苏教版高中数学必修一 3.2.1对数PPT
高中数学对数运算和对数函数3.2对数函数y=log2x的图象和性质课件
上的最值.
解:作函数y=log2x的图象如图:
(1)由图象知 y=log2x 在定义域(0,+∞)上是增函数.
- > ,
由 f(x-1)>f(1),得
- > ,
解得 x>2,∴x 的取值范围是(2,+∞).
(2)∵≤x≤,∴≤2x-1≤4,
∴log2≤log2(2x-1)≤log24,
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错
误的画“×”.
(1)函数y=2log2x是对数函数.( × )
(2)函数 y=2x 的反函数是 y=
.(
× )
(3)对数函数y=log2x在区间(1,+∞)上单调递增.( √ )
(4)若x>1,则y=log2x的函数值都大于零.( √ )
所以2≤x≤4,所以f(x)的定义域为[2,4].
答案:[2,4]
5.已知函数f(x)=log2(x+3)-1.
(1)求函数的定义域;
(2)若f(a)>f(1),求a的取值范围.
解:(1)由题意知x+3>0,即x>-3,
∴函数的定义域为(-3,+∞).
(2)f(a)=log2(a+3)-1,f(1)=log2(1+3)-1=1.
3.2
对数函数y=log2x的图象和性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 1.会画函数y=log2x的图象.
2.能应用函数y=log2x的图象和性质解决问题.
3.感悟数学抽象的过程,体会数学直观在解决数
高中数学苏教版必修1课件：3.2.1对数(第1课时)对数的概念
③lg 0.01＝－2；④ln 10＝2.303. 思路点拨：利用 ax＝N⇔x＝loga N(a>0 且 a≠1)进行互化．
[解] (1)①24＝16⇒log216＝4.
②3－3＝217⇒log3217＝－3.
③5a＝20⇒log520＝a.
④12b＝0.45⇒log120.45＝b.
(2)①12－4＝16. ③10－2＝0.01.
思路点拨：利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．
[解] (1)9x＝27，∴(32)x＝33，即 32x＝33， ∴2x＝3，∴x＝32. (2)∵ex＝e2，∴x＝2. (3)5log5(2x－1)＝2x－1＝25，∴x＝13. (4)∵log2(log3(log4 x))＝0，∴log3(log4 x)＝20＝1， ∴log4 x＝31＝3，∴x＝43＝64.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－2)4＝16，所以 log(－2)16＝4.( ) (2)对数式 log32 与 log23 的意义一样． (3)对数的运算实质是求幂指数． (4)等式 loga1＝0 对于任意实数 a 恒成立． (5)lg 10＝ln e＝1.( )
1
(3)3log3 5＋3log3 5；(4)( 2)2(log29－log23)．
[解] (1)原式＝23÷2log2 3＝8÷3＝83.
(2)原式＝eln 2·eln 5＝2×5＝10.
(3)∵3log3 5＝ 5，3log315＝15，
∴原式＝
5＋15＝5
5＋1 5.
(4)原式＝(( 2)2)log29－log23＝2log29－log23
3．设 a＝log3 7，b＝log3 28，则 32a－b＝________.
