作差法比较大小
用作差法比较大小(教案)
阅读与思考用作差法比较大小教学目标1、理解作差法比较大小的依据。
2、掌握作差法比较大小的一般步骤3、能利用作差法比较大小解决实际问题教学设计一、课题引入1.计算下列减法算式的结果：3－2= 5－4= 6－5=2－3= 6－7= 5－9=1－1= 5－5= 3－3=2.小组讨论，从算式中发现规律第一组算式：被减数比减数大，得数为正数（大于零）；第二组算式：被减数比减数小，得数为正数（小于零）；第三组算式：被减数比减数大，得数为正数（等于零）。
二、探究新知提问1.从上述规律中大家能得到怎样的启示呢？（从上述规律中，我们可以归纳出一种比较两个数或两个代数式的大小的方法。
）作差法比较大小：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a<b；如果a－b=0，则a=b.提问2.作差法比较大小应当经历那些步骤？运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）根据差的情况确定被减数与减数的大小.三、实例巩固【例1】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由题意得-（8-10x）>0，即x>4/5，所以x最小的正整数值为1.【例2】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝2.7a，光明旅行社的收费为3a×80％＝2.4a.因为2.7a－2.4a＝0.3a>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】若两家旅行社的票价不相同，我们能否比较出哪个旅行社的费用低呢？.四、课堂小结1.什么作差法比较大小2. 作差法比较大小具体操作步骤。
作差法比较大小
例2 国庆期间，我准备带一家三口去美丽的狮子峰旅行，咨询 时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按 全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计 价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价a元／人，请帮 老师比较一下，实际哪家收费较低呢？ 【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含 有a的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后求出两个式子的 差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社 的费用低.
教学目标
知识与技能
1、当a-b>0时，一定有a>b 。当a-b=0时，一定有a=b。当a-b<0时，一定有a<b。 2、把要比较的对象数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小
过程与方法
1、 通过创设情景，让学生在寻找问题解决的过程中认知用求差法比较大小。 2、通过观察 猜想 类比 归纳让学生感受到用求差法比较大小的实用性与通法性。
3、运用新知
问题2 你能回答前面的用料问题吗？
解：（4x+8y)-(3x+9y )=x -y 由于A型钢板比B型钢板面积大，即x＞y 所以x-y ＞0 即：（4x+8y)-(3x+9y )＞0 故4x+8y ＞ 3x+9y 所以应该选用第二种方案.
1.课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，
7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，
每张B5纸的面积为y，且x ＞y，请你分析谁用的纸面积最大． 2.制作甲食品需要A、B两种原料且有种配料方式，方式1需要A原 料600g,B原料500g；方式2需要A原料400g,B原料300g，每克A原料 费用比B原料高，从商家的角度考虑，应选那种方式？
《作差法比较大小》课件
总结作差法的步骤和注意事项，帮助学生掌握。
02
CATALOGUE
作差法的定义
什么是作差法
作差法是一种通过比较两个数之差来判定原数大小的方法。
它基于一个数学原理：如果两个数的差小于零，则第一个数 小于第二个数；如果差等于零，则两个数相等；如果差大于 零，则第一个数大于第二个数。
详细描述
对于任意x的值，如果P(x)>Q(x)，则P(x)-Q(x)>0；如果P(x)<Q(x)，则P(x)Q(x)<0；如果P(x)=Q(x)，则P(x)-Q(x)=0。因此，通过作差法，我们可以比较 两个多项式的大小。
实例三：比较两个函数的大小
总结词
对于任意两个函数f(x)和g(x)，我们可以通过作差法比较它们的大小。
作差法的原理
01
作差法的原理基于实数的有序性 ，即实数集是有序的，任意两个 实数之间都可以比较大小。
02
通过作差法，我们可以将比较两 个数的大小问题转化为求两数之 差的符号问题，从而简化比较过 程。
作差法的应用场景
