【人教版】中职数学基础模块下册：7.4《向量的内积及其运算》课件(1)
7.4 平面向量的内积(1)
①
当
00
时，向量a
与
b
同向
a b | a | | b |
②
当
180
0
时，向量a
与
b
反向
ab |a||b|
③ 当 900 时，向量a 与 b 垂直，即a b
ab 0
江苏省职业学校文化课教材《数学》（第二册）
向量内积的性质：
(1) 向量a 与b 同向时，a b | a | | b |；
特殊的，当a
b
时，a
a
|
a
|
|
a
||
a
|2
.
(2) 向量a 与b 反向时，a b | a | | b |；
(3) 向量a b 时，a b 0；
江苏省职业学校文化课教材《数学》（第二册）
向量内积满足的运算律：
（1）a b b a (交换律）
(2)(a b) (a) b a (b)（结合律）
这个乘积叫向量 a 与 b 的内积（或数量积），
记作
a•
b，
即：a b |a | | b | cos
rr
注：（1）00 180; 也可表示为 a, b
rr (2) 0 a 0.
江苏省职业学校文化课教材《数学》（第二册）
例题讲解
例1 已知| a | 5,| b | 4, 600，求a• b .
两个平面向量的夹角
已知非零向量
a
与b，作
OA
a
，OB
b
，则
AOB
叫做向
量 a 与 b 的夹角，记作 a, b
b
B
b
O
A
a
a
规定：00 1800
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
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数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
中职数学基础模块下册《平面向量的内积》word教案1
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
9 线段定比分点坐标公式的向量形式：
王新敞
奎屯 新疆
在平面内任取一点 O，设 OP 1 ＝ａ， OP 2 ＝ｂ，
可得 OP =
10．力做的功：W = |F||s|cos，是 F 与 s 的夹角 二、讲解新课： 1．两个非零向量夹角的概念
a b 1 a b 1 1 1
奎屯 新疆
时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； 2
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ ，则数量 |a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作 ab，即有 ab = |a||b|cos， （０≤θ ≤π ） 并规定 0 与任何向量的数量积为 0
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
C （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定
王新敞
奎屯
新疆
（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 a×b，而 ab 是两 个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 也不能用“×”代替
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
（3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能推出 b=0 因为其中 cos有可能为 0
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
（4）已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bc a=c 但是 ab = bc
王新敞
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人教版中职数学(基础模块)下册7.3《向量的坐标表示》ppt课件1
•
作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。
• 二、听文科课要注重在理解中记忆
• 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。
M (0,0)
N(x2 ,y2)
若已知平面向量始、终点的坐标，
o
则向量的坐标为其终点相应坐标减
去始点相应坐标
x
N(x2 x1,y2 y1)
练习 P 54
小结
1、向量坐标定义.
2、向量加、减法法则.
3、实数与向量积的运算法则.
4、向量平行
a
∥
b
x1 y2
x2
y1
0
5、向量坐标
1.已知a
( x1 ,
y1 )，b
(x2 ,
y2 )，求a
b，a
-
b
解：a
b
x1i
y1
j
x2i
y2
j
=（ x1 + x2 ) i+（ y1 + y2 )j
即
a
b
x1
x2，y1
y2
同理可得
《向量的内积及其运算》中职数学(基础模块)下册7.4ppt课件1【人教版】
b) (a b)
a
2
b
2
⑵
a b
2
a b
2
2( a
2
b
2
)
证明：⑴
(a
b)
(aLeabharlann b )
aa ab b a b b
a
2
b
2
⑵ 因为
2 ab
(a
b)
(a
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
120；
⑵
a
8, b
4,
a, b
π.
