《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征1节
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《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征5节-27页PPT资料
2.伯努利大数定理（频率的稳定性）
定理 设 f A 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，
p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数
证明,恒：有设Xk为第lni km次P试验fn中A 事p件A出现的1次数k=1,2,…,n，
则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布
又EXk = p, DXk =p（1-p）i=1,2,…，n
由切比雪夫不等式得
1n
1n
lni m P(|nk=1Xk-ni=1p|<ε)=1
即l n i m Pfn (A ) p 1
2019/9/28
8
内容小结
1. 理解方差的定义： D (X)E [XE(X)2].
次，得n个测量值 X1,X2,,Xn，它们可以看成是n个相互独
立的随机变量,具有相同的分布、相同的数学期望μ和方
差 2，由弱大数定理1知，只要n充分大，则以接近于1的概
率保证
1 n
n i 1
Xi
这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定 律。
比弱大数定理1条件更宽的一个大数定D律X i是辛钦Khintchine） 大数定律,它不需要推论1条件中“方差 存在”的限制， 而在其它条件不变的情况下，仍有上式的结论。
3
C.P(| Xi 3|)12 i1
3
D.P(| Xi3|)132 i1
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分析 (1) 由 X~B(n, p)得：
E(X)np2.4 D(X)npq1.44
解方程组得 n=6, p=0.4, 故选B.
( 2 ) 由 X ~ P () ,E (X ) D (X ) .
《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征1节-45页PPT精品文档
5
例1. 设X服从Poisson分布(), 求数学期望E(X).
解：X的概率函数为
P(Xk)ke,k0,1,2, ;
k!
所以X的数学期望
E( X ) k k e k0 k!
k k e
k1 k!
( λk eλ ) k0 k!
故 变再利量E 常用X见期拆 的(望E E 成基( ( X 性X X 有本1 1 质) 限方 X 求多E 法2 ) ( 得 个X ： 2 X比) 可的 较 以X 期2 简将 望) E 单5 一.(X 的个2 随比)5 机较2变(复5 1 量杂(2 2的X4 5 )1i0 )随之8 机和.3, 8
(1)设n有 个x数 1， x2， ， xn,那么 n个 这数的算术
xx1x2n xni n1xin 1
(2)这 n个数 ,， 有不 相妨 n 同 i个 设 取 xi其 ， i值 1中 ,,k 为 , 有
其均值n1应ik1为 nixi
k i 1
9
例3. 某种化学物的PH(记为X)是一个随机变量，它的概率
密度是
25(x3.8), 3.8x4 f (x) 25(x4.2),4x4.2
0, 其他
求此化合物的PH的数学期望E(X).
解： E(X)
xf(x)dx
4
4 .2
x 2(x 5 3)d 8 xx ( 2)x 5 ( 4 .2 )dx
7.5a235a0 52.5故0当 a =23. 33 时, EY 最大
2019/9/28
15
(二) 二维随机变量函数的数学期望
对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以类似得到.
第3章 随机变量的数字特征
3.2 连续型随机变量的数学期望
1. 连续型随机变量数学期望的概念
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 p(x), 如果积分
|
x
|
p( x)dx存在, 则称积分
xp(x)dx 为随机变量X的
数学期望(或均值), 简称期望.
E(X ) xp(x)dx.
本节 上页 下页
3.2 连续型随机变量的数学期望
E(mX ) mE(X ) ma mb(1 p).
本章 上页 下页
3.4 方差及其简单性质
1. 方差的概念 2. 常用分布的方差 3. 方差的简单性质 *4. 矩 (略)
本章 上页 下页
3.4 方差及其简单性质
1. 方差的概念
(1) 2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2;
如下:
X0 1 2 3
Y0 1 2 3
p 0.5 0.2 0.2 0.1 p 0.4 0.3 0.2 0.1
问哪一台机床的质量好些？
解 E(X ) 00.5 10.2 20.2 30.1 0.9, E(Y ) 00.4 10.3 20.2 30.1 1.0,
E(X ) E(Y ).