在数学学科中，作差法广泛应用 于比较代数式、函数值的大小。
在解决实际问题时，作差法可以 用于比较不同方案、不同策略的 优劣，例如成本、效益等方面的
详细描述
最值问题是数学中的常见问题，利用作差法解决最值问题时，我们首先需要确定函数的 定义域，然后通过求导数或构造函数的方式找到函数的极值点，最后通过比较极值点与
边界点的函数值来确定最值。
利用作差法进行函数单调性判断
总结词
通过作差法，我们可以判断函数的单调 性，即函数在一定区间内是递增还是递 减。
有理数的大小比较的方法与技巧
有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧．1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝1×4，B＝ 3×2，试比较A和B的大小．解：设1＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2)∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2)＝m2+3m-m2-3m-2＝-2＜0。
∴A＜B。
2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小．4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311444＝(44)11＝25611533＝(53)11＝12511∴ 444＞355＞5335、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8解：6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：故-a＜b＜-b＜a．7、注意对字母的分类讨论法例10比较a与2a的大小．解：a表示的数可分为正数、零、负数三种情况：当a＞0时，a＜2a；当a＝0时，a＝2a；当a＜0时，a＞2a．。
代数式用作差法比较大小
1、将姚明和李连杰的身高标示在数轴上 观察他们的大小关系
李连杰身高 姚明身高
2.29-1.69=0.60>0 归纳： a-b>0 a-b=0 a-b<0
0
1.69 2.29
2.29>1.69 提示：运用了实数 减法运算符号法则
a>b a=b a<b
ab0 a b ab0 ab ab0ຫໍສະໝຸດ ab ab0 ab定号 下结论
3、思考：
①上述例题代数式有一个怎么样的特点？ 答：都是整式
②结合上述例题概括下解题的一般步骤？
答：作差
变形
定号
下结论
合并同类项，
因式分解，配
③上述例题的解法名称是什么？
方等等
答：作差法
2、比较代数式的大小
把整体看着 实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴 上的一个 b
• 例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
•解： 6x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5 –5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
2 x 0
2 x 330
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
2024年人教版七年级上册数学阶段拔尖专训4 有理数比较大小的方法
1，｜ a － b ｜＝｜2－(－1)｜＝3，｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜
2｜＋｜－1｜＝3；当 a ＝－1， b ＝2时，｜ a ＋ b ｜＝｜
－1＋2｜＝1，｜ a － b ｜＝｜－1－2｜＝3，｜ a ｜＋｜
b ｜＝｜－1｜＋｜2｜＝3.
所以｜ a ＋ b ｜＜｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜.
－
＜－ ＜－ ＜－ ，
所以－ ＜－ ＜－ ＜－ .
【点拨】
此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的
数，再进行比较.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
阶段拔尖特训
数轴法比较大小
【高分秘籍】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数大.根据这一特点可把需要比较的有理数在数轴上表示出
｜ a ＋ b ｜＜
－ b ｜，｜ a ｜＋｜ b ｜的大小关系为
｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜
1
2
3
4
5
6
.
7
8
9
10
阶段拔尖特训
【点拨】
已知 a ， b 异号，不妨取 a ＝2， b ＝－1或 a ＝－1，
b ＝2.当 a ＝2， b ＝－1时，｜ a ＋ b ｜＝｜2＋(－1)｜＝
.
因为10
＞10
，所以
＜
.
