代数式用作差法比较大小
数学人教版七年级下册用求差法比较大小
《求差法比较大小》教学设计【授课人：黑龙江省伊春市友好区第一中学李冰凌】【教材分析】《求差法比较大小》是人教版实验教科书《数学》七年级下册第九章第一节书后《阅读与思考》的内容。
主要学习用求差法比较代数式的大小，并会用求差法解决实际问题。
求差法远接小学阶段关于数的大小比较，近承不等式、等式的性质。
也为后继不等式解决实际问题的学习奠定了坚实的基础。
【教学目标】知识技能：经历探索有理数比较大小的过程，理解代数式比较大小的方法，并能熟练运用求差法比较代数式的大小和解决生活实际问题。
数学思考：通过求差法比较代数式的大小，培养学生的运算能力，发展学生的逻辑思维能力。
解决问题：正确利用求差法比较代数式的大小和解决生活实际问题。
数学思考：如何用求差法比较代数式的大小和解决生活实际问题。
情感态度：在经历探索用求差法比较代数式的大小和解决生活实际问题的过程中，让学生体会探索带来的成功体验，培养学生的探索精神和求知欲望。
通过生生间合作、交流等活动方式，培养学生的合作、互助精神。
【教学重、难点】教学重点：用求差法比较代数式的大小教学难点：用求差法解决生活实际问题【学情分析】在小学阶段学生已学习了非负数的大小比较，在生活中他们也经常会进行同类量的比较，因此学生对比较大小并不陌生，另外他们也学习了整式的减法运算和不等式的性质，有一定的运算能力。
学生学习积极性较高，探索欲望也较强，但交流合作的意识不强，自主探索的效率也较低.【教法分析】. 为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，本节课采用了发现尝试法、合作研讨法、启发谈话法、练习法等教学方法，让学生在老师的指导下，自始至终处于一种积极思维、主动探究的学习状态。
使课堂洋溢着轻松和谐，探索进取的气氛。
在思考中体会法则的形成过程中所蕴涵的数学方法。
同时借助多媒体进行演示、增加课堂容量和教学的直观性。
【学法指导】通过本节课的教学，不仅让学生学会知识，更重要的是让学生由学会向会学转变，让学生学会学习数学的方法。
用求差法比较大小
阅读与思考用求差法比较大小【设计理念】学生小学就会比较两个数的大小，现在根据数轴推导出用求差法来比较大小，让学生的比较大小从感性认识上升到理性认识，从而为后面代数式的比较大小奠定理论基础，将比较大小利用数轴数形结合的方式总结结论，让学生更直观，更易接受，并能用它来解答问题。
活动【活动目标】知识与技能目标：使学生掌握用作差法比较大小的方法。
过程与方法：通过数轴总结求差法比较大小，从而会比较两个代数式的大小。
情感态度与价值观：通过数轴，用作差法比较两个数的大小，总结方法，得到比较两个代数式的大小，让学生从感性认识上升到理性认识。
【活动准备】多媒体课件。
【核心问题】让学生亲自经历规律的发现、总结、应用的过程，在探索问题的过程中，培养学生严谨的科学研究态度。
【活动过程】一．课前导入比较姚明和李连杰的身高二．课堂情境（一）、具体活动：用数轴比较两个数的大小，并总结规律。
学习目标：掌握用求差法比较大小.1.什么是求差法？2.求差法的理论根据3.求差法的一般步骤师：我们要比较大小，就要用到大于、小于号，那么大于、小于号是怎么来的？咱们一起来了解一个数学小知识：不等号的由来：现实世界中存在着大量的不等关系，如何用符号来表示呢？为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，1631年，一个数学家哈里奥特首先采用符号“＞”表示“大于”，“＜”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.但当时它们的使用并没有被数学界所接受，直到100多年后“＞”和“＜”才逐渐成为标准的应用符号.据德国数学家哥德巴赫于1734 年1月写给瑞士数学家欧拉的一封信所述，现今通用之“≧”和“≧”符号为法国数学家布盖所首先采用，然后逐渐流行.知识回顾：实数大小比较的法则：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数大于零，零大于负数.对于两个正数，绝对值较大的数较大.对于两个负数，绝对值较大的数反而小.探究问题：a ＜b ba请大家比较这两位巨星的身高。
比较两个代数式大小
