若实数x ,y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则目标函数 24z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．12C ．13D ．14【答案】C12．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）设实数,x y 满足约束条件:360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则2294a b +的最小值为（ ）A ．12 B ．1325C ．1D ．2【答案】A 13．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1434,,0y x x y x 则21++x y 的取值范围是 （ ）A ．]617,21[ B ．]43,21[C ．]617,43[ D ．),21[+∞【答案】A 二、填空题14．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤++101553,034x y x y x ,则z =______.【答案】812[,]15515．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知点P (x ,y )的坐标满足条件0,0,20,≥≥≤x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩则z =2x -y 的最大值是_________. 【答案】416．（2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0048022y x y x y x ,若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8,则b a +的最小值为_______. 【答案】417．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）设二次函数c x ax x f +-=4)(2的值域为[)+∞,0,_______18．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）若正实数a,b 满足:(a-1)(b-1)=4,则ab 的最小值是_____.【答案】919．（内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设x,y 满足条件20360,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y -+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12,则32a b +的最小值为________【答案】 420．（河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知点P (x ,y )在不等式组1003x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥，－≥，≤表示的平面区域内运动,则34z x y =-的最小值为________ 【答案】解析:可行域是以11(,),(3,3),(3,2)22A B C -三点为顶点的三角形,当过点B 时,z 取最小值是3-.21．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）实数x,y 满足条件yx z y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+2,0,002204则的最小值为_________. 【答案】1-22．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8,则32+++x y x 的最小值为_________23．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）设,x y 满足约束条件00+2y y xx y a ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤,若目标函数3x y +的最大值为6,则a =______.【答案】【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力,是一道基本题.【试题解析】由题意可知,3z x y =+取最大值6时,直线 36y x =-+过点(2,0),则点(2,0)必在线性规划区域内,且可以使一条斜率为3-的直线经过该点时取最大值,因此点 (2,0)为区域最右侧的点,故直线0+2x y a -=必经过点(2,0), 因此2a =.24．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界),若△PBC ,△PCA 和△PAB 的面积分别为,,x y z ,则1x yx y z +++的最小值是_________. 【答案】325．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）设实数x ,y 满足约束条件2220,20,220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪-≥⎨⎪+--≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为_________. 【答案】4。
2013年云南省第二次高中毕业生复习总结统一检测理科数学质量分析报告
2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学质量分析报告一、抽样统计分析1．抽样全卷基本情况2．抽样分数段1 / 303．各小题抽样情况（1）选择题2 / 30（2）填空题（3）解答题3 / 304 / 30（4）第II 卷 选考题数据统计二、各题质量分析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第1题：已知集合{}21，=S ，集合{}a T =，Φ表示空集，如果S T S ⋃=，那么a 的值是 （A ）Φ （B ）1（C ）2（D ）1或2本题考查集合的概念和运算.解:∵{}21，=S ，{}a T =，S T S ⋃=， ∴S a ∈.所以1=a 或2=a . 故选D .5 / 30答题分析：下列解法是错误的：因为S T S ⋃=，所以T S ⊆，从而T 可以是空集Φ，因此选 A.原因在于没有注意到{}a T =，从而T 是单元素集合.实际上{}1T =或{}2T =. 第2题：在92)1(xx -的二项式展开式中，常数项是 （A ）504 （B ）84（C ）84-（D ）504-本题考查二项式定理. 解:在92)1(x x -的二项式展开式中，通项公式r r r r xx C T )1(21891-=-+ r r r x C 3189)1(--=. ∵0318=-r ,∴6=r ,84)1(39696==-C C . ∴在92)1(xx -的二项式展开式中，常数项是84. 故选B.答题分析：解题时应记住二项展开通项公式：1r n r rr nT C a b -+=． 第3题：一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数 列的公比为 （A ）2 （B ）3（C ）21（D ）31本题考查等比数列的性质及相关计算.解法一: 设此数列的公比为q ，根据题意得qq a q q a --=--1)1(91)1(3161，解得2=q .故选A.解法二: 依题意得639S S =，故33339S q S S +=. ∴319q +=，解得2=q .6 / 30故选A.第4题：已知a r 、b r 是平面向量，若(2)a a b ⊥-r r r，)2(-⊥，则a r 与b r 的夹角是（A ）6π （B ）3π （C ）32π （D ）65π 本题考查向量的概念及其与运算．考查向量垂直、两个向量夹角的求法.解：∵(2)a a b ⊥-r r r , ∴22.0a a b -=r r r. ∵)2(a b b -⊥, ∴022=-. 设a r 与b r的夹角为θ, θ=,则0cos 222=-=-θ, 0cos 222=-=-θ.∴θ2=，θ2=.0=0==0=，此时，（A ）、（B ）、（C ）、（D ）都正确.0≠0≠，解方程组得到21cos =θ. ∴3πθ=.故选B.第5题：如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的 半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于（A ）34π （B ）38π （C ）316π（D ）332π本题以半球为载体，考查由三视图还原几何体的能力.