X 2 3 5.4 7.1 9 p 0.05 0.1 0.15 0.5 0.2
E(X ) 20.05 30.1 5.40.15 7.10.5 9 0.2 6.56.
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3.1 离散型随机变量的数学期望
例3 甲、乙两数控机床在生产同一标准件时所出的次品数 分别用X,Y表示,根据长期的统计资料分析知,它们的分布列
本节 上页 下页
3.1 离散型随机变量的数学期望
(3) 泊松分布
P( X k) k e , (k 0,1, 2,
概率统计-随机变量的数字特征_318701
第四章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
§1 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai 分， i 1,2,k ，
k
ni N ， 求平均成绩。
i 1
解：
平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X表示成绩，则
P{X
ai}
ni N
k
i 1
ai
ni N
则 EX = 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6
若离散型随机变量 X 的分布律为：
X0 1 2
P 0.7 0.2 0.1 则 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4
此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。
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第四章 随机变量的数字特征
例5 按规定，火车站每天 8:00~9:00, 9:00~10:00 都恰
轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
y
解：
2,(x, y) A f (x, y) 0,其它；
0x
x y 1 0
0
0
EX= xf (x, y)dxdy dx x 2dy
§1 数学期望
EX 8 0.1 9 0.3 10 0.6 9.5 EY 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
因此，从平均环数上看 ，甲的射击水平要比乙 的好．
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第四章 随机变量的数字特征
例3
§1 数学期望
设随机变量 X 服从Cauchy分布 ，其密度函数为
§1 数学期望
§1 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai 分， i 1,2,k ，
k
ni N ， 求平均成绩。
i 1
解：
平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X表示成绩，则
P{X
ai}
ni N
k
i 1
ai
ni N
则 EX = 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6
若离散型随机变量 X 的分布律为：
X0 1 2
P 0.7 0.2 0.1 则 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4
此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。
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第四章 随机变量的数字特征
例5 按规定，火车站每天 8:00~9:00, 9:00~10:00 都恰
轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
y
解：
2,(x, y) A f (x, y) 0,其它；
0x
x y 1 0
0
0
EX= xf (x, y)dxdy dx x 2dy
§1 数学期望
EX 8 0.1 9 0.3 10 0.6 9.5 EY 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
因此，从平均环数上看 ，甲的射击水平要比乙 的好．
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第四章 随机变量的数字特征
例3
§1 数学期望
设随机变量 X 服从Cauchy分布 ，其密度函数为
概率统计 第3章随机变量的数字特征1节
2020/9/21
3
1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2，，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1,, k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加 权平均
2020/9/21
12
(2)随机变量函数数学期望的计算 方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
2020/9/21
13
方法2 (公式法):
定理 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
k1 k1
2020/9/21
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(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在， 则E(XY ) E(X )E(Y ).
证：仅就连续随机变量情形
EXY xyf x, ydxdy
xy f X x f Y y dxdy
xf
X
x
dx
y fY y dy
2020/9/21
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补充： 函数
( ) x 1exdx 0
函数有下列结论：
(1) ( 1) ();
(2) Γ(n 1) n !; (3) (1) (2) 1, (1) .
