电磁感应中的双杆运动问题

电磁感应中的双杆运动问题有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。

电磁感应中的“轨道”问题，较多见诸杂志，而电磁感应中的“双杆运动”问题的专门研究文章，在物理教学研究类杂志还很咸见，兹举例说明如下。

例1.2006年高考重庆卷第21题两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如题21图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。

质量均为m 的金属细杆ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R 。

整个装置处于磁感应强度大小为B ,方向竖直向上的匀强磁场中。

当ab 杆在平行于水平导轨的拉力F 作用下以速度V 1沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以速度V 2向下匀速运动。

重力加速度为g 。

以下说法正确的是A.ab 杆所受拉力F 的大小为μmg +R V L B 2122B.cd 杆所受摩擦力为零C.回路中的电流强度为R V V BL 2)(21+D.μ与V 1大小的关系为μ=1222V L B Rmg 【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断1、因为ab 杆做匀速运动，所以受力平衡，有安F f F +=，其中mg f μ=, BIL F =安,R E I 2=, 1BLV E =, 所以R BLV I 21=, 所以F=μmg+RV L B 2122,A 正确； 2、因为cd 杆在竖直方向做匀速运动，受力平衡，所以cd 杆受摩擦力大小为mg f =，或者，因为cd 杆所受安培力作为对轨道的压力，所以cd 杆受摩擦力大小为R V L B f 2122μ=,总之，B 错误；3、因为只有ab 杆产生动生电动势（cd 杆运动不切割磁感线），所以回路中的电流强度为RBLV I 21=，C 错误； 4、根据B 中mg f =和R V L B f 2122μ=，得μ=1222V L B Rmg ，所以D 正确。

本题答案为AD 。

【点评】ab 杆和cd 杆两杆在同一个金属直角导轨上都做匀速运动，因为ab 杆切割磁感线而cd 杆不切割磁感线，所以感应电动势是其中一个杆产生的电动势，即1BLV E =，而不是)(21V V BL E +=, 电流是R BLV I 21=，而不是R V V BL I 2)(21+=。

例2. 2006年高考广东卷第20题如图11所示，在磁感应强度大小为B 、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U ”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m 的匀质金属杆1A 和2A ，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。

设两导轨面相距为H ，导轨宽为L ，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r 。

现有 一质量为2m 的不带电小球以水平向右的 速度0v 撞击杆1A 的中点，撞击后小球反 弹落到下层面上的C 点。

C 点与杆2A 初 始位置相距为S 。

求：（1）回路内感应电流的最大值；（2）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；（3）当杆2A 与杆1A 的速度比为3:1时，2A 受到的安培力大小。

【解析】设撞击后小球反弹的速度为1v ，金属杆1A 的速度为01v ，根据动量守恒定律，0110)(22mv v m v m +-=， ① 根据平抛运动的分解，有 =S t v 1 221gt H = 由以上2式解得=1v Hg S 2 ② ②代入①得)2(21001H g S v v += ③ 回路内感应电动势的最大值为01BLv E m =，电阻为Lr R 2=，所以回路内感应电流的最大值为=m I r H g sv B 4)2(0+。

④（2）因为在安培力的作用下，金属杆1A 做减速运动，金属杆2A 做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电流为0，根据能量守恒定律，220122121mv Q mv ⋅+= ⑤ 其中v 是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律，mv mv 201=，所以0121v v =，代入⑤式得Q=m 16120)2(Hg s v + ⑥ （3）设金属杆1A 、2A 速度大小分别为1v 、2v ，根据动量守恒定律，2101mv mv mv +=，又1321=v v ，所以01143v v =，01241v v =。

金属杆1A 、2A 速度方向都向右，根据右手定则判断1A 、2A 产生的感应电动势在回路中方向相反，所以感应电动势为)(21v v BL E -=，电流为LrE I 2=，安培力为BILF =,所以2A 受到的安培力大小为F=r L B 82)2(0Hg s v +。

当然1A 受到的安培力大小也如此，只不过方向相反。

答案：16.(1)r H g s v B 4)2(0+ (2)Q=m 16120)2(Hg s v + (3)F=r L B 82)2(0H g s v +【点评】金属杆1A 、2A 两杆在同一个金属U 形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都向右），同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外），但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势是这两个电动势之差，即)(21v v BL E -=， 电流是Rv v BL I )(21-=，方向为金属杆1A 中感应电流的方向，因为1A 比2A 产生的感应电动势大，安培力是Rv v L B F )(2122-=，方向都和速度方向相反（都向左）。