正视图俯视图侧视图7 / 30解: 由三视图知几何体是半径为2的半球，所以其体积等于316234213ππ=⨯⨯. 故选C ．第6题：已知常数a 、b 、c 都是实数，34)(23-++=x c x b x a x f 的导函数为)(x f '，0)(≤'x f 的解集为{}32≤≤-x x ，若)(x f 的极小值等于115-，则a 的值是 （A ）2281- （B ）31（C ）2（D ）5本题考查函数与导数．考查函数极值、方程的思想方法. 解: ∵34)(23-++=x c x b x a x f ，∴c bx ax x f ++='23)(2.∵不等式0)(≤'x f 的解集为{}32≤≤-x x ， ∴不等式0232≤++c bx ax 的解集为{}32≤≤-x x .∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯--=+->,332,3232,0a c a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=>.18,23,0a c a b a ∴341823)(23---=ax x a x a x f . 根据已知得当2-=x 时，)(x f 取得极大值，当时3=x 时，)(x f 取得极小值.∴115345422727)3(-=---=a aa f ，解得2=a . 故选C.答题分析：1.一些考生不能把条件“不等式0)(≤'x f 的解集为{}32≤≤-x x ”正确地进行等价转化.2.本题通过求a 的问题设置，引导考思考使用待定系数法，从而想到联立方程组．进而联想到题设条件，用原函数与导函数关系，列出方程组求解．3．本题较好地体现了高考类似设题思想，体现知识与方法的交汇．8 / 30第7题：已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，如果i z z 48-=+，那么z 等于 （A ）i 43-- （B ）i 43+-（C ）i 34+（D ）i 43+本题考查复数、共轭复数的概念．考查复数的基本运算、方程的思想方法. 解:设yi x z +=，x 、y 都是实数，则yi x y x z z -++=+22，∵i z z 48-=+，∴⎩⎨⎧=++-=-8422x y x y ，解方程组得⎩⎨⎧==34x y . ∴=z i 43+. 故选D ．答题分析：本题解题方法是利用复数相等条件来列等式，求出未知数．复数 不能比较大小，但复数可以相等．本题体现了这一思想．第8题：已知⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线x y 82=的焦点，经过点)2,1(-M 的直线l 将⊙P 分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为 （A ）032=++y x （B ）052=--y x（C ）02=+y x（D ）052=--y x本题考查直线和圆的基本知识.解:∵⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线x y 82=的焦点， ∴⊙P 的方程为16)2(22=+-y x .∵过点)2,1(-M 的直线l 将圆16)2(22=+-y x 分成两段弧，当优弧与 劣弧之差最大时，劣弧最短， ∴点)2,1(-M 是直线l 的中点.∵圆16)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(P ，∴211-=-=PMl k k .∴直线l 的方程为)1(212--=+x y ，即032=++y x ．故选A ．9 / 30答题分析：本题的难点在于理解条件“当优弧与劣弧之差最大时”，实际上，由于优弧和劣弧之和是定值圆周长，所以两弧之差最大劣弧最短．另外从几何的角度来看当直线l PM ⊥时，过点P 垂直于直线的弦长最长，从而劣弧最短． 第9题：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，若2212+-=++n n n a a a ，则n a 等于 （A ）5652513+-n n（B ）49523-+-n n n（C ）222+-n n（D ）4522+-n n本题考查递推数列通项公式的求法.解法一（直接求通项公式）:∵11=a ，22=a ，2212+-=++n n n a a a ， ∴112=-a a ，2)()(112=---+++n n n n a a a a .∴{}n n a a -+1是首项为1，公差为2的等差数列. 所以121-=-+n a a n n . ∵2213211()()()22n n n a a a a a a a a n n -=-+-++-+=-+L . ∴222+-=n n a n ．故选C ．解法二（特值排除法）:因为11=a ，22=a ，2212+-=++n n n a a a ， ∴35a =，410a =，代入验证，可以排除A 、B 、D ， 故选C.答题分析：若采用下列解法：∵2212+-=++n n n a a a ，不妨设()211n n n n a xa y z a xa y +++--=--， 则()21n n n a x z a xza y yz ++=+-+-，∴212x z xz y yz +=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1102x z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.说明这个数列并不能配凑成上述样子. 事实上，可以配凑成2)()(112=---+++n n n n a a a a ，但这需要一定配凑意识、观察能力和思维的灵活，而这正是解决本题的难点所在.10 / 30第10题：已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为（A ）)21,0( （B ）)2,21(（C ）1(,1](2,)2⋃+∞（D ）11(0,)(,2)82⋃ 本题综合考查函数的奇偶性、单调性. 解:∵01≥∀x ，02≥∀x ，21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ,∴定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在),0[∞+上是减函数.∵3)log (481>x f , ∴43)log (81>x f , 即)31()log (81f x f >. ∴ ,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧<≥x x 或 ,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧-><x x 解得121≤<x 或21<<x . ∴221<<x . 故选B ．答题分析：1.本题首先要看出函数)(x f 在),0[∞+上是减函数. 2.根据函数的单调性“去f ”：∵3)log (481>x f , ∴43)log (81>x f , 即)31()log (81f x f >，但这个不等式并不等价于181log 3x <，原因是函数)(x f 在),0[∞+上是减函数，但在(),0-∞上却是增函数.事实上，因为)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，所以上式可化为181log 3f x f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即181log 3x >，接下来分类讨论去绝对值即可.11 / 30第11题：两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们 要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同 时被招聘的概率是701”．根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘 面试的人有（A ）44人（B ）42人（C ）22人（D ）21人本题考查概率、古典概型的计算以及组合数的计算.解:设参加面试的人数为n ，根据已知得701312=-nn C C ，解得21=n . 故选D ．第12题：在三棱锥ABC P -中，PC PB PA ==，底面ABC ∆是正三角形，M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点．若平面⊥AMN 平面PBC ，则平面AMN 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值等于（A ）630（B ）621（C ）66（D ）63 本题考查空间线面位置关系及“无棱二面角”的求法.