编译原理--有限自动机

(4)S∈K，是唯一的初态；
(5)Z是K的子集，是一个终态集，终态也称为可接收状态或 结束状态。
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确定的有穷自动机DFA的表示
3.2.1 状态转换图
设DFA有m个状态，n个输入字符，那么这个图含有m 个状态结，每个结点最多有n条箭弧射出和别的结点相连接， 每条弧用Σ中的一个不同输入符号作记号。整个图含有唯一 的一个初态和若干个（可以0个）终态结。
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3.2 有穷自动机的形式定义
DFA: Deterministic Finite Automata NFA: Nondeterministic Finite Automata
DFA的定义
定义3.1 一个确定的有穷自动机(DFA) M是一个五元组： M = ( K, Σ, f, S, Z )
(1)K是一个非空有穷集合，它的每一个元素称为一个状态；
解：该DFA M的状态图：
0
a
b b
1
a 2
a
3 b
a, b
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确定的有穷自动机DFA的表示（续）
3.2.2 状态转换矩阵
矩阵的行表示状态，列表示输入字符，矩 阵元素表示相应的状态行在输入字符列下的新 的状态，即f(k,a)的值。
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例２（题同１）
解：该DFA M的矩阵表示
状态 0 1 2 3 字符 a 1 3 1 3 b 2 2 3 3
例1：(1)到此为止是偶数个a和偶数个b; (2)到此为止是奇数个a和偶数个b; (3)到此为止是偶数个a和奇数个b; (4)到此为止是奇数个a和奇数个b。 根据每种可能性设计一个状态，并根据可能的输入 符号来设计状态之间的转移条件。 a a 2 b b b 3 a a b
1
4
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设计有限自动机（续）
例2：设计有限自动机M，识别含有00作为子串的 所有{0，1|*上的字符串组成的语言。 如：0010，1001，110001001 解：3种可能性： (1)到此为止未看到模式“00”的任何符号;
(2)到此为止看见了一个0;
(3)到此为止已经看见整个模式“00”。
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设计有限自动机（续）
例2自动机的状态转换图为：
1 q 1 0 q0 0 0,1 q00
或者为（NFA）：
0,1 q 0 q0 0
0,1
q00
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NFA和DFA的关系
DFA是NFA的一个特例。 • • 对于每个NFA M，存在一个DFA M’，使得L(M)=L(M’) 对于任何两个有穷自动机M和M’，如L(M)=L(M’)则称 M和M’是等价的。
问题：
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例 过河问题 状态转换图
起始 MWGC-φ
g g g g φ-MWGC g MGC-W MG-WC m m
WC-MG
m m
MWC-G w
w c
c W-MGC
g g
C-MWG g c w c
MWG-C w
G-MWC
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有穷自动机（FA）
数字系统：可以从一个状态移动到另一个状态；每次 状态转换，都上由当前状态及一组输入符号确定的；可以 输出某些离散的值集。
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补充：递归思想构造文法
在某些复杂的语言中，字符串可能包含一种结构， 它递归地作为另一种（或者同一种）结构的一部分而出 现，可利用递归思想来构造对应的文法。 例1：定义语言L={ω| ω中a和b的个数相同}的文法。 解：先构造出基础情况的文法： S-> ab | ba | ε 再递归地构造出归纳情况的文法（新的生成式不能改变a和 b的个数关系）： S-> Sab | aSb | abS | Sba | bSa | baS
0 0
0
1
0
a b b
1 a
a 3
a, b
2
b
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3.2.3 有关自动机术语
(1)道路：对于Σ*中的任何字α，若存在一条从初态到某终 态的路径。
(2)识别：道路上所有弧的标记连接成的字等于α，则称α 可为DFA M所识别（所接受）。
即若t∈Σ*, f(S,t)=P，其中S为DFA M的初始状态， P∈Z（终态集）。 若M的初态结同时也是终态结，则空字ε可为M所识别， 即Q∈K, f(Q, ε)=Q (3)运行： f(Q, t1t2) = f(f(Q, t1), t2)，其中Q∈K， t1t2为输入字符 串，且t1 ∈Σ，t1t2 ∈Σ*
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例３
题：试证abba可为例1的DFA M所识别（所接受）。
a 1 b b 2 a b a 3 a, b
解：∵f(0, abba) Nhomakorabea
0
= f(f(0,a), bba)= f(1, bba)
= f( f(1,b), ba) = f(2, ba) = f(f(2,b), a) = f(3, a) =3 ∴ 得证