高中数学 2.3.2 对数函数课件(2) 苏教版必修1
情境问题： 情境问题：
对数函数的定义： 对数函数的定义： 函数y＝ 叫做对数函数． 函数 ＝logax (a＞0，a≠1)叫做对数函数． ＞ ， 叫做对数函数 对数函数的定义域为(0， 对数函数的定义域为 ，＋∞)，值域为 ． ，值域为R 对数函数的图象和性质： 对数函数的图象和性质： 对数函数的图象恒过点(1， ， 对数函数的图象恒过点 ，0)， 0＜a＜1时 对数函数在(0， 上递减； 当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋∞) 上递减； 上递增． 当a＞1时，对数函数在 ，＋∞)上递增． ＞ 时 对数函数在(0， 上递增 y 如图所示曲线是对数函数y＝ 的图像， 如图所示曲线是对数函数 ＝logax的图像， 的图像 已知a值取 值取1.5， ， ， ，则相应于C 已知 值取 ，e，0.5，0.2，则相应于 1，C2， C3，C4的a的值依次为 的值依次为 ． O
数学探究： 数学探究
的图象在同一坐标系中画出， 例2．分别将下列函数与 ＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者 ．分别将下列函数与y＝ 的图象在同一坐标系中画出 之间的关系. 之间的关系 y (1) y＝log3(x－2)； ＝ － ； (2) y＝log3(x＋2)； ＝ ＋ ； (3) y＝log3x－2； ＝ － ； (4) y＝log3x＋2. ＝ ＋ O y＝log3x y＝log3(x－2) ＝ ＝ － x
x O
数学应用： 数学应用：
例3．画出函数 ＝log2|x|的图象． ．画出函数y＝ |的图象． y
x O
结合函数y＝ 结合函数 ＝log2|x|的图象，说出它的有关性质． |的图象，说出它的有关性质． 总可以写作y＝ | | 注：偶函数y＝f(x)总可以写作 ＝f(|x|) ． 偶函数 ＝ 总可以写作 说出函数y＝ 说出函数 ＝log2(x－2)2的单调区间． － 的单调区间．
苏教版必修一：第三章 指数函数、对数函数和幂函数3.2.1 第1课时
3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？★★答案★★不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？★★答案★★设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________． ★★答案★★ 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． ★★答案★★ 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)21)log 13＋22＝x .解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2.(3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2. (5)因为21)log -)13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)43log 81；(3)345log 625.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝345log 625，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a Na＝N 的应用例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a xa 并非相等的函数．跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________.★★答案★★ 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． ★★答案★★ b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________. ★★答案★★ a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3； ④log 77＝1与71＝7. ★★答案★★ ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________. ★★答案★★ 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________． ★★答案★★ 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的序号为________． ★★答案★★ ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________. ★★答案★★ －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1， ∴2＝1－2x ， ∴x ＝－12.3．3log＝________.★★答案★★ 8 解析 设3log＝t ，则(3)t＝81,32t＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确等式的序号是________．★★答案★★ ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0； ③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e . 5．(12)－1＋log 0.54的值为________．★★答案★★ 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0.6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________．★★答案★★ 45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________.★★答案★★2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f (12)＝f (log 22)＝ 2.8．方程3log 2x＝14的解是________． ★★答案★★ x ＝19解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.★★答案★★24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________. ★★答案★★107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.★★答案★★ 13 解析22log 32+＋32log 33-＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13. 二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式． ①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a . ②由6a ＝8，得6a＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a3.③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a.13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}? 解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义； 若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}． 三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.★★答案★★－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。
2016年高中数学 3.2.1对数(3)课件 苏教版必修1---对数的换底公式
1 1 1 log2 ·log3 ·log5 ＝ 25 8 9
2 1 2 ＝ ＋ ＋ log330 log430 log530
3 2 1 证明：log 19＋log 19＋log 19 ＜2 2 3 5
． ．
自我挑战：
例2 设xa＝yb＝zc，且
1 1 1 + = a b c
．求证：z＝xy．
变式： 设正实数a，b，c 满足3a＝4b＝6c，
2 1 2 (1)求证： - = ； c b a
(2)比较3a，4b，6c的大小．
数学应用：
例3．如图，2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元， 如果我国的 GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过 多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg2≈0.3010， lg1.078≈0.0326，结果保留整数)．
换底公式的推导结论：
1 logab· logba＝1； logab＝ log a b
m log a n b ＝ log a b n
m
数学应用：
例1 求log89×log332的值．
变式： (1)求log89×log2732的值；
(2)若log34×log25×log5m＝2，则m＝
．
自我挑战：
能运用性质解决这些问题吗？如果有困难，困难在哪里？
问题聚焦： 例题：用常用对数表示 log3 5
解：
对数的换 底公式
猜想结论：
lg N (1) loga N lg a
logc N (2) loga N logc a
证明： 如何证明？例题能给我们有什么启示？
数学建构：
对数的换底公式： logcN logaN＝ log a c 其中a＞0，a≠1， c＞0，c≠1， N ＞0
高中数学 3.2.2对数函数(一)配套课件 苏教版必修1
小结 此题主要利用对数函数 y＝logax 的定义域为(0，＋∞) 求解．
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研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效
跟踪训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log12x；(3)y＝log71－13x；
(4)y＝ log3x.