解: 设MN 的中点为D ，BC 的中点为E ，连接AD ，AE ，PE ．在平面ABC 内作BC AF //，则平面ABC ⋂平面AF AMN =. 由已知得AN AM =. ∴MN AD ⊥.∵平面⊥AMN 平面PBC ， ∴⊥AD 平面PBC . ∴⊥AD BC ，⊥AD PE .N MCABPC12 / 30∵ABC ∆是等边三角形，BC 的中点为E ， ∴⊥AE BC . ∵BC AF //， ∴AF AE ⊥，AF AD ⊥.∴DAE ∠是平面AMN 与平面ABC 所成二面角（锐角）的平面角. 设等边ABC ∆的边长为a ，侧棱长为b . ∵M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点， ∴D 是PE 的中点. ∵⊥AD PE ，∴AE PA =. ∴a b 23=. ∴a BE PB PE DE 42212122=-==. ∴66sin ==∠AE DE DAE . ∴630sin 1cos 2=∠-=∠DAE DAE . 故选A ．答题分析：1.本题的关键在于对空间线面位置关系进行正确而有效的转化，只要哪一步思维卡壳，就很难做下去了.2.首先要找到平面AMN 与平面ABC 所成二面角（锐角）的平面角DAE ∠． 接下来要逆用等腰三角形的性质，得出AE PA =，从而找到底面正三角形边长a 和侧棱长b 之间的等量关系，再计算平面角DAE ∠的余弦值．3.本题的难点在于：首先要找出所求的二面角的平面角，其次如何根据条件找到底面边长a 和侧棱长b 的等量关系．4.本题也可用建立空间直角坐标系的方法来求解．13 / 30二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．第13题：如果执行下列程序框图，那么输出的S = ．本题考查程序框图，考查等差数列前n 项和的求法.解:根据程序框图的意义，得()212202021420S =⨯+++=⨯=L ． 第14题：一次射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小 组的平均成绩为15.8环，设该小组成绩为7环的有x 人，成绩为8环、9环的人 数情况见下表：那么x ．本题考查统计，考查方程的思想方法. 解: 根据题意得)87(15.872567++=++x x ，解得5=x ．第15题：已知a 、b 、c 分别为A B C ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若bc c b a -+=222，12c b =，则B tan 的值等于 ． 本题考查解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.14 / 30解:根据余弦定理得：212cos 222=-+=bc a c b A . ∵A 是三角形的内角，∴3π=A .在ABC ∆中，B B A C -=--=32ππ. ∴B B C sin 21cos 23sin +=. 根据正弦定理和已知得：321sin sin 21cos 23sin sin +=+=B BB BC . ∴B B cos 23sin 3=. ∴21tan =B . 答题分析：1.解答本题的一个关键是要从bc c b a -+=222看出这是关于角A 的余弦定理，可得出3π=A .2.由于()s i n 120s i n s i n s i nB cC b B B ︒-===+，这个式子展开后，得1122+=+.第16题：已知1F 、2F 是双曲线1222=-y ax 的两个焦点，点P 在此双曲线上，021=⋅PF PF ，如果点P 到x 轴的距离等于55，那么该双曲线的离心率等于 ．本题考查双曲线，考查离心率的求法. 解法一: ∵021=⋅PF PF , ∴21PF ⊥.∴21PF PF ⊥.15 / 30∵点P 在双曲线1222=-y ax 上，∴22214)(a PF PF =-.∴221222142a PF PF PF PF =-+.∴221242)1(4a PF PF a =-+⨯. ∴221=PF PF . ∴2125512PF PF a =⨯+，解得42=a . ∴1422=-y x 的离心率等于25.解法二（方程思想）:∵1222=-y ax ，∴()1,0F c -，()2,0F c .设,5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则22115m a -=……①由021=⋅PF PF得221,,05c m c m m c ⎛⎛--⋅-=-+= ⎝⎭⎝⎭…… ② 又221a c +=…… ③解得c =2a =，∴1422=-y x 的离心率等于25.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 第17题：（本小题满分12分）已知21cos cos sin 3)(2+-=x x x x f . （Ⅰ）写出)(x f 的最小正周期T ； （Ⅱ） 求由)(x f y =)650(π≤≤x ，)650(0π≤≤=x y ，)01(65≤≤-=y x π，以及)021(0≤≤-=y x 围成的平面图形的面积． 本题考查三角函数的化简计算、定积分的应用.16 / 30解:（Ⅰ）∵21cos 2cos sin 3)(2--=x x x x f)62sin(2cos 212sin 23π-=-=x x x , ∴ππ==22T . ∴)(x f 的最小正周期为π. （Ⅱ）设由)(x f y =)650(π≤≤x ，)650(0π≤≤=x y ，)01(65≤≤-=y x π，以及)021(0≤≤-=y x 围成的平面图形的面积为S ，∵)62sin()(π-=x x f ，∴123012sin(2)3sin (2)66S x dx x dx πππππ=--+-⎰⎰.∵)62sin(2)62cos(ππ-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x ， ∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯--⨯+-⨯--⨯=2)632cos()6122cos(32)602(cos )6122(cos πππππππS 432-=. ∴由)(x f y =)650(π≤≤x ，)650(0π≤≤=x y ，)01(65≤≤-=y x π以及 )021(0≤≤-=y x 围成的平面图形的面积为432-.17 / 30答题分析：1.解答第（Ⅱ）问，首先要正确画出示意图．2.要注意的是，当面积在x 轴上方的时候，定积分算出来是正数；当面积在x 轴下方的时候，定积分算出来是负数.很多考生没有注意到这一点而导致出错：123012sin(2)3sin(2)66S x dx x dx πππππ=-+-⎰⎰.3.充分运用对称性，否则就要计算三个定积分了．第18题：（本小题满分12分）一次高中数学期末考试，选择题共有12个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得0分，选对得5分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的8个题，该考生做对了这8个题．其余4个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：（Ⅰ）在这次考试中，求该考生选择题部分得60分的概率；（Ⅱ）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为X ，求X 的数学期望． 本题考查概率．考查随机变量分布列、数学期望的计算.解:设选对“全然不理解题意”的试题的选项为事件A ，选对“可判断有一个 选项不符合题目要求”试题的选项为事件B ，选对“可判断有两个选项不符18 / 30合题目要求”试题的选项为事件C ，根据题意得41)(=A P ，31)(=B P ，21)(=C P . （Ⅰ）在这次考试中，该考生选择题得60分的概率48121213141=⨯⨯⨯=P ； （Ⅱ）随机变量X 可能的取值为40，45，50，55，60，根据题意得8121213243)40(=⨯⨯⨯==X P ， 4817212132432121314321213241)45(12=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==C X P ， 21213243212131432121324121213141)50(1212⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==C C X P 4817=，487212131432121324121213141)55(12=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==C X P ，48121213141)60(=⨯⨯⨯==X P . ∴X 的数学期望48160487554817504817458140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX 12575=.