数值分析(清华大学出版社)第二章课后答案
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析(清华大学出版社)
第一章3.已知e=2.7182818..，求以下近似值A x 的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？（1）, 2.7A x e x ==； （2）, 2.718A x e x ==；（3）,0.027100A e x x ==； （4）,0.02718100A e x x ==。
解：（1）12.7182818.., 2.70.2710A x e x ====⨯10.01828...0.050.510A x x --=≤=⨯ 2.7A x ∴=有2位有效数字36.810AAx x x --=⨯ （2） 2.718A x =30.00028...0.00050.510A x x --=≤=⨯2.718A x =有4位有效数字41.0410AAx x x --=⨯ （3）10.027182818...,0.0270.2710100A ex x -====⨯ 30.0001828...0.00050.510A x x --=≤=⨯ 0.027A x ∴=有2位有效数字36.810AAx x x --=⨯（4）0.02718A x =50.0000028...0.0000050.510A x x --=≤=⨯2.718A x =有4位有效数字41.0410AAx x x --=⨯4.正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((22A A A A A A l l l l l A A εεε='=可知，若要求1))((2≤A A l ε，则2001100212))(()(2=⨯≤=Al l l A A A A εε，即边长应满足2001100±=l 。
5(1)①1-cos2°=1-0.9994=0.0006 只有一位有效数字 ②1-cos2°=2sin ²1°=2×0.0175²≈0.6125×310-44100917298.610125.6--⨯-⨯=0.3327具有几位有效数字则称若位有效数字具有＜x x a a a x A nk A x A n-k n 321323551010a 5.0.02106125.0105.0105.010⨯≤-⨯⋯⋯±=⨯∴⨯=⨯⨯------③()()位有效数字有＜41060919.0105.0105.0100005.010*******.010*******.6100919.61060919.0100919.69994.010349.02cos 12sin 2cos 1343744444422----------⨯∴⨯=⨯=⨯⨯=⨯-⨯⨯=⨯=+=︒+︒=︒-(2)位有效数字有＜！π！π4092.6105.0105.0100005.010*******.010*******.610092.610092.64902902cos 14374444442∴⨯=⨯=⨯⨯=⨯-⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈︒---------6.求解方程25610x x ++=，使其根至少有四位有效数字，计算中要求用73827.982≈。
数值分析第二章答案
1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 5设[]2(),f x Ca b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21m ax ()()m ax ().8a x b a x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为10101010()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x bx af a f b a b x a --=+--1()()0()0f a f b L x ==∴= 又 插值余项为1011()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=--011()()()()2f x f x x x x x ''∴=--[]012012102()()1()()21()41()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=- 又 ∴21m ax ()()m ax ().8a x b a x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤- 16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式0101010,10,10,1x x y y m m ======11300201001012()()()()(12)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x xx x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑210110102()(12)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-2021()(1)()(1)x x x x x xββ=-=-22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+设22301()()()()P x H x A x x x x =+--其中，A 为待定常数3222(2)1()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-14A ∴= 从而221()(3)4P x x x =-19．求4()f x x =在[,]a b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。
数值分析第二章答案
∑
n
i=1
ln x i = 0
θ
∧
= −
n
∑ ∑
n
n
i=1
ln x i n
θ
= =
解之得：
i=1
ln x i
（2）母体 X 的期望
E (x) =
∫
+∞ −∞
xf ( x ) d x =
∫
1 0
θ xθ dx =
θ θ +1
而样本均值为：
1 n X = ∑ xi n i =1 令E ( x) = X 得 θ =
x e 2σ 1 n
d x = 2 x ) =
∫
+ ∞ 0
x 2σ
e
−
x σ
d x = − x e ) = 1 ⋅ nσ n
−
x σ
+ ∞
+
0
∫
+ ∞ 0
e
−
x σ
d x =
E (σ ) = E (
∑
n
i=1
i
1 n
∑
n
E ( x
i=1
i
= σ
所以
σ=
∧
1 n ∑ xi σ n i=1 为 的无偏估计量。
∧
X 1− X
5.。解：其似然函数为：
L (σ ) = ∏
i =1
n
1 ⋅e 2σ
−
xi σ
=
1 ⋅e (2σ ) n 1 σ
n i =1
−
1 σ
∑ xi
i =1
n
ln L (σ ) = − n ln(2σ ) − 得： σ =
∧
数值分析课后习题答案
7、计算的近似值，取。
利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。
解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。
9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解：此算法是数值稳定的。
第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。
〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。
证A-1也是单位上〔下〕三角阵。
证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。
A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。
李庆扬数值分析第五版习题答案解析清华大学出版社
又
即计算值比准确值大。
故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
17．设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
令
则
则法方程组为
从而解得
故物体运动方程为
20。已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
将 代入得
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组，得
又 三次样条表达式为
将 代入得
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章 函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
2．当 时，求证
证明：
若 ，则
3．证明函数 线性无关
解：
采用复化梯形公式时，余项为
数值分析(清华大学出版社)第1,2章
2.