2.已知
a
b ,a
b,
求
a,b
⑴
a b 8, a
b
中职数学基础模块7.4.2向量内积的坐标运算与距离公式教学设计教案人教版.docx
课时教学设计首页（试用）授课时间：年月日课题7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式课型新授第几1课时1.掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决课时有关长度、角度和垂直的问题．教学 2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．目标 3.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合（三维）思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．教学重点：教学向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．重点与难点教学难点：向量内积的坐标表达式的推导，即 a·b＝| a | | b | cos?a，b?与 a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系教学方法与手段使用教材的构想本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成教师行为1．已知非零向量 a 与 b ，则 a 与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求 cos?a，b?？2． a b；3． | a | 与a·a有何关系？已知 e1， e2是直角坐标平面上的基向量， a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出 a· b 的坐标公式吗？探究过程a· b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋ a1b2e1·e2＋ a2b1e1·e2＋ a2b2e2·e2，又因为e1· e1＝1， e2· e2＝1，e1·e2＝0，所以a· b＝a1b1＋a2b2．☆补充设计☆师生行为设计意图教师提出问题．为知识迁移做准学生回忆解答．师生共同备．回忆旧知识．师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．引出探究问题．学生讨论并回答，教师再问题为复习向量提出的下列问题：的线性运算和向量的（ 1）(a1e1＋ a2e2)·(b1e1＋内积而设计．通过学b2e2) 是怎样进行运算的？生的探究给出结论，（ 2）e1·e1，e2·e2，e1·e2比直接给出更符合学的内积是怎样计算的？生的特点，容易被学教师针对学生的回答进行生接受．通过结论的点评．师生共同写出详细的探探究，让学生初步感究过程．受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算．定理在平面直角坐标系中，已知e1， e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)， b＝(b1，b2)，则a· b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为a⊥ b a1b1＋a2b2＝0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cos?a，b?＝a1b1＋ a2b22222．a1＋ a2 b1＋ b2教师给出向量内积的直角坐标运算公式．并引导学生用文字叙述．在教师的引导下学生讨论得出．问题：(1)若已知 a ＝ (a 1，a 2) ，你能用上面的定理求出 | a | 吗？解 因为2| a | ＝ a · a ＝ (a 1， a 2)· (a 1， a 2)＝ a 12＋ a 22 ，所以 | a |＝ a 12＋ a 22．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．(2)若已知 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2)，你→能求出 | AB| 吗？解因为 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以→AB ＝ (x 2 －x 1，y 2 －y 1 )．因为 | a |＝ a 12 ＋ a 22，所以→ 2 2 ，| AB|＝ (x 2 －x 1 ) ＋ (y 2－ y 1 )教师提出问题， 稍加点拨． 通过对问题的详学生讨论解答．细探究得到性质，比 教师总结得出这就是根据直接给出结论更容易 向量的坐标求向量长度的计算 被学生接受．同时加 公式．深对 a ·b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 的理解．从而提高学生的思维能力．教师提出问题．使刚刚学过的知学生讨论解答．识及时得到应用．教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例 1 设 a ＝ (3，－ 1)， b ＝ (1，－ 2)，学生尝试解答．教师针对求：学生的回答进行点评．(1) a · b ；(2) | a |； (3) | b |；(4)?a ， b ?．解 (1) a ·b ＝ 3× 1＋ (－ 1)× (－ 2)＝ 3＋ 2＝ 5；(2) | a |＝ 32＋ (－1) 2＝ 10； (3) | b |＝ 12＋ (—2) 2＝ 5；(4) 因为cos?a ， b ?＝ a b ＝5＝ 2，| a || b |10× 52π 所以 ?a ， b ?＝ ．4通过例 1 可让学生加深对向量内积的直角坐标运算公式及向量的长度公式的理解和记忆．例2 已知 A(2，－ 4)， B(－ 2，3) ，求→教师点拨，学生解答．巩固公式，形成| AB |．教师针对学生的回答进行技能．解因为 A(2，－ 4)，B(－ 2，3)，所点评．以→－ (2，－ 4) AB ＝( － 2， 3)＝(－ 4， 7)，→72＋( －4)2所以 | AB|＝＝ 65．例3 已知 A(1，2)， B(3，4)， C(5，0)，求证：△ ABC 是等腰三角形．