答题分析： 1.本题以学生熟悉的背景设题，将得分与选择对、选错联系起来，感受随机事件与概率．因此，解题首先是要读懂题意.善于在熟悉的情境中理解题意，这是解概率题的关键．2.概率问题往往涉及到分类计算，这是由于分布列的特点需要分类进行计算．另由于选择各题时相对独立，独立事件也需要分类计算．3．概率题要求计算要准确，全功尽弃. 第19题：（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD D C B A -1111中，4==CD AD ，51=AD ，M 是线段11D B 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面AC D 1；19 / 30（Ⅱ）求直线1DD 与平面AC D 1所成角的正弦值．本题考查空间线面位置关系、线面平行、线面角的求法. （Ⅰ）证明：在长方体ABCD D C B A -1111中，∵4=AD ，51=AD ，∴32211=-=AD AD DD .建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，设AC 的中点为N ，连接1ND ，根据题意得)0,0,4(A ，)0,4,4(B ，)0,4,0(C ，)0,0,0(D ，)3,4,4(1B ，)3,0,0(1D ，线段11D B 的中点为)3,2,2(M ，线段AC 的中点为)0,2,2(N .∴)3,2,2(--=，)3,2,2(1--=ND . ∴1//ND BM . ∵⊄BM 平面AC D 1，⊂1ND 平面AC D 1， ∴1//ND BM . ∴//BM 平面AC D 1.（Ⅱ）解：)3,0,0(1=DD ，)0,4,4(-=，)3,0,4(1-=AD ，设平面AC D 1的一个法向量为),,z y x （=，根据已知得⎩⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅，034,0441z x AD y x 取1=x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==.34,1z y D 1C 1B 1A 1ABCDM20 / 30D 1C 1B 1 A1 ABCDMN O∴)34,1,1（=是平面AC D 1的一个法向量.∴17342,cos 1==><DD . ∴直线1DD 与平面AC D 1所成角的正弦值等于17342. 答题分析：1.本题的模型是长方体，因此采用坐标法不失为一个好的选择.2.本题也可以采用几何法的方式进行求解.（Ⅰ）如图，连接BD ，交AC 于N ， 可以证明四边形1BND M 是平行四边形， 从而1//BM ND ，进而可以证明//BM 平面AC D 1.（Ⅱ）过D 作1DO ND ⊥于O ，因为底面ABCD 是正方形，可以证明DO ⊥平面1ACD ，从而1DD O ∠即为所求角.接下来解之即可.第（Ⅱ）问也可以用等积的办法来求解．设点D 到平面1D AC 的距离为d ．在1D AC ∆中，115D A D C==，AC =，可得AC 边上的高等于7=，∴112D AC S ∆=⨯= ∵11D ADC D AD C V V --=，∴111443323d ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭，解得d=．设直线1DD 与平面AC D 1所成角的大小为θ，则1434s i n 17d D D θ====． ∴直线1DD 与平面AC D 1所成角的正弦值等于17342.21 / 30第20题：（本小题满分12分）已知22)1(ln 2)(+--=x x x x f ． （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数a x x x f x F ++-=3)()(2在]2,21[-上只有一个零点，求实数a 的取值范围．本题通过导函数考查函数的单调性、极值、零点、比较大小等知识. 解: （Ⅰ）)(x f 的定义域为{}1-≠x x ． ∵22)1(ln 2)(+--=x x x x f∴1)2(21222)(2+-=+--='x x x x x f . 解1,()0,x f x ≠-⎧⎨'>⎩得1x <<-或x > ∴)(x f的单调递增区间是(1)-和+∞( ). （Ⅱ）由已知得a x x x F ++-=2)1ln()(，且1-≠x .∴11121)(+-=+-='x x x x F . ∴当1-<x 或1>x 时，0)(>'x F ； 当11<<-x 时，0)(<'x F . ∴当121<<-x 时，0)(<'x F ，此时，)(x F 单调递减； 当21<<x 时，0)(>'x F ，此时，)(x F 单调递增.∵a a F >++-=-2ln 221)21(，a a F <+-=3ln 22)2(， ∴)2()21(F F >-. ∴)(x F 在]2,21[-上只有一个零点⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⇔,0)2(,0)21(F F 或0)1(=F .22 / 30由⎪⎩⎪⎨⎧<≥-,0)2(,0)21(F F 得23ln 22ln 221-<≤-a ； 由0)1(=F ，得12ln 2-=a . ∴实数a 的取值范围为23ln 22ln 221-<≤-a 或12ln 2-=a . 答题分析：1.本题要注意函数的定义域{}1-≠x x .2.在比较11()2ln 222F a -=-++与(2)22ln3F a =-+的大小时，如果直接采用作差的方式进行比较：11()(2)2ln222ln322F F --=-++-+552ln 62ln 624⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，则很难得出答案.实际上，因为a a F >++-=-2ln 221)21(，a a F <+-=3ln 22)2(，所以)2()21(F F >-.这提示我们处理问题的时候思维要相当灵活，要眼观六路，耳听八方，怎么好做就怎么做.3. 很多考生误认为)(x F 在]2,21[-上只有一个零点⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⇔,0)2(,0)21(F F 事实上漏了0)1(=F .第21题：（本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆E : )0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，点)3,2(P 在直线ba x 2=上，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ．直线mx k y +=与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且椭圆E 上存在点M ，使λ=+，其中O 是坐标原点，λ是实数．（Ⅰ）求λ的取值范围；（Ⅱ）当λ取何值时，ABO ∆的面积最大？最大面积等于多少？23 / 30本题综合考查直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力. 解:（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，根据题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-====,,3)2()2(,222222222212c b a c PF c F F b a 解方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,1a b c∴椭圆E 的方程为1222=+y x ． 由⎩⎨⎧=++=22,22y x m kx y ，得0224)21(222=-+++m kmx x k ． 根据已知得关于x 的方程0224)21(222=-+++m kmx x k 有两个不相等的实数根.∴0)21(8)22)(21(416222222>-+=-+-=∆m k m k m k ， 化简得：2221m k >+．设),(11y x A 、),(22y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+.2122,2142221221k m x x k km x x 221212122)(kmm x x k y y +=++=+． （1）当0=λ时，点A 、B 关于原点对称，0=m ，满足题意； （2）当0≠λ时，点A 、B 关于原点不对称，0≠m .