解 (1)由 1－x>0 得 x<1，
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3.2.2（一）
跟踪训练 3 函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图象经过点 (1,4)，求 a 的值．
解 根据反函数的概念，知函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1)的图象经 过点(4,1)， ∴1＝loga3，∴a＝3.
2
图象的过程，观察图象，并指出这两个函数有哪些相同性质
和不同性质？
答 作图步骤： ①列表， ②描点，③用平滑曲线连接．过程
如下： x
…
1 4
1 2
1
2
4…
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 …
y＝ log1 x … 2 1 0 －1 －2 … 2
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所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是 log23.4<log28.5； (2)考虑对数函数 y＝log0.3x，因为它的底数 0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是 log0.31.8>log0.32.7；
(3)当 a>1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数，
于是 loga5.1<loga5.9；
高中数学三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算
3.2.1 对数及其运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中，已学习了指数函数的概念和性质，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与欣赏”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质．2．掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质．3．准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能，运用对数运算性质解决有关问题．4．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识．5．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性． 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用． 课时安排3课时教学过程第1课时 对数概念导入新课思路1.(1)庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．①取4次，还有多长？②取多少次，还有0.125尺？(2)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：①(12)4＝？(12)x＝0.125 x ＝？②(1＋8%)x＝2 x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．推进新课新知探究提出问题错误!活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．对问题①，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点．对问题②，图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标．对问题③，定义一种新的运算．对问题④，借助③，类比到一般的情形．讨论结果：①如下图．②在所作的图象上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18、20、30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．③1813＝1.01x ，2013＝1.01x ，3013＝1.01x，在这几个式子中，要求x 分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，用符号“log”表示对数，即若1813＝1.01x，则x 总以1.01为底的1813的对数就可写成x ＝log 1.011813.其他的可类似得到，x ＝log 1.012013，x ＝log 1.013013，这种运算叫做对数运算．④一般性的结论就是对数的定义：一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N ，即b ＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．实质上，上述对数表达式，不过是指数式N ＝a b的另一种表达形式． 由此得到对数和指数幂之间的关系：a Nb 指数式a b＝N 底数 幂 指数 对数式log a N ＝b对数的底数真数对数例如：42＝16⇔2＝log 416；102＝100⇔2＝log 10100；214＝2⇔12＝log 42；10－2＝0.01－2＝log 100.01.提出问题①为什么在对数定义中规定a>0，且a≠1？②根据对数定义求log a 1和log a a a>0，且a≠1的值.③负数与零有没有对数？④alogaN＝N 与log a a b＝ba>0，且a≠1是否成立？⑤什么是常用对数？讨论结果：①这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log (－2)12；若a ＝0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a ＝1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值．综之，就规定了：a ＞0，且a≠1.②log a 1＝0，log a a ＝1.因为对任意a ＞0，且a≠1，都有a 0＝1，所以log a 1＝0. 同样易知：log a a ＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.③因为底数a ＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R ，a b＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数． ④因为a b＝N ，所以b ＝log a N ，a b＝alogaN＝N ，即alogaN＝N.因为a b＝a b，所以log a a b＝b.故两个式子都成立．(alog a N ＝N 叫对数恒等式)常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5；log 103.5简记作lg3.5.例如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10.应用示例思路1例1求log 22，log 21，log 216，log 212.解：因为21＝2，所以log 22＝1； 因为20＝1，所以log 21＝0； 因为24＝16，所以log 216＝4； 因为2－1＝12，所以log 212＝－1.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．例2求lg10，lg100，lg0.01. 解：因为101＝10，所以lg10＝1； 因为102＝100，所以lg100＝2； 因为10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2.例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1)：lg2 001；lg0.061 8；lg0.004 5；lg396.5. 解：用科学计算器计算：所以lg2 001≈3.301 2，lg0.061 8≈－1.209 0， lg0.004 5≈－2.346 8，lg395.6≈2.598 2.思路2例1以下四个命题中，属于真命题的是( )(1)若log 5x ＝3，则x ＝15 (2)若log 25x ＝12，则x ＝5 (3)若log x 5＝0，则x ＝ 5 (4)若log 5x ＝－3，则x ＝1125A ．(2)(3)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(3)(4)活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义．解析：对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果． 