数形结合与不等式

数形结合与不等式

在不等式的题目中有一些题目专门考查同学们的数形结合能力，而且有些题目我们必须得用数形结合才能解，这些题目都有一些比较明显的特征，所以我们给大家展示出这些题目的特点，然后告诉大家如何用数形结合的方法进行求解。应用数形结合的典型问题有三大类： 一,解不等式，二.已知不等式组求参数的范围. 三． 求参数的取值范围使不等式（能、恰、恒）成立．

一.解不等式

这一类题目的特征就是不等式两边的表达式不能转化成我们所熟悉的形式，它一般是结合了指数和对数的形式，然后与一般的一次或二次函数比较大小，这时候我们只能用数形结合的方法进行求解。同学们可能觉得直观的作出函数图形并得不出准确的解，但是这类题一般都是以选择题的形式出现，所以我们可以判断出解的大致范围就可以找出正确答案了。

思路是这样的：

第一步：确定我们要做的是哪些函数的图像，然后写出这些函数表达式。

既然是比较两个表达式的大小，我们就把不等式左边写成y=f(x)，右边写成y=g(x)的形式

第二步：做出()f x 和()g x 的函数图像

第三步：根据不等式的条件判断满足不等式的区域，这个区域就是

不等式的解集，我们要求的就是()f x 的图像在()g x 的上方时 x 的取值范围

例1设函数f (x )＝1221，0， 0

x x x x -?-≤?

??>?，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是

（ ）

(A) (－1，1) (B) (－1，＋∞)

(C)(－∞，－2)∪(0，＋∞) (D) (－∞，－1)∪(1，＋∞)

解：画出分段函数f (x )＝1221，0

， 0

x x x x -?-≤?

??>?及

直线y ＝1的图象，如图(图1)，可知当x 0＞1或x 0＜－1时，有f (x 0)＞1，而选(D)．

例2使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是_______．

解：在同一坐标系作出y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1，由图象(图2)知－1＜x ＜0，故填(－1，0)．

例3不等

式＜x 的解集是 ．

解：在同一坐标系中，作出y

＝y ＝x

的图象，由图(如图3)知2＜x ≤4，故应填(2，4]．

例4 解不等式|x 2

－3x |＞4．

解：在直角坐标系中作出y ＝|x 2

－3x |与y ＝4图象，如图(如图4)

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0]

可知，原不等式的解集是 {x |x ＜－1或x ＞4}．

二.已知不等式组求参数的范围.

第二类题目有一个很明显的特征，那就是给出一个不等式组，根据不等式组我们可以求出x,y 的取值范围，在这个区域内让你求一个表达式的最值或范围

图2

图3

这类题目的思路是这样的：

第一步：由给定的不等式条件求出x,y 所在的区域

第二步：把要求的表达式转化成y=f(x)的形式，并把这个所求的量看成是一个参数

第三步：在这个区域内作出f(x)的图像 第四步：求出这个参数的最值

例5:若x, y 满足条件021x x y x y ≥??

≥??-≤?

，则32Z x y =+的最大值是多少？

第一步：在根据已知的条件0x ≥，我们知道x,y 的范围是在y 轴的右侧，

根据x y ≥ 我们可知x,y 应该在直线y x =的下方，再由第三个条件21x y -≤知道x,y 应该在直线

21y x =-的上方，由这三个已知条件我们可以求出

x,y 的区域，如图所示的阴影部分：

第二步：我们把要求的表达式：32Z x y =+转化成y=f(x)的形

式，即： 3122y x Z =-+，这时候1

2

Z 就是直线在y 轴

上的2倍截距，Z 最大也就是直线的截距最大。

第三步：在阴影部分内作出函数31

22

y x Z =-+的图像

第四步：当直线31

22

y x Z =-+过直线y x =与直线21y x =-的交

点A(1,1)时截距最大，最大值为2.5，所以Zmax=5。

例6：实系数一元二次方程x 2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：

（1）点（a,b）对应的区域的面积；

（2）的取值范围；

（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．

思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积

→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，由此可得不等式组

由，解得A（-3，1）．由，解得C（-1，0）．∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．

（1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）．

（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．

由图可知

（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，

注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：

（1）连线的斜率；

（2）之间的距离；

（3）ax+by对应直线的斜率

只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．

三．求参数的取值范围使不等式（能、恰、恒）成立．

已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()

A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1]D．[－2,0]

解析函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．

②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．

显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．

③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.

综上所述：－2≤a≤0.故选D.

例8. 已知x y x y y ，满足2220+-=，欲使不等式x y c ++≥0恒成立，求实数c 的取值范围。

分析：欲使x y c ++≥0恒成立， 即 -≤+c x y 恒成立， 故 -≤+c x y ()m i n 。 于

是

问

题

转

化

为

求

x y y x y 22202+-=+上一点，使有最小值问题。由图可

知，当直线l x y x y y x y 122020平行于且与圆相切于下方时，取最小值+=+-=+

12-

例7.已知函数f (x )=x 2+2x+1，若存在实数t ，当x ∈[1，m ]时，f (x+t )≤x 恒成立，则实数m 的最大值是（ ）

解： f (x )=(x+1)2，令y=x ， 依题意，则在区间[1，m ] 上f (x+t )的图象在直线y=x

下方．

，

由图形可知，当f (x+t )= (x –2)2时，实数m 的值最大， 解方称(x –2)2=x ，得x=1，4 ． 即m 的最大值4，故选C ．

图2

故-≤-≥-

c c

1221

，从而。

例9：设函数f(x)=e x–e–x

（Ⅰ）求证：f(x)的导数f'(x)≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围Ⅱ）：利用导数研究f(x)的性状，

∵f'(x)= e x+e–x＞0，∴函数f(x)当x≥0时单调递增，又∵函数f'(x)当x≥0时也单调递增，

∴函数f(x)是下凸

作出函数f(x)的图象，令y=ax，其图

象是过原点的直线，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，则直线y=ax在f(x)的图象的下方

∴只要直线y=ax在f(x)在原点处的

切线下方即可．∵f(x)在原点处的切线的斜率f'(0)=2，∴a≤2．

Y=ax f(x)=e x–e–x