数值分析第二章复习与思考题

第二章复习与思考题1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n 次多项式()),,1,0(n j x l j Λ=在1+n 个节点n x x x <<<Λ10上满足条件(),,,1,0,,,0,,1n k j j k j k x l k j Λ=⎩⎨⎧≠==则称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10Λ为节点n x x x ,,,10Λ上的n 次拉格朗日插值基函数.以()x l k 为例，由()x l k 所满足的条件以及()x l k 为n 次多项式，可设()()()()()n k k k x x x x x x x x A x l ----=+-ΛΛ110，其中A 为常数，利用()1=k k x l 得()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-ΛΛ1101，故()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-ΛΛ1101，即()()()()()()()()∏≠=+-+---=--------=n kj j jk j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 0110110)(ΛΛΛΛ.对于()),,1,0(n i x l i Λ=，有()n k xx l x ni ki k i ,,1,00Λ==∑=，特别当0=k 时，有()∑==ni i x l 01.2.什么是牛顿基函数？它与单项式基{}nxx ,,,1Λ有何不同？答：称()()()(){}10100,,,,1------n x x x x x x x x x x ΛΛ为节点n x x x ,,,10Λ上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点n x x x ,,,10Λ上的n 次牛顿插值多项式()x P n 可以表示为()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ΛΛ其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10ΛΛ==.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如()()()()k k k k x x x x a x P x P --+=++Λ011,其中1+k a 是节点110,,,+k x x x Λ上的1+k 阶差商，这一点要比使用单项式基{}nx x ,,,1Λ方便得多.3.什么是函数的n 阶均差？它有何重要性质？答：称[]()()000,x x x f x f x x f k k k --=为函数()x f 关于点k x x ,0的一阶均差，[][][]110010,,,,x x x x f x x f x x x f k k k --=为()x f 的二阶均差. 一般地，称[][][]11102010,,,,,,,,-----=n n n n n n x x x x x f x x x f x x x f ΛΛΛ为()x f 的n 阶均差.均差具有如下基本性质：(1) n 阶均差可以表示为函数值()()()n x f x f x f ,,,10Λ的线性组合，即[]()()()()()∑=+-----=nj n j j j j j jj n x x x x x x x xx f x x x f 011010,,ΛΛΛ,该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.(2) [][][]01102110,,,,,,,,x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-ΛΛΛ.(3) 若()x f 在[]b a ,上存在n 阶导数，且节点[]b a x x x n ,,,,10∈Λ，则n 阶均差与n 阶导数的关系为[]()()!,,10n f x x x f n n ξ=Λ，[]b a ,∈ξ. 4.写出1+n 个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？ 答：给定区间[]b a ,上1+n 个点b x x x a n ≤<<<≤Λ10上的函数值()),,1,0(n i x f y i i Λ==，则这1+n 个节点上的拉格朗日插值多项式为()()∑==nk k k n x l y x L 0,其中()n k x x x x x l n kj j jk jk ,,1,0,0Λ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∏≠=. 这1+n 个节点上的牛顿插值多项式为()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ΛΛ,其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10ΛΛ==为()x f 在点k x x x ,,,10Λ上的k 阶均差.由插值多项式的唯一性，()x L n 与()x P n 是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组y Ax =，其中系数矩阵A 与使用的基函数有关.y 包含的是要满足的函数值()Tn y y y ,,,10Λ. 用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵A 中非零元素的分布.(1) 单项式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛顿基底.答：(1) 若使用单项式基底，则设()nn n x a x a a x P +++=Λ10，其中n a a a ,,,10Λ为待定系数，利用插值条件，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n nn nn y x a x a a y x a x a a y x a x a a ΛΛΛΛΛΛΛ101111000010， 因此，求解y Ax =的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n x x x x x x A ΛΛΛΛΛΛΛ1111100 为范德蒙德矩阵.(2) 若使用拉格朗日基底，则设()()()()x l a x l a x l a x L n n n +++=Λ1100，其中()x l k 为拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n n n n n n y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a ΛΛΛΛΛΛΛ11001111110000011000， 由拉格朗日插值基函数性质，求解y Ax =的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10010001ΛΛΛΛΛΛΛA 为单位矩阵.