(2)Σ是一个有穷字母表，它的每一个元素称为一个输入字 符； Σ也称为输入符号字母表
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确定的有穷自动机DFA的定义（续）
(3) f是从Σ×K到K的单值部分映射；
f(ki,a)=kj， 其中ki∈K，kj∈K
说明：当前状态为ki ，输入字符a时，将转换到下一个 状态kj ，把kj称为ki的一个后继状态。 DFA的确定性就表现在f是单值函数，即对任意状态k∈K， 输入符号a∈Σ，f(k,a)唯一确定一个状态。
16种状态中的某些状态，是不应该引入系统的，例如 GC-MW，有关死活。
人所进行的摆渡活动，可作为系统的输入。人可单独 过河（输入为M），带着狼过河（输入为W），带着羊过 河（输入为G）或者是带着菜过河（输入为C）。 问题：初始状态应该是什么？终止状态应该是什么？
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例 过河问题 分析（续）
初始状态：MWGC-φ；终止状态：φ-MWGC。 g MWGC-φ WC-MG
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例 过河问题
题目
一个人带着一头狼、一头羊以及一棵青菜，处于河的 左岸，需要渡到河的右岸。有一条小船，每次只能携带人 和其余的三者之一。不能让狼和羊单独在一起，无论在左 岸还是右岸，否则狼会吃掉羊。同样，也不能让羊和青菜 单独一起。 如何才能安全渡过河呢？
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例 过河问题 分析
观察每次摆渡后河两岸的局势，使问题模型化。 人（M），狼（W），羊（G），菜（C）。存在有16 种子集，用连字号”-”连接子集的对偶表示状态，例如： MG-WC，表示：人和羊在左岸，狼和菜在右岸。
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有关非确定有穷自动机的术语
对于Σ*中的任何一个串t可被NFA M识别是指： 若对这个字（串）t存在一条从某个初态结到某一 个终态结的道路，且这条道路上所有弧的标记字依 序连接起来的字（不理睬那些标记为ε的弧）等于t， 则t可识别（或可接受） 若M的某些结点既是初态结也是终态结，或存 在一条从某个初态结到某个终态结的ε道路，则空 字ε可为M所识别（所接受）。
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3.2.5 不确定的有穷自动机(NFA)的定义
定义3.4 一个不确定的有穷自动机NFA N也是一个五元组： M = ( K, Σ, f, S, Z ) (1)K是一个有穷集合，它的每一个元素称为一个状态； (2)Σ是一个有穷字母表，它的每一个元素称为一个输入字符； Σ也称为输入符号字母表 (3) f是一个K×Σ*到K的子集的映射： f : K×Σ*→2k (4)S是K的子集，是非空的初态集； (5)Z是K的子集，是一个终态集，也称可接收状态或结束状态。
S->aaS | bbS | abA | baA ……
A->aaA | bbA | abS | baS | ε……
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补充：如何设计有限自动机
如同文法的设计，自动机的设计也是一个创造过程。 有一种做法，在设计各种类型的自动机时都很有帮助， 即采用一种心理上的技巧，把自己放在要设计的机器的 位置上，考虑自己该如何实现自动机的任务。 假定自己是一台有限自动机，接受到一个输入符号 串时，必须确定到目前为止所看到的字符串是否可为该 自动机所识别。为了能够判断这一点，必须估算出识别 时需要记住哪些关键的东西。 为什么不记住所有看到的东西呢？因为你是一台有 限自动机，只有有限个状态，而这些状态是你记住事情 的唯一办法。输入串可能很长，而你不可能记住所有的 事情。 幸运的是，许多语言只需要记住某些关键的信息就 可以了。
FA：一个状态集合；状态间的转换规则；通过读头来 扫描的一个输入符号串。 读头：从左到右扫描符号串。移动（扫描）是由状态 转换规则来决定的。
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读头
一个FA的例子
d d d ;
数字
+ d d .
输入符号串
S
数字
B
数字
.
数字
接收：若扫描完输入串， 且在一个终止状态上结 束。
+
A
.
H
数字
-
阻塞：若扫描结束但未 停止在终止状态上；或 者为能扫描完输入串 （如遇不合法符号）。
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递归思想构造文法 （续）
例1：求一个文法G，使得Ｌ(G)即该文法的语言是奇数个 ａ和奇数个ｂ的组合。 解： 因为语言是奇数个ａ和奇数个ｂ的组合，所以打头 的最小语言有四种组合： aa bb ab ba 定义S和A，S是表示奇数个 a和奇数个b的组合，而 A是表示偶数个a和偶数个b的组合。 开始递归构造文法：
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3.2.4 有关确定有穷自动机的结论
把DFA M所能接受的所有字（字的全体）记 为L(M)。
Σ上的一个字集V∈Σ*是正规的，当且仅当存 在一个Σ上的确定有穷自动机M，使得L(M)=V。
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有限自动机识别的语言 例子
例：下图中的自动机所能识别的语言是什么？
b a q1 a
q0 b
a
q3 q2 b
分类：确定的有穷自动机（DFA） 不确定的有穷自动机（NFA）