教师点拨，学生讨论解答．在板书证明的过证明因为小组讨论时教师巡视，并程中，突出解题思路→针对学生的回答给予补充、完与步骤．AB ＝ (3－ 1， 4－ 2)＝ (2， 2)，→善．最后师生共同完成此题．教AC ＝ (5－ 1， 0－ 2)＝ (4，－ 2)，师给出具体的解题步骤．→BC ＝ (5－ 3， 0－ 4)＝ (2，－ 4)，→2＋ (－ 2)2＝20，|AC|＝4→2＋ (－ 4)2＝20，|BC|＝2→→所以 |AC|＝|BC |．因此△ ABC 是等腰三角形．例4 已知 A(1，2) ，B(2，3)，C(－ 2，→→教师点拨，学生解答．通过学生讨论，5)，求证： AB AC．教师针对学生的回答进行老师点拨，可以突出证明因为点评．解题思路，深化解题→步骤，分解难点．顺AB ＝ (2－ 1， 3－ 2)＝ (1， 1)，→利帮助学生完成．AC ＝ (－ 2－ 1，5－ 2)＝ (－ 3，3)，可得→→AB · AC ＝ (1， 1) ·(－ 3， 3)＝ 0．→所以 AB →AC ．练习1．已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(－ 2，π5)，求证：BAC= ．师生合作共同完成．学习新知后紧跟22．已知点 P 的横坐标是 7，点 P 到练习，有利于帮助学点 N(－1，5)的距离等于 10，求点 P 的坐生更好的梳理和总结标．本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．本节课我们主要学习了平面向量内学生阅读课本 , 畅谈本节梳理总结也可针积的坐标运算与距离公式，常见的题型课的收获，老师引导梳理，总对学生薄弱或易错处主要有：结本节课的知识点．进行强调和总结．(1)直接用两向量的坐标计算内积；(2)根据向量的坐标求模；(3)根据两点坐标求两点间的距离；(4)判定两向量是否垂直．课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计平面向量基本定理在平面直角坐标系中，已知e1， e2练习：是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)， b＝( b1，b2)，则a· b＝a1b1＋a2b2．例 1 设a＝ (3，－ 1)，b＝ (1，－ 2)，求：(1) a·b；(2) |a |；(3) | b |；(4)?a，b?．作业设计教材P56 练习 A 组第 1 题；教材P57 练习 B 组第 1 题 (选做 )．教学后记。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
叉积具有分配律、差积公式、对称性、反对 称性等基本性质。
叉积的计算
向量积的计算公式为 |→AB×→AC|=|→AB|·|→AC|·sin∠BAC，其 中向量最终结果垂直于这两个向量所在的平 面。
应用举例
向量的叉积可以用于计算向量面积、判断线 段间的相对位置关系、求解平面的法向量等 多个方面。
归一化向量
归一化向量是指将向量长度 变为1，仍然保持同样的方向。 其计算方法为将向量除以它 的模。
第五部分：向量的数量积
1
数量积的定义
向量的数量积也称内积，是两个向量
数量积的计算
2
的数量乘积与它们夹角的余弦值之积。 可用向量坐标或向量的模、夹角余弦
|→AB·→AC|= |→AB|·|→AC|·co s∠BAC
学生体验
我们将通过有趣的例题和 动手实践，让每个学生真 正体验到向量运算的乐趣。
第二部分：平面向量的定义
1
点的坐标表示
点P在平面直角坐标系上的坐标表示
向量的定义
2
为(x, y)，其中x,y分别是P在x轴和y轴 上的投影。
向量是具有大小和方向的量，可以表
示为有向线段。向量AB通常分：课堂练习
实战演练
课后作业
教师点拨
通过精心设计的例题和练习题， 让学生巩固和加深对向量的认 识和掌握。
作业包含基础练习和挑战练习， 涵盖向量的知识点和应用场景， 以巩固学生所学知识。
在教学过程中及时对学生提出 的问题进行解答和点拨，还会 针对不同情况和问题，给予个 性化的建议和指导。
平面向量的线性运算
向量的线性运算包括数量乘法 和数量加法，并满足分配律、 结合律、交换律等基本性质。
第四部分：向量的模及方向
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规定
O
A
说明： （1）当
时， 与 同向；
（2）当
时， 与 反向；
（3）当
时， 与 垂直；记作
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
2．向量的内积
已知非零向量 与 ，
为两向量的夹角，则数量
叫做 与 的内积．
记作
规定 与任何向量的内积为0．
说明：
（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可正、可负
向量
向量 向
量
7.4 向量的内积
7.4.1平面向量的内积
一个物体在力 的作用下产生的位移 ，那么力 所 做的功应当怎样计算？
θ
力做的功：
其中是 与 的夹角,
是 在物体前进方向上的分量． 称做位移 与力 的内积．
1．两个非零向量
叫做 与 的夹角．记作
，则 ∠AOB
拓展 求证 ⑴ ⑵
证明：⑴
⑵ 因为
所以
1.已知
求
⑴
⑵
2.已知
求
⑴
⑵
本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型 主要有：
1.直接计算内积． 2.由内积求向量的模．
3.运用内积的性质判定两向量是否垂直． 4.性质和运算律的简单应用．
7.4.2 运用平面向量的坐标求内积
n 例3 求下列向量的内积： (1) (2) (3)
或为零 。 符号由
的符号所决定．
（2）两个向量的内积，写成 ；符号“· ”在向量运 算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
3．向量内积的性质 设 ， 为两个非零向量．
4．向量内积的运算律 ⑴ ⑵ ⑶
例1 已知 求． 解：由已知条件得
例2 已知 求
解：由
，得：
因为0°≤θ ≤180°，所以θ =135°
解：(1) (2) (3)
例4 已知 求：
解：
因为0°≤θ ≤180°，所以θ =45°
n 例5 判断下列各组向量是否垂直： (1) (2)
解 (1)因为
所以 (2)因为
所以 与
不相互垂直。