对于(1)，因为log 5x ＝3，所以x ＝53＝125，错误； 对于(2)，因为log 25x ＝12，所以x ＝2512＝5，正确；对于(3)，因为log x 5＝0，所以x 0＝5，无解，错误； 对于(4)，因为log 5x ＝－3，所以x ＝5－3＝1125，正确．总之(2)(4)正确．答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2计算：(1)log 927；(2) 43log 81；(3)log (2＋3)(2－3)；(4) 345log625.活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法． 解法一：(1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，所以x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则(43)x＝81,43x ＝34，所以x ＝16.(3)令x ＝log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1，所以(2＋3)x＝(2＋3)－1，x ＝－1. (4)令x ＝345log625，所以(354)x＝625,x 345＝54，x ＝3.解法二：(1)log 927＝log 933＝log 9932＝32.(2) 43log 81＝43log (43)16＝16.(3)log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(4) 345log625＝345log(354)3＝3.点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据.知能训练1．把下列各题的指数式写成对数式：(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4)2x＝0.5；(5)54＝625；(6)3－2＝19；(7)(14)－2＝16. 解：(1)2＝log 416；(2)0＝log 31；(3)x ＝log 42；(4)x ＝log 20.5；(5)4＝log 5625；(6)－2＝log 319；(7)－2＝log 1416.2．把下列各题的对数式写成指数式：(1)x ＝log 527；(2)x ＝log 87；(3)x ＝log 43；(4)x ＝log 713；(5)log 216＝4；(6) 31log 27＝－3；(7) 3log x ＝6；(8)log x 64＝－6；(9)log 2128＝7；(10)log 327＝a.解：(1)5x＝27；(2)8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝13；(5)24＝16；(6)(13)－3＝27；(7)(3)6＝x ；(8)x －6＝64；(9)27＝128；(10)3a＝27.3．求下列各式中x 的值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x)＝1；(4)log 3(lgx)＝0.解：(1)因为log 8x ＝－23，所以x ＝8－23＝(23)－23＝23×(－23)＝2－2＝14； (2)因为log x 27＝34，所以43x ＝27＝33，即x ＝(33)34＝34＝81；(3)因为log 2(log 5x)＝1，所以log 5x ＝2，x ＝52＝25； (4)因为log 3(lgx)＝0，所以lgx ＝1，即x ＝101＝10. 4．(1)求log 84的值；(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值．解：(1)设log 84＝x ，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，所以x ＝23，即log 84＝23； (2)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，根据对数的定义有a m＝2，a n＝3， 所以a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝(2)2·3＝4×3＝12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用．拓展提升对于a ＞0，a≠1，下列结论正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N (2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N (3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N (4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2A．(1)(3) B．(2)(4)C．(2) D．(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价．回想对数的有关规定．对(1)若M＝N，当M为0或负数时log a M≠log a N，因此错误；对(2)根据对数的定义，若log a M＝log a N，则M＝N，正确；对(3)若log a M2＝log a N2，则M＝±N，因此错误；对(4)若M＝N＝0时，则log a M2与log a N2都不存在，因此错误．综上，(2)正确．答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个．课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备．备课资料[备选例题]例1将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值． (1)215－＝15；(2) 2log 4＝x ；(3)3x＝127；(4)(14)x＝64；(5)lg0.000 1＝x.解：(1) 215－＝15化为对数式是log 515＝－12；(2)x ＝2log 4化为指数式是(2)x＝4，即22x ＝22，x2＝2，x ＝4；(3)3x＝127化为对数式是x ＝log 3127，因为3x＝(13)3＝3－3，所以x ＝－3；(4)(14)x ＝64化为对数式是x ＝log 1464，因为(14)x ＝64＝43，所以x ＝－3；(5)lg0.000 1＝x 化为指数式是10x＝0.000 1， 因为10x＝0.000 1＝10－4，所以x ＝－4. 例2计算3log35＋3log315的值．解：设x ＝log 315，则3x＝15，(312)x ＝21)51(－，所以x ＝3log15. 所以3log 35＋3log 315＝5＋33log15＝5＋15＝655.例3计算a logab·logbc·logcN(a ＞0，b ＞0，c ＞0，N ＞0)．解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.(设计者：路致芳)第2课时 积、商、幂的对数导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化． a b＝N log a N ＝b. 3．重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式alog a N ＝N.下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕．思路 2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则． a m·a n＝am ＋n；a m ÷a n ＝am －n；(a m )n＝a mn；ma n＝a nm.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．推进新课新知探究提出问题1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道a m＝M，a n＝N，a m·a n＝a m＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？3在上述2的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.,5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？6上述结论能否推广呢？,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m·a n＝a m＋n，设M＝a m，N＝a n，于是MN＝a m＋n，由对数的定义得到M＝a m⇔m＝log a M，N＝a n⇔n＝log a N，MN＝a m＋n⇔m＋n＝log a MN，log a(MN)＝log a M＋log a N.