比较两个代数式大小不等式这一章节有一类题型，告诉两个字母的范围，比较由这些字母组成的代数式的大小关系.简单的代数式的比较，大多数同学都会，可是复杂的代数式怎么比较呢？很多同学不知道怎么下手，复杂的代数式的比较，我们这儿给大家总结了三种方法：作差法，作商法，放缩法.相信学了这几种方法后，同学们遇到这类问题便可以如同瓮中捉鳖了.基本方法比较两个不等式的大小我们总结了三种方法.作差法：如a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.这是最基本的方法，其它的一些比较方法均是由此推导出来的.作商法：如果>1,那么a<b;这种比放缩法：如果到：老大比老三大。
体验题1如果体验思路因体验过程∵∴5-a<5-b简单的代数式可以，我们再看一个复杂一些的。
看看我们的方法行不行？体验题2体验题2如1>a>b>0 ,试比较ab,ab2,b2a的大小关系.体验思路本题很明显，ab>0,ab2>0,ab2>0.因此，我们既可以选择作差法，也可以选择作商法.体验过程方法一，作差法.∵ab-ab2=ab(1-b)>0, ∴ ab>a2b∵ab-a2b=ab(1-a)>0, ∴ ab>a2b∵ab2-a2b=ab(b-a)<0, ∴ab2<a2b∴ab> a2b>ab2方法二，作商法.∵1>a>b>0, ∴ab>0,ab 2>0,b 2a>0. ∵21ab ab b=>1, ∴ab>ab 2. ∵21ab a b a =>1, ∴ab>a 2b. ∵22ab b a b a=<1, ∴ab 2<a 2b. ∴ab> a 2b>ab 2体验题3体验题3如果体验思路 ∵体验过程 ∵a<b<0, ∵b a 11--b a b a 题是分数形式的代数式，且上述代数式与0的大小关系已知.另外，易确b a，2a b ,2b a 与1的大小关系，故也可考虑放缩法.∵1>a>b>0, ∴a b >1, b a <1, ∴a b >b a; ∴2a b =a b .a>a b .1=a b>1 (这一步中间过程将a 放缩到1) ∴2b a =b a .b<b a .1=b a<1. (这一步中间过程将b 放缩到1)∴2ba<ba<ab<2ab方法二：作商法∵22bbaa ab=<1,∴ba<ab∵22baab=33ba<1, ∴2ba<2ab,∵2 a ba b∵2 b a b a∴2ba<小结：作差法，..毕竟实践出真知！祝你成功！实践题实践题1 如果a+2b>a+b+1,比较a与b的大小关系 .实践题2 有一个两位数，个位上的数是a,十位上的数是b,如果把这两位数的个位与十位上的数对调，新得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b 哪个大？实践题答案实践题1实践详解∵a+2b-(a+b+1)=a-(b+1)>0,所以a>b+1b+1>b∴a>b实践题2实践详解原来的两位数是10b+a,新的两位数是10a+b, ∵10a+b-(10b+a)=9(b-a)<0，∴b<a。
用作差法比较大小(教案)
阅读与思考用作差法比较大小教学目标1、理解作差法比较大小的依据。
2、掌握作差法比较大小的一般步骤3、能利用作差法比较大小解决实际问题教学设计一、课题引入1.计算下列减法算式的结果：3－2= 5－4= 6－5=2－3= 6－7= 5－9=1－1= 5－5= 3－3=2.小组讨论，从算式中发现规律第一组算式：被减数比减数大，得数为正数（大于零）；第二组算式：被减数比减数小，得数为正数（小于零）；第三组算式：被减数比减数大，得数为正数（等于零）。
二、探究新知提问1.从上述规律中大家能得到怎样的启示呢？（从上述规律中，我们可以归纳出一种比较两个数或两个代数式的大小的方法。
）作差法比较大小：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a<b；如果a－b=0，则a=b.提问2.作差法比较大小应当经历那些步骤？运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）根据差的情况确定被减数与减数的大小.三、实例巩固【例1】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由题意得-（8-10x）>0，即x>4/5，所以x最小的正整数值为1.【例2】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝2.7a，光明旅行社的收费为3a×80％＝2.4a.因为2.7a－2.4a＝0.3a>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】若两家旅行社的票价不相同，我们能否比较出哪个旅行社的费用低呢？.四、课堂小结1.什么作差法比较大小2. 作差法比较大小具体操作步骤。
作差法与作商法比较大小精选文档
当0<a<1时，a<1a.