由OA OB OM λ+=u u r u u u r u u u r ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=),(1),(12121y y y x x x M M λλ即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.)21(2,)21(422k m y k km x M M λλ∵M 在椭圆E 上，∴1])21(2[])21(4[212222=+++-k m k km λλ， 化简得：)21(4222k m +=λ． ∵2221m k >+，∴2224m m λ>．24 / 30∵0≠m ，∴42<λ，即22<<-λ且0≠λ．综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是)2,2-（．（Ⅱ）当0=λ时，0=m ，此时，A 、B 、O 三点在一条直线上，不构成ABO ∆.∴为使ABO ∆的面积最大，0≠λ.∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，22212212122,214k m x x k km x x ∴2122124)(1x x x x kAB -++=22222121122km k k +-++=. ∵原点O 到直线m x k y +=的距离21km d +=，∴AOB ∆的面积d AB S ⋅=2122221212km k m +-+=．∵)21(4222k m +=λ，0≠λ， ∴222421λm k =+.∴4424142442422222222λλλλλλ-=-=-=m m m mS )4(4222λλ-=． ∵224)4(2222=-+≤-λλλλ，∴22≤S ． “=” 成立⇔224λλ-=，即2±=λ．∴当2±=λ时，ABO ∆的面积最大，最大面积为22． 答题分析：1.由于题目较长，一些考生不能识别有效信息，未能救出椭圆E 的方程求.25 / 302. 第（Ⅰ）问，求λ的取值范围.其主要步骤与方法为：由0∆>，得关于k 、m 的不等式2221m k >+…… ①.由根与系数的关系、λ=+，M 在椭圆E 上，可以得到关于k 、m 、λ的等式)21(4222k m +=λ…… ②．把等式②代入①，可以达到消元的目的，但问题是这里一共有三个变量，就是消了m ，那还有关于k 和λ的不等式，如何求出λ的取值范围呢？这将会成为难点.事实上，在把等式②代入①的过程中，k 和m 一起被消掉，得到了关于λ的不等式.解之即可.3.第（Ⅱ）问要把ABO ∆的面积函数先求出来.用弦长公式求底，用点到直线的距离公式求高，得到AOB ∆的面积d AB S ⋅=2122221212km k m +-+=，函数中有两个自变量k 和m ，如何求函数的最大值呢？这又成为难点.这里很难想到把②代入面积函数中，因为②中含有三个变量，即使代入消掉一个后，面积函数依然有两个自变量.但这里很巧合的是：代入消掉k 后，事实上，m 也自动地消除了，于是得到了面积S 和自变量λ的函数关系S )4(4222λλ-=，再由第（Ⅰ）中所得到的λ的取值范围)2,2-（，利用均值不等式，即可求出面积的最大值了.4.解析几何的难点在于运算的繁杂，本题较好地体现了解解析几何题设题要求.对此，考生要有足够的心理准备.5.解答本题给我们的启示：不能死抱一些“结论”，比如两个未知数需要两个方程才能解出来等等.事实上，当那方程比较特殊的时候，即便是有多个未知数，也是可以把所有未知数都解出来的.很多时候的巧，会给我们山重水复疑无路，柳暗花明又一村的惊喜！26 / 30第22题：（本小题满分10分）选修14-：几何证明选讲如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，EA 是⊙O 的切线，CB 的延长线与EA 相交于点E ，AD AB =． 求证：CD BE AB ⋅=2．本题考查平面几何中的三角形相似以及圆的相关知识，考查推理论证能力 证明:连结AC ．∵EA 是⊙O 的切线， ∴ACB EAB ∠=∠．∵AD AB =，∴ACB ACD ∠=∠． ∴EAB ACD ∠=∠．∵⊙O 是四边形ABCD 的外接圆， ∴ABE D ∠=∠． ∴CDA ∆∽ABE ∆． ∴BEDAAB CD =，即CD BE DA AB ⋅=⋅. ∵AD AB =， ∴CD BE AB ⋅=2．答题分析：作辅助线往往是解答平面几何证明的关键，本题也不例外. 第23题：（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为35cos ,5sin , x y θθ=+⎧⎨=⎩θ(是参数)，P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程．本题考查圆的参数方程和普通方程，考查直线的直角坐标方程和极坐标方程的27 / 30互化.解:把曲线C 的参数方程35cos ,5sin , x y θθ=+⎧⎨=⎩θ(是参数)化为普通方程得25)3(22=+-y x .∴曲线C 是圆心为)0,3(1P ，半径等于5的圆. ∵P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点， ∴)4,0(P .根据已知得直线l 是圆C 经过点P 的切线.∵341-=PP k ,∴直线l 的斜率43=k . ∴直线l 的方程为01643=+-y x .∴直线l 的极坐标方程为016sin 4cos 3=+-θρθρ. 第24题：（本小题满分10分）选修54-：不等式选讲已知13-≥x ，关于x 的不等式0132151023≥+-+++--a x x x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．本题考查绝对值不等式，考查绝对值函数最大值的求法，考查绝对值不等式恒成立问题.解:设=)(x f 151023+++--x x x (13-≥x )，则228,135,()28,53,2, 3.x x f x x x x +-≤≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪>⎩∴当513-≤≤-x 时，18)(2≤≤x f ； 当35≤<-x 时，18)(2<≤x f ； 当3>x 时，2)(=x f .∴=)(x f 151023+++--x x x (13-≥x )的最大值为18.∵关于x 的不等式0132151023≥+-+++--a x x x 的解集不是空28 / 30集的充要条件是)(x f 132+≥a 的解集不是空集，而)(x f 132+≥a 的解集不是空集的充要条件是)(x f 的最大值132+≥a ，即13218+≥a .解13218+≥a ，得422-≤≤-a . ∴实数a 的取值范围为422-≤≤-a .答题分析：1.本题解法是采用分离变量的方法进行的，分离之后，可以求出()f x 的最大值.2.一些考生对不等式的解集不是空集理解有误，有的甚至求成了()f x 的最小值.实际上)(x f 132+≥a 的解集不是空集，所以)(x f 的最大值132+≥a ，即13218+≥a ，解之即可.三、复习建议1．回归基础 ：掌握基本知识、基本方法和基本题型在最后的复习阶段，考生要回归课本，理清数学的知识主线，构建思想方法体系，熟记数学概念、公理、定理、性质、法则、公式．考生应该把课本上的基本知识、基本方法和基本题型系统全面地再梳理一遍，并针对盲区和易错点及时查缺补漏．2.高度重视运算能力近年来的高考数学试题，对运算能力的要求都有所加强，在云南省第二次统一测试中也得到了较好地反映，比如第20题解析几何中的复杂运算，第21题函数中的代数变形，第18题概率大题中的繁杂数字计算等．因此要高度重视运算能力的培养．然而由于运算能力的培养并非一日之功，因此要坚持长期训练培养，在平时的学习中，凡是复杂计算，都必须认真演算完毕，而不能是懂算理算法后就停止了，平时不训练有素，考场上肯定是快不起来的，考试也一定是要吃大亏的.3．整理反思已做过的题临近高考，一味地做新题、难题将得不偿失．事实上，学生已经做过很多试题了（试卷已经有厚厚的一打），但是否真正掌握吃透了呢？你应该拿出你以前做过的习题来进行归纳总结：拿到一道题必须立即判断其题型、考点 ( 知识背景 ) ，常用解法及特殊解法，解法的具体步骤，解法的关键步，解法的易错步，此题的常见变式及其解决办法等，以上几点如果你在一两分钟内无法回答出来，则说明你还未真正掌握此类问题．在高三最后的冲刺阶段，这样的整理和反思训练远比埋头做题来得重要．具体可如下实施：(1)应把过去做过的题目分类梳理、整理．做这项工作时最好按照知识点的板块进行，同时兼顾按题型划分．(2)做好分类后，找出自己在基础知识方面的薄弱环节，同时应做专项练习，提高熟练程度．(3)最基础的定理、公式要熟记．此时的复习应做到回归课本，但回归课本不是简单地拿着书本翻阅，而是带着自己在梳理知识中遇到的问题去有重点地看课本．(4)找出自己做错的地方，认真反思错误原因，并记忆错误原因，争取做到在高考中不犯同样的错误．错误有很多种，有知识不足的问题，有概念不清的问题、有题型模式认识不清的问题、也有分类不清的问题，当然还有做题马虎的问题等等．考生要在前进中反思，在反思中前进．4.关注考试心理和考试技巧.