因此m＋n可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n，所以m －n ＝log a M N .又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N.所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN，即log a MN＝log a M －log a N.设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义， 所以log a M ＝m ，log a M n＝mn.所以log a M n＝mn ＝nlog a M ，即log a M n＝nlog a M. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN)＝log a M ＋log a N ，① log a MN ＝log a M －log a N ，②log a M n＝nlog a M(n∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0.(6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a≠1，M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0)． (7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算． 性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例思路1例1用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a (x 3y 5)；(3)log a x yz ；(4)log a x 2y 3z .解：(1)log a xyz ＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y ；(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a 21x －(log a y ＋log a z)＝12log a x－log a y －log a z ； (4)log ax2y 3z＝log a (x 221y 31－z)＝log a x 2＋log a 21y ＋log a 31－z＝2log a x＋12log a y －13log a z.点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.例2计算：(1)lg 5100；(2)lg4＋lg25；(3)(lg2)2＋lg20×lg5.解：(1)lg 5100＝15lg100＝25；(2)lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2；(3)(lg2)2＋lg20×l g5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；要避免错用对数运算性质，特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.解：(1)解法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2×18＝lg1＝0.(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52. (3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2＝lg(33)12＋lg23－3lg(10)12lg3×2210 ＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32. 思路2例1：求下列各式的值．(1)log 525；(2)log 0.41；(3)log 2(47×25)． 解法一：(1)log 525＝log 552＝2； (2)log 0.41＝0；(3)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19.解法二：(1)设log 525＝x ，则5x＝25＝52，所以x ＝2； (2)设log 0.41＝x ，则0.4x ＝1＝0.40，所以x ＝0； (3)log 2(47×25)＝log 2(214×25)＝log 2219＝19，或log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 222＋log 225＝2×7＋5＝19. 点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式.例2计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．(1)解法一：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. 解法二：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－34232lg＋lg75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.(2)解法一：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg2＋lg5)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.解法二：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(1－lg5)2＝2lg10＋lg5[2(1－lg5)＋lg5]＋(1－lg5)2＝2＋lg5(2－lg5)＋(1－lg5)2＝2＋2lg5－(lg5)2＋1－2lg5＋(lg5)2＝3.(3)解法一：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝lg 18102lg1.8＝lg1.82lg1.8＝12. 解法二：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg3－12lg 1810＝12lg2＋lg3－122lg3＋lg2－1＝122lg3＋lg2－12lg3＋lg2－1＝12. 点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值. 变式训练 计算：(1)2log 510＋log 50.25；(2)2log 525＋3log 264；(3)log 2(log 216)． 解：(1)因为2log 510＝log 5102＝log 5100，所以2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 552＝2log 55＝2.(2)因为2log 525＝2log 552＝4log 55＝4,3log 264＝3log 226＝18log 22＝18，所以2log 525＋3log 264＝22.(3)因为log 216＝log 224＝4，所以log 2(log 216)＝log 24＝log 222＝2.知能训练1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y)，log a (x －y)表示下列各式： (1)log a 3x y 2z ；(2)log a (x·4z 3y 2)；(3)log a (xy 12z －23)；(4)log a xy x 2－y 2； (5)log a (x ＋y x －y ·y)；(6)log a [y xx －y ]3. 解：(1)log a 3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z) ＝13log a x －2log a y －log a z. (2)log a (x·4z 3y 2)＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2) ＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z. (3)log a (xy 12z －23)＝log a x ＋log a y 12＋log a z －23＝log a x ＋12log a y －23log a z.(4)log a xy x 2－y 2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)(x －y)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)－log a (x －y)．(5)log a (x ＋y x －y ·y)＝log a x ＋y x －y＋log a y ＝log a (x ＋y)－log a (x －y)＋log a y.