2
0
y12e y1 dy1
(3) 2! 2
2020/9/21
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二、数学期望的性质
概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
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第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
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第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +
概率论与数理统计随机变量的数字特征课件
03
通过数值模拟方法可以直观地 展示随机变量的分布情况，帮 助理解概率论与数理统计中的 概念和理论。
06
总结与展望
主要内容回顾
随机变量的概念与分类
常见随机变量的性质与 分布
01
02
03
随机变量的数字特征： 均值、方差、协方差等
04
大数定律和中心极限定 理的应用
存在的问题与不足之处
学生对概念的理解不够深入 ，容易混淆不同概念之间的
掷骰子
假设掷一个六面体的骰子，每个数字出现的概率为1/6。通过数值模拟方法计算在掷n次骰子时，每个 数字出现的次数。
结果解释与讨论
01
对于投掷硬币的实例，当n逐 渐增大时，正面和反面出现的 次数逐渐接近，符合理论上的 期望值。
02
对于掷骰子的实例，当n逐渐 增大时，每个数字出现的次数 也逐渐接近理论上的期望值。
相关系数
相关系数是协方差与两个随机变量方差的比值， 用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
意义
协方差和相关系数可以反映两个随机变量之间的 线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相 关，值为0表示无关。
03
随机变量的矩与特征
矩的定义
01
矩：对于实随机变量X，其k阶原点矩定义为E[X^k]
，k为非负整数。
概率论与数理统计随机变量 的数字特征课件
目 录
• 随机变量的基本概念 • 随机变量的期望值与方差 • 随机变量的矩与特征 • 随机变量的函数与变换 • 随机变量的数值模拟与实例分析 • 总结与展望
01
随机变量的基本概念
随机变量的定义
定义
设E是随机试验，S是样本空 间，对于E的每一个样本点e ，都有唯一的实数X(e)与之对 应，则称X(e)为随机变量。
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征教案章节一：随机变量的期望值教学目标：1. 理解期望值的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的期望值。
3. 学会计算连续随机变量的期望值。
教学内容：1. 期望值的定义及性质。
2. 离散随机变量的期望值的计算方法。
3. 连续随机变量的期望值的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解期望值的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的期望值的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固期望值的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的期望值。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对期望值的理解和计算能力。
教案章节二：随机变量的方差教学目标：1. 理解方差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的方差。
3. 学会计算连续随机变量的方差。
教学内容：1. 方差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的方差的计算方法。
3. 连续随机变量的方差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解方差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的方差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固方差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的方差。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对方差的理解和计算能力。
教案章节三：随机变量的标准差教学目标：1. 理解标准差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的标准差。
3. 学会计算连续随机变量的标准差。
教学内容：1. 标准差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的标准差的计算方法。
3. 连续随机变量的标准差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解标准差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的标准差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固标准差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的标准差。
概率论与数理统计教案随机变量的数字特征
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征一、教学目标1. 了解随机变量的数字特征的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等基本数字特征的计算方法。
3. 能够运用随机变量的数字特征解决实际问题，提高数据分析能力。
二、教学内容1. 随机变量的期望1.1 期望的定义与性质1.2 离散随机变量的期望1.3 连续随机变量的期望2. 随机变量的方差2.1 方差的定义与性质2.2 离散随机变量的方差2.3 连续随机变量的方差3. 随机变量的协方差与相关系数3.1 协方差的定义与性质3.2 离散随机变量的协方差3.3 连续随机变量的协方差3.4 相关系数的定义与性质3.5 离散随机变量的相关系数3.6 连续随机变量的相关系数三、教学方法1. 采用讲授法，系统讲解随机变量的数字特征的理论知识。