数学难题、怪题千千万万，高考考场上遇到一些新题是再正常不过的，考场上需要保持一个平和的心态.比如本次省统测，选做题每题都只有一个问，这跟往常所见的很不一样，此时不能因为这种“新颖”就把自己给搞紧张了.要树立一个心态：考场上见到什么都是可能的！再比如，第9题，求递推数列的通项公式，由于一下子没能把等比数列或等差数列给配凑出来，会不会自己就紧张到连取特殊值排除验证的方法都抛到九霄云外了呢？5．答题时一般来说应该是先易后难，从前往后．有的考生喜欢先做大题，再做选择、填空题．我们认为这是不妥当的．通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难的．因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答．当然，中间有难题出现时，可以先跳过29 / 30去，总之，总的原则是要先把容易得到的分数拿到手，先易后难，先选择、填空题，后解答题．6．字迹清晰，合理规划．这对任何一科考试都很重要，尤其是对“精确度”较高的数学，若字迹不清、较难辨认，极易造成阅卷教师的误判．例如写得较快时，数字1和7极易混淆等等．若不清晰就可能使本来正确的失了分．另外，答题卡上书写的位置和大小要计划好，尽量让卷面安排做到合理整洁，特别地，要在指定区域作答．总之，对于解答题，书写要规范，布局要合理，论述既要简明，又不能跳跃过大.只有这样才能避免“自己做对了”，但阅卷却被扣了分这种现象.30 / 30。
昆明市云南省2013届统测理科数学
侧视图昆明市2013届高三摸底调研测试理科数学试卷一、选择题1．若复数(1)(1)z m m m i=-+-是纯虚数，其中m是实数，则1z=A．i B．i-C．2i D．2i-2．已知3sin45xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2x的值为A．725-B．725C．925D．16253．公比不为1等比数列{}na的前n项和为nS，且1233,,a a a--成等差数列，若11a=，则4S=A．20-B．0C．7D．404．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积为A．1+B．2+C．13D．2+5．变量U与V相对应的一组样本数据为(1,1.4)，(2,2.2)，(3,3)，(4,3.8)，由上述样本数据得到U与V的线性回归分析，2R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则2R= A．35B．45C．1D．36．已知a是实数，则函数()cosf x a ax=的图像可能是A．B．C．D．7．某班有24名男生和26名女生，数据1250,,,a a a 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W ；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图里空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的A ．0?T >，50M W A +=B ．0?T <，50M W A +=C ．0?T <，50M W A -= D ．0?T >，50M W A -=8．若曲线()cos f x a x=与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线，则a b +=A ．1-B ．0 C ．1D ．2 9．已知函数224,0(),4,x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨<-⎪⎩若(2)()0f a f a -+>，则实数a 的取值范围是A ．1a <--1a >-+B ．1a >C ．3a <-3a >+D ．1a <10．已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-≥，11a =，23a =，记12n n S a a a =+++ ，则下列结论正确的是A ．1001001,5a S =-=B ．1001003,5a S =-=C ．1001003,2a S =-=D ．1001001,2a S =-=11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若O F M ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p =A ．2B ．4C ．6D ．812．设函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又函数()|sin |g x x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题13．变量,x y 满足条件1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为____________．14．已知(,0)F c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆2221:()2E x c y c -+=相切，则双曲线C 的离心率为_________________．15．已知向量,a b 的夹角为120︒，且||1,||2==a b ，则向量-a b 在向量+a b 方向上的投影是_______．16．已知,,,A B C D四点在半径为2的球面上，且AC BD ==，5AD BC ==，A B C D =，则三棱锥D A B C -的体积是________． 三、解答题17．在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若223cos cos222C A a c b +=．（Ⅰ）求证：a 、b 、c 成等差数列； （Ⅱ）若60,4B b ∠=︒=，求A B C ∆的面积．MPDB A18．气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：（Ⅰ）求,Y Z的值；（Ⅱ）若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；（Ⅲ）在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．19．如图，在四棱锥P A B C D-中，A B C D为平行四边形，且B C⊥平面P A B，P A A B⊥，M为P B的中点，2PA AD==．（Ⅰ）求证：P D∥平面A M C；（Ⅱ）若1AB=，求二面角B AC M--的余弦值．20．已知平面内与两定点(2,0)A ，(2,0)B -连线的斜率之积等于14-的点P 的轨迹为曲线1C ，椭圆2C 以坐标原点为中心，焦点在y 5（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若曲线1C 与2C 交于M 、N 、P 、Q 四点，当四边形M NPQ 面积最大时，求椭圆2C 的方程及此四边形的最大面积．21．设()ln(1),(f x x ax a R =++∈且0)a ≠． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，证明：(0,5)x ∈时，9()1x f x x <+成立．PACBD O选做题：22．选修4-1：几何证明选讲如图，已知P A 与圆O 相切于点A ，直径B C O P ⊥，连接A B 交P O 于点D（Ⅰ）求证：PA PD =；（Ⅱ）求证：A C A P A D O C ⋅=⋅．23．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程是cos x a y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数，0a >），直线l 的参数方程是31x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数），曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系． （Ⅰ）求曲线C 普通方程； （Ⅱ）若点12324(,),(,),(,)33A B C ππρθρθρθ++在曲线C 上，求222111||||||OA OB OC ++的值．24．选修4-5：不等式选讲已知函数()|3|||f x x x a =++-（0a >）．（Ⅰ）当4a =时，已知()7f x =，求x 的取值范围； （Ⅱ）若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥，求a 的值．云南省2013届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分。
2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测