(6)log a [y x(x －y)]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y)]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y)．2．已知f(x 6)＝log 2x ，则f(8)等于( )A.43 B ．8 C ．18 D.12解析：因为f(x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝632＝212，所以f(8)＝log 2212＝12. 另解：因为f(x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f(x)＝16log 2x. 所以f(8)＝16log 28＝16log 223＝12. 答案：D3．若a ＞0，a≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子正确的个数为( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y) ②log a x －log a y ＝log a (x －y)③log a x y＝log a x÷log a y ④log a (xy)＝log a x·log a yA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A4．若a ＞0，a≠1，x ＞y ＞0，n∈N ＋，下列式子正确的个数为( )①(log a x)n ＝nlog a x ②(log a x)n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x log a y ＝log a x y ⑤n log a x ＝1n log a x ⑥1nlog a x ＝log a n x ⑦log a x n＝nlog a x ⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B5．科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为r ＝0.6lgI ，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6.9＝0.6lgI 1，7.8＝0.6lgI 2.因此0.6(lgI 2－lgI 1)＝0.9，即lg I 2I 1＝1.5.所以I 2I 1＝101.5≈32. 因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．拓展提升已知x 、y 、z ＞0，且lgx ＋lgy ＋lgz ＝0，求x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy的值． 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：令x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz ＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy ＝t ，则lgt ＝(1lgy ＋1lgz )lgx ＋(1lgz ＋1lgx )lgy ＋(1lgx ＋1lgy)lgz ＝lgx lgy ＋lgx lgz ＋lgy lgz ＋lgy lgx ＋lgz lgx ＋lgz lgy ＝lgx ＋lgz lgy ＋lgx ＋lgy lgz ＋lgy ＋lgz lgx＝－lgy lgy ＋－lgz lgz ＋－lgx lgx ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求． 课堂小结1．对数的运算法则．2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用．3．对数与指数形式比较：作业课本本节练习B 1、2、3.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．备课资料[备选例题]例 已知a 、b 、c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c . 活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a 、b 、c 的关系，不妨设3a ＝4b ＝6c＝k(k ＞0)，则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．证法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k ＞0.由对数的定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则左边＝2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k＝2log k 3＋log k 4＝log k 9＋log k 4＝log k 36，右边＝2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36，所以2a ＋1b ＝2c. 证法二：对3a ＝4b ＝6c 同时两边取常用对数得lg3a ＝lg4b ＝lg6c，alg3＝blg4＝clg6.所以c a ＝lg3lg6＝log 63，c b ＝lg4lg6＝log 64.又2c a ＋c b＝log 6(9×4)＝2，所以2a ＋1b ＝2c. 点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．(设计者：卢岩冰)第3课时 换底公式与自然对数导入新课 思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a≠1，c ＞0，且c≠1，b ＞0，log a b ＝log c b log c a.教师直接点出课题．思路 2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题． 推进新课新知探究提出问题①已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？⑦什么是自然对数，如何用计算器计算自然对数？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了；⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数，它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用．讨论结果：①因为lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3. 不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1,100.301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg3lg2.因此log 23＝lg3lg2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，xlog a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2， 也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x ＝log c b xlog c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a≠1，b ＞0，c ＞0，c≠1)称为对数换底公式．④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N.⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商． ⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg3lg2， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．⑦在科学技术中，常常使用以无理数e ＝2.718 28…为底的对数．以e 为底的对数叫做自然对数．logeN 通常记作lnN.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：lnN ＝lgN lge ≈lgN 0.434 3，即lnN≈2.302 6 lgN.用科学计算器可直接求自然对数．例如，求ln34(精确到0.000 1)，可用科学计算器计算如下：所以ln34≈3.526 4.应用示例思路1 例1求下列各式的值： (1)log 89·log 2732的值；(2)ln1.