x 的相对误差是
x x d x er ( x ) d ln x x x
它是对数函数的微分。
设 u = xy , 则 lnu=lnx+lny , 因而 dlnu = dlnx + dlny
e r ( u ) e r ( x ) e r ( y ) r ( u ) r ( x ) r ( y )
即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x = 3.14 作为 近似值 时, 就有3 位有效数字。
16
四、 相对误差限与有效数字的关系
定理1
设近似值
x 0.a1a2 an 10m
有n 位有效数字， a1 0 。则其相对误差限为 1 n 1 r (x ) 10 2a1 x 0.a1a2 an 10m 故 证明
a1 10
m 1
| x | (a1 1) 10
m 1
r (x )
x x x
0 .5 10m n 1 10 n1 a1 10m 1 2a1
17
定理2 设近似值 x 0.a1a2 an 10 的相对误差限
m
1 10 n1 ,则它至少有n 位有效数字。 不大于 2( a 1) 1
25
对多元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ), 自变量的近似值为 x1 , x2 ,, xn , y 的近似值为 y f ( x1 , x2 , , xn ),
y 的运算误差为 函数值
e ( y ) e[ f ( x1 , x2 , , xn )] df ( x1 , x2 , , xn )
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1.用Gauss 消去法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡-551631011411014211264321x x x x 解：第一步：交换第三行和第一行，得到如下矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤----⎢⎢⎢⎢⎣⎡-56153101111402411621做运算()22121E E E →⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，()33161E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-，()()441E E E →+，得到增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡0249525213237414210001 第二步：再做运算()3322E E E →+，()44221E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-，得到如下矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-----⎢⎢⎢⎢⎣⎡94295292113377400210001第三步：做运算()4433713E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+，得到 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡21342951919210377400210001利用回代公式求得.790576.0,361257.0,863874.0,115183.11234=-==-=x x x x2、解 2.51 1.48 4.531.480.93 1.302.68 3.041.48⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.051.030.53⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 做两次换行()()()()↔↔3132;E E E E 得2.683.04 1.42.511.48 4.531.480.931.30⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.051.03⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 计算()()()()-+→-+→1221330.93657;0.55224;E E E E E E2.683.04 1.481.3672 5.916100.748810.48269⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.3227⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算()()-+→2330.54770;E E E2.683.04 1.4801.36725.9161003.7229⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.0235⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 换行和消去到此结束，经回代计算得到x =()1.440360, 1.577963,0.27494T--3.用Doolittle 三角分解方法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----551631011411014211264321x x x x解：首先对系数矩阵A 做分解LUA =解出：解b y L=，计算出Ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=74213,521,1,6解y x U=，计算出()T x 115183.1,863874.0,361257.0,790576.0--=4.设][,ij n n a A R A =∈⨯,011≠a ，b Ax =经过高斯消去法一步后变为)2()2(b x A =，其中=)2(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡21110A a a T ，(2)A =()(2),2n ij i j a =为(n-1)⨯(n-1)矩阵.其元素为(2)ija =(1)ij a -(1)(1)11i j a a /(1)11a , ,i j =2,3, n. 证明：（1）若A 对称正定，则2A 是对称矩阵。
（2）若A 严格对角占优，则2A 也严格对角占优。
证明：（1）2A 中的元素满足),,3,2,(,1111n j i a a a a a j i ij ij=-='，又因为A 是对称阵，满足n j i a a ji ij ,,2,1,, ==，所以ji j i ji j i ij ij a a a a a a a a a a '=-=-='11111111，即2A 是对称矩阵。
而Gauss 消去法一步，A 由变换),,3,2(11n i r l r i i =-得到)2(A ，在变换下各阶顺序主式的值均不变，有0 0 )2()2(2)2(2)2(11)2()2(2)2(2)2(12112222ii i iiii i1ii a a a a a a a a a a a a==∆因为A 对称正定，0),,,3,2(011>=>∆a n i i ，所以2A 各阶顺序主子式也大于0，从而2A 正定。
（2）对n i ,,3,2 =有，（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+--≥'-'∑∑∑∑∑=≠=≠=≠=≠=nj ji n i j j ij ii n i j j n i j j j i ij i i ii nij j ijiia a a a a a a a aa a a a a a a 2111111122111111112)2()2(因为A 严格对角占优，ii a 和11a 分别大于第i 行和第1行非对角元素绝对值之和，所以上式大于0，故2A 也严格对角占优。
5.下列矩阵能否作Doolittle 分解，若能分解，那么分解是否唯一。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=764142321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133122111B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=461561552621C 。