2. 利用案例分析法，让学生通过实例理解随机变量的数字特征在实际问题中的应用。
3. 运用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高课堂氛围。
4. 利用数理统计软件，演示随机变量的数字特征的计算过程，增强学生的实践操作能力。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
3. 数理统计软件（如Excel、R、Python等）。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机变量的数字特征的基本概念的理解。
2. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用随机变量的数字特征进行分析和解决，培养学生的实际应用能力。
4. 期末考试：评估学生对随机变量的数字特征的掌握程度。
六、教学内容4. 随机变量的偏度和峰度4.1 偏度的定义与性质4.2 离散随机变量的偏度4.3 连续随机变量的偏度4.4 峰度的定义与性质4.5 离散随机变量的峰度4.6 连续随机变量的峰度5. 随机变量的标准化5.1 标准化的定义与方法5.2 离散随机变量的标准化5.3 连续随机变量的标准化七、教学重点与难点1. 随机变量的期望、方差、协方差、相关系数、偏度和峰度的计算方法。
概率论和数理统计 随机变量的数字特征17页PPT文档
(1)D(C) ＝0; (2) D(CX)=C2D(X); (3) 当X、Y独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y); (4) D(X)=0等价于P﹛X=C﹜=1. (C为常数)
10
7、常见分布的期望方差:
(1)二点分布: (2)二项分布: (3)泊松分布: (4)正态分布:
(5)均匀分布: (6) 指数分布
存在,则称之为X的方差.记为D（X）或Var(X)
D（x）=Var（X）= E X E( X )2
另外，记 ( X ) D( X ) ，称为标准差或均方差
5、方差的计算方法：
当X为离散型随机变
D( X ) E X E( X )2 xk E( X )2 pk
2
2、 数学期望的性质： （1）设C是常数，则 E（C）=C
这里C视为 退化的随机变量
（2）设X为一随机变量，C为常数，则有
E（CX）=CE（X） （3）设X，Y为两个随机变量，则有
E（X+Y）=E（X）+E（Y）
（4）若X，Y为两个相互独立的随机变量，则有
E（XY）=E（X）E（Y）
注： (1) Ein1 Xi in1E(Xi)
6
例1.26 设随机变量 X ~ U 0 , , 求 E (X s ) E ( X , i ) E [ n X , E ( X ) 2 .
解 依题知，X的概率密度为f(x)1 , x0,
故
0 , 其 他
1 1
2
E(sin
X
)
sx in f(x )d xsx in d x sx in dx
gxk pk 绝对收敛
10
7、常见分布的期望方差:
(1)二点分布: (2)二项分布: (3)泊松分布: (4)正态分布:
(5)均匀分布: (6) 指数分布
存在,则称之为X的方差.记为D（X）或Var(X)
D（x）=Var（X）= E X E( X )2
另外，记 ( X ) D( X ) ，称为标准差或均方差
5、方差的计算方法：
当X为离散型随机变
D( X ) E X E( X )2 xk E( X )2 pk
2
2、 数学期望的性质： （1）设C是常数，则 E（C）=C
这里C视为 退化的随机变量
（2）设X为一随机变量，C为常数，则有
E（CX）=CE（X） （3）设X，Y为两个随机变量，则有
E（X+Y）=E（X）+E（Y）
（4）若X，Y为两个相互独立的随机变量，则有
E（XY）=E（X）E（Y）
注： (1) Ein1 Xi in1E(Xi)
6
例1.26 设随机变量 X ~ U 0 , , 求 E (X s ) E ( X , i ) E [ n X , E ( X ) 2 .
解 依题知，X的概率密度为f(x)1 , x0,
故
0 , 其 他
1 1
2
E(sin
X
)
sx in f(x )d xsx in d x sx in dx
gxk pk 绝对收敛
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注2º 级数绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的 改变而改变. 因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平 均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
4/22/2020
5
例1. 设X服从Poisson分布 (), 求数学期望E(X).
解：X的概率函数为 P( X k) k e , k 0,1,2, ; k!
第三章 随机变量的数字特征
基本内容：
一、数学期望、方差 二、原点矩与中心矩 三、协方差与相关系数 四、切比雪夫不等式与大数定律
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1
第一节 数学期望
引例1 加权平均成绩
设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 x1, x2, , xn ,
其学分分别为 ω1,ω2, ,ωn , 则称
x
x1
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(2)随机变量函数数学期望的计算 方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
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方法2 (公式法):
定理 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
4/22/2020
4
1. 离散随机变量的数学期望
定义: 设离散随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk , k 1,2, ,
若级数 xk pk 绝对收敛 ( 即 | xk | pk ),
则X的数k学期望（或均值）存在k ，记为E(X) , 即
E( X ) xk pk
注1º EX是一个常数, 它是k 一种加权平均.与一般的平均 值不同, 它从本质上体现了X 取可能值的真正的平均值.