解：(1)log 89·log 2732＝lg9lg8×lg32lg27＝2lg33lg2×5lg23lg3＝23×53＝109. (2)因为e 0＝1，所以ln1＝0.例2 (1)求证：log x ylog y z ＝log x z.证明：因为log x ylog y z ＝log x y log x z log x y ＝log x z ，所以log x ylog y z ＝log x z.(2)求证：log an b n＝log a b.证明：因为log an b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a b nlog a a＝log a b ，所以log an b n ＝log a b. 点评：本题的结论可作为公式直接应用.思路2例1 (1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a 、b 表示log 4256.(2)若log 83＝p ，log 35＝q ，求lg5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：(1)因为log 23＝a ，则1a＝log 32， 又因为log 37＝b ，所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. (2)因为log 83＝p ，即log 233＝p ，所以log 23＝3p.所以log 32＝13p. 又因为log 35＝q ，所以lg5＝log 35log 310＝log 35log 32＋log 35＝3pq 1＋3pq. 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.例2设x 、y 、z∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z；(2)比较3x 、4y 、6z 的大小． 活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x 、y 、z 表示出来，根据对数的定义把3x ＝4y ＝6z 转化为指数式，求出x 、y 、z ，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x 、y 、z∈(0，＋∞)，所以k ＞1.取对数，得x ＝lgk lg3，y ＝lgk lg4，z ＝lgk lg6， 所以1x ＋12y ＝lg3lgk ＋lg42lgk ＝2lg3＋lg42lgk ＝2lg3＋2lg22lgk ＝lg6lgk ＝1z， 即1x ＋12y ＝1z. (2)解：因为3x －4y ＝(3lg3－4lg4)lgk ＝lg64－lg81lg3·lg4lgk ＝lgk·l g 6481lg3·lg4＜0，所以3x ＜4y.又因为4y －6z ＝(4lg4－6lg6)lgk ＝lg36－lg64lg2·lg6lgk ＝lgk·l g 916lg2·lg6＜0， 所以4y ＜6z.所以3x ＜4y ＜6z.点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析． 例3已知log a x ＝log a c ＋b ，求x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．解法一：由对数定义，可知x ＝a logac ＋b ＝a logac ·a b ＝c·a b. 解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a x c＝b ，由对数定义，知x c＝a b ， 所以x ＝c·a b.解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c·a b . 所以x ＝c·a b .点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．知能训练(1)已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( ) A.2a ＋b 1＋a ＋b B.a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 1－a ＋bD.a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y)＝lgx ＋lgy ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．4或－1(3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________.(4)lg12.5－lg 58＋lg0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1 拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以xlog c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a. 故log a N ＝log c N log c a .证法二：由对数恒等式，得N ＝alog a N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n＝c mn .两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c≠1，a ＞0且a≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用．前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M. 课堂小结1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a ＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明． 作业1．已知271log 17＝a ，31log 15＝b ，求log 81175的值． 解：因为271log 17＝log 277＝13log 37＝a ， 所以log 37＝3a. 又因为31log 15＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 325×7＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝nlog 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边． 设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料。
对数函数课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
高中数学
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【概念理解】
（1） f -1（x）是函数f（x）的反函数，不是“f（x）的负1次幂”.
（2）并非每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如二次函数y＝x2没有反函数.
（3）“给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应”这句话，可以从函数图象上来理解，即任何
一条与y轴垂直的直线与函数y＝f（x）的图象至多只有一个交点，因此定义域内的单调函数必有反函数，
<1 x<0
当a>1时，ax
情况
x
当0<a<1时，a
单调性
<1 x>0 ,
=1 x=0 ,
>1 x<0
>0 x>1 ,
当a>1时，log a
=0 x=1 ,
<0 0<x<1 ；
<0 x>1 ,
当0<a<1时，log a
=0 x=1 ,
>0 0<x<1
当a>1时，y＝ax，y＝logax在定义域内为增函数；当0<a<1时，y＝ax，y＝logax在定义域内为减函数
高中数学
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【规律总结】对数值正负的规律
（1）当a>1时，由对数函数y＝logax是增函数知：若0<x<1，则logax<loga1＝0；若x>1，则logax>loga1＝0.
（2）当0<a<1时，由对数函数y＝logax是减函数知：若0<x<1，则logax>loga1＝0；若x>1，则logax<loga1＝0.
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平对面数与的平概面念垂直——复习课
温故知新 探究新知
概念生成
例题训练
小结拓展
对数的定义：
一般地，如果 a x N(a 0,且a 1) ，那么数x叫做以a
为底N的对数(logarithm)，记作 x log a N.
其中a叫做对数的底数，N叫做真数，读作：以a为底N的对数.