例3. 2004年高考全国I 卷第24题24.（18分）图中a 1b 1c 1d 1和a 2b 2c 2d 2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感强度B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在平面（纸面）向里。

导轨的a 1b 1段与a 2b 2段是竖直的，距离为l 1；c 1d 1段与c 2d 2段也是竖直的，距离为l 2。

x 1y 1与x 2y 2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m 1、m 2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。

两杆与导轨构成的回路的总电阻为R 。

F 为作用于金属杆x 1y 1上竖直向上的恒力。

已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

【解析】（1）设x 1y 1与x 2y 2匀速向上运动的速度为v ，根据右手定则，x 1y 1与x 2y 2切割磁感线产生的感应电动势都向左，在回路中的方向相反，大小分别为v Bl E 11=和v Bl E 22=，因为12l l >，所以总电动势为v l l B E )(12-=，方向与x 2y 2产生的感应电动势相同，感应电流为Rv l l B R E I )(12-==, 方向为顺时针，如下图。

设x 1y 1与x 2y 2受到的安培力分别为1F 、2F ,根据左手定则判断安培力的方向为1F 向上、2F 向下，大小为1F ==1BIl Rvl l l B 1122)(-、2F ==2BIl R vl l l B 2122)(-，受力图如下图。

根据力的平衡，有：T g m F F +=+11 T =22F g m +联立以上各式，解得：=v F －（m 1＋m 2）g B 2（l 2－l 1）2R ， 所以作用于两杆的重力的功率的大小为 P ＝F －（m 1＋m 2）g B 2（l 2－l 1）2 R （m 1＋m 2）g 。

（2）回路电阻上的热功率Rv l l B R E p 21222)(-==, 将以上v 式代入得=p [F －（m 1＋m 2）g B （l 2－l 1）]2R答案：P ＝ F －（m 1＋m 2）g B 2（l 2－l 1）2 R （m 1＋m 2）g p ＝[F －（m 1＋m 2）g B （l 2－l 1）]2R 【点评】两杆切割磁感线产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势为v l l B E )(12-=，方向与感应电动势大的相同，感应电流为Rv l l B R E I )(12-==, 方向为总电动势的方向。

两杆受到的安培力分别为1F 、2F ,根据左手定则判断安培力的方向，大小为1F ==1BIl R vl l l B 1122)(-、2F ==2BIl Rvl l l B 2122)(-。

例4. 2004年高考广东卷第15题15．如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ,导轨间距离为l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B ，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为12m m 、和1R 2、R , 两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度0v 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。

【解析】 根据右手定则，杆1产生的感应电流方向向上，则杆2中电流方向向下，杆2受的安培力向右，速度向右，设为v ，由于两杆运动时产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以，总感应电动势为 )(0v v Bl E -= ① 感应电流 21R R I +=ε②杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，g m BlI 2μ= ③联立以上3式解得：=v )(212220R R l B gm v +-μ ④导体杆2克服摩擦力做功的功率 gv m P 2μ= ⑤解得 )]([2122202R R l B gm v g m P +-=μμ ⑥【点评】本例中杆2中由于杆1产生的感应电流流过而受安培力，才产生运动从而产生感应电动势，因为杆2产生的感应电动势与杆1产生的感应电动势在回路中的方向相反，所以总感应电动势为)(0v v Bl E -=，感应电流为21R R I +=ε，安培力为F =21202)(R R l v v B BIl +-=,N P Q两杆受的安培力大小相等、方向相反，对杆1，是阻力，对杆2，是动力。

如维持匀速运动，杆2的速度v 必小于杆1的速度0v 。

例5.（2010年南京市三模第15题）如图所示，两根足够长的平行导轨由倾斜和水平两部分连接组成，导轨间距m L 1=，倾斜角045=θ，水平部分处于磁感应强度T B 1=的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左边界MN 与导轨垂直，金属棒ab 质量kg m 2.01=，电阻Ω=11R ,金属棒cd 质量kg m 2.02=，电阻Ω=32R ,导轨电阻不计。

两棒与导轨间动摩擦因数2.0=μ。

开始时，棒ab 放在斜导轨上，与水平导轨高度差m h 1=，棒cd 放在水平导轨上，距MN 距离为0s ，两棒均与导轨垂直，现将ab 棒由静止释放。