2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测成绩分数段汇总结果
(一级完中)
云南省教育科学研究院
2013年4月28日
表一：总分统计表---文科合计
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表二：总分统计表---理科合计
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表三：分科统计表---文科语文、理科语文
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表四：分科统计表---文科数学、理科数学
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表五：分科统计表---文科英语、理科英语
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表六：分科统计表---文科综合、理科综合
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表七：理科综合分科统计表
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表八：文科综合分科统计表
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第18页。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标Ⅱ卷,含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z =（ ） （A ）-1+i（B ）-1-i（C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- （4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l（D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A）111 12310 ++++L（B）11112!3!10!++++L（C）11112311++++L（D）11112!3!11!++++L（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设a=log36,b=log510,c=log714,则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a（C）a＞c＞b (D)a＞b＞c（9）已知a＞0，x，y满足约束条件()133xx yy a x⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y的最小值为1，则a=(A)14(B)12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（A）∃xα∈R,f(xα)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则()0'0f x=（11）设抛物线y2=3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A ）（0，1）(B)11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 1123⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （ ）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N = ，故选A ． （2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ． （3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q qa a S q -=-=+，∴31101q q q -=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111+2310+++ （B ）1111+2!3!10!+++ （C ）1111+2311+++ （D ）1111+2!3!11!+++【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯ ，1111+2!3!10!S =+++ ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ． （10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =． 所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）0,1（） （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）113⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______． 【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+ ,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =，()2,2BD =-，所以2AE BD ⋅= ． （14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1t a n 3θ=-，即1s i n c o s 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+=． （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______． 【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值． 解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =， 又0()B π∈，，所以π4B =． （2）ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-． 又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．1AA AC CB AB ===． （1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值． 解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ． 因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =， ()0,2,1CE = ，()12,0,2CA =．设111()x y z =n ，，是平面1A CD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s ==n?m n n m m 〈，〉，故sin ,=n m 即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作1为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0a b >>)右焦点的直线0x y +交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b+，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =． 又由题意知，M 的右焦点为)，故223ab -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y xy⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AB =CD 的方程为： y x n n ⎛=+<<⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=． 于是3,4x =CD 的斜率为1，所以43|x xCD -由已知，四边形ACBD 的面积1||||2S CD AB =⋅=． 当0n =时，S ．所以四边形ACBD ．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=． 因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞， 单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>， 故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =， 又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