5
2、比较代数式的大小
把整体看着 实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴 上的一个 b
? 例：试比较 6x2 +3x+5与5x2+3x+的2 大小
?解： 6x2 +3x+5– ( 5x 2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5– 5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
Q
2 x
?
0
?
2 x
?
3
?
3
?
0
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0
定号
∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
下结论
6
类型三 利用作商法比较大小
[例3] 设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大
小．
[分析]
因为a >0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
7
[ 解]
a a
abbbba＝a
a
－b·bb－
a
＝(ab)a
－b，
当a >b>0时， ab>1，且 a －b>0，∴ (ab)a －b>1.
即aabb>abba；
当b>a >0时， 0<ab<1，且 a －b<0，
∴(ab)a －b>1.即a a bb>a b ba .
综上知： aabb>abba.
作差法与作商法比较大小
因为a>0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
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7
[解] aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b， 当a>b>0时，ab>1，且a－b>0，∴(ab)a－b>1. 即aabb>abba； 当b>a>0时，0<ab<1，且a－b<0， ∴(ab)a－b>1.即aabb>abba. 综上知：aabb>abba.
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与x有关
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3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为 ________．
解析：M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34>0 ∴M>N
答案：M>N
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变式训练3 若a>0，比较aa与3a的大小． 解：a3aa＝(a3)a 当0<a<3时，0<a3<1， 则(a3)a<1，aa<3a； 当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a； 当a>3时，a3>1，(a3)a>1，aa>3a.
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1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为( )
类型二 利用作差法比较大小 [例2] 已知a>b>c>0，试比较a－b c与b－a c的大小．
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[解] a－b c－b－a c＝aa－c－abbb－c ＝a2－aca－bb2＋bc＝a2－b2a－b a－bc ＝a－baab＋b－c. 因为a>b>c>0，所以a－b>0，ab>0，a＋b－c>0. 所以a－baab＋b－c>0，即a－b c>b－a c.
不等式的基本性质
不等式的基本性质编稿：周尚达审稿：张扬责编：辛文升目标认知学习目标：理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在显示时节和日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式（组）的实际背景.能用不等式的基本性质比较代数式的大小。
重点：不等式的性质及运用，用不等式的基本性质比较代数式的大小。
难点：不等式性质的应用。
学习策略：①不等式的基本性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，注重性质的推导过程，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
②要比较两个式子的大小，通常只需将他们作差即可。
如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。
③要证的不等式或者需要比较大小的式子含“幂”或“指数”，常采用作商比较法。
知识要点梳理知识点一：不等式的概念用不等号（）表示不等关系的式子叫不等式.知识点二：不等式的性质1、不等式的基本性质：①对称性：②传递性：③可加性：（）④可乘性：如果，则2、不等式的运算性质：①可加法则：②可乘法则：③可乘方性：④可开方性：知识点三：比较大小的方法1、作差法：任意两个式子、，可以作差后比较差与0的大小关系，从而得到与的大小关系，这种比较大小的方法称为作差比较法。
作差比较法的理论依据：①；②；③。
2、作商法：任意两个式子，如果、，可以作商后比较商与1的关系，从而得到与的大小关系。
作商差比较法的理论依据：若、，则有①；②；③.注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。
3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.规律方法指导1、作差比较法的主要步骤：①作差；②变形（分解因式，配方等）；③判断差的符号；如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。
④下结论。
注意：这里“判断差的符号”是目的，“变形”是关键过程。
2、作商比较法的主要步骤：①判断要比较两式的符号都为正；②作商；③变形；④判断商与1的大小关系；如果商与1的大小关系不确定，就需要对其商进行讨论。
作差比较法
四．课堂练习
1.比较和的大小。 2.已知，试比较与的大小。 3.已知，试比较与的大小。
4.制作某产品有两种用料方案，方案 1用4张A型钢板，8张B型钢板；方 案2用3张A型钢板，9张B型钢板。A 型钢板的面积比B型钢板的大。从省 料角度考虑，应选哪种方案？
五．课堂小结
这节课你学到了什么？
六．布置作业
山西省朔州市山阴县 第六中学校
初中数学 马艳
作差比较法ຫໍສະໝຸດ 1.作差比较法的理论依据： a－b>0⇔ a>b a－b=0⇔ a=b a－b<0⇔ a<b
2.作差比较法解题的一般步骤： ①作差； ②整理变形， ③判定符号， ④得出结论．
其中变形整理是解题的关键， 变形整理的目的是为了能够直接判 定差的符号，常用的手段有：合并 同类项，因式分解，配方，通分， 分子或分母有理化等．
所以x最小的正整数值为1.