(3) 若使用牛顿基底，则设()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ΛΛ，由插值条件，有()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-+=--++-+=--++-+---nn n n n n n n n n y x x x x a x x a a y x x x x a x x a a y x x x x a x x a a 10010111010110010000010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ即()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-+=-+=-nn n n n n y x x x x a x x a a y x x a a y a 100101011000ΛΛΛΛ 故求解y Ax =的系数矩阵A 为()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=-110100120202011111n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ΛΛO ΛΛ 为下三角矩阵.6.用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序.答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.7.给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？答：设()()x fn 在[]b a ,上连续，()()x fn 1+在()b a ,内存在，节点b x x x a n ≤<<<≤Λ10，()x L n 是满足条件()n j y x L j j n ,,1,0,Λ==的插值多项式，则对任何[]b a x ,∈，插值余项()()()()())(!111x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ， 这里()b a ,∈ξ且与x 有关，()()()()n n x x x x x x x ---=+Λ101ω.若有()()11max ++≤≤=n n bx a M x f，则()x L n 逼近()x f 的截断误差()()()x n M x R n n n 11!1+++≤ω.8.埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等.称()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x f x P 00000!-++-'+=Λ 为()x f 在点0x 的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为()()()()n k x f x P k k n ,,1,0,00Λ==，泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点0x 处给出1+n 个插值条件得到的n 次埃尔米特插值多项式.9.为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答：对于任意的插值结点，当∞→n 时，()x L n 不一定收敛于()x f ，如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意.分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象.10.三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由.答：三次样条插值要求插值函数()[]b a C x S ,2∈，且在每个小区间[]1,+j j x x 上是三次多项式，插值条件为()n j y x S j j ,,1,0,Λ==.三次分段埃尔米特插值多项式()x I h 是插值区间[]b a ,上的分段三次多项式，且满足()[]b a C x I h ,1∈，插值条件为()()k k h x f x I =，()()),,1,0(,n k x f x I k k hΛ='='. 分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样条插值更优越一些.11.确定1+n 个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答：由于三次样条函数()x S 在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间[]1,+j j x x 上要确定4个待定参数，1+n 个节点共有n 个小区间，故应确定n 4个参数，而根据插值条件，只有24-n 个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间[]b a ,的端点0x a =，n x b =上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种： (1) 已知两端的一阶导数值，即()00f x S '='，()n n f x S '='.(2) 已知两端的二阶导数值，即()00f x S ''=''，()n n f x S ''='',特殊情况为自然边界条件()00=''x S ，()0=''n x S .(3) 当()x f 是以0x x n -为周期的周期函数时，要求()x S 也是周期函数，这时边界条件就满足()()00-=+n x S x S ，()()000-'=+'n x S x S ， ()()000-''=+''n x S x S这时()x S 称为周期样条函数.12.判断下列命题是否正确？(1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多.(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的.(3) ()),,1,0(n i x l i Λ=是关于节点),,1,0(n i x i Λ=的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于n 的多项式()x P 都有()()()x P x P x l ini i=∑=0(4) 当()x f 为连续函数，节点),,1,0(n i x i Λ=为等距节点，构造拉格朗日插值多项式()x L n ，则n 越大()x L n 越接近()x f .(5) 同上题，若构造三次样条插值函数()x S n ，则n 越大得到的三次样条函数()x S n 越接近()x f .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的.(7) 函数()x f 的牛顿插值多项式()x P n , 如果()x f 的各阶导数均存在，则当),,1,0(0n i x x i Λ=→时，()x P n 就是()x f 在0x 点的泰勒多项式.答：(1) 对.(2) 错.1+n 个节点上的拉格朗日插值和牛顿插值就是表示形式不同的两种插值多项式. (3) 对.(4) 错.当∞→n 时，()x L n 并一定收敛到()x f .(5) 对.(6) 错.高次拉格朗日插值不一定具有收敛性，因而并不常用. (7) 对.。