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2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差(n s x x =++-其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2S =，集合{}T a =，∅表示空集，如果ST S =，那么a 的值是A ．∅B ．1C ．2D ．1或22．在291()x x-的二项式展开式中，常数项是A ．504B ．84C ．84-D ．504-3．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为A ．2B ．3C ．12D ．134．已知,a b 是平面向量，若(2)a a b ⊥-，(2)b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半径，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π6．已知常数a 、b 、c 都是实数，32()34f x ax bx cx =++-的导函数为()f x '，()0f x '≤的解集为{}|23x x-≤≤，若()f x 的极小值等于－115，则a 的值是正视图 侧视图俯视图A ．8122-B ．13C ．2D ．57．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，如果||84z z i +=-，那么z 等于A ．34i --B ．34i -+C ．43i +D ．34i +8．已知P 的半径等于6，圆心是抛物线28y x =的焦点，经过点(1,2)M -的直线l 将P 分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为A ．230x y ++=B ．250x y --=C ．20x y +=D ．250x y --=9．在数列{}n a 中，11a =，22a =，若2122n n n a a a ++=-+，则n a 等于A ．3126555n n -+ B ．32594n n n -+-C ．222n n -+D ．2254n n -+10．已知()f x 是定义域为实数集R 的偶函数，10x ∀≥，20x ∀≥，若12x x ≠，则1212()()0f x f x x x -<-．如果13()34f =，184(log )3f x >，那么x 的取值范围为A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,12,2⎛⎤+∞⎥⎝⎦D ．110,,282⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭11．两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同时被招聘的概率是170”．根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘面试的人有A ．44人B ．42人C ．22人D ．21人12．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，底面△ABC 是正三角形，M 、N 分别是侧棱PB、PC 的中点．若平面AMN ⊥平面PBC ，则平面AMN 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值等于A ．6B ．6C D ABCPMN第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．如果执行下列程序框图，那么输出的S ＝ ． 14．一个射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小组的平均成绩为8.15环，设该小组成绩为7环的有x 人，成绩为8环、9环的人数情况见下表：那么x ＝．15．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若222a b c bc =+-，12cb =+则tan B 的值等于 ．16．已知1F 、2F 是双曲线2221x y a-=的两个焦点，点P 在双曲线上，120PF PF ⋅=，如果点P 到x，那么该双曲线的离心率等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知21()cos cos 2f x x x x =-+． （1）写出()f x 的最小正周期T ； （2）求由5()(0)6y f x x π=≤≤，50(0)6y x π=≤≤，5(10)6x y π=-≤≤，10(0)2x y =-≤≤围成的平面图形的面积．18．（本小题满分12分）一次高中数学期末考试，选择题共有12个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得0分，选对得5分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的8个题，该考生做对了这8个题．其余4个题，有一个题因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两选项不符合题目要求，对于这两个题该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：（1）在这次考试中，求该考生选择题部分得60分的概率；（2）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为X ，求X 的数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AD CD ==，15AD =，M 是线段11B D 的中点．（1）求证：BM ∥平面1D AC ；（2）求直线1DD 与平面1D AC 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）已知22()2ln(1)f x x x x =--+． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数2()()3F x f x x x a =-++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在直线2a x b=上，线段1PF 的垂直一部分线经过点2F ．直线y kx m =+与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且椭圆E 上存在点M ，使OA OB OM λ+=，其中O 是坐标原点，λ是实数．（1）求λ的取值范围；（2）当λ为何值时，△ABO 的面积最大？最大面积等于多少？请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图，四边形ABCD 的外接圆为O ，EA 是O 的切线，CB 的延长线与EA 相交于点E ，AB AD =．求证：2AB BE CD =⋅ 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知曲线C 的参数方程为35cos ,5sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程．AB CA 1D B 1C 1D 1M24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知13x ≥-，关于x 的不等式|3||210|152|13|0x x x a --+++-+≥的解集不是空集，求实数a 的取值范围．2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．420 14．515．1216．5三、解答题17．解：（1）T π=；（2）2-18．解：（1）1148P =；（2）1(40)8P X ==，17(45)48P X ==，17(50)48P X ==，7(55)48P X ==，1(60)48P X ==，57512EX =19．解：（1）略；（2）1720．解：（1）()f x 的单调递增区间是(1)-和)+∞； （2）{}12ln 2,2ln 322ln 212a ⎡⎫∈---⎪⎢⎣⎭21．解：（1）(2,2)λ∈-；（2）当λ=ABO 的面积最大，最大面积为222．解：略23．解：3cos 4sin 160ρθρθ-+= 24．[]22,4a ∈--。