“log”同“+，，，”等运算符号一样
个式子中分别代表什么？
2. 为什么定义中规定 a 0, a 1 ？
3. 零与负数有没有对数？
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自由组合
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-1，0，1，2，e，4，10
集合A 对数loga 1，loga a a 0, a 1
2、求出所写对数的值或者它表示什么；有什么特点？
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感受“大数”
一把量天的尺子——光年 光年是一个距离单位
1光年为9 460 730 472 580 800米
以1年=365天5小时48分45.9747秒， 光速=299792458米/秒来计算， 二者相乘结果就是 1光年≈9.461×1015米
表示一种运算
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理解概念
x1 y=2x 2
x 11 y=2x 2048
2 4 12 4096
3 8 13 8192
4
5
6
7
16 32 64 128
14 15 16
17
16384 32768 65536 131072
8 256 18 262144
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对数的产生源于天文学的发展 数学家们也在试图改进运算方法，他们发现借助指数幂是有效的方法.
观察表1.
x1 2
y=2x 2
4
x 11 12
y=2x 2048 4096
3 8 13 8192
4
5
6
7
8
9
10
16 32 64 128 256 512 1024
14 15 16
17
18
19
20
14 15 16
17
18
19
20
16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
在不使用计算器的前提下，利用表1，计算256×4096=
28 212 220 1048576
思考：138 521 2m 2n ？
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一个人走完一光年需要 大约196,362,193年，约2亿年
在16至17世纪，天文学开始迅速发展，天文学家为了计算 一个行星的位置，时常需要耗费几个月甚至几年的时间，问题 主要就集中在“大数”运算上. 因此，改进运算方法成为了天 文学家们的当务之急.
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苏教版必修1
3.2.1对数的概念
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全球最大的搜素引擎“谷歌”
英国数学家卡斯纳（E.Kasner）的侄子创造了单词“googol”——大数，10100 象征无与伦比的搜索能力
10100=1010 2 指数的指数——超指数 很多巨大的数可以用指数来表示
9
10
512 1024
19
20
524288 1048576
2x 256 x log2 256 8 28 256
2x 138 x log2 138
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对数历史
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纳皮尔（苏格兰）
研究对数用了20多年，1614年，他出版了名为《奇妙的对数定理说 明书》的著作，发表了他关于对数的讨论，并包含了一个正弦对数表。
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16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
在不使用计算器的前提下，利用表1，计算256×4096=
28 212 220 1048576
完成 M N M 0, N 0 计算的过程如下 M N 2x1 2x2 2x1x2
利用对应关系：qk k 把“大数”的乘法变成了较小的数的加法
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观察数的运算的发展，思考问题：
（1）已知a+x=N，求 x 引入减法 x=N-a
（2）已知ax=N（a 0）， 求 x 引入除法
x N a
（3）已知 xn N ，求 x 引入开方
x
n
N
, n为偶数
n N，n为奇数
（4）已知 ax N (a 0, 且a 1) ，求 x 引入什么？对数！
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对数的产生源于天文学的发展
y
思考：138 521 2m 2n ？
y 2x
更一般地：
138 521 3m 3n ？ 138521 10m 10n ? 138 521 a？ a？
138 P
给定正数 N ，则 N =a x
如何准确表示出 x 的值？
1
唯一存在
0m
x
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◆拉普拉斯 说：对数用 缩短计算时 间延长了天 文学家的寿 命.
拉普拉斯（法国）
◆给我空间、 时间及对数， 我就可以创 造一个宇宙.
伽利略（意大利）
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理解概念
阅读教材思考交流：
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1. 式子 a x N 和 loga N x 有什么关系？a，x，N在两
3、写出该对数相应的指数式.
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常用对数 自然对数
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自由组合
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-1，0，1，2，e，4，10
集合A
2、求出所写对数的值或者它表示什么； 3、写出该对数相应的指数式. 4、用集合A中的元素写出一个指数并写出相应的对数式.
平对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数与的平概面念垂直——复习课
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对数的产生源于天文学的发展 数学家们也在试图改进运算方法，他们发现借助指数幂是有效
的方法.观察表1.
x1 2
y=2x 2
4
x 11 12
y=2x 2048 4096
3 8 13 8192
4
5
6
7
8
9
10
16 32 64 128 256 512 1024