例4.有一个三口之家准备在假期出 外旅行，咨询时了解到东方旅行社 规定：若父母各买一张全票则孩子 可以按全票的七折购票；而光明旅 行社则规定：三人均可按团体票计 价，即按全票的80％收费.若两家 旅行社的票价相同，则实际哪家收 费较低呢？
【思考与分析】要比较哪家旅行社 的收费低，我们可以先用含有未知 数的式子表示出两家旅行社需要的 费用，然后根据求差法的步骤，求 出两个式子的差，再根据已知条件 判断这个差的符号即可比较出哪个 旅行社的费用低.
解：设这两家旅行社全票的价格为a 元，依题意 东方旅行社的收费为2a＋70％a＝ 2.7a， 光明旅行社的收费为3a×80％＝
2.4a. 因为2.7a－2.4a＝0.3a>0， 所以实际上光明旅行社的收费较低.
【反思】在解题时我们为什么设 这两家旅行社全票的价格为a元呢？ 因为如果不设的话，我们即使知 道用求差法比较大小，也无从下 手。
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1、将姚明和李连杰的身高标示在数轴上 观察他们的大小关系
李连杰身高 姚明身高
0
1.69 2.29
2.29-1.69=0.60>0 归纳： a-b>0 a-b=0 a-b<0
2.29>1.69
提示：运用了实数 减法运算符号法则
a>b a=b a<b
2、比较代数式的大小
把整体看着 实数轴上的 一个 a 把整体看着实数轴 上的一个 b
嘿嘿， 嘿嘿，2.29 米，是不 是太高了？ 是太高了？
思考：这两位巨 思考 星的身高是怎样 的呢？
2.29米>1.69米，得 出结论 结论：姚明比李连 结论 杰高。
感觉压力有点 大啊，我才 1.69米！
讲课教师：冷 雪 讲课教师： 讲课对象：四川文理学院数学与财经系09级1.2班全体 讲课对象：四川文理学院数学与财经系09级1.2班全体 09 讲课时间： 讲课时间：2012/3/30 星期五 讲课地点：新教学楼323教室 讲课地点：新教学楼323教室 323
定号 下结论
3、思考：
①上述例题代数式有一个怎么样的特点？ 答：都是整式 ②结合上述例题概括下解题的一般步骤？
答：作差
变形
定号
下结论
合并同类项， 因式分解，配 方等等 ③上述例题的解法名称是什么？ 答：作差
4、课堂练习题
试运用作差法比较下列代数式的大小
ⅱ运用作差法的题型
ⅲ作差法的一般步骤
ⅳ作差法的理论依据
6、思考：
比较两个代数式的大小除了作差法，还能用什么方法呢？
7、作业
课后练习1、2、3
• 例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小 •解： 6x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2) 解
3x= 6x2 +3x+5 –5x2-3x-2 =x2+3
作差 整理变形
Qx
2 2
≥0
∴x +3≥ 3> 0
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
①(x-3)2与(x-2)(x-4) 解： (x-3)2-(x-2)(x-4) =x2-6x+9-（x2-6x+8） （ ）
变形
②当x>1时，x3与x2-x+1 时
作差
=x2-6x+9-x2+6x-8 =1>0 ∴ (x-3)2>(x-2)(x-4)
定号 下结论
5、课堂小结
ⅰ比较两个代数式的方法可以用作差法