[解]因为A 的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A 不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。
因为B 的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B 不能分解为三角阵的乘积。
因为C 的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C 能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。
6.用平方根法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103422484548416321x x x 解：TLL l l l l l l l l l l l l A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=33232231211133323122211100000022484548416⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=332021004L由b y L =得()T y 621-= 由y x L T=得Tx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=24497.把例2.1.1的方程组（电路网络问题）写成一个三对角方程组，并用追赶法或LU 分解法求解。
解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=-=--=+0275003205.5554323215454321i i i i i i i i i i i i i 转化为三对角方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=--=--=+0320027505.5555454343232121i i i i i i i i i i i i i 这样A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3-20001-1-10002-7-50001-1-100055，d =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00005.5,此时⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-==-=-=-=-=======0,1,2,1,53,1,7,1,52,1,5,1,0543215432154321c c c c c b b b b b a a a a a由追赶法公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-====--ni c l b u n i u a l b u i i i i i i i,...3,2,,...3,2,1111可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==-=-=-=-==2338,192,25,5123107,1923,219,2,5543254321l l l l u u u u u计算Ly=d ，由公式⎩⎨⎧=-==-n i y l d y d y i i i i ,...,3,2,111可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==2311195.525.51.15.554321y y y y y计算Ux=y ，由公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==+1,...,2,1),(11n n i x c y u x u y x i i i i i nn n 可得方程解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====6785.04215.0257.01542.01028.012345x x x x x8.解：因为A 是一个对称的正定的矩阵，将A 作Cholesky 分T LL A = 由矩阵乘法可以得到：11b l = ⑴n i m b l l a m i i i i i ,,2,,/211 =-==- ⑵由b Ly =得到()n i l y m d y l d y i i i i i ,,2,/,/1111 =-==-由y x L T = ,得到()1,,1,/,/11 -=-==++n i l y m y x l y x i i i i i n n n9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2021012a a A（1）若A 可以分解为T LL A =，试求a 的取值范围。
（2）若a=1,求矩阵L 。
解： (1) 若A 是对称的正定矩阵，则A 可以分解为T LL A = , 虽然A 对称，而1∆= 2>0，=∆2 3 >0, 3∆= 2(3-a)(3 +a) ,由△3 > 0,得3-< a<3所以，()3,3-∈a 时，A 为对称正定矩阵，从而A 可以分解为T LL (2)当a=1时，设A= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210221012 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231222111000l l l l l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3323221312110l l l l l l ， 由此推出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/23/2002/32/1002L10、用追赶法解方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------000121001210012100124321x x x x解：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432001000100011000100010001u u u u l l l A ⇒21=u ， 112-=u l ⇒212-=l ， 222=+-u l ⇒232=u ，123-=u l ⇒323-=l ， ⇒=+-233u l 343=u ，⇒-=134u l 434-=l ， ⇒=+-244u l 454=u 。
所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=45000134000123000121430001320001210001A 由b y L =得Ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41,31,21,1由y x U =得Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=51,52,53,5411.已知A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1511，B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----210121012，试求∞)(A cond 和2)(B cond解：6||||=∞A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1511611A ，1||||1=∞-A ，6||||||||)(1==∴∞-∞A A A cond ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=541464145B B T ，165216)6()5(3232)6()5(541464145||232-+-=-------=-----=-λλλλλλλλλλλB B E T 3431.0,4,6569.11321===⇒λλλ或由4142.34081393＝＝）＝（＝得ｍａｘ２λB P B B B T =，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-432141211214321431B ，8284.52041189||||||||)(,7071.1577985)()(21221max 121=======----B B B cond B B P B λ。