作差法比较大小例题
作差法比较大小例题
作差法比较大小例题是一种使用加减法来比较两个数字的大小的方法，也叫做“比较法”。
在这种方法中，我们要对两个数字进行减法运算，将其中一个数字减去另外一个数字，然后比较所得到的差值的正负来判断大小。
如果差值为正，则表明第一个数字比第二个数字大，反之，则表明第一个数字比第二个数字小。
例如，当我们想要比较7和10的大小时，可以用作差法比较大小的方法。
首先，将7减去10，即7-10=-3，由于结果为负数，因此可以判断7比10小。
另一个例子是比较30和45的大小，我们将30减去45，即30-45=-15，由于结果仍为负数，因此可以判断30比45小。
同样地，当我们要比较50和36的大小时，可以将50减去36，即50-36=14，由于结果为正数，因此可以判断50比36大。
作差法比较大小的方法有两个优点：一是它能够有效地比较数字的大小；二是它能够节省计算的时间。
此外，作差法比较大小的方法不仅可以用来比较两个数字的大小，同样也可以用来比较两个表达式的大小，例如比较
2x+3和3x+2的大小，可以将2x+3减去3x+2，即(2x+3)-(3x+2)=-x，由于结果为负数，因此可以判断2x+3比3x+2小。
总之，作差法比较大小的方法可以节省计算时间，而且也非常容易理解和使用，因此在学习和工作中都是非常有用的方法。
实数比较大小的方法
∴0.20.3＜0.30.2（本题主要是找到一个中间数 0.20.2） 【另解】∵(0.20.3)10＝0.23＝0.008，(0.30.2)10＝0.32＝0.09 ∵0.008＜0.09，即(0.20.3)10＜(0.30.2)10 ∴0.20.3＜0.30.2 【例17】 （2006 天津文 4）设 P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则 · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A. R＜Q＜P B. P＜R＜Q C. Q＜P＜R D. R＜P＜Q ）
3
a a
【例15】 比较 sin 4 与 cos 4 的大小 5 【解】∵cos 4＝sin( －4)＝sin(2＋ －4)＝sin( －4)， 2 2 2 5 3 5 ∵ －4≈3.85，且 ＜ －4＜4＜ ， 2 2 2 2 3 而函数 y＝sin x 在[ ， ]上是减函数 2 2 5 ∴sin( －4)＞sin 4，即 sin 4＜cos 4 2
五、利用函数的单调性：
【例13】 比较 0.75
－0.33
与 0.750.32 的大小.
【解】∵0＜0.75＜1，所以函数 y＝0.75x 在 R 上为减函数 ∴由－0.33＜0.32 得，0.75
－0.33
＞0.750.32
a
【例14】 已知 0＜a＜1，试比较 a，aa 与 aa 的大小. 【解】∵0＜a＜1，所以函数 y＝ax 在 R 上为减函数 ∵0＜a＜1， ∴a0＞aa＞a1，即 1＞aa＞a 由此得 a1＜aa ＜aa，即 a＜aa ＜aa
5π 4
y
8
π 4
8
O
x
由单位圆及三角函数线知 tan 4＞1，又 cos 4＜0， ∴sin 4＜cos 4 【例9】 若 a、b∈(0，＋∞)，试比较 aabb 和 abba 的大小；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
c c 例１:已知a>b>0,c<0,求证 a b
证明：
c c bc ac c(b a ) a b ab ab 又 a b 0, c 0 b a 0, ab 0
c c c c 0即 a b a b 1作 2变 4下结论 3判
一、不等关系是普遍存在的
想一想, 举出几个现实生活中与不等关系有关的例子?
表示不等关系的文字与符号：
1、三角形的三边关系： 2、不超过、不少于、最大值、最小值等：
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 > ≤ 大于 至多 < ≥ 小于 至少 ≥ ≥ 大于等于 不少于 ≤ ≤ 小于等于 不多于
二、用不等式（组）来表示不等关系 不等式
五、小结：
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系 3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 4．
P75.A组2，B组1
用不等号（＜、＞、≤、≥、 ≠）表示不等关 系的式子叫不等式。
热身训练
a +b ≥ 0
h4
50<10a+b<60
a+2=b
三、不等式基本原理
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
a - b < 0 <=> a < b
比较两实数大小的方法 —作差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a-b 的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
例2：比较 7 2与 6 3的大小。
解：7 2 （ 6 3） （ 7 3） （ 6 2） （ 7 3）（ 7 3）（ 6 2）（ 6 2） 7 3 6 2 1 1 （ 6 2） （ 7 3） （ 4 ） 4 7 3 6 2 （ 7 3）（ 6 2） 6 2 7 3 7 2 ( 6 3) 0 7 2 6 3