b
E(X)
lim
0
i 1
xi
f
(xi
) x i
a
xf ( x) d x
xf (x) d x
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2. 连续随机变量的数学期望
定义:设连续随机变量X的概率密度为f (x),
若积分
xf (x)dx 绝对收敛
(即
|
x
|
f ( x)dx
),
则X的数学期望（或均值）存在，记为E(X) , 即
E( X ) xf ( x)dx
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例3. 某种化学物的PH(记为X)是一个随机变量，它的概率
密度是
25(x 3.8), 3.8 x 4 f (x) 25(x 4.2), 4 x 4.2
0, 其他
求此化合物的PH的数学期望E(X).
解：
xf (x)dx
4
分析：设想如果比赛再继续下去，会出现什么结果？
甲最终所得可能为10元，可能0元，这是随机变量X
且再比赛2局必能分出胜负，其结果不外乎4种情况：
甲甲，甲乙，乙甲，乙乙
X
0
10 甲期望所得：
P
1/4 3/4 0*1/4+10*3/4=7.5
此分法不仅考虑已经比赛结果，而且还包括了再
比赛下去的一种“期望”——数学期望（均值）.
解:以 表示保险公司从一个投保者取得的收益, 则
取值为 a, a b, 相应的概率分布为 p, 1 p
于是 E a p (a b)(1 p) a b(1 p)
保险公司要获益, 必须 a b (1 p) 0,
即 b a 1 p
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设连续随机变X在[a,b]上概率密度f (x) 0,其他地方为0
EY
EgX
gxk pk , X为离散型;
k
gx
f
xdx,
X为连续型.
当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,…); 当X为连续型时, X的密度函数为f (x).
求E[g(X)]时, 只需 知道X的分布即可.
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例5.某种商品每周的需求量 X～U(10,30）,而商场 每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,
4.2
x 25(x 38)dx x (25)( x 4.2)dx
3.8
4
4
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例4. 设X ~ exp( ),求数学期望E( X ).
解：X的概率密度为 f (x) 1 ex/ , x 0; 0, x 0.
所以
0
x
1
e
x
/
dx
0
(
x)
e
x
/
d
(
x
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1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2， ，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1, , k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加 权平均
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把 [a , b]分成n个小区间,各小区间长度 xi xi xi1
记
max{
1 i n
x
i
}，当n
时，
0，则
P(xi1 X xi )
xi f (x)dx
xi1
f (xi )xi
n
x2
n
xn
n i1
xi
1 n
为该生各门课程的算术平均成绩. 而
n
xω
xi
ωi
n
n
xivi , 其中 vi ωi
i1
ωj
i 1
j1
则称 xω为该生的加权平均成绩.
n
ωj ,
j1
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引例2. 甲乙两名乒乓球爱好者球技相同，他们约定各出5元 作为奖金进行比赛，每局中无平局，谁先赢四局则得奖金10 元，当甲赢了3局，乙赢了2局时，因故要终止比赛。问这10 元奖金如何分配才算合理公平。
所以X的数学期望
k
k
e
k k
e
k0 k!
k 1 k!
e
k 1
e k
k1 (k 1)!
k0 k!
ee
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例2. 据统计, 一位 60 岁的健康者在 5 年内健在的概率为 p (0 p 1). 保险公司开办 5 年人寿保险, 投保费 a 元, 若投保者在 5 年内死亡(非自杀死亡), 保险公司负责 赔偿 b 元(b a). 应如何确定 b 值可使保险公司获益?
)
分部积分
(x)dex/ 0
(xex/
0
ex / dx)
0
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3.随机变量函数的数学期望
(一) 一维随机变量函数的数学期望
(1)问题的导入
数学期望
E( X ) xk pk .
X
E(X)=kEX Nhomakorabeaxf
xdx
g(X) 数学期望EgX
g是连续函数, g(X) 是随机变量, 如: 2X+1, X2等等.